2023北京豐臺(tái)區(qū)高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題及答案

2023北京豐臺(tái)高二（下）期末數(shù)學(xué)2023.07第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中,選出符合題目要求的一項(xiàng)。1．在等差數(shù)列n中，1=1，an?an1=2(n≥2)a=，則6（A）10（C）121（B）11（D）1312．已知P()=,P(AB)=，那么P(B|)=23161（A）（C）（B）（D）32356n3．下圖所示的三角形圖案是謝爾賓斯基三角形．已知第個(gè)圖案中黑色與白色三角形的個(gè)數(shù)之和為a，n數(shù)列n滿足a=a=an+n≥，那么下面各數(shù)中是數(shù)列中的項(xiàng)的是an1n1（A）（C）123（B）（D）4．已知某生物技術(shù)公司研制出一種新藥，并進(jìn)行了臨床試驗(yàn)，該臨床試驗(yàn)的成功概率是失敗概率的2倍．若記一次試驗(yàn)中成功的次數(shù)為X，則隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為2312（A）（C）（B）（D）13165．用充氣筒吹氣球，氣球會(huì)鼓起來(lái)，假設(shè)此時(shí)氣球是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的球體，且氣球的體積V(r)隨著氣球半徑3r=V(r)=r3r相對(duì)于的瞬時(shí)變化率為的增大而增大．當(dāng)半徑r1時(shí)，氣球的體積（B）2（D）843（A）（C）46．某人需要先從A地到B地，再同站轉(zhuǎn)車趕到C地，他能夠選擇的高鐵車次的列車時(shí)刻表如下表所示，那么此人這天乘坐高鐵列車從A地到C地不同的乘車方案總數(shù)為A地至B地高鐵列車時(shí)刻表B地至C地高鐵列車時(shí)刻表車次G87G91G93發(fā)車時(shí)間07:00到站時(shí)間08:01車次發(fā)車時(shí)間08:25到站時(shí)間G653G50110:3112:3007:5508:5609:2409:0010:0110:26（A）9（C）47．正態(tài)分布在概率和統(tǒng)計(jì)中占有重要地位，它廣泛存在于自然現(xiàn)象、生產(chǎn)和生活實(shí)踐之中．在現(xiàn)實(shí)生活N(,2)，可以證明，對(duì)給定的kN，P(?k≤X≤+k)是一個(gè)只與k有關(guān)的定值，部分結(jié)果如下圖所示：（B）6（D）3中，很多隨機(jī)變量都服從或近似服從正態(tài)分布．假設(shè)隨機(jī)變量X基本服從正態(tài)分布02)．若共有通過(guò)對(duì)某次數(shù)學(xué)考試成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，發(fā)現(xiàn)考生的成績(jī)名考生參加這次考試，則考試成績(jī)?cè)诘目忌藬?shù)大約為（A）（C）（B）（D）q=，則8．設(shè)等比數(shù)列n的公比為，前項(xiàng)和為Sn．若qnS=7S=63，3611（A）（B）82（C）2（D）89．2023年5月日至日，首屆中國(guó)—中亞峰會(huì)在陜西西安成功舉行．峰會(huì)期間，甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)承擔(dān)A,B,C,D共4項(xiàng)翻譯工作，每名同學(xué)需承擔(dān)1項(xiàng)翻譯工作，每項(xiàng)翻譯工作至少需要1名同學(xué)，則不同的安排方法有（A）480種（C）120種（B）240種（D）4種52?++x(ax2a,x10．設(shè)函數(shù)f(x)=給出下列四個(gè)結(jié)論：a|x?2|,x≥①當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)f(x)有三個(gè)極值點(diǎn)；②當(dāng)0a1時(shí)，函數(shù)f(x)有三個(gè)極值點(diǎn)；③aR，x=2是函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn)；a+1④aR，x=不是函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)．2其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（A）①②（B）②③（D）②④（C）①④第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。1．在(x?)6的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)是x12．某電子設(shè)備廠所用的元件由甲、乙兩家元件廠提供，根據(jù)以往的記錄，這兩個(gè)廠家的次品率分別為0.01，0.03，提供元件的份額分別為0.80，0.20．設(shè)這兩個(gè)廠家的產(chǎn)品在倉(cāng)庫(kù)里是均勻混合的，且無(wú)任何區(qū)分的標(biāo)志，現(xiàn)從倉(cāng)庫(kù)中隨機(jī)取出一個(gè)元件，取到的元件是次品的概率為．f(x)xe?x1在區(qū)間=13．已知函數(shù)[0,m]上單調(diào)遞增，則m的最大值為．14．投擲一枚質(zhì)地并不均勻的硬幣，結(jié)果只有正面和反面兩種情況，記每次投擲結(jié)果是正面的概率為p(0pf(p)=f(p)，則．現(xiàn)在連續(xù)投擲該枚硬幣10次，設(shè)這10次的結(jié)果恰有2次是正面的概率為p=f(p)；函數(shù)取最大值時(shí)，．a(chǎn)2=k+k(k=a=a(a0)1，ak115.設(shè)n是正整數(shù)，且n≥2，數(shù)列k，k滿足：n1+n?，k=(k=，數(shù)列k的前k項(xiàng)和為．給出下列四個(gè)結(jié)論：Skkn①數(shù)列k為單調(diào)遞增數(shù)列，且各項(xiàng)均為正數(shù)；②數(shù)列k為單調(diào)遞增數(shù)列，且各項(xiàng)均為正數(shù)；11③對(duì)任意正整數(shù)k④對(duì)任意正整數(shù)k，Sk=?；ak1，Sk1．其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是．三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程。1614分）已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+b在x=?2時(shí)取得極大值4．（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a,b的值；（Ⅱ）求函數(shù)f(x)在區(qū)間[?上的最值．1713分）下圖是我國(guó)20142022年歲及以上老人人口數(shù)（單位：億）的折線圖．注：年份代碼1-9分別對(duì)應(yīng)年份2014-2022．（Ⅰ）由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)（結(jié)果精確到0.01）加以說(shuō)明；（Ⅱ）建立y關(guān)于t的回歸方程（系數(shù)精確到0.012023年我國(guó)65歲及以上老人人口數(shù)（單位：億999參考數(shù)據(jù)：i=15.41，ty=，(iy)2=，?153.873．．iii1i1i1nnt?t)(y?y)ty?ntyiiii參考公式：相關(guān)系數(shù)r=i1=i1nnnnti?t)2(i?y)2(ti?t)2(i?y)2i1i1i1i1nt?ty?y)ii回歸方程y=a+中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：b，a=y?b．nti?t)2i118.（本小題14分）數(shù)列a的前n項(xiàng)和為Sn，其中nN，11．從條件①、條件②、條件③中選擇一個(gè)作為已知，=n使得數(shù)列唯一確定，并解答以下問(wèn)題：（Ⅰ）求a的通項(xiàng)公式；n（Ⅱ）設(shè)b=a+2n，求b+123++．nn條件①：an+1an2；條件②：=+2an+1=an+an+2；條件③：Sn=n2+c(cR)．注：如果選擇條件①、條件②、條件③分別作答，按第一個(gè)解答計(jì)分．1914分）2023年4月18日，第二十屆上海國(guó)際汽車工業(yè)展覽會(huì)在上海國(guó)家會(huì)展中心舉行，本次展會(huì)以“擁抱汽車行業(yè)新時(shí)代”為主題．在今年的展會(huì)中，社會(huì)各界不僅能看到中國(guó)市場(chǎng)的強(qiáng)大活力，也能近距離了解各國(guó)產(chǎn)汽車自主品牌在推動(dòng)“智電化”和可持續(xù)發(fā)展進(jìn)程中取得的最新成果．為了解參觀者對(duì)參展的某款國(guó)產(chǎn)新能源汽車的滿意度，調(diào)研組從這款新能源汽車的參觀者中隨機(jī)抽取了50名參觀者作為樣本進(jìn)行問(wèn)卷測(cè)評(píng)，記錄他們的評(píng)分，問(wèn)卷滿分100分．問(wèn)卷結(jié)束后，將數(shù)據(jù)分成6組：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并整理得到如下頻率分布直方圖．a(chǎn)（Ⅰ）求圖中的的值；（Ⅱ）在樣本中，從分?jǐn)?shù)在60分以下的參觀者中隨機(jī)抽取3人，用X表示分?jǐn)?shù)在[50,60）中的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；（Ⅲ）在頻率分布直方圖中，用每一個(gè)小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)作為該組參觀者評(píng)分的平均數(shù)，估計(jì)本次車展所有參觀者對(duì)這款新能源汽車評(píng)分的平均數(shù)為m，若中位數(shù)的估計(jì)值為nm與n的大小關(guān)系.（直接寫出結(jié)果）2015分）已知函數(shù)()efx=x?ax?aR．)（Ⅰ）求曲線y=f(x)在點(diǎn)f(0)處的切線方程；()（Ⅱ）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；e與1.01的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由．（Ⅲ）判斷2115分）正實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合Aa,a,,an}(n≥2)，定義AAaa∣a,aj==i}.當(dāng)集合AAA,且中12ijin(n?個(gè)數(shù)時(shí)，稱集合A具有性質(zhì).的元素恰有2（Ⅰ）判斷集合A2==是否具有性質(zhì)；1（Ⅱ）若集合A具有性質(zhì)，且A中所有元素能構(gòu)成等比數(shù)列，AA中所有元素也能構(gòu)成等比數(shù)列，求集合A中的元素個(gè)數(shù)的最大值；AA（Ⅲ）若集合A具有性質(zhì)，且最大值？若存在，求出該最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．中的所有元素能構(gòu)成等比數(shù)列．問(wèn)：集合A中的元素個(gè)數(shù)是否存在參考答案一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．題號(hào)答案12345678910DBCAACBBCB二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．．?12．0.01413．115．①③④1545p2?p)8，14．三、解答題共6小題，共85分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程．16.（本小題14分）f(x)=x3+ax2+b，所以f'(x)=3x2+2ax．因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在x=?2時(shí)取得極大值4，所以f'(2)f(2)4．?=?=3(?2)24a?=即(?2)3+4a+b=所以a=3，b=0．…………6分（Ⅱ）因?yàn)閒'(x)=3x2+6x，??f'(x)0f(x)在(?,?2)單調(diào)遞增；所以x(,2)時(shí)，，x(?2,0)時(shí)，f'(x)0，f(x)在(?2,0)單調(diào)遞減；x時(shí)，f'(x)0，f(x)在單調(diào)遞增．?=，，，因?yàn)閒(0，f(?2)=4f(0)=0f=4所以f(x)max4，=f(x)min=0．…………14分17.（本小題13分）9t5，=(ti?t)2=60，i1n99所以t?ty?y)=ty?ti=82.57?515.41=5.52，iiiii1i1i15.5223.8730.72所以r0.99．因?yàn)閥與t的相關(guān)系數(shù)近似為0.99y與t的線性相關(guān)程度很強(qiáng)，從而可以用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系．…………6分n(t?ty?y)ii5.5260（Ⅱ）由（Ⅰ）得b==0.092．nti?t)2i115.41又因?yàn)閥=1.712，9所以ayb=??0.09251.25．所以y關(guān)于t的回歸方程為y1.250.09t．=+將2023年對(duì)應(yīng)的t10代入回歸方程得：=y=1.25+0.0910=2.15，所以預(yù)測(cè)2023年我國(guó)歲及以上老年人人口約2.15億．…13分18.（本小題14分）解：選擇條件①：an+1an2.=+（Ⅰ）因?yàn)閍n+1an2，即=+a?an=2，n+1所以數(shù)列a是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列．n所以an1(nd2n1．=+?=?…………6分（Ⅱ）因?yàn)閎=a+2n，nn所以b+b+b+123=+3+5++(2n?n?2n)==+21?22n1+n2?2．…………14分選擇條件條件③：S=n2+c(cR)．n（Ⅰ）因?yàn)镾=n2+c，且a1，=n1S=2+c=1，所以c=0．n所以當(dāng)n≥2時(shí)，anSnSn1n2?(n2=2n1；=?=??因?yàn)閚1時(shí)，=a=S=1，11所以an2nnN)．=?b=a+2n，（Ⅱ）因?yàn)閚n所以b+b+b+123=(a+a+a+123?2n)1?2=Sn+=22n1+n2?．19.（本小題14分）10(0.004+0.012+0.014+a+0.024+0.028)=1，所以a=．…………3分（Ⅱ）X的所有可能取值為1，23．C22C163P(X==P(X=2)=P(X===，8328C12621528=，83C365=．8314所以X的分布列為XP12335315594所以X的數(shù)學(xué)期望為E(X)=1+2+3=．…12分28nm（Ⅲ）20.（本小題15分）f(x)=ex?ax?1，所以fx)=ex?a．=?f(0)=0．…………14分所以f1a，又，所以曲線y=f(x)在點(diǎn)f(0)處的切線方程為y1ax．………………4分()=(?)（Ⅱ）f(x)的定義域是R，由題得f'(x)=ex?a．fx=?a，所以f(x)在R上單調(diào)遞增；0當(dāng)a≤0時(shí)，)ex當(dāng)a0時(shí)，由)exfx=?a=，解得x=lna．0x隨著的變化，f(x)與f'(x)的變化情況如下表x(?,a)a0(a,+)()f'x?+()fx↘極小值↗由表可知，()的單調(diào)遞增區(qū)間是()(a,+)；f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(?,lna)．fx綜上，當(dāng)a≤0時(shí)，a0fx在R上單調(diào)遞增；f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(a,+)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(?,lna)；當(dāng)時(shí)，．分（Ⅲ）e1.01，證明如下：當(dāng)a1時(shí)，由（Ⅱ）知函數(shù)=f(x)在區(qū)間(+)的單調(diào)遞增，x()，總有f(x)≥f(0)=0=所以，即ex≥x+1，當(dāng)且僅當(dāng)x0時(shí)取等號(hào)．令x0.01，得e0.0111.01．…………15分=+=21.（本小題15分）1具有性質(zhì)；A2不具有性質(zhì).……4分（Ⅱ）當(dāng)A中的元素個(gè)數(shù)n≥4時(shí)，因?yàn)锳中所有元素能構(gòu)成等比數(shù)列，不妨設(shè)元素依次為a,a,構(gòu)成等比數(shù)列，則aa=aa，其中a,a,a,a互不相同.1n2n112n1n12(?)nn1于是這與A具有性質(zhì)，AA中恰有C2=個(gè)元素，即任取A中兩個(gè)不同元素組成組合的兩2個(gè)數(shù)其積的結(jié)果互不相同相矛盾.當(dāng)A中的元素個(gè)數(shù)恰有3個(gè)時(shí)，取A時(shí)滿足條件，所以集合A中的元素個(gè)數(shù)最大值為3.…………8分=（Ⅲ）因?yàn)閕i=，不妨設(shè)aaaan，123所以aaaaaa.1213nn1n（1）當(dāng)n5時(shí)，aa,aa,,aa構(gòu)成等比數(shù)列，n1n12131a12aan，即a2an1=a3an?2，