專題02 分式的乘法和除法壓軸題六種模型全攻略（解析版）

專題02分式的乘法和除法壓軸題六種模型全攻略【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一分式乘法】 1【考點(diǎn)二分式除法】 2【考點(diǎn)三分式乘除混合運(yùn)算】 4【考點(diǎn)四分式乘方】 5【考點(diǎn)五含乘方的分式乘除混合運(yùn)算】 7【考點(diǎn)六分式乘除混合運(yùn)算中化簡(jiǎn)求值】 8【過關(guān)檢測(cè)】 10【典型例題】【考點(diǎn)一分式乘法】例題：（2023·浙江溫州·溫州市第八中學(xué)校考三模）計(jì)算：______．【答案】y【分析】通過提公因式法，約分化簡(jiǎn)即可．【詳解】解：原式故答案為：y．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是分式化簡(jiǎn)，掌握提公因式法是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·青海西寧·統(tǒng)考二模）計(jì)算：__________．【答案】【分析】根據(jù)分式的乘法運(yùn)算法則即可解答．【詳解】解：，故答案為；【點(diǎn)睛】本題考查了分式的乘法運(yùn)算法則，熟記分式的乘法運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）計(jì)算：_______．【答案】【分析】根據(jù)分式的乘法計(jì)算法則求解即可．【詳解】解：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的乘法，熟知相關(guān)計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)二分式除法】例題：（2023秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）計(jì)算：（1）_____________；（2）_____________．【答案】【分析】根據(jù)分式的除法計(jì)算法則求解即可．【詳解】解：（1），故答案為：；（2），故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的除法計(jì)算，正確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·廣東汕頭·校聯(lián)考二模）把式子化到最簡(jiǎn)其結(jié)果為____________．【答案】【分析】第二個(gè)分式的分子和分母先分解因式，再化除法為乘法，然后約分即可．【詳解】解：；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的乘除，熟練掌握運(yùn)算法則、正確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）計(jì)算的結(jié)果是______．【答案】【分析】利用分式的除法運(yùn)算法則計(jì)算即可得到結(jié)果．【詳解】解:，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了分式的除法，熟練掌握分式的除法運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)三分式乘除混合運(yùn)算】例題：（2023春·全國·八年級(jí)階段練習(xí)）計(jì)算：．【答案】【分析】根據(jù)分式乘除法進(jìn)行計(jì)算即可求解．【詳解】．【點(diǎn)睛】本題考查了分式乘除法運(yùn)算，熟練掌握分式的乘法運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）計(jì)算：．【答案】2【分析】根據(jù)平方差公式和分式乘除法則求解即可．【詳解】解：原式．【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用平方差公式進(jìn)行運(yùn)算以及分式乘除混合運(yùn)算，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．2．（2023秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)平方差公式，十字相乘法，完全平方公式等進(jìn)行分解因式，再計(jì)算；（2）根據(jù)平方差公式，十字相乘法，完全平方公式等進(jìn)行分解因式，再計(jì)算．【詳解】（1）原式．（2）原式．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的乘除混合運(yùn)算，正確分解因式是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．【考點(diǎn)四分式乘方】例題：（2023·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）計(jì)算．【答案】【分析】根據(jù)冪的乘方法則和積的乘方法則先算乘方，然后再算乘法即可．【詳解】解：原式．【點(diǎn)睛】本題考查分式的乘法運(yùn)算，掌握冪的乘方，積的乘方運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·江蘇·八年級(jí)期中）計(jì)算：（1）；

（2）﹣a﹣1．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）先計(jì)算分式的乘方，冪的乘方，再算分式的乘除，最后化為最簡(jiǎn)分式；（2）先通分，利用公式展開，再合并同類項(xiàng)．【詳解】解：（1）；

=，=，=；（2），=，=，=，=．【點(diǎn)睛】本題考查分式的加減，分式的乘方，冪的乘方，分式乘除混合運(yùn)算，掌握分式的加減，分式的乘方，冪的乘方，分式乘除混合運(yùn)算是解題關(guān)鍵．2．（2023秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）計(jì)算：(1)(2)(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）根據(jù)分式的乘方運(yùn)算法則計(jì)算即可；（2）先計(jì)算分式的乘方，再計(jì)算分式的除法；（3）根據(jù)分式的乘方運(yùn)算法則計(jì)算即可；（4）先計(jì)算分式的乘方，再計(jì)算分式的乘法．【詳解】（1）解：．（2）解：．（3）解：．（4）解：．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的運(yùn)算，熟練掌握分式的乘方運(yùn)算法則和分式的乘除運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)五含乘方的分式乘除混合運(yùn)算】例題：（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）計(jì)算：【答案】【分析】先計(jì)算乘方運(yùn)算，再把除法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算，然后約分即可．【詳解】解：【點(diǎn)睛】本題考查了含乘方的分式乘除法，解本題的關(guān)鍵在熟練掌握其運(yùn)算法則．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）先將除法轉(zhuǎn)化為乘法，再約分即可得出答案；（2）先利用完全平方公式整理，將除法化為乘法，最后約分即可得出答案．【詳解】（1）（2）【點(diǎn)睛】本題考查了分式的乘除，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）計(jì)算：（1）；（2）；（3）?÷；（4）．【答案】（1）；（2）1；（3）；（4）【分析】（1）先計(jì)算乘方，同時(shí)將除法化為乘法，再計(jì)算乘法；（2）先計(jì)算乘方，將除法化為乘法，再計(jì)算乘法；（3）先將除法化為乘法，將分子與分母分解因式，再計(jì)算乘法；（4）將分子與分母分解因式，除法化為乘法，計(jì)算乘法即可．【詳解】解：（1）原式=）=；（2）原式==1；（3）原式==；（4）原式==．【點(diǎn)睛】此題考查分式的計(jì)算，掌握分式的乘方計(jì)算法則，乘除法計(jì)算法則，因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)六分式乘除混合運(yùn)算中化簡(jiǎn)求值】例題：（2023秋·廣東肇慶·八年級(jí)統(tǒng)考期末）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．【答案】，【分析】將除法變成乘法，再算乘法，最后代入求出即可．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，原式．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的除法運(yùn)算，能正確根據(jù)分式的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)是解此題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）化簡(jiǎn)并求值：，其中．【答案】，9【分析】先對(duì)各分式進(jìn)行因式分解，然后將除法變?yōu)槌朔ǎM(jìn)行化簡(jiǎn)，再將的值代入化簡(jiǎn)后的式子計(jì)算即可．【詳解】解：，∵，∴原式．【點(diǎn)睛】本題考查分式的化簡(jiǎn)求值，解答本題的關(guān)鍵是明確分式乘除法的運(yùn)算法則．2．（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．【答案】，【分析】先利用分式的除法法則將原式變形，再利用分式的乘法法則進(jìn)行化簡(jiǎn)，最后把的值代入計(jì)算即可．【詳解】解：，當(dāng)時(shí)，原式．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的乘法、除法法則和求值．能正確根據(jù)分式的乘除法法則進(jìn)行化簡(jiǎn)是解題的關(guān)鍵．【過關(guān)檢測(cè)】一、選擇題1．（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）計(jì)算的結(jié)果是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用乘方的意義計(jì)算即可得到結(jié)果．【詳解】解：，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的乘方，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．2．（2023·山東濟(jì)南·三模）化簡(jiǎn)代數(shù)式計(jì)算的結(jié)果為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用平方差公式將變形為，再將分式除法變形為乘法，最后約分化簡(jiǎn)即可．【詳解】解：，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查分式的化簡(jiǎn)，解題的關(guān)鍵是掌握平方差公式及分式的運(yùn)算法則．3．（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）分式運(yùn)算的結(jié)果是，則□處的運(yùn)算符號(hào)是（）A．+ B．﹣ C．× D．÷【答案】D【分析】根據(jù)分式的乘除運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：，，，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查分式的混合運(yùn)算，熟練運(yùn)用分式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．4．（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）下列計(jì)算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)分式的乘除運(yùn)算法則逐一判斷即可；【詳解】解：A：，故A錯(cuò)誤；B：，故B錯(cuò)誤；C：，故C正確；D：，故D錯(cuò)誤．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的乘除運(yùn)算，熟記運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．5．（2023秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）下列各式：①；②；③；④．其中計(jì)算結(jié)果相等的是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．③④【答案】B【分析】先根據(jù)分式的運(yùn)算法則計(jì)算各式，然后可得答案．【詳解】解：①，②，③，④；所以，計(jì)算結(jié)果相等的是①③；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的運(yùn)算，熟練掌握分式的運(yùn)算法則、正確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．二、填空題6．（2023·吉林白城·統(tǒng)考一模）計(jì)算：______．【答案】【分析】利用分式的乘法法則計(jì)算即可．【詳解】解：原式．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的運(yùn)算，掌握分式的乘法法則是解決本題的關(guān)鍵．7．（2023秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）計(jì)算：_______________；

_______________．【答案】【分析】根據(jù)分式的乘方運(yùn)算法則求解即可．【詳解】解：，；故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的乘方運(yùn)算，熟練掌握分式的乘方運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．8．（2023春·浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）計(jì)算_____．【答案】【分析】先計(jì)算分式的乘方，再根據(jù)分式的乘除混合運(yùn)算法則解答即可．【詳解】解：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的乘除混合運(yùn)算以及分式的乘方運(yùn)算，屬于?？碱}型，熟練掌握分式的乘除運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．9．（2023秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）計(jì)算：（1）__________；（2）__________；（3）__________；（4）__________．【答案】/【分析】（1）根據(jù)分式的乘法計(jì)算法則求解即可；（2）根據(jù)分式的乘法計(jì)算法則求解即可；（3）根據(jù)分式的除法計(jì)算法則求解即可；（4）根據(jù)分式的乘法計(jì)算法則求解即可．【詳解】解：（1），故答案為：；（2），故答案為：；（3），故答案為：；（4），故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的乘法和除法計(jì)算，熟知相關(guān)計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵．10．（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）我們定義一種新運(yùn)算：記，如果設(shè)為代數(shù)式，則___________（用含的代數(shù)式表示）．【答案】【分析】根據(jù)可得，據(jù)此把變形求解即可．【詳解】∵，∴可變形為：，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了新定義，以及分式的乘除混合運(yùn)算，解答本題的關(guān)鍵是明確分式混合運(yùn)算的計(jì)算方法．三、解答題11．（2023春·浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）分式的分子和分母分別相乘，再進(jìn)行約分即可；（2）把除法變成乘法，再進(jìn)行約分即可；（3）先分解因式，再進(jìn)行約分即可；（4）先分解因式，同時(shí)把除法變成乘法，再進(jìn)行約分即可．【詳解】（1）原式；（2）原式；（3）原式；（4）原式．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的乘除法的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的計(jì)算能力．掌握分式的乘除運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.12．（2023春·浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）計(jì)算下列各題：(1)(2)(3)(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）直接約分即可；（2）先把分子和分母分解因式，再把除法運(yùn)算化為乘法運(yùn)算，然后約分即可；（3）先把分子和分母分解因式，再把除法運(yùn)算化為乘法運(yùn)算，然后約分即可；（4）先把分子和分母分解因式，再把除法運(yùn)算化為乘法運(yùn)算，然后約分即可．【詳解】（1）原式；（2）原式；（3）原式；（4）原式【點(diǎn)睛】本題考查了分式的乘除法：分式的乘法法則：分式乘分式，用分子的積作積的分子，分母的積作積的分母；分式的除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘．13．（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）計(jì)算（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【分析】（1）按照分式乘除混合運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可．（2）按照分式乘除運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可．（3）分式的分子分母分別平方即可．（4）按照分式混合運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）（2）（3）（4）【點(diǎn)睛】本題考查分式的乘除法，熟練掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．14．（2023秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）計(jì)算：(1)(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）根據(jù)分式的除法計(jì)算法則求解即可；（2）（3）（4）根據(jù)分式的乘除混合計(jì)算法則求解即可．【詳解】（1）解：原式；（2）解：原式；（3）解：原式；（4）解：原式．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的除法和分式的乘除混合計(jì)算，熟知相關(guān)計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵．15．（2023春·全國·八年級(jí)期末）計(jì)算：(1)；(2)(3)(4)【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）先算分式的乘方，再算分式的除法即可；（2）將除法變成乘法，分子分母能因式分解的進(jìn)行因式分解，然后約分即可；（3）將除法變成乘法，分子分母能因式分解的進(jìn)行因式分解，然后約分即可；（4）先算分式的乘方，同時(shí)利用除法法則變形，再進(jìn)行約分即可．【詳解】（1）解：原式；（2）解：原式；（3）解：原式；（4）解：原式．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．16．（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）計(jì)算：（1）

（2）（3）

（4）【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．【分析】（1）利用完全平方公式和平方差公式進(jìn)行因式