微積分(上)復(fù)習(xí)提綱

《微積分》(上)復(fù)習(xí)

第一局部(第一章，第二章)函數(shù)、極限與連續(xù)

一、要求

1.函數(shù)概念與性質(zhì)函數(shù)的根本性質(zhì)(單調(diào)、有界、奇偶、周期)

幾類常見函數(shù)〔復(fù)合、分段、反、隱、初等函數(shù))

2.極限極限存在性與左右極限之間的關(guān)系

夾逼定理和單調(diào)有界定理

會用等價(jià)無窮小和洛必達(dá)法那么求極限

3.連續(xù)函數(shù)連續(xù)(左、右連續(xù))與間斷

理解并會應(yīng)用有界閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)(最值、有界、介值)

二、題型與解法

A.極限的求法(1)用定義求

(2)代入法〔對連續(xù)函數(shù)，可用因式分解或有理化消除零因子)

(3)變量替換法

(4)兩個(gè)重要極限法

(5)用夾逼定理和單調(diào)有界定理求

(6)等價(jià)無窮小量替換法

(7)洛必達(dá)法那么與Taylor展式法

(8)其他(微積分性質(zhì)，數(shù)列的性質(zhì))

「arctanx-xrarctanx-x1人、

l.hm-------------=hm----------——=——'等價(jià)小量與洛必達(dá)｝

^->0ln(l+2x3)工->02x36

2"(x)三階可導(dǎo),lim2a2=0,求-6+「)

x->0無3x->0九2

制sin6%+xf(x)_6cos6x+/(%)+xy*

解：—0X3-03%2

_.-36sin6x+2y,+xyn_.-216cos6x+3^n+xyn,

6x%一>06

=-216.3V(0)=0.y,(0)=72

「6+f(x)「y'ryn72_,,、…?、

lim二——二lim——=lim——二——二36(洛必達(dá)

%->。x1x->02x%一>022

2x—

3.1im(——)z(重要極^艮)

-1x+1

xix3

4.a>b為正常數(shù)，求lim(幺上——尸

x->o2

3

解：令/=("+b)"lnt=3[ln(/+Z/)—ln2]

2x

33

limIn/=lim----------(axIna+Z/In/?)=—ln(〃Z?)

—o—0〃％+//'21變量替換]

t=(訪嚴(yán)

5.1im(cosx)in(i+*2)

x->0

1

-----二1

解：令/=(cosx)to(1+x),In%=----------ln(cosx)

ln(l+x2)

limtaZ=lim^t^=--.-.Z=e1/2(變量替換)

%->o%->o2x2

I/

L于3dt

6.設(shè)了'(x)連續(xù)，/(0)=0,r(0)/0,求lim且-------=1

…。也了⑺必

(洛必達(dá)與微積分性質(zhì))

_—2

”、ln(cos九)尤一，九w、4,44

7./(x)=s在x=0連續(xù)，求a

。,尤=0

解：令〃=limln(cos%)/x2=一1/21連續(xù)性的概念)

x->0

三、補(bǔ)充練習(xí)

px—1—X

l.lim-------六二-31洛必

x->0V1-X-COSVX

c「z11

2.limctgx(----------(洛必達(dá)或Taylor]

%一>°sin九x

x[e~f2dt

———=1:洛必達(dá)與微積分性質(zhì))

x->0l-e~x

第二局部(第三章)導(dǎo)數(shù)、微分及其應(yīng)用

、理論要求

1.導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分的概念、幾何意義、物理意義

會求導(dǎo)(根本公式、四那么、復(fù)合、高階、隱、反、參數(shù)方程求導(dǎo)〕

會求平面曲線的切線與法線方程

2.微分中值定理理解Roll、Lagrange>Cauchy>Taylor定理

會用定理證明相關(guān)問題

3.應(yīng)用會用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性與極最值、凹凸性、漸進(jìn)線問題，能畫簡圖

會計(jì)算曲率〔半徑)

二、題型與解法

A.導(dǎo)數(shù)微分的計(jì)算根本公式、四那么、復(fù)合、高階、隱函數(shù)、參數(shù)方程求導(dǎo)

力=心)由｛2:送也5決定,求宗

2.y=y(%)由In(九2+y)=+sinx決定，求蟲|x=0=1

dx

解：兩邊微分得x=0時(shí)y'=ycosx=y,將x=0代入等式得y=l

3.y=y(%)由2盯=%+y決定，那么4yL=°=(In2-1)公

B.曲線切法線問題

4.求對數(shù)螺線p=e'在(夕，。)=(1/2,萬/2)處切線的直角坐標(biāo)方程。

x=edcos3s

解：<e,3陽/篙/2=(o，〃2)，y篙."I

y=esin，

y_e=2=一

5.f(x)為周期為5的連續(xù)函數(shù)，它在x=l可導(dǎo)，在x=0的某鄰域內(nèi)滿足

f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+o(x)?求f(x)在6f(6))處的切線方程。

解：需求/(6)，r(6)或/'⑴"'⑴，等式取x->0的極限有：f(l)=0

山^/(I+sinx)-3/(1-sinx)

%->osinx

二%邛+j⑴+3“j)HD]

->。tt

=4尸⑴=8/./,⑴=2.?.y=2Q-6)

C.導(dǎo)數(shù)應(yīng)用問題x

6.y=/(%)對一切元滿足獷"(%)+2][尸(%)]2=i-e-,

莉尸(%o)=O(%0。0),求(%o,%)點(diǎn)的性質(zhì)。

八、、/T>0,%>0

解：令尤=尤0代入，/"(尤0)=-------=10，故為極小值點(diǎn)。

x

e°x0[>0,x0<0

Y

I.y=——~求單調(diào)區(qū)間與極值、凹凸區(qū)間與拐點(diǎn)、漸進(jìn)線。

(x-1)2

解：定義域尤w(-8,1)U(1,+8)

y,=0=駐懇=ORx=3

丁''=0二拐,裊=0；x=l：鉛垂；y=x+2：斜

8.求函數(shù)丁=(X-1)屋/2+”6.的單調(diào)性與極值、漸進(jìn)線。

2

解：=駐點(diǎn)％=0與％=—1,

1+x2

漸：y=e^(x-2)與y=x-2

9.求f(x)=x2ln(l+x)在x=0處的幾階導(dǎo)數(shù)/⑺(0)

/v3n~2

解：x1ln(l+x)=x2(X-------1-----------F(―l)n1--X-------Fo(xn2)

23n-2

45n

rrx

X3--+--------+(-1尸+0(%〃)

23n-2

」(。戶㈠嚴(yán)白

n—2

E.不等式的證明

設(shè)XG(0,1),

求證(l+x)ln2(l+x)

In2ln(l+x)x2

證：1)4g(x)=(l+x)ln2(l+x)-x2,g(0)=0

g'(x),g"(x),g"'(x)=-2*：)<0,g,(0)=g"(0)=0

(1+x)-

XG(0,1)時(shí)g”(x)單調(diào)下降，g"(x)<O,g'(x)單調(diào)下降

g'(x)<O,g(x)單調(diào)下降,g(x)<0；得證。

2)令h(x)=---------上元w(0,1),"(冗)<0,單調(diào)下降，得證。

ln(l+x)x

F.中值定理問題

12.設(shè)函數(shù)/（x）在［—1,1］具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且/（-I）=0,/（1）=1,

/'（0）=0,求證：在（-1,1）上存在一點(diǎn)。使尸”0=3

11a

證：f（x）=/（o）+r（o）x+-（o）x2?+-

其中7；e(0,x),xe[-l,l]

O=/(-l)=/(O)+|/"(O)--1/'-(771)

將X=l,x=-l代入有26

1=/(1)=/(0)+1/-(0)+1/'"(772)

2o

兩式相減:廣,(？)+廣'(%)=6

7L3/"，0)=1[/，"(7)+/，"(7)]=3

牛封?，212

4

13.e<a<b<e2,求證：ln2Z7-ln26z>—

e

證：Lagrange:)=尸?

b-a

2

人々、2lnZ?-ln-a21nJ

令/(x)=lnx,-----------=—

b-ac

./、Inr，/、l-ln%<0.,.。0〉靖）；.竽〉餐

令夕⑺=7，。（t）=—p—

Je

°04

in2b-]n2a>-(b-a)〔關(guān)鍵：構(gòu)造函數(shù)）

e

三、補(bǔ)充練習(xí)

，求y"(0)=-1

l./(x)=ln

X=esm”在(0,1)處切線劃+2%—1=0

2.曲線《

y-elcos2r

3.y=xln(e+—)(%>0)的漸進(jìn)線方程為=x+-

xe

4.證明x>0時(shí)(x2-l)lnx>(x-1)2

證：令g(x)=(/—l)lnx—(x—l)2,g'(x),g''(x),g"'(x)=

X

g(l)=g'(l)=0,g"⑴=2>0

xe(0,l),g'”<0,g''>2]?nr%e(0,l),g,<0

xe(l,+8)，g，”>0,g”>2j[Lg>0

第三局部(第四章，第七章)不定積分與定積分

一、理論要求

1.不定積分掌握不定積分的概念、性質(zhì)（線性、與微分的關(guān)系）

會求不定積分〔根本公式、線性、湊微分、換元技巧、分部）

2.定積分理解定積分的概念與性質(zhì)

理解變上限定積分是其上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)求法

會求定積分、廣義積分

會用定積分求幾何問題〔長、面、體）

會用定積分求物理問題〔功、引力、壓力）

二、題型與解法

A.積分計(jì)算cdxrdx.x-2一

1..=/=■=arcsin-----FC

Jjx(4-%)Jj4-(x-2尸2

2Je2x(tanx+I)2dx=^e2xsec2xdx+2je2xtanxdx=e2xtanx+C

3.設(shè)/(In%)="(1+,求

解：jf(x)dx=j，dx

=e-xta(l+ev)+[(1—---)dx=x-(l+e-r)ta(l+er)+C

J\+ex

產(chǎn)arctan尤,1必「a/1%、,乃11小

4.---；——ax=——arctanxL+lim(--------)ax=——F—m2

J1X2X28JiX1+x242

B.積分性質(zhì)5j(x)連續(xù)，(p(x)=f/(%%)小，且lim△"=A，求夕(無)并討論/'(%)

Jo尤->0x

在九=0的連續(xù)性。

解：/(O)=9(0)=0,y=xfn9(x)=-------

X

-ff(y)dyA

(p\x)=--------------*.*"(0)=—二.lim/'(O)=A/2="(0)

'x2A>。

6.—^tf(x2-t2)dt=———f(x2-t2)d(t2-x2)

dx。2d%。

d0，

=/(yM(y)R(x)

乙LZ?八

C.積分的應(yīng)用7.設(shè)/(x)在［0,1］連續(xù),在(0,1)上/(%)>0,且#'(%)=f(x)+-^-x2,

又了(%)與x=l,y=O所圍面積S=2o求/(%),且a=?時(shí)S繞x軸旋轉(zhuǎn)體

積最小。

解：4("*，)=-=>/(%)=-%2+orv￡f(x)dx=2:.c=4-a

djc%22。

f(x)=y%2+(4-l)xV'=y2dx)'=Q:.a=-5

三、補(bǔ)充練習(xí)

「Insinx,1?小「

1.------dx--cotxlnsin2x-cotx-x+C

Jsinx

x+5

dx

%2—6x+13

arcsinVx7

3.---廣——dx

」x

第四局部(第五章)常微分方程

一、理論要求

1.一階方程熟練掌握可別離變量、齊次、一階線性、伯努利方程求法

2.高階方程

會求?、?/(x),y"=f(x,y')(y'=p(x)),y''=f(y,y')(y'=p(y))

3.二階線性常系數(shù)

y"+py'+q=0n/V+pX+q=0

4,2,->%=qe'"+c^c^x

(芬如

Ax

4=%—%=(G+c2x)e

ax

2=(/土根—%=e(clCOS］3X+C2sin/3x)

aw4f%=Qna%"'

f(x)=Pn=<a="%=Qn(x)%二(非齊次)

a-%］即d%2->2=Qn

ax

f(x)=e(pi(x)cos/ix+Pj(x)sinfix)

a±i/?W/lf%=e"(q〃(x)cos/?r+〃(元)sin/?x(非齊

=>s

a±i/3=y2-xe^(qn(x)cos/3x+rn(x)sin0x(n-max。j)

次)

二、題型與解法

A.微分方程求解

1.利用代換y=—-—化簡V'cosx-2y'sin%+3ycosx=ex并求通解。

cosx

(=ex,y=cg°s+2csinxH——-——

rcosx25cos%

2.設(shè)y=y(x)是上凸連續(xù)曲線，(x,y)處曲率為，1,且過(0,1)處

切線方程為y=x+l,求y=y(x)及其極值。

2

解：y)+y+l=0ny=In|cosf-x)|+l+^-ln2,ymax=l+gln2

三、補(bǔ)充練習(xí)

1.函數(shù)y=y(x)在任意點(diǎn)處的增量Ay=上空■+0(?),丁(0)=%,求武1)。(碇，)

1+x

2x2x2x

2.求y''-4y=e的通解。［y=+c2e+^xe〕

3.求(y+J尤2+J)辦-=0(%>0),y(l)=0的通解。(y=(x2-1))

4.求y''—2y'—e?x=0,六0)=9(0)=1的特解。(y=-+-(3+2x)e2v

-44

第五局部補(bǔ)充

1.極限求解

變量替換（r°作對數(shù)替換），洛必達(dá)法那么，其他（重要極限，微積分

性質(zhì)，等價(jià)小量替換)

1.lim—[(%+—)+(%+—)+...+(%+———)=x+—(幾何級

>8nnnn2

數(shù))

2

arccosx)1/x=e^11(對數(shù)替換)

%->0JI

7DC

tan——

3.lim(2-x)2

X->1

3x—1

4.1im(+工產(chǎn)

X—>006+x

(xn-nan~x(%-d)