安徽省示范高中2020高一自主招生考試數(shù)學(xué)試卷真題（含答案詳解）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁安徽省示范高中2020年自主招生考試數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，滿分50分）每小題都給出A、B、C、D四個選項(xiàng)，其中只有一個是正確的.1．如圖，若為正整數(shù)，則表示的值的點(diǎn)落在（

）A．段① B．段② C．段③ D．段④2．某情報站有、、、四種互不相同的密碼，每周使用其中的一種密碼，且每周都是從上周未使用的三種密碼中等可能地隨機(jī)選用一種，如果第1周使用種密碼，那么第3周也使用種密碼的概率是（

）A． B．0 C． D．3．已知點(diǎn)，是二次函數(shù)圖象上的兩個不同的點(diǎn)，則當(dāng)時，其函數(shù)值（

）A．2017 B．2018 C．2019 D．20204．已知關(guān)于的方程的兩個實(shí)數(shù)根為，，且，則的值為（

）A． B．4 C．或4 D．65．如圖入口進(jìn)入，沿框內(nèi)問題的正確判斷方向，最后到達(dá)的是（

）

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁6．圖2是圖1中長方體的三視圖，若用表示面積，，，則（

）

A． B． C． D．7．公元三世紀(jì)，我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的“趙爽弦圖”如圖所示，它是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形.如果大正方形的面積是125，小正方形面積是25，則（

）

A． B． C． D．8．一個容器盛滿酒精，第一次倒出10升后，用水加滿，第二次倒出6升后，再用水加滿，這時容器內(nèi)的酒精與水的體積之比為7：13，則這個容器的容積為（

）A．18升 B．20升 C．24升 D．30升9．如圖，在軸上方，平行于軸的直線與反比例函數(shù)和的圖象分別交于、兩點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作交軸于點(diǎn)，若平行四邊形的面積為12，則（

）

A．12 B．-12 C．6 D．-610．如圖，在中，于點(diǎn)，于點(diǎn)，為邊的中點(diǎn)，連接、、，則下列結(jié)論：①若，則；②若，則；③若，則為等邊三角形；④若，則.其中正確的是（

）

A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，滿分20分）11．分解因式：.12．如圖，用6個全等的三角形拼成一個內(nèi)外都是正六邊形的圖形，若，，則.13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為、、、，點(diǎn)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得點(diǎn)，點(diǎn)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得點(diǎn)，點(diǎn)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得點(diǎn)，點(diǎn)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得點(diǎn)，點(diǎn)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得點(diǎn)，重復(fù)操作依次得到點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為.

14．盒子里有36個紅球和白球，甲、乙、丙各拿了其中的12個（都含有紅球與白球）.已知甲拿的紅球數(shù)是乙的白球數(shù)的2倍，乙拿的紅球數(shù)是丙的白球數(shù)的2倍.又知紅球的總數(shù)是奇數(shù)，則盒子里白球的個數(shù)一共有.三、解答題（本大題共6小題，共80分）15．某學(xué)校在大課間舉行跳繩活動，為此學(xué)校準(zhǔn)備購置長、中、短三種跳繩若干，要求中跳繩的條數(shù)是長跳繩的2倍，且短跳繩的條數(shù)不超過長跳繩的6倍.已知長跳繩單價是20元，中跳繩的單價是15元，短跳繩的單價是8元.(1)若學(xué)校準(zhǔn)備用不超過2300元的現(xiàn)金購買200條長、中、短跳繩，問學(xué)校有幾種購買方案可供選擇?(2)若學(xué)校準(zhǔn)備恰好用3000元的現(xiàn)金購買條長、中、短跳繩，求的最大值.16．解方程：17．如圖①是一個小箱子放在桌面上的示意圖，這部分可彎曲，在彎曲時形成一段圓弧，設(shè)圓弧所在圓的圓心為，線段，均與圓弧相切，點(diǎn)，分別為切點(diǎn)，小箱子蓋面與桌面平行，此時距離桌面14cm，已知的長為10cm，的長為25.2cm.

(1)如圖①，求弧的長度（結(jié)果保留）；(2)如圖②，若小箱子打開后弧所對的圓心角度數(shù)為60°，求小箱子頂端到桌面的距離（結(jié)果保留一位小數(shù)）.（參考數(shù)據(jù)：）18．已知點(diǎn)和直線，則點(diǎn)到直線的距離證明可用公式計(jì)算.例如：求點(diǎn)到直線的距離.解：因?yàn)橹本€，其中，.所以點(diǎn)到直線的距離為：.根據(jù)以上材料，解答下列問題：(1)求點(diǎn)到直線的距離；(2)已知的圓心坐標(biāo)為，半徑為2，判斷與直線的位置關(guān)系并說明理由.19．如圖，在中，，，以為直徑的半圓交于點(diǎn)，點(diǎn)是弧上不與、重合的任意一點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn).

(1)求證：；(2)若，且點(diǎn)是弧的中點(diǎn)，求的長度；(3)在（2）的條件下，求陰影部分面積.（結(jié)果保留）.20．如圖，在矩形中，，，點(diǎn)，在對角線上，且，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，以、為鄰邊作平行四邊形，設(shè).

(1)若時，求此時的長；(2)若點(diǎn)，，在同一直線上時，求此時的值；(3)若經(jīng)過點(diǎn)的直線將矩形的面積平分，同時該直線將平行四邊形的面積分成1：3的兩部分，求此時的值.答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁1．B【分析】化簡式子，再由為正整數(shù)求出取值范圍即可得解.【詳解】，又為正整數(shù)，，則表示的值的點(diǎn)落在段②.故選：B2．A【分析】根據(jù)題意分析第二周，第三周的概率即可.【詳解】第一周使用A，第二周使用A的概率，第三周使用A的概率.故選：A3．C【分析】根據(jù)二次函數(shù)的對稱性得到，代入計(jì)算得到答案.【詳解】根據(jù)二次函數(shù)對稱性得到，故，當(dāng)時，其函數(shù)值.故選：C.4．B【分析】根據(jù)得到，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，解得答案.【詳解】，則，解得，，，則，解得或（舍）.故選：B.5．D【分析】舉反例得到第一個命題為假，舉反例得到第二個命題為假，得到答案.【詳解】對于第一個命題：如圖所示，和滿足，，，三角形不全等，假命題；

對于第二個命題：如圖所示，等腰，是上一點(diǎn)（非中點(diǎn)），將翻轉(zhuǎn)拼接成圖形，滿足，，但圖形不是平行四邊形，為假命題

故選：D.6．A【分析】根據(jù)主視圖和左視圖面積計(jì)算底面長和寬，得到面積.【詳解】，高為，則底面長為；，高為，則底面寬為；.故選：A7．A【分析】計(jì)算兩個正方形的邊長，計(jì)算直角三角形的長的一條直角邊長為，再確定，，計(jì)算得到答案.【詳解】大正方形的邊長為，小正方形的邊長為，設(shè)直角三角形的長的一條直角邊長為，則，解得或（舍），故，，則.故選：A.8．B【分析】設(shè)這個容器容積為x升，由題意列出分式方程，解方程再檢驗(yàn)即可.【詳解】設(shè)這個容器容積為x升，由題意列方程：，整理得：，解得：或（舍去），經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解.所以這個容器的容積為20升.故選：B9．B【分析】設(shè)，，，計(jì)算得到答案.【詳解】設(shè)，，則，即.故選：B.10．C【分析】利用相似得到①②正確，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到④正確，當(dāng)時不成立，③錯誤，得到答案.【詳解】對①：，且，則，同理，故，，，即，正確；對②：，且，則，同理，故，，，即，正確；對③：，，則為等邊三角形，若為等邊三角形，則，，則為等邊三角形，當(dāng)時不成立，錯誤；對④：，則，正確；故選：C.11．【分析】直接分解因式得到答案.【詳解】，故答案為：.12．【分析】過B作于P，則，解直角三角形即可得到邊長，利用面積比等于邊長比的平方結(jié)論求解.【詳解】過B作于P，如圖，

則，，，，，，，，，.故答案為：13．【分析】計(jì)算各點(diǎn)坐標(biāo)，得到周期為，則，得到答案.【詳解】根據(jù)題意：，，，，，，周期為，則，故坐標(biāo)為.故答案為：.14．【分析】設(shè)乙的白球數(shù)為，則可以得到甲乙丙的紅白球數(shù)，得到為奇數(shù)，，得到答案.【詳解】設(shè)乙的白球數(shù)為，則可以得到如下表格：甲乙丙紅白則為奇數(shù)，則，紅球總數(shù)為，則白球總數(shù)為.故答案為：15．(1)4(2)【分析】（1）設(shè)長繩數(shù)量為，則中繩數(shù)量為，短繩數(shù)量為，列出不等式得到，解得答案.（2）設(shè)長繩數(shù)量為，則中繩數(shù)量為，短繩數(shù)量為，得到且，得到，計(jì)算得到答案.【詳解】（1）設(shè)長繩數(shù)量為，則中繩數(shù)量為，短繩數(shù)量為，，解得，故.共有4種方案.（2）設(shè)長繩數(shù)量為，則中繩數(shù)量為，短繩數(shù)量為，則，整理得到，故，解得，，是的倍數(shù)，故當(dāng)時為最小值，此時最大為.16．【分析】確定，變換得到，證明得到答案.【詳解】，則，，，整理得到，，故，即方程的解為.17．(1)(2)【分析】（1）直接根據(jù)公式計(jì)算弧長得到答案.（2）過點(diǎn)作于，于，計(jì)算圓弧對應(yīng)的半徑為，確定，，，相加得到答案.【詳解】（1）設(shè)圓弧的半徑為，則，故，弧的長度為.（2）如圖所示：過點(diǎn)作于，于，設(shè)圓弧對應(yīng)的半徑為，則，，，，，，，，故.18．(1)(2)相切，理由見解析【分析】（1）直接利用公式計(jì)算得到答案.（2）計(jì)算圓心到直線的距離等于半徑，得到答案.【詳解】（1）點(diǎn)到直線的距離為.（2）圓心到直線的距離為，故圓心到直線的距離等于半徑，故直線與圓相切.19．(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）利用直徑所對的圓周角是直角，可得，再應(yīng)用同角的余角相等可得，易得，可得證；（2）過F作于H，應(yīng)用等弧所對的圓周角相等得，則，求出，則，可求出DF的長；（3）根據(jù)陰影面積為扇形與三角形面積的差求解.【詳解】（1），，，是的直徑，，，，，，，，.（2）過作于，如圖，

點(diǎn)是弧的中點(diǎn)，，，，，，即，，，即，，；（3）陰影部分面積.20．(1)(2)(3)或【分析】（1）計(jì)算，則，計(jì)算得到答案.（2）確定，根據(jù)