新高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)講義之方法技巧專題07函數(shù)的性質(zhì)-單調(diào)性、奇偶性、周期性(原卷版+解析)

專題07函數(shù)的性質(zhì)——單調(diào)性、奇偶性、周期性【考點預(yù)測】1.函數(shù)的單調(diào)性（1）單調(diào)函數(shù)的定義一般地，設(shè)函數(shù)的定義域為，區(qū)間：如果對于內(nèi)的任意兩個自變量的值，當(dāng)時，都有，那么就說在區(qū)間上是增函數(shù)．如果對于內(nèi)的任意兩個自變量的值，，當(dāng)時，都有，那么就說在區(qū)間上是減函數(shù)．=1\*GB3①屬于定義域內(nèi)某個區(qū)間上；=2\*GB3②任意兩個自變量，且；=3\*GB3③都有或；=4\*GB3④圖象特征：在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左向右是上升的，減函數(shù)的圖象從左向右是下降的．（2）單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間=1\*GB3①單調(diào)區(qū)間的定義：如果函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)在區(qū)間上具有單調(diào)性，稱為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．=2\*GB3②函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)在某個區(qū)間上的性質(zhì)．（3）復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性遵從“同增異減”，即在對應(yīng)的取值區(qū)間上，外層函數(shù)是增（減）函數(shù)，內(nèi)層函數(shù)是增（減）函數(shù)，復(fù)合函數(shù)是增函數(shù)；外層函數(shù)是增（減）函數(shù)，內(nèi)層函數(shù)是減（增）函數(shù)，復(fù)合函數(shù)是減函數(shù).2．函數(shù)的奇偶性函數(shù)奇偶性的定義及圖象特點奇偶性定義圖象特點偶函數(shù)如果對于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個，都有，那么函數(shù)就叫做偶函數(shù)關(guān)于軸對稱奇函數(shù)如果對于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個，都有，那么函數(shù)就叫做奇函數(shù)關(guān)于原點對稱判斷與的關(guān)系時，也可以使用如下結(jié)論：如果或，則函數(shù)為偶函數(shù)；如果或，則函數(shù)為奇函數(shù)．注意：由函數(shù)奇偶性的定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個前提條件是：對于定義域內(nèi)的任意一個，也在定義域內(nèi)(即定義域關(guān)于原點對稱)．3．函數(shù)的對稱性(1)若函數(shù)為偶函數(shù)，則函數(shù)關(guān)于對稱．(2)若函數(shù)為奇函數(shù)，則函數(shù)關(guān)于點對稱．(3)若，則函數(shù)關(guān)于對稱．(4)若，則函數(shù)關(guān)于點對稱．4.函數(shù)的周期性（1）周期函數(shù)：對于函數(shù)，如果存在一個非零常數(shù)，使得當(dāng)取定義域內(nèi)的任何值時，都有，那么就稱函數(shù)為周期函數(shù)，稱為這個函數(shù)的周期.（2）最小正周期：如果在周期函數(shù)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么稱這個最小整數(shù)叫做的最小正周期.【方法技巧與總結(jié)】1.單調(diào)性技巧（1）證明函數(shù)單調(diào)性的步驟①取值：設(shè)，是定義域內(nèi)一個區(qū)間上的任意兩個量，且；②變形：作差變形(變形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商變形；③定號：判斷差的正負(fù)或商與的大小關(guān)系；④得出結(jié)論．（2）函數(shù)單調(diào)性的判斷方法①定義法：根據(jù)增函數(shù)、減函數(shù)的定義，按照“取值—變形—判斷符號—下結(jié)論”進(jìn)行判斷．②圖象法：就是畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象的上升或下降趨勢，判斷函數(shù)的單調(diào)性．③直接法：就是對我們所熟悉的函數(shù)，如一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等，直接寫出它們的單調(diào)區(qū)間．（3）記住幾條常用的結(jié)論：①若是增函數(shù)，則為減函數(shù)；若是減函數(shù)，則為增函數(shù)；②若和均為增(或減)函數(shù)，則在和的公共定義域上為增(或減)函數(shù)；③若且為增函數(shù)，則函數(shù)為增函數(shù)，為減函數(shù)；④若且為減函數(shù)，則函數(shù)為減函數(shù)，為增函數(shù)．2.奇偶性技巧(1)函數(shù)具有奇偶性的必要條件是其定義域關(guān)于原點對稱.(2)奇偶函數(shù)的圖象特征.函數(shù)是偶函數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱；函數(shù)是奇函數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于原點中心對稱.(3)若奇函數(shù)在處有意義，則有；偶函數(shù)必滿足.(4)偶函數(shù)在其定義域內(nèi)關(guān)于原點對稱的兩個區(qū)間上單調(diào)性相反；奇函數(shù)在其定義域內(nèi)關(guān)于原點對稱的兩個區(qū)間上單調(diào)性相同.(5)若函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，則函數(shù)能表示成一個偶函數(shù)與一個奇函數(shù)的和的形式.記，，則.(6)運算函數(shù)的奇偶性規(guī)律：運算函數(shù)是指兩個（或多個）函數(shù)式通過加、減、乘、除四則運算所得的函數(shù)，如.對于運算函數(shù)有如下結(jié)論：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶.(7)復(fù)合函數(shù)的奇偶性原來：內(nèi)偶則偶，兩奇為奇.(8)常見奇偶性函數(shù)模型奇函數(shù)：=1\*GB3①函數(shù)或函數(shù)．=2\*GB3②函數(shù)．=3\*GB3③函數(shù)或函數(shù)=4\*GB3④函數(shù)或函數(shù)．注意：關(guān)于=1\*GB3①式，可以寫成函數(shù)或函數(shù)．偶函數(shù)：=1\*GB3①函數(shù)．=2\*GB3②函數(shù)．=3\*GB3③函數(shù)類型的一切函數(shù)．④常數(shù)函數(shù)3.周期性技巧4.函數(shù)的的對稱性與周期性的關(guān)系（1）若函數(shù)有兩條對稱軸，，則函數(shù)是周期函數(shù)，且；（2）若函數(shù)的圖象有兩個對稱中心，則函數(shù)是周期函數(shù)，且；（3）若函數(shù)有一條對稱軸和一個對稱中心，則函數(shù)是周期函數(shù)，且.5.對稱性技巧（1）若函數(shù)關(guān)于直線對稱，則．（2）若函數(shù)關(guān)于點對稱，則．（3）函數(shù)與關(guān)于軸對稱，函數(shù)與關(guān)于原點對稱．【題型歸納目錄】題型一：函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用題型二：復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷題型三：利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)最值題型四：利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的范圍題型五：基本初等函數(shù)的單調(diào)性題型六：函數(shù)的奇偶性的判斷與證明題型七：已知函數(shù)的奇偶性求參數(shù)題型八：已知函數(shù)的奇偶性求表達(dá)式、求值題型九：已知奇函數(shù)+M題型十：函數(shù)的對稱性與周期性題型十一：類周期函數(shù)題型十二：抽象函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性題型十三：函數(shù)性質(zhì)的綜合【典例例題】題型一：函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用例1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若定義在R上的函數(shù)f(x)對任意兩個不相等的實數(shù)a，b，總有>0成立，則必有（

）A．f(x)在R上是增函數(shù) B．f(x)在R上是減函數(shù)C．函數(shù)f(x)先增后減 D．函數(shù)f(x)先減后增例2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域為，且對任意兩個不相等的實數(shù)，都有，則不等式的解集為（

）．A． B． C． D．例3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）的單調(diào)增區(qū)間為（

）A． B． C． D．例4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).（1）判斷在其定義域上的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義證明你的結(jié)論；（2）解關(guān)于的不等式.例5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）討論函數(shù)（）在上的單調(diào)性.【方法技巧與總結(jié)】函數(shù)單調(diào)性的判斷方法①定義法：根據(jù)增函數(shù)、減函數(shù)的定義，按照“取值—變形—判斷符號—下結(jié)論”進(jìn)行判斷．②圖象法：就是畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象的上升或下降趨勢，判斷函數(shù)的單調(diào)性．③直接法：就是對我們所熟悉的函數(shù)，如一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等，直接寫出它們的單調(diào)區(qū)間．題型二：復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷例6．（2023·全國·高三專題練習(xí)（文））函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B．C． D．例7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間是（

）A． B． C． D．例8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A． B． C． D．【方法技巧與總結(jié)】討論復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性時要注意：既要把握復(fù)合過程，又要掌握基本函數(shù)的單調(diào)性．一般需要先求定義域，再把復(fù)雜的函數(shù)正確地分解為兩個簡單的初等函數(shù)的復(fù)合，然后分別判斷它們的單調(diào)性，再用復(fù)合法則，復(fù)合法則如下：1．若，在所討論的區(qū)間上都是增函數(shù)或都是減函數(shù)，則為增函數(shù)；2．若，在所討論的區(qū)間上一個是增函數(shù)，另一個是減函數(shù)，則為減函數(shù)．列表如下：增增增增減減減增減減減增復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可簡記為“同增異減”，即內(nèi)外函數(shù)的單性相同時遞增；單性相異時遞減．題型三：利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)最值例9．（2023·河南·新鄉(xiāng)縣高中模擬預(yù)測（理））在人工智能領(lǐng)域的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中，常用到在定義域I內(nèi)單調(diào)遞增且有界的函數(shù)，即，，．則下列函數(shù)中，所有符合上述條件的序號是______．①；②；③；④．例10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）定義在上的函數(shù)對于任意的，總有，且當(dāng)時，且．（1）求的值；（2）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并證明；（3）求函數(shù)在上的最大值與最小值．例11．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).（1）判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義加以證明；（2）若，求時函數(shù)的值域.例12．（2023·山西運城·模擬預(yù)測（理））已知，函數(shù)的定義域為I，若存在，使得在上的值域為，我們就說是“類方函數(shù)”.下列四個函數(shù)中是“類方函數(shù)”的是（

）①；②；③；④.A．①② B．②④ C．②③ D．③④【方法技巧與總結(jié)】利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)最值時應(yīng)先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再求最值．常用到下面的結(jié)論：1．如果函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)，則函數(shù)在處有最大值．2．如果函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)，則函數(shù)在處有最小值．3．若函數(shù)在上是嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)，則函數(shù)在上一定有最大、最小值．4．若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)，則的最大值是，最小值是．5．若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)，則的最大值是，最小值是．題型四：利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的范圍例13．（2023·河南濮陽·一模（理））“”是“函數(shù)是在上的單調(diào)函數(shù)”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件例14．（2023·全國·江西科技學(xué)院附屬中學(xué)高三階段練習(xí)（理））已知函數(shù)若，，，且僅有1個零點，則實數(shù)m的取值范圍為（

）A． B． C． D．例15．（2023·浙江·高三學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)在區(qū)間（-∞，1]是減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A．[1，+∞） B．（-∞，1] C．[-1，+∞） D．（-∞，-1]例16．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù)，則的取值范圍（

）A． B． C． D．例17.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)（且）在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值不可能是（

）A． B． C． D．例18．（2023·山東·濟(jì)南市歷城第二中學(xué)模擬預(yù)測）函數(shù)在上是減函數(shù)，則實數(shù)的范圍是_______.例19．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如果，則的取值范圍是___________．例20．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)滿足，當(dāng)時，，且.（1）求的值，并判斷的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【方法技巧與總結(jié)】若已知函數(shù)的單調(diào)性，求參數(shù)的取值范圍問題，可利用函數(shù)單調(diào)性，先列出關(guān)于參數(shù)的不等式，利用下面的結(jié)論求解．1.若在上恒成立在上的最大值．2.若在上恒成立在上的最小值．題型五：基本初等函數(shù)的單調(diào)性例21．（2023·全國·高三階段練習(xí)（文））下列函數(shù)在上單調(diào)遞減的是（

）A． B．C． D．例22．（2023·全國·高三專題練習(xí)）下列函數(shù)中，定義域是且為增函數(shù)的是A． B． C． D．例23．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知是奇函數(shù)，且對任意且都成立，設(shè)，，，則（

）A． B． C． D．例24．（2023·山東·濟(jì)南一中模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù)，若，，（e為自然對數(shù)的底數(shù)），則（

）．A． B． C． D．【方法技巧與總結(jié)】1.比較函數(shù)值大小，應(yīng)將自變量轉(zhuǎn)化到同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)，然后利用函數(shù)單調(diào)性解決.2.求復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟為：①求函數(shù)定義域；②求簡單函數(shù)單調(diào)區(qū)間；③求復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間(同增異減).3.利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)時，通常要把參數(shù)視為已知數(shù)，依據(jù)函數(shù)圖像或單調(diào)性定義，確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間，與已知單調(diào)區(qū)間比較，利用區(qū)間端點間關(guān)系求參數(shù).同時注意函數(shù)定義域的限制，遇到分段函數(shù)注意分點左右端點函數(shù)值的大小關(guān)系.題型六：函數(shù)的奇偶性的判斷與證明例25．（2023·北京通州·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則（

）A．是偶函數(shù)，且在是單調(diào)遞增 B．是奇函數(shù)，且在是單調(diào)遞增C．是偶函數(shù)，且在是單調(diào)遞減 D．是奇函數(shù)，且在是單調(diào)遞減例26．（2023·安徽·蒙城第一中學(xué)高三階段練習(xí)（理））下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是（

）A． B． C． D．例27．（2023·廣東·二模）存在函數(shù)使得對于都有，則函數(shù)可能為（

）A． B． C． D．例28．（2023·全國·高三專題練習(xí)）判斷下列函數(shù)的奇偶性：（1）f(x)＝＋；（2）f(x)＝(x＋1)；（3）f(x)＝.（4）f(x)＝例29．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知定義在上的函數(shù)，滿足：①；②為奇函數(shù)；③，；④任意的，，.（1）判斷并證明函數(shù)的奇偶性；（2）判斷并證明函數(shù)在上的單調(diào)性.【方法技巧與總結(jié)】函數(shù)單調(diào)性與奇偶性結(jié)合時，注意函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的定義，以及奇偶函數(shù)圖像的對稱性.題型七：已知函數(shù)的奇偶性求參數(shù)例30．（2023·北京海淀·二模）若是奇函數(shù)，則（

）A． B．C． D．例31．（2023·河南洛陽·三模（理））若函數(shù)是偶函數(shù)，則（

）A．-1 B．0 C．1 D．例32．（2023·江蘇南通·模擬預(yù)測）若函數(shù)為奇函數(shù)，則實數(shù)的值為（

）A．1 B．2 C． D．例33．（2023·江西·南昌十中模擬預(yù)測（理））已知函數(shù)為偶函數(shù)，則的值為_________.例34．（2023·全國·高三階段練習(xí)（理））已知函數(shù)為奇函數(shù)，則______．例35．（2023·全國·高三階段練習(xí)（文））已知函數(shù)為偶函數(shù)，則______．例36.（2023·陜西·西安中學(xué)模擬預(yù)測（文））已知函數(shù)為R上的偶函數(shù)，則實數(shù)___________.【方法技巧與總結(jié)】利用函數(shù)的奇偶性的定義轉(zhuǎn)化為，建立方程，使問題得到解決，但是在解決選擇題、填空題時還顯得比較麻煩，為了使解題更快，可采用特殊值法求解.題型八：已知函數(shù)的奇偶性求表達(dá)式、求值例37．（2023·安徽省蕪湖市教育局模擬預(yù)測（理））設(shè)為奇函數(shù)，且時，，則___________.例38．（2023·重慶一中高三階段練習(xí)）已知偶函數(shù)，當(dāng)時，，則的圖象在點處的切線的斜率為（

）A． B． C． D．例39．（2023·河北衡水·高三階段練習(xí)）已知是定義在R上的奇函數(shù)，且時，，則在上的最大值為(

)A．1 B．8 C． D．例40．（2023·江西·模擬預(yù)測（理））分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且，則下列說法錯誤的是（

）A． B．在上單調(diào)遞減C．關(guān)于直線對稱 D．的最小值為1例41．（2023·山西呂梁·一模（文））已知函數(shù)為定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，，則當(dāng)時，（

）A． B．C． D．例42．（2023·北京·高三專題練習(xí)）已知定義在上的奇函數(shù)滿足，且當(dāng)時，.(1)求和的值；(2)求在上的解析式.例43．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，且其定義域均為.若，求，的解析式.【方法技巧與總結(jié)】抓住奇偶性討論函數(shù)在各個分區(qū)間上的解析式，或充分利用奇偶性得出關(guān)于的方程，從而可得的解析式.題型九：已知奇函數(shù)+M例44．（2023·重慶一中高三階段練習(xí)）已知（a，b為實數(shù)），，則______．例45．（2023·河南·西平縣高級中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知函數(shù)，且，則（

）A．2 B．3 C．－2 D．－3例46．（2023·福建省福州第一中學(xué)高二期末）若對，有，函數(shù)在區(qū)間上存在最大值和最小值，則其最大值與最小值的和為（）A．4 B．8 C．12 D．16例47．（2023·上?！じ咭粚ｎ}練習(xí)）若函數(shù)的最大值和最小值分別為、，則函數(shù)圖像的對稱中心不可能是_______A． B． C． D．例48．（2023·河南·溫縣第一高級中學(xué)高三月考（理））若函數(shù)在區(qū)間上的最大值、最小值分別為、，則的值為（）．A． B． C． D．例49．（2023·黑龍江·哈爾濱三中高三月考（理））函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值分別為，，則的值為（）A． B． C． D．例50．（2023·廣東潮陽·高一期末）函數(shù)，若最大值為，最小值為，，則的取值范圍是______.例51．（2023·安徽·合肥市第九中學(xué)高三月考（理））已知定義域為R的函數(shù)有最大值和最小值，且最大值和最小值的和為6，則λ-μ=___.【方法技巧與總結(jié)】已知奇函數(shù)+M，，則（1）（2）題型十：函數(shù)的對稱性與周期性例52．（2023·天津三中二模）設(shè)函數(shù)的定義域為D，若對任意的，且，恒有，則稱函數(shù)具有對稱性，其中點為函數(shù)的對稱中心，研究函數(shù)的對稱中心，求（

）A．2022 B．4043 C．4044 D．8086例53．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知定義在R上的函數(shù)滿足，且是奇函數(shù)，則（

）A．是偶函數(shù) B．的圖象關(guān)于直線對稱C．是奇函數(shù) D．的圖象關(guān)于點對稱例54．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的定義域為R，且對任意恒成立，又函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，且，則（

）A．2021 B． C．2022 D．例55．（2023·新疆·三模（文））已知定義在R上的偶函數(shù)滿足，且當(dāng)時，，則下面結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．例56．（2023·山東·肥城市教學(xué)研究中心模擬預(yù)測）已知函數(shù)滿足對任意恒成立，又函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，且則（

）A． B． C． D．例57．（2023·廣東茂名·模擬預(yù)測）已知函數(shù)是上的奇函數(shù)，且，且當(dāng)時，，則的值為（

）A． B． C． D．例58．（2023·江西鷹潭·二模（文））已知是定義在R上的奇函數(shù)，若為偶函數(shù)且，則（

）A． B． C． D．6例59．（2023·江蘇·徐州市第七中學(xué)高三階段練習(xí)）函數(shù)滿足：對，都有，則函數(shù)的最小值為（

）A．-20 B．-16 C．-15 D．0例60．（2023·黑龍江·哈爾濱三中三模（理））定義在R上的函數(shù)滿足以下三個條件：①對于任意的實數(shù)，都有成立；②函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱；③對任意的，，，都有成立.則，，的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．例61．（2023·陜西·榆林市教育科學(xué)研究所模擬預(yù)測（理））已知函數(shù)滿足，且函數(shù)與的圖象的交點為，，，，則（

）A．－4π B．－2π C．2π D．4π【方法技巧與總結(jié)】（1）若函數(shù)有兩條對稱軸，，則函數(shù)是周期函數(shù)，且；（2）若函數(shù)的圖象有兩個對稱中心，則函數(shù)是周期函數(shù)，且；（3）若函數(shù)有一條對稱軸和一個對稱中心，則函數(shù)是周期函數(shù)，且.題型十一：類周期函數(shù)例62．（2023·天津一中高三月考）定義域為的函數(shù)滿足，當(dāng)時，，若當(dāng)時，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．例63．（2023·浙江·杭州高級中學(xué)高三期中）定義域為的函數(shù)滿足，當(dāng)時，，若時，恒成立，則實數(shù)的取值范圍是()A． B． C． D．例64．（2023山西省榆林市高三二模理科數(shù)學(xué)試卷）定義域為的函數(shù)滿足，當(dāng)時，，若當(dāng)時，函數(shù)恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．例65．（2023·湖北·高三月考）已知函數(shù)，其中，給出以下關(guān)于函數(shù)的結(jié)論：①②當(dāng)時，函數(shù)值域為③當(dāng)時方程恰有四個實根④當(dāng)時，若恒成立，則．其中正確的個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【方法技巧與總結(jié)】1.類周期函數(shù)若滿足：或，則橫坐標(biāo)每增加個單位，則函數(shù)值擴(kuò)大倍．此函數(shù)稱為周期為的類周期函數(shù)．類周期函數(shù)圖象倍增函數(shù)圖象2.倍增函數(shù)若函數(shù)滿足或，則橫坐標(biāo)每擴(kuò)大倍，則函數(shù)值擴(kuò)大倍．此函數(shù)稱為倍增函數(shù)．注意當(dāng)時，構(gòu)成一系列平行的分段函數(shù)，．題型十二：抽象函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性例66．（2023·山東聊城·二模）已知為上的奇函數(shù)，，若對，，當(dāng)時，都有，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．例67．（2023·全國·模擬預(yù)測（理））已知定義在R上的奇函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，且在上單調(diào)遞增，若，，，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．例68．（2023·黑龍江大慶·三模（理））已知定義域為R的偶函數(shù)滿足，當(dāng)時，，則方程在區(qū)間上所有解的和為（

）A．8 B．7 C．6 D．5例69．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知定義在上的函數(shù)，滿足：①；②任意的，，.（1）求的值；（2）判斷并證明函數(shù)的奇偶性.例70．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）定義在(－1，1)上的函數(shù)f(x)滿足①對任意x、y∈(－1，1)，都有f(x)+f(y)=f()；②當(dāng)x∈(－1，0)時，有f(x)>0．求證：．【方法技巧與總結(jié)】抽象函數(shù)的模特函數(shù)通常如下：(1)若，則(正比例函數(shù))(2)若，則(指數(shù)函數(shù))(3)若，則(對數(shù)函數(shù))(4)若，則(冪函數(shù))(5)若，則(一次函數(shù))(6)對于抽象函數(shù)判斷單調(diào)性要結(jié)合題目已知條件，在所給區(qū)間內(nèi)比較大小，有時需要適當(dāng)變形.題型十三：函數(shù)性質(zhì)的綜合例71．（2023·重慶南開中學(xué)模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則關(guān)于t的不等式的解集為（

）A． B． C． D．例72．（2023·安徽·六安市裕安區(qū)新安中學(xué)高三開學(xué)考試（文））已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增.若實數(shù)滿足，則的最小值是（）A． B．1 C． D．2例73．（2023·河南許昌·高三月考（理））已知函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．例74．（2023·河南·新蔡縣第一高級中學(xué)高三月考（文））已知函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．例75．（2023·江蘇·南京市中華中學(xué)高三月考）定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時，若對任意的，不等式恒成立，則實數(shù)的最大值為（）A． B． C． D．例76．（2023·內(nèi)蒙古·赤峰二中高一月考（理））設(shè)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，，若對任意，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．例77．（2023·湖南·岳陽一中一模）已知函數(shù)，若不等式對任意恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．例78．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若有解，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．例79．（2023·黑龍江·哈師大附中三模（理））已知函數(shù)(e為自然對數(shù)的底數(shù))，若，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．[1，+∞) C． D．【方法技巧與總結(jié)】（1）奇偶性與單調(diào)性綜合解題，尤其要重視利用偶函數(shù)（或軸對稱函數(shù)）與單調(diào)性綜合解不等式和比較大小.（2）奇偶性、單調(diào)性、周期性綜合解題，尤其要注意對稱性與周期性之間的關(guān)系，周期是兩條對稱軸（或?qū)ΨQ中心）之間距離的2倍，是對稱中心與對稱軸之間距離的4倍.【過關(guān)測試】一、單選題1．（2023·安徽·蒙城第一中學(xué)高三階段練習(xí)（理））下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是（

）A． B． C． D．2．（2023·河南·模擬預(yù)測（文））已知，，且，則（

）A． B． C． D．3．（2023·湖北·房縣第一中學(xué)模擬預(yù)測）已知函數(shù)，不等式的解集為（

）A． B．C． D．4．（2023·浙江浙江·高三階段練習(xí)）已知定義在R上的奇函數(shù)在時滿足，且在有解，則實數(shù)m的最大值為（

）A． B．2 C． D．45．（2023·河北·石家莊二中高三開學(xué)考試）已知函數(shù)在區(qū)間的最大值是M，最小值是m，則的值等于(

)A．0 B．10 C． D．6．（2023·安徽·蒙城第一中學(xué)高三階段練習(xí)（理））已知為奇函數(shù)，且當(dāng)時，則曲線在點處的切線方程為（

）A． B．C． D．7．（2023·河南·模擬預(yù)測（理））已知函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，且，當(dāng)時，，則（

）A．-11 B．-8 C． D．8．（2023·江西·南昌市實驗中學(xué)一模（理））對于函數(shù)，若存在，使，則稱點與點是函數(shù)的一對“隱對稱點”．若函數(shù)的圖像恰好有2對“隱對稱點”，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．二、多選題9．（2023·海南·模擬預(yù)測）下面關(guān)于函數(shù)的性質(zhì)，說法正確的是（

）A．的定義域為 B．的值域為C．在定義域上單調(diào)遞減 D．點是圖象的對稱中心10．（2023·遼寧·模擬預(yù)測）已知定義在R上的偶函數(shù)的圖像是連續(xù)的，，在區(qū)間上是增函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的一個周期為6 B．在區(qū)間上單調(diào)遞減C．的圖像關(guān)于直線對稱 D．在區(qū)間上共有100個零點11．（2023·重慶巴蜀中學(xué)高三階段練習(xí)）已知函數(shù)對任意都有，若函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，且對任意的，且，都有，若，則下列結(jié)論正確的是（

）A．是偶函數(shù) B．C．的圖象關(guān)于點對稱 D．12．（2023·河北秦皇島·二模）已知函數(shù)，，，則（

）A．的圖象關(guān)于對稱B．的圖象沒有對稱中心C．對任意的，的最大值與最小值之和為D．若，則實數(shù)的取值范圍是三、填空題13．（2023·山東臨沂·二模）已知函數(shù)是偶函數(shù)，則__________．14．（2023·湖北·房縣第一中學(xué)模擬預(yù)測）已知函數(shù)在上的最小值為1，則的值為________.15．（2023·廣東佛山·三模）已知函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，若，則的取值范圍為________．16．（2023·陜西寶雞·二模（文））若函數(shù)f（x）同時滿足：（1）對于定義域上的任意x，恒有；（2）對于定義域上的任意，當(dāng)，恒有，則稱函數(shù)f（x）為“理想函數(shù)”，下列①，②，③，④四個函數(shù)中，能被稱為“理想函數(shù)”的有___________.（填出函數(shù)序號）四、解答題17．（2023·上海市市西中學(xué)高三階段練習(xí)）設(shè)a∈R，函數(shù)；(1)求a的值，使得f（x）為奇函數(shù)；(2)若對任意x∈R成立，求a的取值范圍．18．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)是定義在上的函數(shù)，恒成立，且(1)確定函數(shù)的解析式；(2)用定義證明在上是增函數(shù)；(3)解不等式．19．（2023·陜西·武功縣普集高級中學(xué)高三階段練習(xí)（理））設(shè)函數(shù)，是定義域為R的奇函數(shù)(1)確定的值(2)若，判斷并證明的單調(diào)性；(3)若，使得對一切恒成立，求出的范圍.20．（2023·全國·高三專題練習(xí)）定義域均為的奇函數(shù)與偶函數(shù)滿足．(1)求函數(shù)與的解析式；(2)證明：；(3)試用，，，表示與．21．（2023·全國·高三專題練習(xí)）定義在上的函數(shù)，對任意，滿足下列條件：①

②（1）是否存在一次函數(shù)滿足條件①②，若存在，求出的解析式；若不存在，說明理由.（2）證明：為奇函數(shù)；22．（2023·上海·二模）對于函數(shù)，若在定義域內(nèi)存在實數(shù)，滿足，則稱為“類函數(shù)”.(1)已知函數(shù)，試判斷是否為“類函數(shù)”？并說明理由；(2)設(shè)是定義域上的“類函數(shù)”，求實數(shù)m的取值范圍；(3)若為其定義域上的“類函數(shù)”，求實數(shù)取值范圍.專題07函數(shù)的性質(zhì)——單調(diào)性、奇偶性、周期性【考點預(yù)測】1.函數(shù)的單調(diào)性（1）單調(diào)函數(shù)的定義一般地，設(shè)函數(shù)的定義域為，區(qū)間：如果對于內(nèi)的任意兩個自變量的值，當(dāng)時，都有，那么就說在區(qū)間上是增函數(shù)．如果對于內(nèi)的任意兩個自變量的值，，當(dāng)時，都有，那么就說在區(qū)間上是減函數(shù)．=1\*GB3①屬于定義域內(nèi)某個區(qū)間上；=2\*GB3②任意兩個自變量，且；=3\*GB3③都有或；=4\*GB3④圖象特征：在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左向右是上升的，減函數(shù)的圖象從左向右是下降的．（2）單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間=1\*GB3①單調(diào)區(qū)間的定義：如果函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)在區(qū)間上具有單調(diào)性，稱為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．=2\*GB3②函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)在某個區(qū)間上的性質(zhì)．（3）復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性遵從“同增異減”，即在對應(yīng)的取值區(qū)間上，外層函數(shù)是增（減）函數(shù)，內(nèi)層函數(shù)是增（減）函數(shù)，復(fù)合函數(shù)是增函數(shù)；外層函數(shù)是增（減）函數(shù)，內(nèi)層函數(shù)是減（增）函數(shù)，復(fù)合函數(shù)是減函數(shù).2．函數(shù)的奇偶性函數(shù)奇偶性的定義及圖象特點奇偶性定義圖象特點偶函數(shù)如果對于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個，都有，那么函數(shù)就叫做偶函數(shù)關(guān)于軸對稱奇函數(shù)如果對于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個，都有，那么函數(shù)就叫做奇函數(shù)關(guān)于原點對稱判斷與的關(guān)系時，也可以使用如下結(jié)論：如果或，則函數(shù)為偶函數(shù)；如果或，則函數(shù)為奇函數(shù)．注意：由函數(shù)奇偶性的定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個前提條件是：對于定義域內(nèi)的任意一個，也在定義域內(nèi)(即定義域關(guān)于原點對稱)．3．函數(shù)的對稱性(1)若函數(shù)為偶函數(shù)，則函數(shù)關(guān)于對稱．(2)若函數(shù)為奇函數(shù)，則函數(shù)關(guān)于點對稱．(3)若，則函數(shù)關(guān)于對稱．(4)若，則函數(shù)關(guān)于點對稱．4.函數(shù)的周期性（1）周期函數(shù)：對于函數(shù)，如果存在一個非零常數(shù)，使得當(dāng)取定義域內(nèi)的任何值時，都有，那么就稱函數(shù)為周期函數(shù)，稱為這個函數(shù)的周期.（2）最小正周期：如果在周期函數(shù)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么稱這個最小整數(shù)叫做的最小正周期.【方法技巧與總結(jié)】1.單調(diào)性技巧（1）證明函數(shù)單調(diào)性的步驟①取值：設(shè)，是定義域內(nèi)一個區(qū)間上的任意兩個量，且；②變形：作差變形(變形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商變形；③定號：判斷差的正負(fù)或商與的大小關(guān)系；④得出結(jié)論．（2）函數(shù)單調(diào)性的判斷方法①定義法：根據(jù)增函數(shù)、減函數(shù)的定義，按照“取值—變形—判斷符號—下結(jié)論”進(jìn)行判斷．②圖象法：就是畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象的上升或下降趨勢，判斷函數(shù)的單調(diào)性．③直接法：就是對我們所熟悉的函數(shù)，如一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等，直接寫出它們的單調(diào)區(qū)間．（3）記住幾條常用的結(jié)論：①若是增函數(shù)，則為減函數(shù)；若是減函數(shù)，則為增函數(shù)；②若和均為增(或減)函數(shù)，則在和的公共定義域上為增(或減)函數(shù)；③若且為增函數(shù)，則函數(shù)為增函數(shù)，為減函數(shù)；④若且為減函數(shù)，則函數(shù)為減函數(shù)，為增函數(shù)．2.奇偶性技巧(1)函數(shù)具有奇偶性的必要條件是其定義域關(guān)于原點對稱.(2)奇偶函數(shù)的圖象特征.函數(shù)是偶函數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱；函數(shù)是奇函數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于原點中心對稱.(3)若奇函數(shù)在處有意義，則有；偶函數(shù)必滿足.(4)偶函數(shù)在其定義域內(nèi)關(guān)于原點對稱的兩個區(qū)間上單調(diào)性相反；奇函數(shù)在其定義域內(nèi)關(guān)于原點對稱的兩個區(qū)間上單調(diào)性相同.(5)若函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，則函數(shù)能表示成一個偶函數(shù)與一個奇函數(shù)的和的形式.記，，則.(6)運算函數(shù)的奇偶性規(guī)律：運算函數(shù)是指兩個（或多個）函數(shù)式通過加、減、乘、除四則運算所得的函數(shù)，如.對于運算函數(shù)有如下結(jié)論：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶.(7)復(fù)合函數(shù)的奇偶性原來：內(nèi)偶則偶，兩奇為奇.(8)常見奇偶性函數(shù)模型奇函數(shù)：=1\*GB3①函數(shù)或函數(shù)．=2\*GB3②函數(shù)．=3\*GB3③函數(shù)或函數(shù)=4\*GB3④函數(shù)或函數(shù)．注意：關(guān)于=1\*GB3①式，可以寫成函數(shù)或函數(shù)．偶函數(shù)：=1\*GB3①函數(shù)．=2\*GB3②函數(shù)．=3\*GB3③函數(shù)類型的一切函數(shù)．④常數(shù)函數(shù)3.周期性技巧4.函數(shù)的的對稱性與周期性的關(guān)系（1）若函數(shù)有兩條對稱軸，，則函數(shù)是周期函數(shù)，且；（2）若函數(shù)的圖象有兩個對稱中心，則函數(shù)是周期函數(shù)，且；（3）若函數(shù)有一條對稱軸和一個對稱中心，則函數(shù)是周期函數(shù)，且.5.對稱性技巧（1）若函數(shù)關(guān)于直線對稱，則．（2）若函數(shù)關(guān)于點對稱，則．（3）函數(shù)與關(guān)于軸對稱，函數(shù)與關(guān)于原點對稱．【題型歸納目錄】題型一：函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用題型二：復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷題型三：利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)最值題型四：利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的范圍題型五：基本初等函數(shù)的單調(diào)性題型六：函數(shù)的奇偶性的判斷與證明題型七：已知函數(shù)的奇偶性求參數(shù)題型八：已知函數(shù)的奇偶性求表達(dá)式、求值題型九：已知奇函數(shù)+M題型十：函數(shù)的對稱性與周期性題型十一：類周期函數(shù)題型十二：抽象函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性題型十三：函數(shù)性質(zhì)的綜合【典例例題】題型一：函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用例1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若定義在R上的函數(shù)f(x)對任意兩個不相等的實數(shù)a，b，總有>0成立，則必有（

）A．f(x)在R上是增函數(shù) B．f(x)在R上是減函數(shù)C．函數(shù)f(x)先增后減 D．函數(shù)f(x)先減后增答案：A【解析】分析：根據(jù)條件可得當(dāng)a<b時，f(a)<f(b)，或當(dāng)a>b時，f(a)>f(b)，從而可判斷.【詳解】由>0知f(a)-f(b)與a-b同號，即當(dāng)a<b時，f(a)<f(b)，或當(dāng)a>b時，f(a)>f(b)，所以f(x)在R上是增函數(shù).故選：A.例2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域為，且對任意兩個不相等的實數(shù)，都有，則不等式的解集為（

）．A． B． C． D．答案：B【解析】由條件得到函數(shù)是單增的，然后把函數(shù)值的大小比較轉(zhuǎn)化為自變量大小比較，即可解得解集.【詳解】不妨設(shè)，因為，所以，故是上的增函數(shù)，原不等式等價于，解得．故選：B.例3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）的單調(diào)增區(qū)間為（

）A． B． C． D．答案：A【解析】分析：求出二次函數(shù)圖象的對稱軸即得解.【詳解】由題得二次函數(shù)的圖象的對稱軸為，因為拋物線開口向上，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為.故選：A【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法，意在考查學(xué)生對該知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.例4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).（1）判斷在其定義域上的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義證明你的結(jié)論；（2）解關(guān)于的不等式.答案：（1）在R上是增函數(shù)，證明見解析；（2）.【解析】分析：（1）由題可判斷函數(shù)為奇函數(shù)且為增函數(shù)，利用定義法的步驟證明即可；（2）利用函數(shù)的單調(diào)性及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即解.【詳解】（1），則函數(shù)是奇函數(shù)，則當(dāng)時，設(shè)，則，，，即，，則，即，則在，上是增函數(shù)，是上的奇函數(shù)，在上是增函數(shù).（2）在上是增函數(shù)，不等式等價為不等式，即.即不等式的解集為.例5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）討論函數(shù)（）在上的單調(diào)性.答案：答案見解析【解析】分析：根據(jù)單調(diào)性的定義分類討論．【詳解】任取、，且，，則：，當(dāng)時，，即，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，即，函數(shù)在上單調(diào)遞增.【方法技巧與總結(jié)】函數(shù)單調(diào)性的判斷方法①定義法：根據(jù)增函數(shù)、減函數(shù)的定義，按照“取值—變形—判斷符號—下結(jié)論”進(jìn)行判斷．②圖象法：就是畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象的上升或下降趨勢，判斷函數(shù)的單調(diào)性．③直接法：就是對我們所熟悉的函數(shù)，如一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等，直接寫出它們的單調(diào)區(qū)間．題型二：復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷例6．（2023·全國·高三專題練習(xí)（文））函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B．C． D．答案：C【解析】分析：先求出定義域，再求出內(nèi)層函數(shù)在定義域內(nèi)的單調(diào)區(qū)間，然后由復(fù)合函數(shù)“同增異減”判斷單調(diào)性的方法可得答案【詳解】令，解得，令，則，∵函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在定義域內(nèi)遞增，∴根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是故選：C例7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間是（

）A． B． C． D．答案：C【解析】分析：先求解原函數(shù)的定義域，然后根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法判斷原函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.【詳解】令，．由，得．因為函數(shù)是關(guān)于的遞減函數(shù)，且時，為增函數(shù)，所以為減函數(shù)，所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是．故選：C.【點睛】本題考查復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求解，較簡單，解答時注意不要忽略原函數(shù)的定義域.例8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是A． B． C． D．答案：D【解析】分析：利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性確定函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．【詳解】設(shè)t＝x2﹣2x﹣3，則函數(shù)在（﹣∞，1]上單調(diào)遞減，在[1，+∞）上單調(diào)遞增．因為函數(shù)在定義域上為減函數(shù)，所以由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性性質(zhì)可知，此函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（1，+∞）．故選D．【點睛】本題主要考查了復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性以及單調(diào)區(qū)間的求法．復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，一要注意先確定函數(shù)的定義域，二要利用復(fù)合函數(shù)與內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系進(jìn)行判斷，判斷的依據(jù)是“同增異減”．【方法技巧與總結(jié)】討論復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性時要注意：既要把握復(fù)合過程，又要掌握基本函數(shù)的單調(diào)性．一般需要先求定義域，再把復(fù)雜的函數(shù)正確地分解為兩個簡單的初等函數(shù)的復(fù)合，然后分別判斷它們的單調(diào)性，再用復(fù)合法則，復(fù)合法則如下：1．若，在所討論的區(qū)間上都是增函數(shù)或都是減函數(shù)，則為增函數(shù)；2．若，在所討論的區(qū)間上一個是增函數(shù)，另一個是減函數(shù)，則為減函數(shù)．列表如下：增增增增減減減增減減減增復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可簡記為“同增異減”，即內(nèi)外函數(shù)的單性相同時遞增；單性相異時遞減．題型三：利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)最值例9．（2023·河南·新鄉(xiāng)縣高中模擬預(yù)測（理））在人工智能領(lǐng)域的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中，常用到在定義域I內(nèi)單調(diào)遞增且有界的函數(shù)，即，，．則下列函數(shù)中，所有符合上述條件的序號是______．①；②；③；④．答案：③④【解析】分析：根據(jù)定義考慮函數(shù)的單調(diào)性，且要是單調(diào)遞增函數(shù)，也可考慮函數(shù)的值域.【詳解】對于①，無界，不符合題意；對于②，不單調(diào)，不符合題意；對于③，單調(diào)遞增，且，則，符合題意；對于④，單調(diào)遞增，且，則，符合題意．故答案為：③④例10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）定義在上的函數(shù)對于任意的，總有，且當(dāng)時，且．（1）求的值；（2）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并證明；（3）求函數(shù)在上的最大值與最小值．答案：（1）；（2）在單調(diào)遞減；（3）最大值，最小值.【解析】（1）令，代入計算；（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明，設(shè)，令，，則可判斷，即可判斷出函數(shù)在單調(diào)遞減；（3）根據(jù)，令，代入計算，令，，計算，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)遞減，直接寫出最大值與最小值.【詳解】解：（1）令，．（2）在單調(diào)遞減設(shè)，令，，則，所以，得即對任意，若，則，在單調(diào)遞減．（3）因為，令，令，，，因為函數(shù)單調(diào)遞減，所以．例11．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).（1）判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義加以證明；（2）若，求時函數(shù)的值域.答案：（1）當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)減函數(shù)；當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù)，證明過程見解析；（2）【解析】（1）運用單調(diào)性的定義進(jìn)行分類討論進(jìn)行判斷證明即可；（2）根據(jù)求出的值，結(jié)合（1）中的結(jié)論進(jìn)行求解即可.【詳解】解：（1）當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)減函數(shù)；當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù).當(dāng)時，證明如下：任取，則.因為，所以，得，故函數(shù)在上是單調(diào)減函數(shù)；同理可證：當(dāng)時，函數(shù)在上是單調(diào)增函數(shù).（2）由.由（1）得在上是減函數(shù)，從而函數(shù)在上也是減函數(shù)，其最小值為，最大值為.由此可得，函數(shù)在上的值域為.例12．（2023·山西運城·模擬預(yù)測（理））已知，函數(shù)的定義域為I，若存在，使得在上的值域為，我們就說是“類方函數(shù)”.下列四個函數(shù)中是“類方函數(shù)”的是（

）①；②；③；④.A．①② B．②④ C．②③ D．③④答案：C【解析】分析：根據(jù)新定義，確定函數(shù)的單調(diào)性，由（增函數(shù)）或有解（），不易求解時可根據(jù)函數(shù)圖象的交點個數(shù)判斷．確定結(jié)論．【詳解】①中，假設(shè)是“類方函數(shù)”，因為單調(diào)遞減，所以，即，又，方程無解，①不符合；②中，假設(shè)是“類方函數(shù)”，因為，所以，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，又，所以，②符合；③中，假設(shè)是“類方函數(shù)”，易知在上單調(diào)遞增，且，所以，且，所以，又，解得，③符合；④中，假設(shè)是“類方函數(shù)”，易知在R上單調(diào)遞減，且，所以，且所以，即即方程有兩個正數(shù)解，由與的圖象可知兩圖象有一個公共點，④不符合.故選：C.【方法技巧與總結(jié)】利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)最值時應(yīng)先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再求最值．常用到下面的結(jié)論：1．如果函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)，則函數(shù)在處有最大值．2．如果函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)，則函數(shù)在處有最小值．3．若函數(shù)在上是嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)，則函數(shù)在上一定有最大、最小值．4．若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)，則的最大值是，最小值是．5．若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)，則的最大值是，最小值是．題型四：利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的范圍例13．（2023·河南濮陽·一模（理））“”是“函數(shù)是在上的單調(diào)函數(shù)”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件答案：B【解析】分析：根據(jù)的在區(qū)間上的單調(diào)性求得的取值范圍，結(jié)合充分、必要條件的知識確定正確選項.【詳解】依題意，函數(shù)是在上的單調(diào)函數(shù)，由于在上遞增，所以在上遞增，所以且，即.所以“”是“函數(shù)是在上的單調(diào)函數(shù)”的必要不充分條件.故選：B例14．（2023·全國·江西科技學(xué)院附屬中學(xué)高三階段練習(xí)（理））已知函數(shù)若，，，且僅有1個零點，則實數(shù)m的取值范圍為（

）A． B． C． D．答案：C【解析】分析：根據(jù)增函數(shù)的定義可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，利用分段函數(shù)的單調(diào)性求出的取值范圍；根據(jù)函數(shù)零點個數(shù)與函數(shù)圖象交點個數(shù)之間的關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想即可求得結(jié)果.【詳解】因為R，有，即，即與同號，所以在R上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，則，故；因為在處的切線方程為，即，又，所以與沒有公共點，若函數(shù)僅有一個零點，所以函數(shù)與圖象僅有一個交點，則與有且僅有1個公共點，且為，所以在處的切線的斜率k大于等于1，而，得，即，解得，綜上，的取值范圍為.故選：C.例15．（2023·浙江·高三學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)在區(qū)間（-∞，1]是減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A．[1，+∞） B．（-∞，1] C．[-1，+∞） D．（-∞，-1]答案：A【解析】分析：由對稱軸與1比大小，確定實數(shù)a的取值范圍.【詳解】對稱軸為，開口向上，要想在區(qū)間（-∞，1]是減函數(shù)，所以.故選：A例16．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù)，則的取值范圍（

）A． B． C． D．答案：B【解析】分析：根據(jù)的開口方向，確定分段函數(shù)在在上的單調(diào)遞增，再根據(jù)分段函數(shù)在上的單調(diào)所要滿足的條件列出不等關(guān)系，求出的取值范圍.【詳解】因為分段函數(shù)在上的單調(diào)函數(shù)，由于開口向上，故在上單調(diào)遞增，故分段函數(shù)在在上的單調(diào)遞增，所以要滿足：，解得：故選：B例17.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)（且）在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值不可能是（

）A． B． C． D．答案：D【解析】分析：本題可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性以及復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判定得出結(jié)果.【詳解】當(dāng)且時，函數(shù)單調(diào)遞減，則要使在區(qū)間上單調(diào)遞增，需要滿足，解得，結(jié)合選項易知，只有不滿足，故選：D.例18．（2023·山東·濟(jì)南市歷城第二中學(xué)模擬預(yù)測）函數(shù)在上是減函數(shù)，則實數(shù)的范圍是_______.答案：【解析】分析：轉(zhuǎn)化原函數(shù)為，利用反比例函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合定義域，即得解【詳解】函數(shù)，定義域為，又，因為函數(shù)在上是減函數(shù)，所以只需在上是減函數(shù)，因此，解得.故答案為：例19．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如果，則的取值范圍是___________．答案：．【解析】分析：先根據(jù)不等式的形式構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，再利用單調(diào)性解不等式即可【詳解】解：由已知得令，則對任意恒成立，于是在上單調(diào)減．即由在上單調(diào)遞減得，解得所以的取值范圍是．故答案為：例20．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)滿足，當(dāng)時，，且.（1）求的值，并判斷的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.答案：（1），；在上為增函數(shù)；（2）.【解析】（1）利用賦值法求出的值，利用函數(shù)的單調(diào)性定義判斷的單調(diào)性即可；（2）利用已知等式把不等式轉(zhuǎn)化為，利用函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合常變量分離法、配方法進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）令，得，得，令，得，得；設(shè)是任意兩個不相等的實數(shù)，且，所以，所以，因為，所以，所以，因此即在上為增函數(shù)；（2）因為，即，即，又，所以，又因為在上為增函數(shù)，所以在上恒成立；得在上恒成立，即在上恒成立，因為，當(dāng)時，取最小值，所以；即時滿足題意.【方法技巧與總結(jié)】若已知函數(shù)的單調(diào)性，求參數(shù)的取值范圍問題，可利用函數(shù)單調(diào)性，先列出關(guān)于參數(shù)的不等式，利用下面的結(jié)論求解．1.若在上恒成立在上的最大值．2.若在上恒成立在上的最小值．題型五：基本初等函數(shù)的單調(diào)性例21．（2023·全國·高三階段練習(xí)（文））下列函數(shù)在上單調(diào)遞減的是（

）A． B．C． D．答案：D【解析】分析：根據(jù)選項的函數(shù)性質(zhì)，逐一判斷即可【詳解】A：由二次函數(shù)性質(zhì)知，圖象開口向上，且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故A錯誤﹔B：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，將圖象向右平移1個單位長度得出的圖象，其在上單調(diào)遞增，故B錯誤；C：由冪函數(shù)的單調(diào)性知在上單調(diào)遞增，其在上單調(diào)遞增，故C錯誤；D：根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性知，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，又，所以在上單調(diào)遞減，故D正確.故選：D.例22．（2023·全國·高三專題練習(xí)）下列函數(shù)中，定義域是且為增函數(shù)的是A． B． C． D．答案：B【解析】分析：分別求出選項中各函數(shù)的定義域，并判斷其單調(diào)性，從而可得結(jié)論.【詳解】對于，，是上的減函數(shù)，不合題意；對于，是定義域是且為增函數(shù)，符合題意；對于，，定義域是，不合題意；對于，，定義域是，但在上不是單調(diào)函數(shù)，不合題，故選B.【點睛】本題主要考查函數(shù)的定義域與單調(diào)性，意在考查對基礎(chǔ)知識的掌握與靈活運用，屬于基礎(chǔ)題.例23．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知是奇函數(shù)，且對任意且都成立，設(shè)，，，則（

）A． B． C． D．答案：B【解析】根據(jù)已知不等式可以判斷出函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可.【詳解】當(dāng)時，由，當(dāng)時，由，因此函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)，因為是奇函數(shù)，所以，因此當(dāng)時，有，當(dāng)時，有，因為是奇函數(shù)，所以有，因為，所以，即，因此.故選：B例24．（2023·山東·濟(jì)南一中模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù)，若，，（e為自然對數(shù)的底數(shù)），則（

）．A． B． C． D．答案：D【解析】分析：利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性判斷大小.【詳解】由題意可知，函數(shù)為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，又，，，所以，故．故選：D【方法技巧與總結(jié)】1. 比較函數(shù)值大小，應(yīng)將自變量轉(zhuǎn)化到同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)，然后利用函數(shù)單調(diào)性解決.2. 求復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟為：①求函數(shù)定義域；②求簡單函數(shù)單調(diào)區(qū)間；③求復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間(同增異減).3.利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)時，通常要把參數(shù)視為已知數(shù)，依據(jù)函數(shù)圖像或單調(diào)性定義，確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間，與已知單調(diào)區(qū)間比較，利用區(qū)間端點間關(guān)系求參數(shù).同時注意函數(shù)定義域的限制，遇到分段函數(shù)注意分點左右端點函數(shù)值的大小關(guān)系.題型六：函數(shù)的奇偶性的判斷與證明例25．（2023·北京通州·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則（

）A．是偶函數(shù)，且在是單調(diào)遞增 B．是奇函數(shù)，且在是單調(diào)遞增C．是偶函數(shù)，且在是單調(diào)遞減 D．是奇函數(shù)，且在是單調(diào)遞減答案：B【解析】分析：根據(jù)奇函數(shù)的定義及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷可得；【詳解】解：定義域為，且，所以為奇函數(shù)，又與在定義域上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增；故選：B例26．（2023·安徽·蒙城第一中學(xué)高三階段練習(xí)（理））下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是（

）A． B． C． D．答案：C【解析】分析：根據(jù)初等函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性逐一判斷即可得結(jié)果.【詳解】是奇函數(shù)，但整個定義域內(nèi)不是減函數(shù)，故A錯誤；在定義域（0，+∞）上是減函數(shù)，但不是奇函數(shù)，故B錯誤；在R上既是奇函數(shù)又是減函數(shù)，故C正確；在R上是奇函數(shù)但不是單調(diào)函數(shù)，故D錯誤.故選：C.例27．（2023·廣東·二模）存在函數(shù)使得對于都有，則函數(shù)可能為（

）A． B． C． D．答案：D【解析】分析：先判斷出必為偶函數(shù).對四個選項中的函數(shù)的奇偶性一一判斷，即可得到答案.【詳解】因為對于都有，且為偶函數(shù)，所以必為偶函數(shù).對于A：為奇函數(shù).故A錯誤；對于B：為非奇非偶函數(shù).故B錯誤；對于C：對于.定義域為R.因為，所以為奇函數(shù).故C錯誤；對于D：對于.定義域為R.因為，所以為偶函數(shù).故D正確；故選：D例28．（2023·全國·高三專題練習(xí)）判斷下列函數(shù)的奇偶性：（1）f(x)＝＋；（2）f(x)＝(x＋1)；（3）f(x)＝.（4）f(x)＝答案：（1）既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)；（2）既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)；（3）奇函數(shù)；（4）奇函數(shù)．【解析】分析：判斷函數(shù)的奇偶性，首先判斷函數(shù)的定義域，得到函數(shù)，再結(jié)合奇偶函數(shù)的定義，即可判斷.【詳解】（1）由得x＝±3.∴f(x)的定義域為{－3，3}，此時f(x)＝0.即f(x)＝±f(－x)．∴f(x)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)．（2）由得－1<x≤1.∵f(x)的定義域(－1，1]不關(guān)于原點對稱．∴f(x)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)．（3）由得－2≤x≤2且x≠0.∴f(x)的定義域為[－2，0)∪(0，2]，關(guān)于原點對稱．此時，有f(x)＝＝，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函數(shù)．（4）當(dāng)x>0時，f(x)＝－x2＋2x＋1，－x<0，f(－x)＝(－x)2＋2(－x)－1＝x2－2x－1＝－f(x)；當(dāng)x<0時，f(x)＝x2＋2x－1，－x>0，f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＋1＝－x2－2x＋1＝－f(x)．所以f(x)為奇函數(shù)．例29．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知定義在上的函數(shù)，滿足：①；②為奇函數(shù)；③，；④任意的，，.（1）判斷并證明函數(shù)的奇偶性；（2）判斷并證明函數(shù)在上的單調(diào)性.答案：（1）偶函數(shù)，證明見解析；（2）在上單調(diào)遞增，證明見解析.【解析】（1）取結(jié)合得出，再由證明函數(shù)的奇偶性；（2）由奇偶性得出，再由函數(shù)單調(diào)性的定義結(jié)合證明函數(shù)在上的單調(diào)性.【詳解】解：（1）依題意，.∴∴，又因為的定義域為，所以函數(shù)為偶函數(shù).（2）由④知，，∵，，，∴，∴即在上單調(diào)遞增.【點睛】關(guān)鍵點睛：在證明奇偶性時關(guān)鍵是利用求出，再由定義證明函數(shù)為偶函數(shù)；在證明單調(diào)性時，關(guān)鍵是由，結(jié)合，證明在上單調(diào)遞增.【方法技巧與總結(jié)】函數(shù)單調(diào)性與奇偶性結(jié)合時，注意函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的定義，以及奇偶函數(shù)圖像的對稱性.題型七：已知函數(shù)的奇偶性求參數(shù)例30．（2023·北京海淀·二模）若是奇函數(shù)，則（

）A． B．C． D．答案：C【解析】分析：由為奇函數(shù)可得，代入相應(yīng)解析式解方程即可.【詳解】易知定義域為，由為奇函數(shù)可得，即，解得.故選：C.例31．（2023·河南洛陽·三模（理））若函數(shù)是偶函數(shù)，則（

）A．-1 B．0 C．1 D．答案：C【解析】分析：由已知，根據(jù)函數(shù)的解析式，寫出的解析式，然后根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)，借助，列出等量關(guān)系，化簡即可求解參數(shù).【詳解】由已知，，所以，函數(shù)為偶函數(shù)，所以，所以，整理得：，所以.故選：C.例32．（2023·江蘇南通·模擬預(yù)測）若函數(shù)為奇函數(shù)，則實數(shù)的值為（

）A．1 B．2 C． D．答案：D【解析】分析：根據(jù)題意可得，計算可得，經(jīng)檢驗均符合題意，即可得解.【詳解】由為奇函數(shù)，所以，所以，可得，解得，當(dāng)時，的定義域為，符合題意，當(dāng)時，的定義域為符合題意，故選：D例33．（2023·江西·南昌十中模擬預(yù)測（理））已知函數(shù)為偶函數(shù)，則的值為_________.答案：【解析】分析：利用偶函數(shù)的定義化簡變形即可.【詳解】因為函數(shù)為偶函數(shù)，所以，則有=，得，則有.故答案為：.例34．（2023·全國·高三階段練習(xí)（理））已知函數(shù)為奇函數(shù)，則______．答案：2或【解析】分析：根據(jù)條件，由，求出的值，再檢驗即可.【詳解】函數(shù)為奇函數(shù)，其定義域為由，解得或當(dāng)時，，則，滿足條件.當(dāng)時，，則，滿足條件.故答案為：2或例35．（2023·全國·高三階段練習(xí)（文））已知函數(shù)為偶函數(shù)，則______．答案：1【解析】分析：由偶函數(shù)的性質(zhì)，即可求參數(shù).【詳解】由題設(shè)，，所以.故答案為：1例36.（2023·陜西·西安中學(xué)模擬預(yù)測（文））已知函數(shù)為R上的偶函數(shù)，則實數(shù)___________.答案：1【解析】分析：由偶函數(shù)的性質(zhì)求解【詳解】由偶函數(shù)得，即對恒成立整理得，故故答案為：1【方法技巧與總結(jié)】利用函數(shù)的奇偶性的定義轉(zhuǎn)化為，建立方程，使問題得到解決，但是在解決選擇題、填空題時還顯得比較麻煩，為了使解題更快，可采用特殊值法求解.題型八：已知函數(shù)的奇偶性求表達(dá)式、求值例37．（2023·安徽省蕪湖市教育局模擬預(yù)測（理））設(shè)為奇函數(shù)，且時，，則___________.答案：【解析】分析：根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)即可求．【詳解】由題可知，．故答案為：．例38．（2023·重慶一中高三階段練習(xí)）已知偶函數(shù)，當(dāng)時，，則的圖象在點處的切線的斜率為（

）A． B． C． D．答案：A【解析】分析：求導(dǎo)后，代入可得，由此可得時，；根據(jù)奇偶性可求得時，的解析式，求導(dǎo)后代入即可得到切線斜率.【詳解】當(dāng)時，，，解得：，當(dāng)時，；當(dāng)時，，，又為偶函數(shù)，，即時，，則，.故選：A.例39．（2023·河北衡水·高三階段練習(xí)）已知是定義在R上的奇函數(shù)，且時，，則在上的最大值為(

)A．1 B．8 C． D．答案：C【解析】分析：根據(jù)題意可知f(0)＝0可求m的值，根據(jù)x≤0時的解析式，結(jié)合f(x)是奇函數(shù)可求x＞0時f(x)的解析式，判斷f(x)在[1，2]上單調(diào)性即可求其最大值.【詳解】∵是定義在R上的奇函數(shù)，∴f(0)＝0，又∵，，∴，∴時，，設(shè)，則，則，則，即當(dāng)x＞0時，，∴f(x)在上單調(diào)遞減，∴f(x)在上的最大值為.故選：C.例40．（2023·江西·模擬預(yù)測（理））分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且，則下列說法錯誤的是（

）A． B．在上單調(diào)遞減C．關(guān)于直線對稱 D．的最小值為1答案：B【解析】分析：通過題目信息求出的解析式，然后利用函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行判斷【詳解】由題，將代入得，因為分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，所以可得，將該式與題干中原式聯(lián)立可得.對于A：，故A正確；對于B：，所以不可能單調(diào)遞減，故B錯誤；對于C：根據(jù)偶函數(shù)定義可得，所以為偶函數(shù)，表示向右平移1101個單位，故關(guān)于對稱，故C正確；對于D：根據(jù)基本不等式，當(dāng)且僅當(dāng)時取等，故D正確；故選：B例41．（2023·山西呂梁·一模（文））已知函數(shù)為定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，，則當(dāng)時，（

）A． B．C． D．答案：D【解析】分析：根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】當(dāng)時，則，因為是奇函數(shù)，所以.故選：D例42．（2023·北京·高三專題練習(xí)）已知定義在上的奇函數(shù)滿足，且當(dāng)時，.(1)求和的值；(2)求在上的解析式.答案：(1)(2)【解析】分析：（1）由奇偶性和，取x=1可得；（2）取，利用，代入解析式結(jié)合奇偶性可解.(1)滿足，，.(2)由題意知，.當(dāng)時，.由是奇函數(shù)，，綜上，在上，例43．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，且其定義域均為.若，求，的解析式.答案：，【解析】分析：由、列方程組，解方程組求得.【詳解】依題意，函數(shù)是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，解得，.【方法技巧與總結(jié)】抓住奇偶性討論函數(shù)在各個分區(qū)間上的解析式，或充分利用奇偶性得出關(guān)于的方程，從而可得的解析式.題型九：已知奇函數(shù)+M例44．（2023·重慶一中高三階段練習(xí)）已知（a，b為實數(shù)），，則______．答案：-2014【解析】分析：先化簡得到，再利用函數(shù)奇偶性進(jìn)行求解.【詳解】，因為為奇函數(shù)，所以，其中，所以，解得：故答案為：-2014例45．（2023·河南·西平縣高級中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知函數(shù)，且，則（

）A．2 B．3 C．－2 D．－3答案：D【解析】分析：根據(jù)定義判斷函數(shù)的奇偶性，根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)可得，結(jié)合已知條件可求.【詳解】設(shè)，因為，所以為奇函數(shù)，因為，所以，則．故選：D.例46．（2023·福建省福州第一中學(xué)高二期末）若對，有，函數(shù)在區(qū)間上存在最大值和最小值，則其最大值與最小值的和為（）A．4 B．8 C．12 D．16答案：B分析：利用已知條件可得，則為奇函數(shù)，構(gòu)造即可知為奇函數(shù)，又由上存在最大、最小值，易知最小、最大值的和為0，即可求最大、最小值的和.【詳解】由題設(shè)，且，∴，則，∴為奇函數(shù)，令，∴，即是奇函數(shù)，∴在上的最小、最大值的和為0，即，∴.故選：B【點睛】關(guān)鍵點點睛：由題設(shè)求出，構(gòu)造奇函數(shù)，根據(jù)區(qū)間內(nèi)存在最值可知，進(jìn)而求最值的和.例47．（2023·上?！じ咭粚ｎ}練習(xí)）若函數(shù)的最大值和最小值分別為、，則函數(shù)圖像的對稱中心不可能是_______A． B． C． D．答案：C分析：設(shè)，可得為奇函數(shù)，進(jìn)而得到，從而得到解析式；根據(jù)的對稱中心，平移可得對稱中心的坐標(biāo)；再分別對應(yīng)四個選項，當(dāng)不是整數(shù)時，則不可能為對稱中心，由此可得選項.【詳解】設(shè)，則即為奇函數(shù)令則，可知的對稱中心為將的圖象向右平移個單位，再向上平移個單位得的圖象的對稱中心為當(dāng)時，，不合題意，可知不可能為又當(dāng)時分別對應(yīng)選項，可知均為的對稱中心本題正確選項：例48．（2023·河南·溫縣第一高級中學(xué)高三月考（理））若函數(shù)在區(qū)間上的最大值、最小值分別為、，則的值為（）．A． B． C． D．答案：C【詳解】因為所以因為函數(shù)為奇函數(shù)，所以它在區(qū)間上的最大值、最小值之和為0，

也即，

所以例49．（2023·黑龍江·哈爾濱三中高三月考（理））函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值分別為，，則的值為（）A． B． C． D．答案：C分析：根據(jù)為上的奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點對稱，得到關(guān)于點對稱，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)為上的奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點對稱，又由函數(shù)向右平移1個單位，再向上平移1個單位，所以函數(shù)關(guān)于點對稱，所以.故選：C.例50．（2023·廣東潮陽·高一期末）函數(shù)，若最大值為，最小值為，，則的取值范圍是______.答案：分析：先化簡，然后分析的奇偶性，將的最大值和小值之和轉(zhuǎn)化為和有關(guān)的式子，結(jié)合對勾函數(shù)的單調(diào)性求解出的取值范圍.【詳解】，令，定義域為關(guān)于原點對稱，∴，∴為奇函數(shù)，∴，∴，，由對勾函數(shù)的單調(diào)性可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴，，，∴，∴，故答案為：.例51．（2023·安徽·合肥市第九中學(xué)高三月考（理））已知定義域為R的函數(shù)有最大值和最小值，且最大值和最小值的和為6，則λ-μ=___.答案：-3分析：先確定，否則沒有最大值和最小值，再由為奇函數(shù)，利用條件，即可得出結(jié)論．【詳解】解：，有最大值和最小值，則，否則沒有最大或最小值，于是，設(shè)的最大值為，最小值為，則，令，則，故為奇函數(shù)；即是奇函數(shù)，，即，．．故答案為：．【方法技巧與總結(jié)】已知奇函數(shù)+M，，則（1）（2）題型十：函數(shù)的對稱性與周期性例52．（2023·天津三中二模）設(shè)函數(shù)的定義域為D，若對任意的，且，恒有，則稱函數(shù)具有對稱性，其中點為函數(shù)的對稱中心，研究函數(shù)的對稱中心，求（

）A．2022 B．4043 C．4044 D．8086答案：C【解析】分析：令函數(shù)，得出函數(shù)為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點對稱，進(jìn)而求得函數(shù)的圖象關(guān)于點中心對稱，得到當(dāng)時，再結(jié)合倒序相加法，即可求解.【詳解】令函數(shù)，則，所以函數(shù)為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點對稱，可得的圖象關(guān)于點中心對稱，即當(dāng)，可得，設(shè)，所以所以.故選：C.例53．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知定義在R上的函數(shù)滿足，且是奇函數(shù)，則（

）A．是偶函數(shù) B．的圖象關(guān)于直線對稱C．是奇函數(shù) D．的圖象關(guān)于點對稱答案：C【解析】分析：由周期函數(shù)的概念易知函數(shù)的周期為2，根據(jù)圖象平移可得的圖象關(guān)于點對稱，進(jìn)而可得奇偶性.【詳解】由可得2是函數(shù)的周期，因為是奇函數(shù)，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，所以，，所以是奇函數(shù)，故選：C.例54．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的定義域為R，且對任意恒成立，又函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，且，則（

）A．2021 B． C．2022 D．答案：C【解析】分析：通過已知條件，判斷函數(shù)的奇偶性、周期性，利用函數(shù)圖象的性質(zhì)進(jìn)行求解.【詳解】因為函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，則函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，即函數(shù)為奇函數(shù)；因為對任意，都有，令，得，又函數(shù)為奇函數(shù)，故，解得，則，即，所以4是函數(shù)的一個周期；所以.故選：C.例55．（2023·新疆·三模（文））已知定義在R上的偶函數(shù)滿足，且當(dāng)時，，則下面結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．答案：A【解析】分析：根據(jù)的奇偶性，單調(diào)性以及周期性，可將三個函數(shù)值轉(zhuǎn)化到區(qū)間中，根據(jù)在的單調(diào)性即可比較函數(shù)值的大小.【詳解】，時，單調(diào)遞增；，，單調(diào)遞增；，，綜上所述，.故選：A.例56．（2023·山東·肥城市教學(xué)研究中心模擬預(yù)測）已知函數(shù)滿足對任意恒成立，又函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，且則（

）A． B． C． D．答案：D【解析】分析：首先利用賦值法求出，代入等式賦值得到，即對稱軸為，再根據(jù)函數(shù)圖象的平移規(guī)律判斷函數(shù)為奇函數(shù)，進(jìn)一步求得函數(shù)周期，進(jìn)而得到，則可求出結(jié)果.【詳解】因為對任意，都有令得解得則即所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱.又函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，則函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，即函數(shù)為奇函數(shù)，所以所以所以8是函數(shù)的一個周期，所以故選：D.例57．（2023·廣東茂名·模擬預(yù)測）已知函數(shù)是上的奇函數(shù)，且，且當(dāng)時，，則的值為（

）A． B． C． D．答案：B【解析】分析：由已知可求得函數(shù)的周期為3，結(jié)合函數(shù)為奇函數(shù)可得即可求解.【詳解】因為，所以，因此函數(shù)的周期為，所以，又函數(shù)是上的奇函數(shù)，所以，所以，即，所以原式，又當(dāng)時，，可得，因此原式.故選：B．例58．（2023·江西鷹潭·二模（文））已知是定義在R上的奇函數(shù)，若為偶函數(shù)且，則（

）A． B． C． D．6答案：C【解析】分析：依題意可得，從而得到，即可是以為周期的周期函數(shù)，再根據(jù)及周期性計算可得；【詳解】解：因為是定義在R上的奇函數(shù)，又為偶函數(shù)，所以、且，則，即，所以，即是以為周期的周期函數(shù)，由，所以，，，所以；故選：C例59．（2023·江蘇·徐州市第七中學(xué)高三階段練習(xí)）函數(shù)滿足：對，都有，則函數(shù)的最小值為（

）A．-20 B．-16 C．-15 D．0答案：B【解析】分析：根據(jù)，由，求得，再利用導(dǎo)數(shù)法求解.【詳解】解：因為函數(shù)滿足：對，都有，所以，即，解得，所以，則，，，當(dāng)或時，，當(dāng)時，，所以的最小值為，故選：B例60．（2023·黑龍江·哈爾濱三中三模（理））定義在R上的函數(shù)滿足以下三個條件：①對于任意的實數(shù)，都有成立；②函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱；③對任意的，，，都有成立.則，，的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．答案：B【解析】分析：由①②可得函數(shù)是周期為4的函數(shù)，且是奇函數(shù)，由③可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，進(jìn)而可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，從而利用周期性和單調(diào)性即可求解.【詳解】解：由題意，因為函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，所以，所以，所以函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，又，所以，即，因為，所以函數(shù)是周期為4的函數(shù)，所以，，，因為，且，所以，所以函數(shù)為奇函數(shù)，又因為對任意的，，，都有成立，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，因為，所以，故選：B.例61．（2023·陜西·榆林市教育科學(xué)研究所模擬預(yù)測（理））已知函數(shù)滿足，且函數(shù)與的圖象的交點為，，，，則（

）A．－4π B．－2π C．2π D．4π答案：B【解析】分析：由題意可得出函數(shù)與的圖像的交點關(guān)于點對稱，從而可得出答案.【詳解】函數(shù)滿足，則的圖像關(guān)于點成中心對稱.又的圖像關(guān)于點成中心對稱所以函數(shù)與的圖像的交點關(guān)于點對稱.則，所以故選：B【方法技巧與總結(jié)】（1）若函數(shù)有兩條對稱軸，，則函數(shù)是周期函數(shù)，且；（2）若函數(shù)的圖象有兩個對稱中心，則函數(shù)是周期函數(shù)，且；（3）若函數(shù)有一條對稱軸和一個對稱中心，則函數(shù)是周期函數(shù)，且.題型十一：類周期函數(shù)例62．（2023·天津一中高三月考）定義域為的函數(shù)滿足，當(dāng)時，，若當(dāng)時，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．答案：B分析：先將不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題，再根據(jù)函數(shù)解析式以及單調(diào)性求對應(yīng)函數(shù)最值，最后解不等式得結(jié)果.【詳解】因為當(dāng)時，不等式恒成立，所以，當(dāng)時，當(dāng)時，，當(dāng)時，，因此當(dāng)時，，選B.【點睛】對于求不等式成立時的參數(shù)范圍問題，在可能的情況下把參數(shù)分離出來，使不等式一端是含有參數(shù)的不等式，另一端是一個區(qū)間上具體的函數(shù)，這樣就把問題轉(zhuǎn)化為一端是函數(shù)，另一端是參數(shù)的不等式，便于問題的解決.但要注意分離參數(shù)法不是萬能的，如果分離參數(shù)后，得出的函數(shù)解析式較為復(fù)雜，性質(zhì)很難研究，就不要使用分離參數(shù)法.例63．（2023·浙江·杭州高級中學(xué)高三期中）定義域為的函數(shù)滿足，當(dāng)時，，若時，恒成立，則實數(shù)的取值范圍是()A． B．C． D．答案：C分析：根據(jù)題意首先得得到函數(shù)的具體表達(dá)式，由，所以，所以，再由可得出f（x）的表達(dá)式，在根據(jù)函數(shù)思維求出f（x）最小值解不等式即可.【詳解】因為，所以，因為時，，所以，因為函數(shù)滿足，所以，所以，，又因為，恒成立，故，解不等式可得或.【點睛】考查函數(shù)的解析求法，解本