新高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)講義之方法技巧專題30直線、平面平行的判定與性質(zhì)(原卷版+解析)

專題30直線、平面平行的判定與性質(zhì)【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】知識(shí)點(diǎn)一：直線和平面平行1．定義直線與平面沒(méi)有公共點(diǎn)，則稱此直線與平面平行，記作∥2．判定方法（文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言）文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言線∥線線∥面如果平面外的一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行（簡(jiǎn)記為“線線平行線面平行面∥面線∥面如果兩個(gè)平面平行，那么在一個(gè)平面內(nèi)的所有直線都平行于另一個(gè)平面3．性質(zhì)定理（文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言）文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言線∥面線∥線如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線就和交線平行知識(shí)點(diǎn)二：兩個(gè)平面平行1．定義沒(méi)有公共點(diǎn)的兩個(gè)平面叫作平行平面，用符號(hào)表示為：對(duì)于平面和，若，則∥2．判定方法（文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言）文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理線∥面面∥面如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交的直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行（簡(jiǎn)記為“線面平行面面平行線面面∥面如果兩個(gè)平面同垂直于一條直線，那么這兩個(gè)平面平行∥3．性質(zhì)定理（文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言）文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言面//面線//面如果兩個(gè)平面平行，那么在一個(gè)平面中的所有直線都平行于另外一個(gè)平面性質(zhì)定理如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么他們的交線平行（簡(jiǎn)記為“面面平行線面平行”）面//面線面如果兩個(gè)平面中有一個(gè)垂直于一條直線，那么另一個(gè)平面也垂直于這條直線【方法技巧與總結(jié)】線線平行、線面平行、面面平行的轉(zhuǎn)換如圖所示．性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)判定判定判定線∥面線∥線面∥面（1）證明直線與平面平行的常用方法：①利用定義，證明直線與平面沒(méi)有公共點(diǎn)，一般結(jié)合反證法證明；②利用線面平行的判定定理，即線線平行線面平行．輔助線的作法為：平面外直線的端點(diǎn)進(jìn)平面，同向進(jìn)面，得平行四邊形的對(duì)邊，不同向進(jìn)面，延長(zhǎng)交于一點(diǎn)得平行于第三邊的線段；③利用面面平行的性質(zhì)定理，把面面平行轉(zhuǎn)化成線面平行；（2）證明面面平行的常用方法：①利用面面平行的定義，此法一般與反證法結(jié)合；②利用面面平行的判定定理；③利用兩個(gè)平面垂直于同一條直線；④證明兩個(gè)平面同時(shí)平行于第三個(gè)平面．（3）證明線線平行的常用方法：①利用直線和平面平行的判定定理；②利用平行公理；【題型歸納目錄】題型一：平行的判定題型二：線面平行構(gòu)造之三角形中位線法題型三：線面平行構(gòu)造之平行四邊形法題型四：線面平行轉(zhuǎn)化為面面平行題型五：利用線面平行的性質(zhì)證明線線平行題型六：面面平行的證明題型七：面面平行的性質(zhì)【典例例題】題型一：平行的判定例1．（2023·上海·高三專題練習(xí)）設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．若，，，則 B．若，，，則C．若，，，則 D．若，，，則例2．（2023·上海靜安·二模）在下列判斷兩個(gè)平面與平行的4個(gè)命題中，真命題的個(gè)數(shù)是（

）．（1）、都垂直于平面r，那么∥．（2）、都平行于平面r，那么∥．（3）、都垂直于直線l，那么∥．（4）如果l、m是兩條異面直線，且∥，∥，∥，∥，那么∥A．0 B．1 C．2 D．3例3．（2023·寧夏·銀川一中模擬預(yù)測(cè)（文））如圖，在下列四個(gè)正方體中，、為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，、、為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個(gè)正方體中，直線不平行于平面的是（）A． B．C． D．例4．（2023·浙江·海寧中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知是不全平行的直線，是不同的平面，則下列能夠得到的是（

）A．B．C．D．例5．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，是空間兩個(gè)不同的平面，，是空間兩條不同的直線，下列說(shuō)法中正確的是（

）A．，則B．，，則C．平面內(nèi)的不共線三點(diǎn)到平面β的距離相等，則與平行D．如果一條直線與一個(gè)平面平行，那么這條直線與此平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線平行例6．（2023·陜西·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））如圖，在正方形中，M，N分別是，的中點(diǎn)，則直線AM與平面BND的位置關(guān)系是（

）．A．垂直 B．平行 C．相交但不垂直 D．無(wú)法確定例7．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知三條直線a，b，c和兩個(gè)平面，下列命題正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【方法技巧與總結(jié)】排除法：畫(huà)一個(gè)正方體，在正方體內(nèi)部或表面找線或面進(jìn)行排除．題型二：線面平行構(gòu)造之三角形中位線法例8．（2023·山西呂梁·三模（文））如圖，在四棱柱中，底面是平行四邊形，，側(cè)面是矩形，為的中點(diǎn)，．（1）證明：平面；（2）求三棱錐的體積．例9．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在三棱錐中，O，M分別為AB，VA的中點(diǎn)．求證：平面MOC．例10．（2023·青海·海東市第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））如圖，在四棱錐中，平面平面，為等邊三角形，，，，是棱上一點(diǎn)．若，求證：平面．例11．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為的正方形，側(cè)面底面，且，若、分別為、的中點(diǎn)，求證：側(cè)面；例12．（2023·河南·濮陽(yáng)一高高三階段練習(xí)（理））如圖，四邊形為菱形，，將沿折起，得到三棱錐，點(diǎn)M，N分別為和的重心．證明：∥平面；又平面，平面，例13．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，是三棱錐的高，，，E是的中點(diǎn)．證明：平面；【方法技巧與總結(jié)】（1）初學(xué)者可以拿一把直尺放在位置（與平齊），如圖一；（2）然后把直尺平行往平面方向移動(dòng)，直到直尺第一次落在平面內(nèi)停止，如圖二；（3）此時(shí)剛好經(jīng)過(guò)點(diǎn)（這里熟練后可以直接憑數(shù)感直接找到點(diǎn)），此時(shí)直尺所在的位置就是我們要找的平行線，直尺與相交于點(diǎn)，連接，如圖三；（4）此時(shí)長(zhǎng)度有長(zhǎng)有短，連接并延長(zhǎng)剛好交于一點(diǎn)，剛好構(gòu)成型模型（為中點(diǎn)，則也為中點(diǎn)，若為等分點(diǎn)，則也為對(duì)應(yīng)等分點(diǎn)），，如圖四．圖一 圖二 圖三 圖四題型三：線面平行構(gòu)造之平行四邊形法例14．（2023·河南開(kāi)封·模擬預(yù)測(cè)（理））如圖，，O分別是圓臺(tái)上、下底的圓心，AB為圓O的直徑，以O(shè)B為直徑在底面內(nèi)作圓E，C為圓O的直徑AB所對(duì)弧的中點(diǎn)，連接BC交圓E于點(diǎn)D，，，為圓臺(tái)的母線，．證明；平面；例15．（2023·廣東·大埔縣虎山中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱臺(tái)中，，，四邊形ABCD為平行四邊形，點(diǎn)E為棱BC的中點(diǎn)．求證：平面；例16．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在如圖1所示的等腰梯形中，，將它沿著兩條高折疊成如圖2所示的四棱錐（重合），點(diǎn)分別為線段的中點(diǎn)．證明：平面；例17．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在四棱錐中，平面，四邊形是矩形，分別是的中點(diǎn)．求證：平面；例18．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，正方形與直角梯形所在平面相互垂直，，，．求證：平面；例19．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在四棱錐P-ABCD中，，，P在以AD為直徑的圓O上，平面平面PAD．設(shè)點(diǎn)Q是AP的中點(diǎn)，求證：BQ平面PCD；例20．（2023·江蘇·礦大附中高三階段練習(xí)）如圖，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，是線段的中點(diǎn)．求證：平面；例21．（2023·河南·洛寧縣第一高級(jí)中學(xué)一模（文））如圖，在四棱錐中，已知平面平面ABCD，，，，AE是等邊的中線．證明：平面．例22．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）小明同學(xué)參加綜合實(shí)踐活動(dòng)，設(shè)計(jì)了一個(gè)封閉的包裝盒，包裝盒如圖所示：底面是邊長(zhǎng)為8（單位：）的正方形，均為正三角形，且它們所在的平面都與平面垂直．（1）證明：平面；（2）求該包裝盒的容積（不計(jì)包裝盒材料的厚度）．【方法技巧與總結(jié)】（1）初學(xué)者可以拿一把直尺放在位置，如圖一；（2）然后把直尺平行往平面方向移動(dòng)，直到直尺第一次落在平面內(nèi)停止，如圖二；（3）此時(shí)剛好經(jīng)過(guò)點(diǎn)（這里熟練后可以直接憑數(shù)感直接找到點(diǎn)），此時(shí)直尺所在的位置就是我們要找的平行線，直尺與相交于點(diǎn)O，連接，如圖三；（4）此時(shí)長(zhǎng)度相等（感官上相等即可，若感覺(jué)有長(zhǎng)有短則考慮法一A型的平行），連接，剛好構(gòu)成平行四邊形型模型（為中點(diǎn)，O也為中點(diǎn)，為三角形中位線），，如圖四．圖一圖二圖三圖四題型四：線面平行轉(zhuǎn)化為面面平行例23．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在三棱柱中，側(cè)面為正方形，平面平面，，M，N分別為，AC的中點(diǎn)．求證：平面；例24．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖所示的幾何體中，底面ABCD是等腰梯形，，平面，，且，E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)．證明：面ABCD；例25．（2023·湖南·長(zhǎng)沙一中高三階段練習(xí)）如圖、三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，是邊長(zhǎng)為2的正三角形，，點(diǎn)在線段上且，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)為多少時(shí)，直線平面？例26．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在等腰直角三角形中，分別是上的點(diǎn)，且分別為的中點(diǎn)，現(xiàn)將沿折起，得到四棱錐，連接證明：平面；例27．（2023·貴州·貴陽(yáng)一中高三階段練習(xí)（理））如圖，四棱錐中，平面平面，，，，，，．是中點(diǎn)，是上一點(diǎn)．是否存在點(diǎn)使得平面，若存在求的長(zhǎng)．若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；例28．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知將圓柱沿著軸截面分割，得到如圖所示的幾何體，若四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形，E，F(xiàn)分別是上的點(diǎn)，H是的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)O，．求證：平面；例29．（2023·河北·高三專題練習(xí)）如圖所示正四棱錐，，P為側(cè)棱上的點(diǎn)．且，求：（1）正四棱錐的表面積；（2）側(cè)棱上是否存在一點(diǎn)E，使得平面．若存在，求的值；若不存在，試說(shuō)明理由．例30．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在如圖所示的圓柱中，為圓的直徑，、是的兩個(gè)三等分點(diǎn)，、、都是圓柱的母線．求證：平面；【方法技巧與總結(jié)】本法原理：已知平面平面，則平面里的任意直線均與平面平行題型五：利用線面平行的性質(zhì)證明線線平行例31．（2023·福建·三模）如圖，在三棱錐中，和均是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形．是棱上的點(diǎn)，，過(guò)的平面與直線垂直，且平面平面．在圖中畫(huà)出，寫(xiě)出畫(huà)法并說(shuō)明理由；例32．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖所示，四棱錐的底面是直角梯形，，底面，過(guò)的平面交于，交于（與不重合）．求證：；例33．（2023·山東青島·二模）如圖，P為圓錐的頂點(diǎn)，O為圓錐底面的圓心，圓錐的底面直徑，母線，M是PB的中點(diǎn)，四邊形OBCH為正方形．設(shè)平面平面，證明：；例34．（2023·安徽·蚌埠二中模擬預(yù)測(cè)（理））正方體中，點(diǎn)在棱上，過(guò)點(diǎn)作平面的平行平面，記平面與平面的交線為，則與所成角的大小為（

）A． B． C． D．例35．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，己知三棱錐中，為正三角形，，D，E分別為，的中點(diǎn)，經(jīng)過(guò)的平面與分別交于點(diǎn)G，F(xiàn)，且．求證：四邊形是平行四邊形；例36．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，是圓的直徑，點(diǎn)是圓上異于的點(diǎn)，直線平面，分別是，的中點(diǎn)．記平面與平面的交線為，求證：直線平面；例37．（2023·安徽·安慶一中高三階段練習(xí)（文））如圖，四棱錐的底面是平行四邊形，設(shè)平面與平面的交線為直線．證明：∥平面；例38．（2023·河北·石家莊二中模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐中，底面，底面是直角梯形，，，，是上的點(diǎn)．若平面，求的值；【方法技巧與總結(jié)】如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線就和交線平行題型六：面面平行的證明例39．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，AB＝AD，PA⊥PD，AD⊥CD，∠BAD＝60°，M，N分別為AD，PA的中點(diǎn)．證明：平面BMN∥平面PCD；例40．（2023·浙江·高三專題練習(xí)）在三棱錐中，平面平面，，，過(guò)作，垂足為，點(diǎn)，分別是棱，的中點(diǎn)．求證：平面平面．例41．（2023·河南·高三階段練習(xí)（理））如圖，在四棱柱中，四邊形ABCD是正方形，E，F(xiàn)，G分別是棱，，的中點(diǎn)．證明：平面平面；例42．（2023·安徽·南陵中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））如圖，在正方體中，E，F(xiàn)分別為棱的中點(diǎn)．求證：平面平面BDF；【方法技巧與總結(jié)】常用證明面面平行的方法是在一個(gè)平面內(nèi)找到兩條相交直線與另一個(gè)平面分別平行或找一條直線同時(shí)垂直于這兩個(gè)平面．證明面面平行關(guān)鍵是找到兩組相交直線分別平行．題型七：面面平行的性質(zhì)例43．（2023·黑龍江·高三階段練習(xí)（理））四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，，底面，，，分別是，的中點(diǎn)．已知，若平面平面，求的值；例44．（2023·青海玉樹(shù)·高三階段練習(xí)（文））在長(zhǎng)方體中，，P為的中點(diǎn)．已知過(guò)點(diǎn)的平面與平面平行，平面與直線分別相交于點(diǎn)M，N，請(qǐng)確定點(diǎn)M，N的位置；例45．（2023·四川·模擬預(yù)測(cè)（理））如圖，在直棱柱中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G是線段AF上的動(dòng)點(diǎn)．確定點(diǎn)G的位置，使得平面平面，并給予證明；例46．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在直棱柱中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G是線段AF上的動(dòng)點(diǎn)．確定點(diǎn)G的位置，使得平面平面，并給予證明【過(guò)關(guān)測(cè)試】一、單選題1．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)（理））已知m、n是兩條不同的直線，α、β是兩個(gè)不同的平面，則下列結(jié)論一定成立的是（

）A．若m⊥n，m⊥α，則n∥α B．若m∥α，α∥β，則m∥βC．若m⊥α，α⊥β，則m∥β D．若m⊥α，n⊥β，m⊥n，則α⊥β2．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)（理））已知長(zhǎng)方體中，，，，分別為棱和的中點(diǎn)，為長(zhǎng)方體表面上任意一點(diǎn)．若平面，則的最大值為（

）A． B． C． D．63．（2023·云南師大附中模擬預(yù)測(cè)（理））若，是兩個(gè)不同平面，，是兩條不同直線，則下列4個(gè)推斷中正確的是（

）A．，，，B．，，C．，，，D．，，4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））下列四個(gè)命題，真命題的個(gè)數(shù)為（

）（1）如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線，則這條直線垂直于該平面；（2）過(guò)空間一定點(diǎn)有且只有一條直線和已知平面垂直；（3）平行于同一個(gè)平面的兩條直線平行；（4）a與b為空間中的兩條異面直線，點(diǎn)A不在直線a，b上，則過(guò)點(diǎn)A有且僅有一個(gè)平面與直線a，b都平行．A．0 B．1 C．2 D．35．（2023·廣東廣州·三模）一幾何體的平面展開(kāi)圖如圖所示，其中四邊形為正方形，分別為的中點(diǎn)，在此幾何體中，下面結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．直線與直線異面B．直線與直線異面C．直線平面D．直線平面6．（2023·新疆克拉瑪依·三模（文））如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，為棱的中點(diǎn)，為正方形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)（含邊界），若平面，則線段長(zhǎng)度的取值范圍是（

）A． B．C． D．7．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））已知點(diǎn)E，F(xiàn)分別是正方體ABCD－A1B1C1D1的棱AB，AA1的中點(diǎn)，點(diǎn)M，N分別是線段D1E與C1F上的點(diǎn)，則滿足與平面ABCD平行的直線MN有（）A．0條 B．1條 C．2條 D．無(wú)數(shù)條8．（2023·安徽師范大學(xué)附屬中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））如圖，在三棱柱中，過(guò)的截面與AC交于點(diǎn)D，與BC交于點(diǎn)E，該截面將三棱柱分成體積相等的兩部分，則（

）A． B． C． D．二、多選題9．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在下列四個(gè)正方體中，A，B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M，N，Q為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個(gè)正方體中，直線與平面平行的是（

）A． B．C． D．10．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在正四面體A－BCD中，，點(diǎn)O為的重心，過(guò)點(diǎn)O的截面平行于AB和CD，分別交BC，BD，AD，AC于E，F(xiàn)，G，H，則（

）A．四邊形EFGH的周長(zhǎng)為8B．四邊形EFGH的面積為2C．直線AB和平面EFGH的距離為D．直線AC與平面EFGH所成的角為11．（2023·河北石家莊·高三階段練習(xí)）已知m，n為異面直線，平面，平面．若直線l滿足，則（

）A．B．C．與相交，且交線平行于lD．與相交，且交線垂直于l12．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在正方體中，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．存在，使得B．對(duì)任意的，都有C．對(duì)任意的，都有平面D．當(dāng)時(shí)，直線與平面所成角的正切值為三、填空題13．（2023·安徽省含山中學(xué)三模（文））三棱錐中，，過(guò)線段中點(diǎn)E作平面與直線、都平行，且分別交、、于F、G、H，則四邊形的周長(zhǎng)為_(kāi)________．14．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））如圖所示，為平行四邊形所在平面外一點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為上一點(diǎn)，若平面，則_______15．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，已知棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，M分別是線段AB，AD，AA1的中點(diǎn)，又P，Q分別在線段A1B1，A1D1上，且A1P＝A1Q＝x（0<x<1）．設(shè)平面MEF∩平面MPQ＝l，現(xiàn)有下列結(jié)論：①l//平面ABCD；②l⊥AC；③直線l與平面BCC1B1不垂直；④當(dāng)x變化時(shí)，l不是定直線．其中成立的結(jié)論是________．（寫(xiě)出所有成立結(jié)論的序號(hào)）16．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知在長(zhǎng)方體中，，AB＝2，平面過(guò)棱AB，BC，的中點(diǎn)，點(diǎn)底面ABCD．若直線平面，則的最小值為_(kāi)_____．四、解答題17．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在三棱柱中，側(cè)面為正方形，平面平面，，M，N分別為，AC的中點(diǎn)．求證：平面；18．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，是圓的直徑，點(diǎn)是圓上異于的點(diǎn)，直線平面，分別是，的中點(diǎn)．記平面與平面的交線為，求證：直線平面19．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，直三棱錐中，，，是邊的中點(diǎn)，過(guò)作截面交于點(diǎn)．求證：；20．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在正方體中，點(diǎn)E在棱上，且，點(diǎn)F是棱上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．點(diǎn)F在什么位置時(shí)，平面，并說(shuō)明理由．21．（2023·黑龍江·哈爾濱三中模擬預(yù)測(cè)（文））如圖，在四棱錐中，底面為矩形，，點(diǎn)為線段上的點(diǎn)，且．（1）證明：平面平面；（2）若，且在線段上存在一點(diǎn)，使得平面．請(qǐng)確定點(diǎn)的位置．并證明你的結(jié)論．22．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））如圖，在四棱柱中，點(diǎn)M是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)．（1）設(shè)G為棱上的一點(diǎn)，問(wèn)：當(dāng)G在什么位置時(shí)，平面平面？（2）設(shè)三棱錐的體積為，四棱柱的體積為，求．專題30直線、平面平行的判定與性質(zhì)【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】知識(shí)點(diǎn)一：直線和平面平行1．定義直線與平面沒(méi)有公共點(diǎn)，則稱此直線與平面平行，記作∥2．判定方法（文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言）文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言線∥線線∥面如果平面外的一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行（簡(jiǎn)記為“線線平行線面平行面∥面線∥面如果兩個(gè)平面平行，那么在一個(gè)平面內(nèi)的所有直線都平行于另一個(gè)平面3．性質(zhì)定理（文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言）文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言線∥面線∥線如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線就和交線平行知識(shí)點(diǎn)二：兩個(gè)平面平行1．定義沒(méi)有公共點(diǎn)的兩個(gè)平面叫作平行平面，用符號(hào)表示為：對(duì)于平面和，若，則∥2．判定方法（文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言）文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理線∥面面∥面如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交的直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行（簡(jiǎn)記為“線面平行面面平行線面面∥面如果兩個(gè)平面同垂直于一條直線，那么這兩個(gè)平面平行∥3．性質(zhì)定理（文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言）文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言面//面線//面如果兩個(gè)平面平行，那么在一個(gè)平面中的所有直線都平行于另外一個(gè)平面性質(zhì)定理如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么他們的交線平行（簡(jiǎn)記為“面面平行線面平行”）面//面線面如果兩個(gè)平面中有一個(gè)垂直于一條直線，那么另一個(gè)平面也垂直于這條直線【方法技巧與總結(jié)】線線平行、線面平行、面面平行的轉(zhuǎn)換如圖所示．性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)判定判定判定線∥面線∥線面∥面（1）證明直線與平面平行的常用方法：①利用定義，證明直線與平面沒(méi)有公共點(diǎn)，一般結(jié)合反證法證明；②利用線面平行的判定定理，即線線平行線面平行．輔助線的作法為：平面外直線的端點(diǎn)進(jìn)平面，同向進(jìn)面，得平行四邊形的對(duì)邊，不同向進(jìn)面，延長(zhǎng)交于一點(diǎn)得平行于第三邊的線段；③利用面面平行的性質(zhì)定理，把面面平行轉(zhuǎn)化成線面平行；（2）證明面面平行的常用方法：①利用面面平行的定義，此法一般與反證法結(jié)合；②利用面面平行的判定定理；③利用兩個(gè)平面垂直于同一條直線；④證明兩個(gè)平面同時(shí)平行于第三個(gè)平面．（3）證明線線平行的常用方法：①利用直線和平面平行的判定定理；②利用平行公理；【題型歸納目錄】題型一：平行的判定題型二：線面平行構(gòu)造之三角形中位線法題型三：線面平行構(gòu)造之平行四邊形法題型四：線面平行轉(zhuǎn)化為面面平行題型五：利用線面平行的性質(zhì)證明線線平行題型六：面面平行的證明題型七：面面平行的性質(zhì)【典例例題】題型一：平行的判定例1．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．若，，，則 B．若，，，則C．若，，，則 D．若，，，則答案：C【解析】對(duì)于A，因，，當(dāng)時(shí)，而，則，當(dāng)時(shí)，在直線上取點(diǎn)，過(guò)作直線，則，過(guò)直線的平面，如圖，由得，于是得，而，則，而，所以，A正確；對(duì)于B，若，，則，又，則存在過(guò)直線的平面，使得，則有直線，即有，所以，B正確；對(duì)于C，如圖，在長(zhǎng)方體中，平面為平面，直線為直線，平面為平面，直線為直線，滿足，，，而，C不正確；對(duì)于D，若，，則，又，于是得，D正確．故選：C例2．（2023·上海靜安·二模）在下列判斷兩個(gè)平面與平行的4個(gè)命題中，真命題的個(gè)數(shù)是（

）．（1）、都垂直于平面r，那么∥．（2）、都平行于平面r，那么∥．（3）、都垂直于直線l，那么∥．（4）如果l、m是兩條異面直線，且∥，∥，∥，∥，那么∥A．0 B．1 C．2 D．3答案：D【解析】由面面平行的判定定理分析可知（1）錯(cuò)，（2），（3），（4）正確．故選：D例3．（2023·寧夏·銀川一中模擬預(yù)測(cè)（文））如圖，在下列四個(gè)正方體中，、為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，、、為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個(gè)正方體中，直線不平行于平面的是（）A． B．C． D．答案：D【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，連接，如下圖所示：因?yàn)榍遥?，四邊形為平行四邊形，所以，，、分別為、的中點(diǎn)，則，所以，，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，平面；?duì)于B選項(xiàng)，連接，如下圖所示：因?yàn)榍遥?，四邊形為平行四邊形，所以，，、分別為、的中點(diǎn)，所以，，，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，平面；?duì)于C選項(xiàng)，連接，如下圖所示：因?yàn)榍遥?，四邊形為平行四邊形，所以，，、分別為、的中點(diǎn)，所以，，，因?yàn)槠矫?，平面，所以，平面；?duì)于D選項(xiàng)，連接、交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，設(shè)，連接，因?yàn)?、分別為、的中點(diǎn)，則，若平面，平面，平面平面，則，在平面內(nèi)，過(guò)該平面內(nèi)的點(diǎn)作直線的平行線，有且只有一條，與題設(shè)矛盾．假設(shè)不成立，故D選項(xiàng)中的直線與平面不平行．故選：D．例4．（2023·浙江·海寧中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知是不全平行的直線，是不同的平面，則下列能夠得到的是（

）A．B．C．D．答案：C【解析】對(duì)于A，由垂直于同一平面的兩個(gè)平面可以平行或相交可知，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由平面與平面平行的判定定理可知，若，則結(jié)論不成立，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)槭遣蝗叫械墓裁嬷本€，即至少兩條相交，所以成立．故選C正確；對(duì)于D，由平行于同一直線的兩個(gè)平面平行或相交可知，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選：C例5．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，是空間兩個(gè)不同的平面，，是空間兩條不同的直線，下列說(shuō)法中正確的是（

）A．，則B．，，則C．平面內(nèi)的不共線三點(diǎn)到平面β的距離相等，則與平行D．如果一條直線與一個(gè)平面平行，那么這條直線與此平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線平行答案：D【解析】，則或，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；，，則或，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；當(dāng)平面與平面相交時(shí)，可以在平面內(nèi)找到不共線三點(diǎn)到平面β的距離相等，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；如果一條直線與一個(gè)平面平行，那么平面內(nèi)必有一條直線與給定直線平行，而平面內(nèi)與一條直線平行的直線有無(wú)數(shù)條，根據(jù)平行的傳遞性，這些直線都與給定直線平行，所以有無(wú)數(shù)條，故選項(xiàng)D正確．故選：D．例6．（2023·陜西·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））如圖，在正方形中，M，N分別是，的中點(diǎn)，則直線AM與平面BND的位置關(guān)系是（

）．A．垂直 B．平行 C．相交但不垂直 D．無(wú)法確定答案：B【解析】連接交于，連接，而M，N分別是，的中點(diǎn)，所以，即，且，即，則為平行四邊形，故，由面，面，則面．故選：B例7．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知三條直線a，b，c和兩個(gè)平面，下列命題正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則答案：D【解析】A：，則或，錯(cuò)誤；B：，則或，錯(cuò)誤；C：，則可能相交或平行，錯(cuò)誤；D：由為兩個(gè)平面且、，故且，由，則，又，，，則，所以，正確．故選：D【方法技巧與總結(jié)】排除法：畫(huà)一個(gè)正方體，在正方體內(nèi)部或表面找線或面進(jìn)行排除．題型二：線面平行構(gòu)造之三角形中位線法例8．（2023·山西呂梁·三模（文））如圖，在四棱柱中，底面是平行四邊形，，側(cè)面是矩形，為的中點(diǎn)，．（1）證明：平面；（2）求三棱錐的體積．【解析】（1）證明：如圖，連接交于點(diǎn)，連接．因?yàn)榈酌媸瞧叫兴倪呅危允堑闹悬c(diǎn)．又是的中點(diǎn)，所以．因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面?）因?yàn)榫匦沃袨榈闹悬c(diǎn)，所以，所以．因?yàn)?，所以所以．因?yàn)?，平面，平面所以平面．因?yàn)槠矫?，所以．又，平面，平面所以平面．因?yàn)椋?，所以?．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在三棱錐中，O，M分別為AB，VA的中點(diǎn)．求證：平面MOC．【解析】證明：因?yàn)镺，M分別為AB，VA的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)槠矫鍹OC，平面MOC，所以平面MOC．例10．（2023·青?！ず|市第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））如圖，在四棱錐中，平面平面，為等邊三角形，，，，是棱上一點(diǎn)．若，求證：平面．【解析】連接，記與的交點(diǎn)為，連接．由，得，，又，則，∴，又平面，平面，∴平面．例11．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為的正方形，側(cè)面底面，且，若、分別為、的中點(diǎn)，求證：側(cè)面；【解析】（1）證明：連接，因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，且為的中點(diǎn)，所以，為的中點(diǎn)，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，平面，平面，平面．例12．（2023·河南·濮陽(yáng)一高高三階段練習(xí)（理））如圖，四邊形為菱形，，將沿折起，得到三棱錐，點(diǎn)M，N分別為和的重心．證明：∥平面；【解析】延長(zhǎng)交于點(diǎn)P，延長(zhǎng)交于O點(diǎn)，連接．因?yàn)辄c(diǎn)M，N分別為和的重心，所以點(diǎn)P，O分別為和的中點(diǎn)，所以，又平面，平面，所以平面．例13．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，是三棱錐的高，，，E是的中點(diǎn)．證明：平面；【解析】證明：連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接、，因?yàn)槭侨忮F的高，所以平面，平面，所以、，又，所以，即，所以，又，即，所以，，所以所以，即，所以為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，所以，又平面，平面，所以平面【方法技巧與總結(jié)】（1）初學(xué)者可以拿一把直尺放在位置（與平齊），如圖一；（2）然后把直尺平行往平面方向移動(dòng)，直到直尺第一次落在平面內(nèi)停止，如圖二；（3）此時(shí)剛好經(jīng)過(guò)點(diǎn)（這里熟練后可以直接憑數(shù)感直接找到點(diǎn)），此時(shí)直尺所在的位置就是我們要找的平行線，直尺與相交于點(diǎn)，連接，如圖三；（4）此時(shí)長(zhǎng)度有長(zhǎng)有短，連接并延長(zhǎng)剛好交于一點(diǎn)，剛好構(gòu)成型模型（為中點(diǎn)，則也為中點(diǎn)，若為等分點(diǎn)，則也為對(duì)應(yīng)等分點(diǎn)），，如圖四．圖一 圖二 圖三 圖四題型三：線面平行構(gòu)造之平行四邊形法例14．（2023·河南開(kāi)封·模擬預(yù)測(cè)（理））如圖，，O分別是圓臺(tái)上、下底的圓心，AB為圓O的直徑，以O(shè)B為直徑在底面內(nèi)作圓E，C為圓O的直徑AB所對(duì)弧的中點(diǎn)，連接BC交圓E于點(diǎn)D，，，為圓臺(tái)的母線，．證明；平面；【解析】連接，C為圓O的直徑AB所對(duì)弧的中點(diǎn)，所以△為等腰直角三角形，即，又在圓上，故△為等腰直角三角形，所以且，又是母線且，則，故且，則為平行四邊形，所以，而面，面，故平面．例15．（2023·廣東·大埔縣虎山中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱臺(tái)中，，，四邊形ABCD為平行四邊形，點(diǎn)E為棱BC的中點(diǎn)．求證：平面；【解析】在四棱臺(tái)中，四邊形為平行四邊形，且，點(diǎn)E為棱BC的中點(diǎn)，連，如圖，則有，，即四邊形為平行四邊形，則，又平面，平面，所以平面．例16．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在如圖1所示的等腰梯形中，，將它沿著兩條高折疊成如圖2所示的四棱錐（重合），點(diǎn)分別為線段的中點(diǎn)．證明：平面；【解析】證明：取EC的中點(diǎn)G，連接NG，BG，因?yàn)辄c(diǎn)分別為線段的中點(diǎn)．所以，又，所以，所以四邊形MBGN是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面；例17．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在四棱錐中，平面，四邊形是矩形，分別是的中點(diǎn)．求證：平面；【解析】證明：取的中點(diǎn)，連接，，又是的中點(diǎn)，所以，且．因?yàn)樗倪呅问蔷匦危郧?，所以，且．因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，所以且，所以四邊形是平行四邊形，故．因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面．?8．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，正方形與直角梯形所在平面相互垂直，，，．求證：平面；【解析】設(shè)，取中點(diǎn)，連接、，∵四邊形是正方形，∴是的中點(diǎn)，又是的中點(diǎn)，∴，，∵四邊形是直角梯形，，，∴，，∴四邊形是平行四邊形，∴，又平面，平面，∴平面，即平面；例19．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在四棱錐P-ABCD中，，，P在以AD為直徑的圓O上，平面平面PAD．設(shè)點(diǎn)Q是AP的中點(diǎn)，求證：BQ平面PCD；【解析】證明：設(shè)為中點(diǎn)，連接，又Q是AP的中點(diǎn)，即且，又，，故且，所以為平行四邊形，故，由面，面，則面．例20．（2023·江蘇·礦大附中高三階段練習(xí)）如圖，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，是線段的中點(diǎn)．求證：平面；【解析】（1）設(shè)，連接，因?yàn)槭钦叫?，所以是中點(diǎn)，又因?yàn)槭蔷匦危蔷€段的中點(diǎn)，所以，，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面；例21．（2023·河南·洛寧縣第一高級(jí)中學(xué)一模（文））如圖，在四棱錐中，已知平面平面ABCD，，，，AE是等邊的中線．證明：平面．【解析】證明：如圖，取PC的中點(diǎn)F，連接EF，BF．因?yàn)镋是棱PD的中點(diǎn)，所以，且．因?yàn)椋?，所以，，所以四邊形ABFE是平行四邊形，所以．因?yàn)槠矫?，平面，所以平面．?2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）小明同學(xué)參加綜合實(shí)踐活動(dòng)，設(shè)計(jì)了一個(gè)封閉的包裝盒，包裝盒如圖所示：底面是邊長(zhǎng)為8（單位：）的正方形，均為正三角形，且它們所在的平面都與平面垂直．（1）證明：平面；（2）求該包裝盒的容積（不計(jì)包裝盒材料的厚度）．【解析】（1）如圖所示：分別取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)闉槿鹊恼切危?，，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，同理可得平面，根?jù)線面垂直的性質(zhì)定理可知，而，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面．（2）如圖所示：分別取中點(diǎn)，由（1）知，且，同理有，，，，由平面知識(shí)可知，，，，所以該幾何體的體積等于長(zhǎng)方體的體積加上四棱錐體積的倍．因?yàn)?，，點(diǎn)到平面的距離即為點(diǎn)到直線的距離，，所以該幾何體的體積．【方法技巧與總結(jié)】（1）初學(xué)者可以拿一把直尺放在位置，如圖一；（2）然后把直尺平行往平面方向移動(dòng)，直到直尺第一次落在平面內(nèi)停止，如圖二；（3）此時(shí)剛好經(jīng)過(guò)點(diǎn)（這里熟練后可以直接憑數(shù)感直接找到點(diǎn)），此時(shí)直尺所在的位置就是我們要找的平行線，直尺與相交于點(diǎn)O，連接，如圖三；（4）此時(shí)長(zhǎng)度相等（感官上相等即可，若感覺(jué)有長(zhǎng)有短則考慮法一A型的平行），連接，剛好構(gòu)成平行四邊形型模型（為中點(diǎn)，O也為中點(diǎn)，為三角形中位線），，如圖四．圖一圖二圖三圖四題型四：線面平行轉(zhuǎn)化為面面平行例23．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在三棱柱中，側(cè)面為正方形，平面平面，，M，N分別為，AC的中點(diǎn)．求證：平面；【解析】取的中點(diǎn)為，連接，由三棱柱可得四邊形為平行四邊形，而，則，而平面，平面，故平面，而，則，同理可得平面，而平面，故平面平面，而平面，故平面．例24．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖所示的幾何體中，底面ABCD是等腰梯形，，平面，，且，E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)．證明：面ABCD；【解析】（1）證明：取的中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G，AC，因?yàn)?，平面ABCD，平面ABCD，所以平面ABCD，因?yàn)?，，所以四邊形AGFC是平行四邊形，，又平面ABCD，平面ABCD，所以平面ABCD，因?yàn)?，平面，所以平面平面ABCD，因?yàn)槠矫鍭BCD，所以平面ABCD．例25．（2023·湖南·長(zhǎng)沙一中高三階段練習(xí)）如圖、三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，是邊長(zhǎng)為2的正三角形，，點(diǎn)在線段上且，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)為多少時(shí)，直線平面？【解析】當(dāng)點(diǎn)是線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)時(shí)，平面過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接平面平面，面平面又，則平面平面平面平面．

當(dāng)時(shí)，平面．例26．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在等腰直角三角形中，分別是上的點(diǎn)，且分別為的中點(diǎn)，現(xiàn)將沿折起，得到四棱錐，連接證明：平面；【解析】（1）在四棱錐中，取的中點(diǎn)，連接．因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，，所以又平面，平面，所以平面，同理可得，平面，又平面，所以平面平面，因?yàn)槠矫?，所以平面．?7．（2023·貴州·貴陽(yáng)一中高三階段練習(xí)（理））如圖，四棱錐中，平面平面，，，，，，．是中點(diǎn)，是上一點(diǎn)．是否存在點(diǎn)使得平面，若存在求的長(zhǎng)．若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；【解析】存在．理由如下：在上取點(diǎn)，在上取點(diǎn)，使得，則，平面，故平面，而而，故是平行四邊形，故平面，故平面，而，故平面平面，而平面，得平面平面，在中，，．例28．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知將圓柱沿著軸截面分割，得到如圖所示的幾何體，若四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形，E，F(xiàn)分別是上的點(diǎn)，H是的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)O，．求證：平面；【解析】證明：由題意知，又，所以H為的中點(diǎn)．連接，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以．又平面，平面，所以平面；易知，又平面，平面，所以平面又平面，所以平面平面．又平面，所以平面．例29．（2023·河北·高三專題練習(xí)）如圖所示正四棱錐，，P為側(cè)棱上的點(diǎn)．且，求：（1）正四棱錐的表面積；（2）側(cè)棱上是否存在一點(diǎn)E，使得平面．若存在，求的值；若不存在，試說(shuō)明理由．【解析】（1）正四棱錐中，，，側(cè)面的高，正四棱錐的表面積．（2）在側(cè)棱上存在一點(diǎn)，使平面，滿足．理由如下：取中點(diǎn)為，因?yàn)?，則，過(guò)作的平行線交于，連接，．在中，有，平面，平面，平面，由于，．又由于，平面，平面，平面，，平面平面，得平面例30．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在如圖所示的圓柱中，為圓的直徑，、是的兩個(gè)三等分點(diǎn)，、、都是圓柱的母線．求證：平面；【解析】證明：連接、，在圓柱中，為圓的直徑，、是的兩個(gè)三等分點(diǎn)，則，且，故、、均為等邊三角形，所以，在底面中，，則，平面，平面，所以，平面，因?yàn)椤?、都是圓柱的母線，則，平面，平面，平面，，所以，平面平面，因?yàn)槠矫?，因此，平面．【方法技巧與總結(jié)】本法原理：已知平面平面，則平面里的任意直線均與平面平行題型五：利用線面平行的性質(zhì)證明線線平行例31．（2023·福建·三模）如圖，在三棱錐中，和均是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形．是棱上的點(diǎn)，，過(guò)的平面與直線垂直，且平面平面．在圖中畫(huà)出，寫(xiě)出畫(huà)法并說(shuō)明理由；【解析】如圖，在內(nèi)過(guò)作，交于，則直線即為直線．理由如下：取的中點(diǎn)，連結(jié)，，因?yàn)楹途鶠榈冗吶切?，所以，，所以，，又因?yàn)椋云矫?，又因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?，又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，所以，所以直線即為直線．例32．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖所示，四棱錐的底面是直角梯形，，底面，過(guò)的平面交于，交于（與不重合）．求證：；【解析】證明：在梯形中，，平面，平面，平面．又平面，平面平面，所以．例33．（2023·山東青島·二模）如圖，P為圓錐的頂點(diǎn)，O為圓錐底面的圓心，圓錐的底面直徑，母線，M是PB的中點(diǎn)，四邊形OBCH為正方形．設(shè)平面平面，證明：；【解析】因?yàn)樗倪呅蜲BCH為正方形，∴，∵平面POH，平面POH，∴平面POH．∵平面PBC，平面平面，∴．例34．（2023·安徽·蚌埠二中模擬預(yù)測(cè)（理））正方體中，點(diǎn)在棱上，過(guò)點(diǎn)作平面的平行平面，記平面與平面的交線為，則與所成角的大小為（

）A． B． C． D．答案：D【解析】因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面平面，則；在正方體中，易證平面，故，所以，即與所成角的大小為．故選：．例35．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，己知三棱錐中，為正三角形，，D，E分別為，的中點(diǎn)，經(jīng)過(guò)的平面與分別交于點(diǎn)G，F(xiàn)，且．求證：四邊形是平行四邊形；【解析】證明：平面，平面PAC，平面，平面，，，D，E分別為，的中點(diǎn)，，又平面，平面，平面，，平面，，四邊形是平行四邊形．例36．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，是圓的直徑，點(diǎn)是圓上異于的點(diǎn)，直線平面，分別是，的中點(diǎn)．記平面與平面的交線為，求證：直線平面；【解析】因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)所以，又因?yàn)槠矫妫矫嫠云矫嬗制矫?，平面與平面的交線為，所以，而平面，平面，所以平面例37．（2023·安徽·安慶一中高三階段練習(xí)（文））如圖，四棱錐的底面是平行四邊形，設(shè)平面與平面的交線為直線．證明：∥平面；【解析】因?yàn)樗倪呅问瞧叫兴倪呅危?，因?yàn)槠矫嫫矫妫云矫?，又因?yàn)槠矫嫫矫嫫矫妫?，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面．?8．（2023·河北·石家莊二中模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐中，底面，底面是直角梯形，，，，是上的點(diǎn)．若平面，求的值；【解析】連接，交于點(diǎn)，連接；平面，平面，平面平面，，；，，，，即的值為．【方法技巧與總結(jié)】如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線就和交線平行題型六：面面平行的證明例39．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，AB＝AD，PA⊥PD，AD⊥CD，∠BAD＝60°，M，N分別為AD，PA的中點(diǎn)．證明：平面BMN∥平面PCD；【解析】證明：連接BD，∵AB＝AD，∠BAD＝60°，∴△ABD為正三角形．∵M(jìn)為AD的中點(diǎn)，∴BM⊥AD．∵AD⊥CD，CD，BM?平面ABCD，∴BM∥CD．又BM平面PCD，CD?平面PCD，∴BM∥平面PCD．∵M(jìn)，N分別為AD，PA的中點(diǎn)，∴MN∥PD．又MN平面PCD，PD?平面PCD，∴MN∥平面PCD．又BM，MN?平面BMN，BM∩MN＝M，∴平面BMN∥平面PCD．例40．（2023·浙江·高三專題練習(xí)）在三棱錐中，平面平面，，，過(guò)作，垂足為，點(diǎn)，分別是棱，的中點(diǎn)．求證：平面平面．【解析】∵，，垂足為，∴是的中點(diǎn)，又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，∴∥，∵平面，平面，∴∥平面；同理∥，∵平面，平面，∴∥平面；又，∴平面∥平面．例41．（2023·河南·高三階段練習(xí)（理））如圖，在四棱柱中，四邊形ABCD是正方形，E，F(xiàn)，G分別是棱，，的中點(diǎn)．證明：平面平面；【解析】證明：連接EG，．因?yàn)镋，G分別是棱，的中點(diǎn)，所以，．因?yàn)椋?，所以，，所以四邊形是平行四邊形，則．因?yàn)槠矫?，平面，所以平面．因?yàn)镋，F(xiàn)分別是棱，的中點(diǎn)，所以．因?yàn)?，所以．因?yàn)槠矫?，平面，所以平面．因?yàn)槠矫?，平面，且，所以平面平面．?2．（2023·安徽·南陵中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））如圖，在正方體中，E，F(xiàn)分別為棱的中點(diǎn)．求證：平面平面BDF；【解析】證明：在正方體中，E，F(xiàn)分別為棱的中點(diǎn)，所以．因?yàn)?，且，所以，且，所以四邊形是平行四邊形，所以又平面BDF，平面BDF，所以平面．同理，，又平面BDF，平面BDF，所以平面．又，平面，所以平面平面【方法技巧與總結(jié)】常用證明面面平行的方法是在一個(gè)平面內(nèi)找到兩條相交直線與另一個(gè)平面分別平行或找一條直線同時(shí)垂直于這兩個(gè)平面．證明面面平行關(guān)鍵是找到兩組相交直線分別平行．題型七：面面平行的性質(zhì)例43．（2023·黑龍江·高三階段練習(xí)（理））四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，，底面，，，分別是，的中點(diǎn)．已知，若平面平面，求的值；【解析】若平面平面，平面平面，平面平面，由面面平行的性質(zhì)定理可知：，于是，由為的中點(diǎn)知：為的中點(diǎn)，故，所以．例44．（2023·青海玉樹(shù)·高三階段練習(xí)（文））在長(zhǎng)方體中，，P為的中點(diǎn)．已知過(guò)點(diǎn)的平面與平面平行，平面與直線分別相交于點(diǎn)M，N，請(qǐng)確定點(diǎn)M，N的位置；【解析】依題意，如圖，平面平面，平面平面，平面平面，則，在長(zhǎng)方體中，，則有四邊形為平行四邊形，于是得，即點(diǎn)M是棱AB的中點(diǎn)，同理點(diǎn)N是棱的中點(diǎn)，所以分別是棱的中點(diǎn)．例45．（2023·四川·模擬預(yù)測(cè)（理））如圖，在直棱柱中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G是線段AF上的動(dòng)點(diǎn)．確定點(diǎn)G的位置，使得平面平面，并給予證明；【解析】證明：如圖所示：取AB中點(diǎn)D，連結(jié)CD交AF于G，即G為的重心（或G為線段AF靠近F的三等分點(diǎn)等）時(shí)，平面平面．證明：連結(jié)DE．因?yàn)樵谌庵?，D，E分別為AB，的中點(diǎn)，所以，且，則四邊形是平行四邊形，故．又平面，平面所以平面．因?yàn)樵谌庵?，D，E分別是AB，的中點(diǎn)，則且，四邊形是平行四邊形，所以．又平面，平面，所以平面．又平面，平面，，所以平面平面．例46．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在直棱柱中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G是線段AF上的動(dòng)點(diǎn)．確定點(diǎn)G的位置，使得平面平面，并給予證明【解析】證明：如圖所示：取AB中點(diǎn)D，連接CD交AF于G，即G為的重心（或G為線段AF靠近F的三等分點(diǎn)等）時(shí)，平面平面．證明：連接DE．因?yàn)樵谌庵?，D，E分別為AB，的中點(diǎn)，所以，且，則四邊形是平行四邊形，故．又平面，平面所以平面．因?yàn)樵谌庵校珼，E分別是AB，的中點(diǎn)，則且，四邊形是平行四邊形，所以．又平面，平面，所以平面．又平面，平面，，所以平面平面．【過(guò)關(guān)測(cè)試】一、單選題1．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)（理））已知m、n是兩條不同的直線，α、β是兩個(gè)不同的平面，則下列結(jié)論一定成立的是（

）A．若m⊥n，m⊥α，則n∥α B．若m∥α，α∥β，則m∥βC．若m⊥α，α⊥β，則m∥β D．若m⊥α，n⊥β，m⊥n，則α⊥β答案：D【解析】A選項(xiàng)，m⊥n，m⊥α，則可能，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，，，則可能，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，，，則可能，也可能，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，因?yàn)椋?，所以或，?dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以由面面垂直的判定定理知，?dāng)時(shí)，存在且，所以，所以可得，故D正確．故選：D．2．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)（理））已知長(zhǎng)方體中，，，，分別為棱和的中點(diǎn)，為長(zhǎng)方體表面上任意一點(diǎn)．若平面，則的最大值為（

）A． B． C． D．6答案：C【解析】如圖所示，取，分別為棱和的中點(diǎn)，連接，由題意易知，所以；又易知，故可以證明平面平面；又平面，由面面平行的性質(zhì)可知平面，所以由題意可知在等腰梯形四條邊上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，由題意可知，所以，所以，又，所以故當(dāng)與點(diǎn)重合時(shí)，的值為最大值，此時(shí)；故選：C3．（2023·云南師大附中模擬預(yù)測(cè)（理））若，是兩個(gè)不同平面，，是兩條不同直線，則下列4個(gè)推斷中正確的是（

）A．，，，B．，，C．，，，D．，，答案：A【解析】對(duì)于A，如圖，，，結(jié)合，，可知，故A正確；對(duì)于B，如圖，，可能異面，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，如圖，，可能相交，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，如圖，可能相交，故D錯(cuò)誤．故選：A．4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））下列四個(gè)命題，真命題的個(gè)數(shù)為（

）（1）如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線，則這條直線垂直于該平面；（2）過(guò)空間一定點(diǎn)有且只有一條直線和已知平面垂直；（3）平行于同一個(gè)平面的兩條直線平行；（4）a與b為空間中的兩條異面直線，點(diǎn)A不在直線a，b上，則過(guò)點(diǎn)A有且僅有一個(gè)平面與直線a，b都平行．A．0 B．1 C．2 D．3答案：B【解析】命題（1）：由直線垂直平面的定義可知，若直線垂直于一個(gè)平面的任意直線，則該直線垂直于該平面，故命題（1）錯(cuò)誤；命題（2）：由直線與平面垂直的性質(zhì)定理可知，過(guò)空間一定點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直，故命題（2）正確；命題（3）：平行于同一個(gè)平面的兩條直線，可能平行，可能相交，也可能異面，故命題（3）錯(cuò)誤；命題（4）：如圖，當(dāng)點(diǎn)A在如圖上底面時(shí)，不存在平面同時(shí)平行于直線a、b；點(diǎn)A不在異面直線a、b上，若點(diǎn)A在直線a、b之間，則可以確定一個(gè)平面同時(shí)平行于直線a、b；若點(diǎn)A在直線a、b的外側(cè)，也可以確定一個(gè)平面同時(shí)平行于直線a、b，故命題（4）錯(cuò)誤．故選：B．5．（2023·廣東廣州·三模）一幾何體的平面展開(kāi)圖如圖所示，其中四邊形為正方形，分別為的中點(diǎn)，在此幾何體中，下面結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．直線與直線異面B．直線與直線異面C．直線平面D．直線平面答案：B【解析】由題意知：該幾何體是底面為正方形的四棱錐，如圖所示，連接，易得，則，故共面，則共面，故B錯(cuò)誤；又面，面，不在直線上，則直線與直線異面，A正確；由，平面，平面，則直線平面，C正確；平面，平面，則直線平面，D正確．故選：B．6．（2023·新疆克拉瑪依·三模（文））如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，為棱的中點(diǎn)，為正方形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)（含邊界），若平面，則線段長(zhǎng)度的取值范圍是（

）A． B．C． D．答案：D【解析】如圖，取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，所以，正方體中，易得，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，因?yàn)椋云矫嫫矫?，因?yàn)槠矫妫云矫?，又為正方形?nèi)一動(dòng)點(diǎn)（含邊界），所以在線段上，可得，則當(dāng)在中點(diǎn)時(shí)，取得最小值為，當(dāng)在兩端時(shí)，取得最大值為，所以長(zhǎng)度的取值范圍是．故選：D．7．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））已知點(diǎn)E，F(xiàn)分別是正方體ABCD－A1B1C1D1的棱AB，AA1的中點(diǎn)，點(diǎn)M，N分別是線段D1E與C1F上的點(diǎn)，則滿足與平面ABCD平行的直線MN有（）A．0條 B．1條 C．2條 D．無(wú)數(shù)條答案：D【解析】如圖所示，作平面KSHG∥平面ABCD，C1F，D1E交平面KSHG于點(diǎn)N，M，連接MN，由面面平行的性質(zhì)得MN∥平面ABCD，由于平面KSHG有無(wú)數(shù)多個(gè)，所以平行于平面ABCD的MN有無(wú)數(shù)多條，故選：D．8．（2023·安徽師范大學(xué)附屬中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））如圖，在三棱柱中，過(guò)的截面與AC交于點(diǎn)D，與BC交于點(diǎn)E，該截面將三棱柱分成體積相等的兩部分，則（

）A． B． C． D．答案：D【解析】由題可知平面與棱柱上，下底面分別交于，，則∥，，顯然是三棱臺(tái)，設(shè)的面積為1，的面積為S，三棱柱的高為h，，解得，由，可得．故選：D．二、多選題9．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在下列四個(gè)正方體中，A，B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M，N，Q為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個(gè)正方體中，直線與平面平行的是（

）A． B．C． D．答案：BCD【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，OQ∥AB，OQ與平面MNQ是相交的位置關(guān)系，故AB和平面MNQ不平行，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，由于AB∥CD∥MQ，結(jié)合線面平行判定定理可知AB∥平面MNQ，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，由于AB∥CD∥MQ，結(jié)合線面平行判定定理可知AB∥平面MNQ：故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，由于AB∥CD∥NQ，結(jié)合線面平行判定定理可知AB∥平面MNQ：故D正確；故選：BCD10．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在正四面體A－BCD中，，點(diǎn)O為的重心，過(guò)點(diǎn)O的截面平行于AB和CD，分別交BC，BD，AD，AC于E，F(xiàn)，G，H，則（

）A．四邊形EFGH的周長(zhǎng)為8B．四邊形EFGH的面積為2C．直線AB和平面EFGH的距離為D．直線AC與平面EFGH所成的角為答案：BCD【解析】O為的垂心，連AO延長(zhǎng)與CD交于M點(diǎn)，則∴，∴，，，∴，∴周長(zhǎng)為6，A錯(cuò)．，則，B對(duì)．將四面體補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體，則正方體邊長(zhǎng)為，∴P，Q分別為AB，CD中點(diǎn)，PQ⊥平面EFGH，∴A到平面EFGH距離，C對(duì)AC與PQ夾角為，則AC與平面EFGH的夾角為，D對(duì)故選：BCD11．（2023·河北石家莊·高三階段練習(xí)）已知m，n為異面直線，平面，平面．若直線l滿足，則（

）A．B．C．與相交，且交線平行于lD．與相交，且交線垂直于l答案：BC【解析】由平面，，且，所以，又平面，，所以，故B正確，由直線為異面直線，且平面平面，則與相交，否則，若則推出，與異面矛盾，所以相交，故A錯(cuò)誤，如圖所示：設(shè)，由平面，，平面，，作，使得與相交