2022北京懷柔區(qū)高二（上）期末數(shù)學(xué)試題及答案

2022北京懷柔高二（上）期末

數(shù)學(xué)

一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分,共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。）

1.（4分）直線x-y+l=0的傾斜角為（）

A.45°B.30°C.45°D.135°

2.（4分）圓（x-分+阿=1的圓心為（）

A.(0,1)B.(0,-1)C.(-1,0)D.(1,0)

3.（4分）給出下列判斷，其中正確的是（）

A.三點(diǎn)唯一確定一個(gè)平面

B.一條直線和一個(gè)點(diǎn)唯一確定一個(gè)平面

C.兩條平行直線與同一條直線相交，三條直線在同一平面內(nèi)

D.空間兩兩相交的三條直線在同一平面內(nèi)

4.(4分)已知向量a=(3,0,-4),貝a|=()

A.5B.6C.7D.8

5.（4分）已知圓柱的底面半徑是1,高是2,那么該圓柱的側(cè)面積是（）

A.2B.7iC.2〃D.4〃

22

6.（4分）已知橢圓三+乙=1,那么其離心率為（）

2516

433

A.-B.-C.-D.1

5543

7.（4分）若一個(gè)正方體的全面積是72,則它的對(duì)角線長(zhǎng)為（）

A.2#>B.12C.V6D.6

8.（4分）已知拋物線方程丁=2了，那么其準(zhǔn)線方程是（）

.1?11

A.x=——B.y=—C.x=—D.y=

2222

9.（4分）點(diǎn)（1,1）到直線ax+2y+2=0的距離為2,則。的值為（)

QQ

A.0B.-C.0或2D.0或一號(hào)

333

10.(4分)已知Q=(X,4,2),Z?=(3,y,5),若〃_1人，則/+產(chǎn)的取值范圍為（)

A.[2,+8)B.[3,+oo)C.[4,+8)D.[5,+oo)

二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分，請(qǐng)把結(jié)果填在答題紙上的相應(yīng)位置。）

11.（5分）雙曲線［-/=1的實(shí)軸長(zhǎng)為一.

12.（5分）經(jīng)過(guò)A（l,0）,2（0,后）兩點(diǎn)的直線斜率為

13.(5分)過(guò)點(diǎn)(1,0)且與直線2x-y-1=0平行的直線/的方程是—.

14.(5分)若4-2,3),8(3,-2),C(l,m)三點(diǎn)共線，則〃?的值為.

22

15.(5分)若點(diǎn)。和點(diǎn)尸分別為橢圓乙+工=1的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)夕為橢圓上的任意一點(diǎn)，則OP."的最大值

43

為-,

三、解答題(本大題共6小題，共85分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步聚或證明過(guò)程.)

16.(13分)已知直線/經(jīng)過(guò)點(diǎn)〃(-1,2),且滿足下列條件，求相應(yīng)/的方程.

(I)過(guò)(0,1)點(diǎn)；

(II)與直線2x+y+5=0垂直.

17.(14分)如圖，在三棱錐V-48c中，平面VAC_L平面ABC,AVAC,AABC都是等腰直角三角形，

AB=BC,AC=VC,M,N分別為E4,VB的中點(diǎn).

(I)求證：48//平面。3；

(II)求證：AB_L平面VBC.

22—

18.(13分)已知雙曲線工-2=13>0)的右焦點(diǎn)與拋物線y2=2px(〃>0)的焦點(diǎn)相同，且過(guò)點(diǎn)(迷，1).

3b~

(1)求雙曲線的漸近線方程；

(2)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

19.(15分)已知點(diǎn)A(-3,0),B(l,0),線段AB是圓M的直徑.

(I)求圓M的方程；

(II)過(guò)點(diǎn)(0,2)的直線/與圓M相交于D,E兩點(diǎn)，且|。￡|=26，求直線/的方程.

20.(15分)如圖，在正方體ABCD-ABCR中，E是棱。R的中點(diǎn).

(I)求直線3E與平面A所成角的正弦值；

(II)在棱GS上是否存在一點(diǎn)尸，使百尸//平面ABE?證明你的結(jié)論.

22萬(wàn)

21.（15分）已知橢圓C:\+與=1（。>6>0）的離心率為又過(guò)點(diǎn)（2四，0）.

/tr2

（I）求橢圓C的方程；

（II）四邊形4BC。的頂點(diǎn)在橢圓C上，且對(duì)角線AC,8。均過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)。，若七c?&?=；，求。4-O2的取值范

圍.

參考答案

一、選擇題(本大題共10小題，每小題4分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。)

1.【分析】根據(jù)直線的方程求出斜率，再求傾斜角.

【解答】解：直線x7+l=0的斜率為4=1,所以傾斜角為。=45。.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線方程的斜率和傾斜角的計(jì)算問(wèn)題，是基礎(chǔ)題.

2?【分析】直接利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，寫(xiě)出圓的圓心坐標(biāo)即可.

【解答】解：圓(尤-1)?+y2=l的圓心為(1,0).

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.

3.【分析】根據(jù)平面的基本性質(zhì)及其推論分別判斷即可.

【解答】解：對(duì)于A，三點(diǎn)共線時(shí)，平面不唯一，故A錯(cuò)誤，

對(duì)于8,點(diǎn)在直線上時(shí)，平面不唯一，故8錯(cuò)誤，

對(duì)于C,兩條平行直線與同一條直線相交，三條直線在同一平面內(nèi)，故C正確，

對(duì)于D,三直線過(guò)同一點(diǎn)時(shí)，可不在同一平面內(nèi)，故。錯(cuò)誤，

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面的基本定理及其推論，是基礎(chǔ)題.

4.【分析】由向量模的坐標(biāo)運(yùn)算求解即可.

【解答】解：因?yàn)橄蛄俊?(3,0,-4),

則|。|=532+。2+(-4)2=5.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查向量模的坐標(biāo)運(yùn)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

5?【分析】利用圓柱側(cè)面積公式直接求解.

【解答】解：圓柱的底面半徑是1,高是2,

則該圓柱的側(cè)面積為：

S=271x1x2=44.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓柱側(cè)面積的求法，考查圓柱側(cè)面積公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

6?【分析】利用橢圓方程，求解a,b,推出c,然后求解離心率即可.

22

【解答】解：橢圓工+乙=1,可得a=5,b=4,則c=3,

2516

所以橢圓的離心率為：e=—=—.

a5

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，離心率的求法，是基礎(chǔ)題.

7.【分析】求出正方體的邊長(zhǎng)即可.

【解答】解：設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為a,則有6/=72,解得/=12,

故正方體的對(duì)角線長(zhǎng)為歷=6,

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方體的對(duì)角線的計(jì)算，屬于易做題.

8.【分析】直接利用拋物線方程，求解準(zhǔn)線方程即可.

【解答】解：拋物線方程y2=2x,那么其準(zhǔn)線方程是x=-;.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，準(zhǔn)線方程的求法，是基礎(chǔ)題.

9.【分析】利用點(diǎn)到直線的距離公式直接求解.

【解答】解：點(diǎn)(1,1)至I」直線ax+2y+2=0的距離為2,

.|a+2+2|

,?樂(lè)T

解得a=0或a=--.

3

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查實(shí)數(shù)值的求法，考查點(diǎn)到直線的距離公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

io.【分析】由題意，利用兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)，兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式，求得V+y的取值范

圍.

【解答】解：a=(x,4,2),/?=(3,y,5),a-Lb,

a-b=3x+4y+lQ=Q,艮f13%+4y+10=0.

則x2+y2的取值表示直線上的點(diǎn)到原點(diǎn)O的距離的平方，

故當(dāng)垂直于直線3x+4y+10=0時(shí)，/+丁的取得最小值，且它沒(méi)有最大值.

由于點(diǎn)。到直線3x+4y+10=0的距離為d=10^^=2,故V+尸的取得最小值為4,

故d+y2的取值范圍為［4,+co),

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)，兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題(本大題共5小題，每小題5分，共25分，請(qǐng)把結(jié)果填在答題紙上的相應(yīng)位置。)

11.【分析】直接利用雙曲線的方程求解a,即可得到實(shí)軸長(zhǎng).

【解答】解：雙曲線必=1,可得a=2,所以雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為4.

故答案為：4.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，實(shí)軸長(zhǎng)的求法，是基礎(chǔ)題.

12?【分析】把兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入公式左=*工，計(jì)算即可求得結(jié)論.

【解答】解：直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,O),B(0,百)，

直線的斜率為k=3二^=-V3,

0-1

故答案為：-石.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線過(guò)兩點(diǎn)求斜率的問(wèn)題，是基礎(chǔ)題.

13?【分析】設(shè)與直線2%-〉-1=0平行的直線方程為2x-y+m=0,把點(diǎn)(1,0)代入解出加即可得出.

【解答】解：設(shè)與直線2x-y-l=0平行的直線方程為2x-y+m=0,

把點(diǎn)(1,0)代入可得：2-0+/篦=0,解得〃z=-2.

因此所求的直線方程為：2x-y-2=0,

故答案為：2x-y-2=Q.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相互平行的直線斜率之間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

14?【分析】根據(jù)經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的直線斜率的公式，分別計(jì)算出直線AB與直線AC的斜率，而A、B、C三點(diǎn)共線，故

直線AB與直線AC的斜率相等，由此建立關(guān)于m的方程，解之即可得到實(shí)數(shù)機(jī)的值.

【解答】解：A(-2,3),2(3,-2),

直線AB的斜率尤=士？=-1

3+2

同理可得：直線AC的斜率心=狀

-B、C三點(diǎn)共線，直線AC的斜率

二直線與直線AC的斜率相等，即匕=后，

得—-=-1,解之得m=0

1+2

故答案為：0

【點(diǎn)評(píng)】本題給出三點(diǎn)共線，求參數(shù)機(jī)的值，著重考查了利用直線斜率公式解決三點(diǎn)共線的知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.

15?【分析】設(shè)P(x,y),由數(shù)量積運(yùn)算及點(diǎn)P在橢圓上可把OP."表示為x的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可求其

最大值.

【解答】解：設(shè)尸(x,y),

則。戶?/P=(x,y).(x+l,y)=x2+x+y2,

3ii

又點(diǎn)P在橢圓上，所以/+元+/=/+工+?—巳%2)=一/+%+3=一(％+2y+2,

444

又—2x-2,

所以當(dāng)尤=2時(shí)，((X+2)2+2取得最大值為6,即。尸,嚴(yán)的最大值為6,

故答案為：6.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算、橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，屬中檔題.

三、解答題(本大題共6小題，共85分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步聚或證明過(guò)程.)

16?【分析】(I)利用兩點(diǎn)式方程能求出直線/的方程.

(II)與直線2x+y+5=0垂直的直線的方程的斜率左=g,利用點(diǎn)斜式方程能求出經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(-1,2)與直線

2犬+y+5=0垂直的直線方程.

【解答】解：(I)直線/經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(-1,2),(0,1)點(diǎn)，

則直線/的方程為2匚=2二L,

x-1-0

整理得：x+y-1=0.

(II)與直線2x+y+5=0垂直的直線的方程的斜率左=g,

經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(-l,2)與直線2x+y+5=0垂直的直線方程為：

y-2=g(x+i)，

整理得x-2y+5=0.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線方程的求法，考查兩點(diǎn)式方程、點(diǎn)斜式方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

17?【分析】(I)推導(dǎo)出MN//A8,由此能證明AB//平面CMN.

(II)推導(dǎo)出AB_LBC,VC±AC,從而VC_L平面A8C,由此能證明AB_LKC,進(jìn)而根據(jù)線面垂直的判定即可證

明.

【解答】證明：(I)M,N分別為VA,V8的中點(diǎn)，

MN//AB,

ABC平面CMN,MNu平面CMN,

AB//平面CMN.

(ID,AABC和AVAC均是等腰直角三角形，

AB=BC,AC=CV=2.,M,N分別為VA,VB的中點(diǎn).

AB±BC,VC±AC,

平面VAC_L平面ABC,平面VACC平面ABC=AC,

:.VC±平面ABC,

ABu平面ABC,

ABLVC.

BCp)VC=C,

平面VBC.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面平行、線面垂直的證明，考查空間中線線、線面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能

力，是中檔題.

18?【分析】(1)由題意將過(guò)的點(diǎn)的坐標(biāo)代入雙曲線的方程可得〃的值，進(jìn)而求出雙曲線的方程，再求出雙曲線的

漸近線的方程；

(2)由(1)可得雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，再由題意可得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出p的值，可得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方

程.

【解答】解：（1）由題意雙曲線過(guò)（6，1）,所以=可得：b=l,

所以雙曲線的方程為：—-/=1,

3

所以漸近線的方程為：巖=±>,即片土*;

（2）由（1）可得雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為：（±2,0）,

由題意可得拋物線的焦點(diǎn)為：（2,0）所以可得掾=2,解得p=4,

所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：丁=舐.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查求雙曲線和拋物線的方程，屬于基礎(chǔ)題.

19.【分析】（I）利用A（-3,0）,5（1,0）,線段AB是圓M的直徑，則圓心M的坐標(biāo)為（-1,0）,又因?yàn)閨AM|=2,即

可求圓M的方程；

（II）過(guò)點(diǎn)（0,2）的直線/與圓M相交于E兩點(diǎn),且|?！陓=26，分類討論，即可求直線/的方程.

【解答】解：（I）已知點(diǎn)A（-3,0）,8（1,0）,線段AB是圓M的直徑，

則圓心M的坐標(biāo)為（一1,0）.-------------------------------------------------------------（2分）

又因?yàn)閨AM|=2,-------------------------------------------------------------（3分）

所以圓M的方程為（X+1）2+V=4.-----------------------------------------------------------（4分）

（II）由⑴可知圓加的圓心〃（-1,0）,半徑為2.

設(shè)N為。E中點(diǎn)，則\DN\=\EN\=二26=也,------------------------------------------------------------（5分）

2

貝=J4-（石］=1.--------------------------------------------------------------（6分）

當(dāng)/的斜率不存在時(shí)，/的方程為x=0,此時(shí)|AfN|=l,符合題意；---------------------------------------（7

分）

當(dāng)/的斜率存在時(shí)，設(shè)/的方程為y=fcr+2,由題意得=1-------------------------------------------------------------

（8分）

解得左=3,-------------------------------------------------------------（9分）

4

故直線/的方程為v=±x+2,即3x-4y+8=0.-------------------------------------------------------------（10分）

4

綜上，直線/的方程為x=0或3x-4y+8=0.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題.

20.【分析】（/）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,可求BE=（-2,2,

1）,AD=（0,2,0）為平面48耳4的法向量，用向量法可求直線3E與平面488M所成角的正弦值

（〃）存在這樣的點(diǎn)尸，使4尸//平面ABE，F(xiàn)（m,2,2）（0m2）,平面AdE的一個(gè)法向量為"=（1,1,1）,

利用77?瓦尸=(1,1,1)(〃一2,2,0)=0,可求相.

【解答】解：(/)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,則8(2,0,0),E(0,2,1),所以BE=(-2,2,1),

由正方體ABC。-ABCD可知A。，平面AB瓦4，所以可取AO=(0,2,0)為平面4830的法向量,

設(shè)直線BE與平面48與A所成角為0,

4?

貝！Jsin0=|cos<BE,AD>|=.-----=—,

74+4+1x23

所以直線跖與平面ABB.A.所成角的正弦值為j；

(〃)存在這樣的點(diǎn)尸，使用廠//平面A5E.

假設(shè)棱G2上是存在一點(diǎn)尸(加，2,2)(0m2),使用///平面A/5.

由(/)知5(2,0,0),A(。，。，2),與(2,0,2),

:.BE=(-2,2,1),B\=(-2,0,2),

設(shè)平面A155的一個(gè)法向量為〃=(x,y,z),

r?n-BE=-2x+2y+z=0人皿1

則<，令x=l,貝！Jz=l,y=—,

n?=-2x+2z=02

平面ABE的一個(gè)法向量為〃=(1,I，1),

又B[F=(m-2,2,0),由=l)-(m-2,2,0)=0,

/.m-2+l+0=0,:.m=\,

.?.棱GS上是存在一點(diǎn)F，使耳尸//平面ABE.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查線面平行，線面角的求法，熟練掌握空間線線位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.

21?【分析】(I)由離心率的值可得0,6的關(guān)系，再由過(guò)的點(diǎn)的坐標(biāo)可得a的值，進(jìn)而求出b的值，求出橢圓的方

程；

(II)分直線AB的斜率存在和不存在時(shí)，設(shè)直線的方程，與橢圓的方程聯(lián)立，求出兩根之積，求出直線AC