【高中同步培優(yōu)】計(jì)數(shù)原理專題通關(guān)7講（學(xué)生版）

目錄TOC\o"1-3"\h\u第1講分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理 2考點(diǎn)一分類計(jì)算原理 2考點(diǎn)二分步計(jì)算原理 3考點(diǎn)三兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合運(yùn)用 4第2講排列及排列數(shù) 7考點(diǎn)一排列定義 7考點(diǎn)二排列數(shù)、方程及不等式 8考點(diǎn)三排列運(yùn)用之排隊(duì) 9考點(diǎn)四排列運(yùn)用之?dāng)?shù)字 10第3講組合及組合數(shù) 12考點(diǎn)一組合的定義 13考法二組合數(shù)的計(jì)算 14考點(diǎn)三組合運(yùn)用之選人（物） 15考點(diǎn)四組合運(yùn)用之小球 16第4講排列與組合的綜合運(yùn)用 18考點(diǎn)一排隊(duì)型 18考點(diǎn)二數(shù)字型 19考點(diǎn)三分組分配型 19考點(diǎn)四涂色型 21考點(diǎn)五小球型 22第5講二項(xiàng)式定理 23考點(diǎn)一二項(xiàng)式展開式 24考點(diǎn)二二項(xiàng)式特定項(xiàng)（二項(xiàng)）系數(shù) 24考點(diǎn)三系數(shù)最值 25考點(diǎn)四三項(xiàng)式特定項(xiàng)系數(shù) 26考點(diǎn)五多個(gè)二項(xiàng)式的系數(shù) 26考點(diǎn)六（二項(xiàng)）系數(shù)和 27考點(diǎn)七整除及余數(shù) 28考點(diǎn)八楊輝三角的應(yīng)用 29第6講計(jì)數(shù)原理章末測(cè)試（基礎(chǔ)） 31第7講計(jì)數(shù)原理章末測(cè)試（提升） 36第1講分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理【考點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一分類加法計(jì)數(shù)原理完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m＋n種不同的方法．知識(shí)點(diǎn)二分步乘法計(jì)數(shù)原理完成一件事需要兩個(gè)步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m×n種不同的方法．知識(shí)點(diǎn)三兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的區(qū)別與聯(lián)系分類加法計(jì)數(shù)原理分步乘法計(jì)數(shù)原理相同點(diǎn)回答的都是有關(guān)做一件事的不同方法種數(shù)的問題不同點(diǎn)針對(duì)的是“分類”問題不同點(diǎn)各種方法相互獨(dú)立，用其中任何一種方法都可以做完這件事各個(gè)步驟中的方法互相依存，只有每一個(gè)步驟都完成才算做完這件事知識(shí)點(diǎn)四兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決計(jì)數(shù)問題時(shí)，最重要的是在開始計(jì)算之前要仔細(xì)分析兩點(diǎn)：一、要完成的“一件事”是什么；二、需要分類還是需要分步．(1)分類要做到“不重不漏”，分類后再分別對(duì)每一類進(jìn)行計(jì)數(shù)，最后用分類加法計(jì)數(shù)原理求和，得到總數(shù)．(2)分步要做到“步驟完整”，即完成了所有步驟，恰好完成任務(wù)．分類后再計(jì)算每一步的方法數(shù)，最后根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，把完成每一步的方法數(shù)相乘，得到總數(shù)．【題型歸納】考點(diǎn)一分類計(jì)算原理【例1-1】（2021·全國(guó)·高二單元測(cè)試）如圖所示，從甲地到乙地有條公路可走，從乙地到丙地有條公路可走，從甲地不經(jīng)過乙地到丙地有條水路可走．則從甲地經(jīng)過乙地到丙地和從甲地到丙地的走法種數(shù)分別為（）A．， B．， C．， D．，【例1-2】（2021·江西·橫峰中學(xué)）由數(shù)字1，2，3組成的無重復(fù)數(shù)字的整數(shù)中，偶數(shù)的個(gè)數(shù)為（）A．15 B．12 C．10 D．5【考點(diǎn)精練】1．（2021·甘肅·靜寧縣第一中學(xué)）如圖所示，在，間有四個(gè)焊接點(diǎn)1，2，3，4，若焊接點(diǎn)脫落導(dǎo)致斷路，則電路不通，則焊接點(diǎn)脫落的不通情況有（）種.A．9 B．11 C．13 D．152．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）從1，2，3，4，5，6，7，8，9這9個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)，其中一個(gè)作為底數(shù)，另一個(gè)作為真數(shù)，則可以得到不同對(duì)數(shù)值的個(gè)數(shù)為（）A．64 B．56 C．53 D．513．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)橢圓＋＝1的焦點(diǎn)在y軸上，其中a∈{1，2，3，4，5}，b＝{1，2，3，4，5，6，7}，則滿足上述條件的橢圓個(gè)數(shù)為（）A．20 B．24 C．12 D．114（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）算盤是中國(guó)古代的一項(xiàng)重要發(fā)明．現(xiàn)有一種算盤（如圖1），共兩檔，自右向左分別表示個(gè)位和十位，檔中橫以梁，梁上一珠撥下，記作數(shù)字，梁下五珠，上撥一珠記作數(shù)字（如圖2中算盤表示整數(shù)）．如果撥動(dòng)圖1算盤中的三枚算珠，可以表示不同整數(shù)的個(gè)數(shù)為（）A． B． C． D．考點(diǎn)二分步計(jì)算原理【例2-1】（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）一植物園的參觀路徑如圖所示，若要全部參觀并且路線不重復(fù)，則不同的參觀路線共有（）A．6種 B．8種C．36種 D．48種【例2-2】（2021·福建·泉州科技中學(xué)）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個(gè)正四棱錐，如圖，將一個(gè)四棱錐的每一個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色，并使同一條棱上的兩端異色，如果只有5種顏色可供使用，則不同的染色方法總數(shù)為（）A． B． C． D．【考點(diǎn)精練】1．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）滬寧高鐵線上有六個(gè)大站：上海、蘇州、無錫、常州、鎮(zhèn)江、南京，鐵路部門應(yīng)為滬寧線上的六個(gè)大站(這六個(gè)大站之間)準(zhǔn)備不同的火車票的種數(shù)為（）A．15 B．30 C．12 D．362．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）現(xiàn)有四件不同款式的上衣與三條不同顏色的長(zhǎng)褲，如果選一條長(zhǎng)褲與一件上衣配成一套，那么不同的選法種數(shù)為（）A．7 B．64 C．12 D．813．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）（多選題）有4位同學(xué)報(bào)名參加三個(gè)不同的社團(tuán)，則下列說法正確的是（）A．每位同學(xué)限報(bào)其中一個(gè)社團(tuán)，則不同的報(bào)名方法共有種B．每位同學(xué)限報(bào)其中一個(gè)社團(tuán)，則不同的報(bào)名方法共有種C．每個(gè)社團(tuán)限報(bào)一個(gè)人，則不同的報(bào)名方法共有24種D．每個(gè)社團(tuán)限報(bào)一個(gè)人，則不同的報(bào)名方法共有種4．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）將3個(gè)不同的小球放入4個(gè)盒子中，不同放法種數(shù)為（）A．81 B．64 C．14 D．12考點(diǎn)三兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合運(yùn)用【例3-1】（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）用、、、、、可以組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的（1）密碼箱的四位密碼；（2）比大的四位偶數(shù)．【例3-2】（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）用種不同的顏色給如圖所示的，，，四個(gè)區(qū)域涂色，要求相鄰區(qū)域不能用同一種顏色.（1）當(dāng)時(shí)，圖①、圖②各有多少種不同的涂色方案？（2）若圖③有180種不同的涂色方案，求的值.【考點(diǎn)精練】1．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知甲的車牌尾數(shù)為9，他的四位同事的車牌尾數(shù)分別為0，2，1，5，為遵守當(dāng)?shù)啬吃?日至9日5天的限行規(guī)定（奇數(shù)日車牌尾數(shù)為奇數(shù)的車通行，偶數(shù)日車牌尾數(shù)為偶數(shù)的車通行），五人商議拼車出行，每天任選一輛符合規(guī)定的車，但甲的車最多只能用一天，則不同的用車方案種數(shù)為（）A．64 B．80 C．96 D．1202．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）王華同學(xué)有課外參考書若干本，其中有5本不同的外語書，4本不同的數(shù)學(xué)書，3本不同的物理書，他欲帶參考書到圖書館閱讀.（1）若他從這些參考書中帶1本去圖書館，則有________種不同的帶法；（2）若帶外語、數(shù)學(xué)、物理參考書各1本，則有________種不同的帶法；（3）若從這些參考書中選2本不同學(xué)科的參考書帶到圖書館，則有________種不同的帶法.3．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）將紅、黃、藍(lán)、白、黑五種顏色涂在如圖所示“田”字形的4個(gè)小方格內(nèi)，每格涂一種顏色，相鄰兩格涂不同的顏色，如果顏色可以反復(fù)使用，共有多少種不同的涂色方法？4．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）用0,1,2,3,4五個(gè)數(shù)字．（1）可以排成多少個(gè)三位數(shù)字的電話號(hào)碼？（2）可以排成多少個(gè)三位數(shù)？（3）可以排成多少個(gè)能被2整除的無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？5．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，將一個(gè)四棱錐的每一個(gè)頂點(diǎn)染一種顏色，并使同一條棱上的兩端點(diǎn)異色，如果只有4種顏色可供使用，則不同的染色方法有________種.第2講排列及排列數(shù)【考點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一排列的定義一般地，從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素，并按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列．知識(shí)點(diǎn)二排列相同的條件兩個(gè)排列相同的充要條件：(1)兩個(gè)排列的元素完全相同．(2)元素的排列順序也相同．知識(shí)點(diǎn)三排列數(shù)的定義從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，用符號(hào)AEQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(m),n)表示．知識(shí)點(diǎn)四排列數(shù)公式及全排列1．排列數(shù)公式的兩種形式(1)AEQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(m),n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，其中m，n∈N*，并且m≤n.(2)AEQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(m),n)＝()EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(n！),n－m！).2．全排列：把n個(gè)不同的元素全部取出的一個(gè)排列，叫做n個(gè)元素的一個(gè)全排列，全排列數(shù)為AEQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(n),n)＝n！(叫做n的階乘)．規(guī)定：0?。?.【題型歸納】考點(diǎn)一排列定義【例1】（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）下列問題屬于排列問題的是（）①從10個(gè)人中選2人分別去種樹和掃地；②從10個(gè)人中選2人去掃地；③從班上30名男生中選出5人組成一個(gè)籃球隊(duì)；④從數(shù)字5，6，7，8中任取兩個(gè)不同的數(shù)作冪運(yùn)算.A．①④ B．①②C．④ D．①③④【考點(diǎn)精練】1．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知下列問題：①從甲?乙?丙三名同學(xué)中選出兩名分別參加數(shù)學(xué)?物理興趣小組；②從甲?乙?丙三名同學(xué)中選出兩人參加一項(xiàng)活動(dòng)；③從a，b，c，d中選出3個(gè)字母；④從1，2，3，4，5這五個(gè)數(shù)字中取出2個(gè)數(shù)字組成一個(gè)兩位數(shù).其中是排列問題的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)2．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）下列問題是排列問題的是（）①從2，3，5，7，9中任取兩數(shù)分別作對(duì)數(shù)的底數(shù)和真數(shù)，有多少個(gè)不同的對(duì)數(shù)值？②從1到10十個(gè)自然數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)組成點(diǎn)的坐標(biāo)，可得多少個(gè)不同的點(diǎn)的坐標(biāo)？③某班50名同學(xué)，每?jī)扇宋帐忠淮?，共需握手多少次？A．①②③ B．①② C．①③ D．②③3．（2021·浙江麗水·高二課時(shí)練習(xí)）已知下列問題:①從甲、乙、丙三名同學(xué)中選出兩名分別參加數(shù)學(xué)和物理學(xué)習(xí)小組;②從甲、乙、丙三名同學(xué)中選出兩名同學(xué)參加一項(xiàng)活動(dòng);③從a，b，c，d四個(gè)字母中取出2個(gè)字母;④從1，2，3，4四個(gè)數(shù)字中取出2個(gè)數(shù)字組成一個(gè)兩位數(shù).其中是排列問題的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)考點(diǎn)二排列數(shù)、方程及不等式【例2】（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）（1）用排列數(shù)表示(n∈N*且n<55)；（2）計(jì)算；（3）求證：.（4）解方程：；（5）解不等式：.【考點(diǎn)精練】1．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）（）A． B． C． D．2．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)m∈N*，且m<15，則=（）A．(20-m)(21-m)(22-m)(23-m)(24-m)(25-m)B．(20-m)(19-m)(18-m)(17-m)(16-m)C．(20-m)(19-m)(18-m)(17-m)(16-m)(15-m)D．(19-m)(18-m)(17-m)(16-m)(15-m)3．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）＝________．4．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）計(jì)算：______．5．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）（1）解不等式：；（2）解方程：（3）求證；（4）求證考點(diǎn)三排列運(yùn)用之排隊(duì)【例3】（2021·全國(guó)·高二單元測(cè)試）有3名男生、4名女生，在下列不同條件下，求不同的排列方法總數(shù).（1）選5人排成一排；（2）排成前后兩排，前排3人，后排4人；（3）全體排成一排，女生必須站在一起；（4）全體排成一排，男生互不相鄰；（5）(一題多解)全體排成一排，其中甲不站最左邊，也不站最右邊；（6）(一題多解)全體排成一排，其中甲不站最左邊，乙不站最右邊.【考點(diǎn)精練】1．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）7名師生站成一排照相留念，其中老師1名，男同學(xué)4名，女同學(xué)2名，在下列情況下，各有多少種不同的站法？（1）2名女同學(xué)必須相鄰而站；（2）4名男同學(xué)互不相鄰；（3）若4名男同學(xué)身高都不相等，按從高到低或從低到高的順序站；（4）老師不站正中間，女同學(xué)不站兩端.2（2021·全國(guó)·高二單元測(cè)試）8人圍圓桌開會(huì)，其中正、副組長(zhǎng)各1人，記錄員1人.（1）若正、副組長(zhǎng)相鄰而坐，有多少種坐法？（2）若記錄員坐于正、副組長(zhǎng)之間（三者相鄰），有多少種坐法？3．（2021·全國(guó)·高二單元測(cè)試）一場(chǎng)小型晚會(huì)有個(gè)唱歌節(jié)目和個(gè)相聲節(jié)目，要求排出一個(gè)節(jié)目單．（1）個(gè)相聲節(jié)目要排在一起，有多少種排法？（2）第一個(gè)節(jié)目和最后一個(gè)節(jié)目都是唱歌節(jié)目，有多少種排法？（3）前個(gè)節(jié)目中要有相聲節(jié)目，有多少種排法？考點(diǎn)四排列運(yùn)用之?dāng)?shù)字【例4-1】（2021·浙江·效實(shí)中學(xué)高二期中）由0，1，2，3，4這五個(gè)數(shù)字．（1）能組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)？（2）能組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字，且數(shù)字1與3相鄰的五位數(shù)？（3）組成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)中比21034大的數(shù)有多少個(gè)？【例4-2】（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）用，，，，，，組成無重復(fù)數(shù)字七位數(shù)，滿足下述條件的七位數(shù)各有多少個(gè)？（1）偶數(shù)不相鄰；（2）偶數(shù)一定在奇數(shù)位上；（3）和之間恰有一個(gè)奇數(shù)，沒有偶數(shù)；（4）三個(gè)偶數(shù)從左到右按從小到大的順序排列.【考點(diǎn)精練】1．（2021·重慶巴蜀中學(xué)高二月考）用0?1?2?3?4這五個(gè)數(shù)字組數(shù).(本題最后結(jié)果必須寫成數(shù)字)（1）可以組成多少個(gè)允許數(shù)字重復(fù)的三位數(shù)？（2）可以組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？（3）可以組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)？2．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）用0，1，2，3，4，5這六個(gè)數(shù)字可以組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的（1）能被5整除的五位數(shù)；（2）能被3整除的五位數(shù)；（3）若所有的六位數(shù)按從小到大的順序組成一個(gè)數(shù)列{an}，則240135是第幾項(xiàng).3．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）用0，1，2，3，4，5可組成多少個(gè)：（1）沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)？（2）沒有重復(fù)數(shù)字且被5整除的四位數(shù)？（3）比2000大且沒有重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)第3講組合及組合數(shù)【考點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一組合及組合數(shù)的定義1．組合一般地，從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素作為一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合．2．組合數(shù)從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有不同組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)，用符號(hào)CEQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(m),n)表示．知識(shí)點(diǎn)二排列與組合的關(guān)系相同點(diǎn)兩者都是從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素不同點(diǎn)排列問題中元素有序，組合問題中元素?zé)o序關(guān)系組合數(shù)CEQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(m),n)與排列數(shù)AEQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(m),n)間存在的關(guān)系A(chǔ)EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(m),n)＝CEQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(m),n)AEQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(m),m)知識(shí)點(diǎn)三組合數(shù)公式組合數(shù)公式乘積形式CEQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(m),n)＝()()()EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(nn－1n－2…n－m＋1),m！)，其中m，n∈N*，并且m≤n階乘形式CEQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(m),n)＝()EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(n！),m！n－m！)規(guī)定：CEQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(0),n)＝1.知識(shí)點(diǎn)四組合數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1：CEQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(m),n)＝CEQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(n－m),n).性質(zhì)2：CEQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(m),n＋1)＝CEQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(m),n)＋CEQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(m－1),n).【題型歸納】考點(diǎn)一組合的定義【例1】（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）以下四個(gè)命題，屬于組合問題的是（）A．從3個(gè)不同的小球中，取出2個(gè)排成一列B．老師在排座次時(shí)將甲、乙兩位同學(xué)安排為同桌C．在電視節(jié)目中，主持人從100位幸運(yùn)觀眾中選出2名幸運(yùn)之星D．從13位司機(jī)中任選出兩位開同一輛車往返甲、乙兩地【考點(diǎn)精練】1．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）下列問題中，組合問題的個(gè)數(shù)是（）①從全班50人中選出5人組成班委會(huì)；②從全班50人中選出5人分別擔(dān)任班長(zhǎng)、副班長(zhǎng)、團(tuán)支部書記、學(xué)習(xí)委員、生活委員；③從1，2，3，…，9中任取出兩個(gè)數(shù)求積；④從1，2，3，…，9中任取出兩個(gè)數(shù)求差或商.A．1 B．2 C．3 D．42．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）以下5個(gè)命題，屬于組合問題的有（）①從1，2，3，…，9九個(gè)數(shù)字中任取3個(gè)，組成一個(gè)三位數(shù)；②從1，2，3，…，9九個(gè)數(shù)字中任取3個(gè)，然后把這3個(gè)數(shù)字相加得到一個(gè)和，這樣的和的個(gè)數(shù)；③從，，，四名學(xué)生中選兩名去完成同一份工作的選法；④5個(gè)人規(guī)定相互通話一次，通電話的次數(shù)；⑤5個(gè)人相互寫一封信，所有信的數(shù)量．A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)3．（2021·重慶市廣益中學(xué)校高二月考）給出下列問題：①從甲?乙?丙名同學(xué)中選出名分別去參加兩個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)的社會(huì)調(diào)查，有多少種不同的選法？②有張電影票，要在人中確定人去觀看，有多少種不同的選法？③某人射擊槍，擊中槍，且命中的槍均為槍連中，則不同的結(jié)果有多少種？其中屬于組合問題的個(gè)數(shù)為（）A． B． C． D．考法二組合數(shù)的計(jì)算【例2】（1）（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）等于（）A． B．101 C． D．6（2）（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）若，則m等于（）A．9 B．8 C．7 D．6（3）（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）計(jì)算＋＋＋＋的值為（）A．B．C．－1D．－1（4）（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）若整數(shù)滿足，則的值為（）A．1 B． C．1或 D．1或3【考點(diǎn)精練】1．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知，則的值是（）A．2 B．6 C． D．2或62．（2021·全國(guó)·高二單元測(cè)試）（多選）下列四個(gè)命題中，真命題為（）A． B．C． D．3．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）若，則正整數(shù)______．4．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）的值為___________.5．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知，則的值為___________.考點(diǎn)三組合運(yùn)用之選人（物）【例3】（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）高二(1)班共有35名同學(xué)，其中男生20名，女生15名，今從中選出3名同學(xué)參加活動(dòng).（1）其中某一女生必須在內(nèi)，不同的取法有多少種？（2）其中某一女生不能在內(nèi)，不同的取法有多少種？（3）恰有2名女生在內(nèi)，不同的取法有多少種？（4）至少有2名女生在內(nèi)，不同的取法有多少種？（5）至多有2名女生在內(nèi)，不同的取法有多少種？【考點(diǎn)精練】1．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）在一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，某學(xué)校有12人通過了初試，學(xué)校要從中選出5人參加市級(jí)培訓(xùn).在下列條件下，有多少種不同的選法？（1）任意選5人；（2）甲、乙、丙三人必需參加；（3）甲、乙、丙三人不能參加；（4）甲、乙、丙三人只能有1人參加.2．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）冠狀病毒是一個(gè)大型病毒家族，可引起中東呼吸綜合征（MERS）和嚴(yán)重急性呼吸綜合征（SARS）等較嚴(yán)重疾病.2019年出現(xiàn)的新型冠狀病毒是以前從未在人體中發(fā)現(xiàn)的冠狀病毒.新冠肺炎疫情初期，黑龍江某醫(yī)院呼吸內(nèi)科有3名男醫(yī)生，2名女醫(yī)生，其中李亮（男）為科室主任；感染科有2名男醫(yī)生，2名女醫(yī)生，其中張雅（女）為科室主任，現(xiàn)在院方?jīng)Q定從兩科室中選4人參加援鄂醫(yī)療.（1）若至多有1名主任參加，則有多少種派法？（2）若呼吸內(nèi)科至少有2名醫(yī)生參加，則有多少種派法？（3）若至少有1名主任參加，且有女醫(yī)生參加，則有多少種派法？3．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）課外活動(dòng)小組共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名隊(duì)長(zhǎng)，現(xiàn)從中選5人主持某項(xiàng)活動(dòng)，依下列條件各有多少種選法？（用數(shù)字做答）（1）至少有一名隊(duì)長(zhǎng)當(dāng)選．（2）至多有兩名女生當(dāng)選．（3）既要有隊(duì)長(zhǎng)，又要有女生當(dāng)選．考點(diǎn)四組合運(yùn)用之小球【例4】（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）將4個(gè)編號(hào)分別為1，2，3，4的小球放入4個(gè)編號(hào)分別為1，2，3，4的盒子中．（1）有多少種放法？（2）每盒至多一球，有多少種放法？（3）恰好有一個(gè)空盒，有多少種放法？（4）每個(gè)盒內(nèi)放一個(gè)球，并且恰好有一個(gè)球的編號(hào)與盒子的編號(hào)相同，有多少種放法？（5）把4個(gè)不同的小球換成4個(gè)相同的小球，恰有一個(gè)空盒，有多少種放法？【考點(diǎn)精練】1．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）有標(biāo)號(hào)為1，2，3，4，5，6的6個(gè)小球和標(biāo)號(hào)為1，2，3，4的4個(gè)盒.（1）從6個(gè)小球中選出4個(gè)放入4個(gè)盒中，每盒只放1個(gè)小球.①求奇數(shù)號(hào)盒只放奇數(shù)號(hào)小球的不同放法種數(shù)；②求奇數(shù)號(hào)小球必須放在奇數(shù)號(hào)盒中的不同放法種數(shù).（2）若不許空盒且將6個(gè)小球都放入4個(gè)盒中，求所有不同的放法種數(shù).2．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）（1）把6個(gè)相同的小球放入4個(gè)相同的箱子中，每個(gè)箱子都不空，共有多少種放法？（2）把6個(gè)相同的小球放入4個(gè)不同的箱子中，每個(gè)箱子都不空，共有多少種放法？（3）把6個(gè)不同的小球放入4個(gè)相同的箱子中，每個(gè)箱子都不空，共有多少種放法？（4）把6個(gè)不同的小球放入4個(gè)不同的箱子中，每個(gè)箱子都不空，共有多少種放法？3．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）（1）本不同的書，分為三份，一份1本，一份2本，一份3本，有多少種不同的選法？（2）本不同的書，分給甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3本，有多少種不同的選法？4．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）平面內(nèi)有10個(gè)點(diǎn)，其中任意3個(gè)點(diǎn)不共線.（1）以其中任意2個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的線段有多少條？（2）以其中任意2個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的有向線段有多少條？（3）以其中任意3個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形有多少個(gè)第4講排列與組合的綜合運(yùn)用【題型通關(guān)】考點(diǎn)一排隊(duì)型【例1】（2021·江西省銅鼓中學(xué)）某學(xué)習(xí)小組有個(gè)男生和個(gè)女生共人：（1）將此人排成一排，男女彼此相間的排法有多少種（2）將此人排成一排，男生甲不站最左邊，男生乙不站最右邊的排法有多少種（3）從中選出名男生和名女生分別承擔(dān)種不同的任務(wù)，有多少種選派方法（4）現(xiàn)有個(gè)座位連成一排，僅安排個(gè)女生就座，恰有兩個(gè)空位相鄰的不同坐法共有多少種【考點(diǎn)精練】1．（2021·全國(guó)·專題練習(xí)）為了紀(jì)念高中三年舍友之間留下的深厚情感，某宿舍的7位同學(xué)決定站成一排合照留念，其中中間位置只能站甲或乙，且甲、乙、丙三人不站在兩側(cè)，則不同的安排方法有（）.A．232種 B．464種 C．288種 D．576種2．（2021·重慶市南坪中學(xué)校）（多選）、、、、五個(gè)人并排站在一起，則下列說法正確的有（）A．若、兩人站在一起有48種方法 B．若、不相鄰共有12種方法C．若在左邊有60種排法 D．若不站在最左邊，不站最右邊，有72種方法3．（2021·全國(guó)·高二專題練習(xí)）新冠疫情防控期間，某中學(xué)安排甲?乙，丙等7人負(fù)責(zé)某個(gè)周一至周日的師生體溫情況統(tǒng)計(jì)工作，每天安排一人，且每人負(fù)責(zé)一天.若甲?乙、丙三人中任意兩人都不能安排在相鄰的兩天，且甲安排在乙，丙之間，則不同的安排方法有___________種(用數(shù)字作答).4．（2021·陜西渭南）生活中人們常用“通五經(jīng)貫六藝”形容一個(gè)人才識(shí)技藝過人，這里的“五經(jīng)”是儒家典籍《周易》、《尚書》、《詩經(jīng)》、《禮記》、《春秋》的合稱．為弘揚(yáng)中國(guó)傳統(tǒng)文化，某校在周末興趣活動(dòng)中開展了“五經(jīng)”知識(shí)講座，每經(jīng)排1節(jié)，連排5節(jié)，則滿足《詩經(jīng)》必須排在后2節(jié)，《周易》和《禮記》必須分開安排的情形共有_______．考點(diǎn)二數(shù)字型【例2】（2021·海南）（多選）從，，，，，中任取三個(gè)不同的數(shù)組成一個(gè)三位數(shù)，則在所有組成的數(shù)中（）A．奇數(shù)有個(gè)B．包含數(shù)字的數(shù)有個(gè)C．個(gè)位和百位數(shù)字之和為的數(shù)有個(gè)D．能被整除的數(shù)有個(gè)【考點(diǎn)精練】1．（2021·浙江）用0，1，2，3，4，5組成無重復(fù)數(shù)字的六位偶數(shù)，若有且僅有2個(gè)奇數(shù)相鄰，則這樣的六位數(shù)共有（）A．192個(gè) B．216個(gè) C．276個(gè) D．324個(gè)2．（2021·浙江·模擬預(yù)測(cè)）若從這個(gè)9個(gè)整數(shù)中取出4個(gè)不同的數(shù)排成一排，依次記為，則使得為偶數(shù)的不同排列方法有（）A．1224 B．1200C．1080 D．8403．（2021·全國(guó)）從1，2，3，4，5這五個(gè)數(shù)字中任取3個(gè)組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，當(dāng)三個(gè)數(shù)字中有2和3時(shí)，2需排在3的前面(不一定相鄰)，這樣的三位數(shù)有（）A．51個(gè) B．54個(gè) C．12個(gè) D．45個(gè)4．（2021·全國(guó)·高三專題練習(xí)）從這9個(gè)數(shù)字中，選取4個(gè)數(shù)字，組成含有1對(duì)重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)的種數(shù)有（）A．30240 B．60480 C．15120 D．630考點(diǎn)三分組分配型【例3】（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）按下列要求分配6本不同的書,各有多少種不同的分配方式?（1）分成三份,1份1本,1份2本,1份3本;（2）甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本;（3）平均分成三份,每份2本;（4）平均分配給甲、乙、丙三人,每人2本;（5）分成三份,1份4本,另外兩份每份1本;（6）甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外兩人每人得1本;（7）甲得1本,乙得1本,丙得4本.【考點(diǎn)精練】1．（2021·江蘇·南京市中華中學(xué)高三開學(xué)考試）2名老師和4名學(xué)生共6人參加兩項(xiàng)不同的活動(dòng)，每人參加一項(xiàng)活動(dòng)，每項(xiàng)活動(dòng)至少有2人參加，但2名老師不能參加同一項(xiàng)活動(dòng)，則不同的參加方式的種數(shù)為（）A．20 B．28 C．40 D．502．（2021·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）在新型冠狀病毒肺炎疫情聯(lián)防聯(lián)控期間，某居委會(huì)從轄區(qū)內(nèi)甲?乙?丙三個(gè)小區(qū)中選取6人做志愿者，協(xié)助防控和宣傳工作.若每個(gè)小區(qū)至少選取1人做志愿者，則不同的選取方法有（）A．10種 B．20種 C．540種 D．1080種3（2021·江蘇·無錫市第一中學(xué)）如圖，《宋人撲棗圖軸》是作于宋朝的中國(guó)古畫，現(xiàn)收藏于中國(guó)臺(tái)北故宮博物館．有甲、乙、丙三人想根據(jù)該圖編排一個(gè)舞蹈，首先由他們來選取該圖中小孩撲棗的爬、扶、撿、頂、搖中的五個(gè)動(dòng)作，每人至少模仿一個(gè)動(dòng)作，且爬、扶、撿、頂、搖都要被依序模仿到，則選擇的方案共有（）A．60種 B．90種 C．100種 D．150種4．（2021·浙江·模擬預(yù)測(cè)）某重點(diǎn)中學(xué)安排甲、乙在內(nèi)的5名骨干教師到3所鄉(xiāng)鎮(zhèn)學(xué)校開展支教幫扶活動(dòng)，每所學(xué)校至少安排一名教師，每個(gè)教師也只能去一所學(xué)校，若甲、乙2名教師不去同一所學(xué)校，則不同的安排方法有______種．考點(diǎn)四涂色型【例4】（2021·陜西金臺(tái)）如圖，節(jié)日花壇中有5個(gè)區(qū)域，現(xiàn)有四種不同顏色的花卉可供選擇，要求相同顏色的花不能相鄰栽種，則符合條件的種植方案有（）種．A．36 B．48C．54 D．72【考點(diǎn)精練】1（2021·廣東深圳）現(xiàn)有5種不同顏色要對(duì)如圖所示的五個(gè)部分進(jìn)行著色，要求有公共邊界的兩塊不能用同一種顏色，則不同的著色方法共有（）

A．420種 B．780種 C．540種 D．480種2．（2021·天津?yàn)I海新·）如圖，現(xiàn)要用四種不同的顏色，對(duì)四邊形中的四個(gè)區(qū)域進(jìn)行著色，要求有公共邊的兩個(gè)區(qū)域不能用同一種顏色，則不同的著色方法數(shù)為（）A． B． C． D．3．（2021·全國(guó)·（理））現(xiàn)有5種不同顏色的染料，要對(duì)如圖中的四個(gè)不同區(qū)域進(jìn)行著色，要求有公共邊的兩塊區(qū)域不能使用同一種顏色，則不同的著色方法的種數(shù)是A．120 B．140 C．240 D．2604（2021·吉林·汪清縣汪清第四中學(xué)）如圖，一個(gè)地區(qū)分為5個(gè)行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有（）種.A．24 B．48 C．72 D．965．（2021·上海市金山中學(xué)高二期末）用五種不同顏色給三棱柱的六個(gè)頂點(diǎn)涂色，要求每個(gè)頂點(diǎn)涂一種顏色，且每條棱的兩個(gè)頂點(diǎn)涂不同顏色，則不同的涂法有（）A．種 B．種 C．種 D．種考點(diǎn)五小球型【例5】（2021·福建省泰寧第一中學(xué)高二期中）現(xiàn)有4個(gè)不同的球，和4個(gè)不同的盒子，把球全部放入盒內(nèi)．（1）共有多少種不同的方法？（2）若每個(gè)盒子不空，共有多少種不同的方法？（3）若恰有一個(gè)盒子不放球，共有多少種放法？（4）若恰有兩個(gè)盒子不放球，共有多少種放法？【考點(diǎn)精練】1．（2021·山東省濰坊第四中學(xué)）（多選）已知甲袋中有5個(gè)大小相同的球，4個(gè)紅球，1個(gè)黑球；乙袋中有6個(gè)大小相同的球，4個(gè)紅球，2個(gè)黑球，則（）A．從甲袋中隨機(jī)摸出一個(gè)球是紅球的概率為B．從乙袋中隨機(jī)摸出一個(gè)球是黑球的概率為C．從甲袋中隨機(jī)摸出2個(gè)球，則2個(gè)球都是紅球的概率為D．從甲、乙袋中各隨機(jī)模出1個(gè)球，則這2個(gè)球是一紅球一黑球的概率為2．（2021·江蘇·常州市西夏墅中學(xué)）（多選）現(xiàn)有4個(gè)小球和4個(gè)小盒子，下面的結(jié)論正確的是（）A．若4個(gè)不同的小球放入編號(hào)為1，2，3，4的盒子，則共有24種放法B．若4個(gè)相同的小球放入編號(hào)為1，2，3，4的盒子，且恰有兩個(gè)空盒的放法共有18種C．若4個(gè)不同的小球放入編號(hào)為1，2，3，4的盒子，且恰有一個(gè)空盒的放法共有144種D．若編號(hào)為1，2，3，4的小球放入編號(hào)為1，2，3，4的盒子，沒有一個(gè)空盒但小球的編號(hào)和盒子的編號(hào)全不相同的放法共有9種3．（2021·江蘇·吳江中學(xué)高二月考）（1）把6個(gè)不同的小球放入4個(gè)不同的箱子中，每個(gè)箱子都不空，共有多少種放法？（2）把6個(gè)不同的小球放入4個(gè)相同的箱子中，每個(gè)箱子都不空，共有多少種放法？（3）把6個(gè)相同的小球放入4個(gè)不同的箱子中，每個(gè)箱子都不空，共有多少種放法？（4）把6個(gè)相同的小球放入4個(gè)相同的箱子中，每個(gè)箱子都不空，共有多少種放法第5講二項(xiàng)式定理【考點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一二項(xiàng)式定理(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b＋Ceq\o\al(2,n)an－2b2＋…＋Ceq\o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N*)．(1)這個(gè)公式叫做二項(xiàng)式定理．(2)展開式：等號(hào)右邊的多項(xiàng)式叫做(a＋b)n的二項(xiàng)展開式，展開式中一共有n＋1項(xiàng)．(3)二項(xiàng)式系數(shù)：各項(xiàng)的系數(shù)Ceq\o\al(k,n)(k∈{0,1,2，…，n})叫做二項(xiàng)式系數(shù)．知識(shí)點(diǎn)二二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)(a＋b)n展開式的第k＋1項(xiàng)叫做二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，記作Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)an－kbk.知識(shí)點(diǎn)三二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)對(duì)稱性在(a＋b)n的展開式中，與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等，即Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)增減性與最大值增減性：當(dāng)k<eq\f(n＋1,2)時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)是逐漸增大的；當(dāng)k>eq\f(n＋1,2)時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)是逐漸減小的．最大值：當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，相等，且同時(shí)取得最大值各二項(xiàng)式系數(shù)的和(1)Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n；(2)Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(4,n)＋…＝Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋Ceq\o\al(5,n)＋…＝2n－1【題型歸納】考點(diǎn)一二項(xiàng)式展開式【例1】（2021·全國(guó)·高二）1－2＋…＋(－2)n等于（）A．1 B．－1 C．(－1)n D．3n【考點(diǎn)精練】1．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）等于（）A．2n B．2n－1 C．3n D．12．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）寫出的展開式．3．（2021·全國(guó)·）求的展開式.考點(diǎn)二二項(xiàng)式特定項(xiàng)（二項(xiàng)）系數(shù)【例2】（1）（2021·北京市第十三中學(xué)）在的展開式中，的系數(shù)為（）A． B． C． D．（2）（2021·云南大理）二項(xiàng)式的展開式中的系數(shù)是，則（）A． B．1 C． D．（3）（2021·福建寧德）對(duì)任意實(shí)數(shù)，有，則（）A．6 B．7C．8 D．10（4）（2021·遼寧丹東·高三期中）若，則（）A． B． C． D．【考點(diǎn)精練】1．（2021·廣東龍崗）的展開式中，的系數(shù)為（）A． B． C． D．2．（2021·全國(guó)·高二單元測(cè)試）的展開式中的第7項(xiàng)為（）A．3546 B．5437 C．4532 D．53763．（2021·上?！つM預(yù)測(cè)）二項(xiàng)式的展開式中，其中是有理項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)共有（）A．4項(xiàng) B．7項(xiàng) C．5項(xiàng) D．6項(xiàng)4．（2021·全國(guó)·高二單元測(cè)試）的展開式中，項(xiàng)的系數(shù)是（）A．56 B．－56 C．28 D．－28考點(diǎn)三系數(shù)最值【例3】（2021·全國(guó)·高二專題練習(xí)）（多選）的展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是（）A．第2項(xiàng) B．第3項(xiàng) C．第4項(xiàng) D．第5項(xiàng)【考點(diǎn)精練】1．（2021·上海市建平中學(xué)）在的二項(xiàng)展開式中，系數(shù)最大的是第（）項(xiàng)A．3 B．4 C．5 D．62（2021·江蘇淮安·高二期中）（多選）二項(xiàng)式的展開式中，系數(shù)最大的項(xiàng)為（）.A．第六項(xiàng) B．第七項(xiàng)C．第八項(xiàng) D．第九項(xiàng)3．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）在的展開式中，（1）求系數(shù)的絕對(duì)值最大的項(xiàng)；（2）求二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；（3）求系數(shù)最大的項(xiàng)；（4）求系數(shù)最小的項(xiàng)．考點(diǎn)四三項(xiàng)式特定項(xiàng)系數(shù)【例4】（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)，則等于（）A．80 B． C． D．【考點(diǎn)精練】1．（2021·江西·景德鎮(zhèn)一中高三月考（理））的展開式中，的系數(shù)為（）A． B． C． D．2．（2022·全國(guó)·）的展開式中，的系數(shù)是（）A．120 B．－120 C．60 D．303．（2021·江蘇金湖·）在的展開式中x的系數(shù)為（）A．80 B．240 C．-80 D．160考點(diǎn)五多個(gè)二項(xiàng)式的系數(shù)【例5】（2021·安徽省懷寧中學(xué)）的展開式中項(xiàng)的系數(shù)為（）A．140 B． C． D．1120【考點(diǎn)精練】1．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）展開式中的系數(shù)為（）A．15 B．20 C．30 D．352．（2021·山東任城·高二期中）在的展開式中，的系數(shù)為（）A． B．80 C．160 D．2403．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)，則______.考點(diǎn)六（二項(xiàng)）系數(shù)和【例6-1】（2021·遼寧·鳳城市第一中學(xué)高三月考）在的二項(xiàng)展開式中，僅有第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則（）A．8 B．9 C．10 D．11【例6-2】（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）在二項(xiàng)式(2x－3y)9的展開式中，求：（1）二項(xiàng)式系數(shù)之和；（2）各項(xiàng)系數(shù)之和；（3）所有奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和；（4）系數(shù)絕對(duì)值的和.【考點(diǎn)精練】1．（2021·江西·橫峰中學(xué)高二期中）已知的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)的和為，則等于（）A． B． C． D．2．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）若，則的值為（）A．2 B．0 C．-2 D．-13．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知，若，則___________.4．（2021·廣東·廣州市協(xié)和中學(xué)高二期中）已知，則________________.5．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知(x2－2x－3)10＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a20(x－1)20.（1）求a2的值；（2）求a1＋a3＋a5＋…＋a19的值；（3）求a0＋a2＋a4＋…＋a20的值．考點(diǎn)七整除及余數(shù)【例7-1】（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知2×1010＋a(0≤a<11)能被11整除，則實(shí)數(shù)a的值為（）A．7 B．8 C．9 D．10【例7-2】（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）利用二項(xiàng)式定理計(jì)算，則其結(jié)果精確到0.01的近似值是（）A．1.23 B．1.24 C．1.33 D．1.34【考點(diǎn)精練】1（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）除以88的余數(shù)是（）A．-1 B．1 C．-87 D．82．（2021·江蘇常熟·高二期中）設(shè)，且，若能被13整除，則（）A．0 B．1 C．11 D．123．（2021·安徽·高二期末（理））估算的結(jié)果，精確到0.01的近似值為（）A．30.84 B．31.84 C．30.40 D．32.164．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知，求證：能被整除．考點(diǎn)八楊輝三角的應(yīng)用【例8-1】（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知當(dāng)時(shí)，展開式的二項(xiàng)式系數(shù)表示形式如下圖，判斷圖中與的值分別是（）A．5，9 B．5，10 C．6，10 D．6，9【例8-2】（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）如圖所示的三角形數(shù)陣中，從第3行開始，每一行除1以外，其他每一個(gè)數(shù)字是它上一行相鄰的左右兩個(gè)數(shù)字之和.已知這個(gè)三角形數(shù)陣開頭幾行如圖所示，若在此數(shù)陣中存在某一行，滿足該行中有三個(gè)相鄰的數(shù)字之比為，則這一行是（）A．第96行 B．第97行 C．第98行 D．第99行【考點(diǎn)精練】1．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）在楊輝三角中，除每行的兩端數(shù)字外，每個(gè)數(shù)字都等于它左上角和右上角兩個(gè)數(shù)字之和，楊輝三角開頭幾行如圖所示.（1）利用楊輝三角展開（2）在楊輝三角中，哪一行會(huì)出現(xiàn)相鄰的三個(gè)數(shù)字的比是？2．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）在楊輝三角中，除1以外，其他每一個(gè)數(shù)值是它上面的兩個(gè)數(shù)值之和，這個(gè)三角形數(shù)陣開頭幾行如圖所示.已知n，r為正整數(shù)，且.求證：任何四個(gè)相鄰的組合數(shù)，，，不存在，.3．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）如圖所示的數(shù)陣叫“萊布尼茨三角形”，它們是由正整數(shù)的倒數(shù)組成的，第n行有n個(gè)數(shù)且兩端的數(shù)均為（），每個(gè)數(shù)是它下一行左右相鄰兩數(shù)的和，如：，，，…，則第n（）行第3個(gè)數(shù)字是______.第6講計(jì)數(shù)原理章末測(cè)試（基礎(chǔ)）一、單選題（每題只有一個(gè)選項(xiàng)為正確答案，每題5分，8題共40分）1．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）在1，2，3，4四個(gè)數(shù)字中任取數(shù)（不重復(fù)?。┳骱?，則取出這些數(shù)的不同的和共有（）A．8個(gè) B．9個(gè) C．10個(gè) D．5個(gè)2．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)，且，則等于（）A． B． C． D．3．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）六位選手依次演講，其中選手甲不是第一個(gè)也不是最后一個(gè)演講，則不同的演講次序共有（）A．480種 B．360種 C．240種 D．120種4．（2021·江蘇揚(yáng)州·高三月考）的展開式中的系數(shù)為（）A．4 B．-4 C．32 D．-325．（2021·江西·貴溪市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三月考）已知的展開式中，第3項(xiàng)與第11項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則二項(xiàng)式系數(shù)和是（）A． B． C． D．6．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）中國(guó)有十二生肖，又叫十二屬相，每一個(gè)人的出生年份對(duì)應(yīng)了十二種動(dòng)物(鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬)中的一種，現(xiàn)有十二生肖的吉祥物各一個(gè)，甲同學(xué)喜歡牛和馬，乙同學(xué)喜歡牛、狗和羊，丙同學(xué)哪個(gè)吉祥物都喜歡，三位同學(xué)按甲、乙、丙的順序依次選一個(gè)作為禮物，如果讓三位同學(xué)選取的禮物都滿意，那么不同的選法有（）A．360種 B．50種 C．60種 D．90種7．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）展開后的不同項(xiàng)數(shù)為（）A．9 B．12 C．18 D．248．（2021·云南·峨山彝族自治縣第一中學(xué)高三月考（理））已知的展開式中的系數(shù)等于8，則展開式中的系數(shù)等于（）A．4 B．7 C．-5 D．-8二、多選題（每題至少有2個(gè)選項(xiàng)為正確答案，每題5分，4題共20分）9．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）下列問題是組合問題的是（）A．10個(gè)朋友聚會(huì)，每?jī)扇宋帐忠淮?，一共握手多少次B．平面上有2015個(gè)不同的點(diǎn)，它們中任意三點(diǎn)不共線，連接任意兩點(diǎn)可以構(gòu)成多少條線段C．集合含有三個(gè)元素的子集有多少個(gè)D．從高三（19）班的54名學(xué)生中選出2名學(xué)生分別參加校慶晚會(huì)的獨(dú)唱、獨(dú)舞節(jié)目，有多少種選法10．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）6位同學(xué)在畢業(yè)聚會(huì)活動(dòng)中進(jìn)行紀(jì)念品的交換，任意兩位同學(xué)之間最多交換一次，進(jìn)行交換的兩位同學(xué)互贈(zèng)一份紀(jì)念品.已知6位同學(xué)之間共進(jìn)行了13次交換，則收到4份紀(jì)念品的同學(xué)人數(shù)可能為（）A．1 B．2 C．3 D．411．（2021·江蘇·泰州中學(xué)高三月考）已知，則（）A．的展開式中的常數(shù)項(xiàng)是56B．的展開式中的各項(xiàng)系數(shù)之和為0C．的展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)最大值是70D．的展開式中不含的項(xiàng)12．（2021·重慶·高三月考）若，則下列結(jié)論中正確的是（）A． B．C． D．三、填空題（每題5分，4題共20分）13．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）若，則的取值集合是______．14．（2021·上?！げ軛疃懈呷谥校┰诘恼归_式中，二項(xiàng)式系數(shù)之和為256，則展開式中項(xiàng)的系數(shù)為___________.15．（2021·全國(guó)·高二單元測(cè)試）如圖，給圖中的A，B，C，D，E，F(xiàn)六個(gè)點(diǎn)涂色，要求每個(gè)點(diǎn)涂一種顏色，且圖中每條線段的兩個(gè)端點(diǎn)涂不同顏色，若有四種顏色可供選擇，則不同的涂色方法共有______種.16．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）某校周五的課程表設(shè)計(jì)中，要求安排8節(jié)課（上午4節(jié)、下午4節(jié)），分別安排語文、數(shù)學(xué)、英語、物理、化學(xué)、生物、政治、歷史各一節(jié)，其中生物只能安排在第一節(jié)或最后一節(jié)，數(shù)學(xué)和英語在安排時(shí)必須相鄰（注：上午的最后一節(jié)與下午的第一節(jié)不記作相鄰），則周五的課程順序的編排方法共有______．四、解答題（17題10分，其余每題12分，共70分）17．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）把6個(gè)相同的小球放入4個(gè)編號(hào)為1，2，3，4的盒子中，求下列方法的種數(shù)．（1）每個(gè)盒子都不空；（2）恰有一個(gè)空盒子；（3）恰有兩個(gè)空盒子．18．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）4個(gè)男同學(xué)，3個(gè)女同學(xué)站成一排．（1）3個(gè)女同學(xué)必須相鄰，有多少種不同的排法？（2）任何兩個(gè)女同學(xué)彼此不相鄰，有多少種不同的排法？（3）3個(gè)女同學(xué)站在中間三個(gè)位置上的不同排法有多少種？（4）其中甲、乙兩人相鄰，但都不與丙相鄰，則有多少種不同的排法？（5）若3個(gè)女同學(xué)身高互不相等，女同學(xué)從左到右按高矮順序排，有多少種不同的排法？19．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知的展開式中偶數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和比展開式中奇數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和小120.（1）求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；（2）設(shè)展開式中的常數(shù)項(xiàng)為p，展開式中所有項(xiàng)系數(shù)的和為q，求.20．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）將4個(gè)編號(hào)分別為1，2，3，4的小球放入4個(gè)編號(hào)分別為1，2，3，4的盒子中．（1）有多少種放法？（2）每盒至多一球，有多少種放法？（3）恰好有一個(gè)空盒，有多少種放法？（4）每個(gè)盒內(nèi)放一個(gè)球，并且恰好有一個(gè)球的編號(hào)與盒子的編號(hào)相同，有多少種放法？（5）把4個(gè)不同的小球換成4個(gè)相同的小球，恰有一個(gè)空盒，有多少種放法？21．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知m，n是正整數(shù)，f（x）＝(1＋x)m＋(1＋x)n的展開式中x的系數(shù)為7．（1）對(duì)于使f（x）的x2的系數(shù)為最小的m，n，求出此時(shí)x3的系數(shù)；（2）利用上述結(jié)果，求f(0.003)的近似值；(精確到0.01)（3）已知(1＋2x)8的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為a，系數(shù)的最大值為b，求．22．（2021·全國(guó)·高二單元測(cè)試）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，數(shù)列滿足.（1）求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；（2）求第7講計(jì)數(shù)原理章末測(cè)試（提升）一、單選題（每題只有一個(gè)選項(xiàng)為正確答案，每題5分，8題共40分）1．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）某平臺(tái)設(shè)有“人物”“視聽學(xué)習(xí)”等多個(gè)欄目．假設(shè)在這些欄目中，某時(shí)段“人物”更新了2