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2024年高考數(shù)學(xué)第一次模擬考試(七省新高考02)
數(shù)學(xué)?全解全析
(考試時(shí)間:120分鐘試卷滿分:150分)
注意事項(xiàng):
1.本試卷分第I卷(選擇題)和第n卷(非選擇題)兩部分.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、
準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.
2.回答第I卷時(shí),選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需
改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標(biāo)號(hào).寫在本試卷上無(wú)效.
3.回答第n卷時(shí),將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無(wú)效.
4.測(cè)試范圍:高考全部?jī)?nèi)容
5.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回.
第I卷(選擇題)
一、單項(xiàng)選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是
符合要求的。
1.已知集合/=卜|3-2》>0},5={-1,0,1,2,3},則/口8=()
A.{-1,0,1,2}B.{-1,0,1}C.{1,2,3}D.{253}
【答案】B
【分析】根據(jù)一元一次不等式的解法,結(jié)合集合交集的定義進(jìn)行求解即可.
33
【詳解】:3-2x>0,二x<5,則/={x|無(wú)<]},
.,.^05={-1,0,1).
故選:B
2.已知2=l+i,貝1]工=()
1+Z
A13.n13.k31.「3
A.------1B.—I—iC.-"y1D.--
5555555
【答案】A
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算從而求解.
【詳解】由題意知:z=l+i,貝!=
F1-i13
所以:心二而二聲雙i二p丁丁.故A項(xiàng)正確?
故選:A.
1jr
3.過(guò)拋物線x=:/的焦點(diǎn)的直線的傾斜角為三,則拋物線頂點(diǎn)到該直線的距離為()
A.—B.V3C.vD.1
22
【答案】A
【分析】由題意首先求得焦點(diǎn)坐標(biāo),然后確定直線方程,最后由點(diǎn)到直線距離公式可得距離.
【詳解】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是必=4x,其頂點(diǎn)是(0,0),焦點(diǎn)是(1,0),
由直線的傾斜角得其斜率是左=tan1=6,所以直線的方程是了=#(x-l),
則拋物線的頂點(diǎn)到直線的距離為d=上包=@.
V1+32
故選:A.
4.某校有1000人參加某次模擬考試,其中數(shù)學(xué)考試成績(jī)近似服從正態(tài)分布N(105,/)(A0),試卷
滿分150分,統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀(高于120分)的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的g,則此次數(shù)學(xué)考試成
績(jī)?cè)?0分到105分之間的人數(shù)約為()
A.150B.200
C.300D.400
【答案】C
【分析】由已知求出尸(X<90)=P(X>120)=0.2,進(jìn)一步求出
P(90<X<105)=1P(90<X<120)=0.3,則可求出答案.
【詳解】P(X<90)=P{X>120)=0.2,
尸(90<X<120)=1-0.4=0.6,
尸(90<X<105)=1P(90<^<120)=0.3,
此次數(shù)學(xué)考試成績(jī)?cè)?0分到105分之間得人數(shù)約為1000x0.3=300.
故選:C.
5.光岳樓,又稱“余木樓”“鼓樓”“東昌樓”,位于山東省聊城市,在《中國(guó)名樓》站臺(tái)票紀(jì)念冊(cè)中,
光岳樓與鸛雀樓、黃鶴樓、岳陽(yáng)樓、太白樓、滕王閣、蓬萊閣、鎮(zhèn)海樓、甲秀樓、大觀樓共同組成
中國(guó)十大名樓.其墩臺(tái)為磚石砌成的正四棱臺(tái),如圖所示,光岳樓的墩臺(tái)上底面正方形的邊長(zhǎng)約為
32m,下底面正方形的邊長(zhǎng)約為34.5m,高的4倍比上底面的邊長(zhǎng)長(zhǎng)4m,則光岳樓墩臺(tái)的體積約為
()
A.9872.75m3B.9954.75m3C.9988.45m3D.9998.25m3
【答案】B
【分析】根據(jù)題意,求得光岳樓墩臺(tái)的高〃=9m,結(jié)合臺(tái)體的體積公式,即可求解.
【詳解】由題意,設(shè)光岳樓墩臺(tái)的高為h,貝!)〃=(x(32+4)=9m,
所以光岳樓墩臺(tái)的體積約為r=1x(322+34.52+32x34.5)x9=9954.75m3.
故選:B.
6.《紅海行動(dòng)》是一部現(xiàn)代海軍題材影片,該片講述了中國(guó)海軍“蛟龍突擊隊(duì)”奉命執(zhí)行撤僑任務(wù)的
故事.撤僑過(guò)程中,海軍艦長(zhǎng)要求隊(duì)員們依次完成六項(xiàng)任務(wù),并對(duì)任務(wù)的順序提出了如下要求:重
點(diǎn)任務(wù)8必須排在前三位,且任務(wù)/、。必須排在一起,則這六項(xiàng)任務(wù)的不同安排方案共有()
A.240種B.188種C.156種D.120種
【答案】D
【分析】分任務(wù)B排在首位、第2位、第3位三種情況討論即可.
【詳解】若任務(wù)B排在首位,則將A、D捆綁在一起,A、D之間有2種排法,再將A、D看作一
個(gè)整體和剩下的3個(gè)任務(wù)全排列即可,此時(shí)共有l(wèi)x2xA:=48種方案;
若任務(wù)B排在第2位,則第1位可排除A、D外的3項(xiàng)任務(wù)中的任意一項(xiàng),有3種排法;將A、D
捆綁在一起,A、D之間有2種排法,再將A、D看作一個(gè)整體和剩下的2個(gè)任務(wù)全排列即可,此
時(shí)共有1X3X2XA;=36種方案;
若任務(wù)B排在第3位,則將A、D捆綁在一起,A、D之間有2種排法,再將A、D看作一個(gè)整體
有3個(gè)位置可排,再將剩下的3個(gè)任務(wù)全排列安排在剩下的3個(gè)位置即可,此時(shí)共有1x2x3xA:=36
種方案;
故總共有48+36+36=120種方案.
故選:D.
7.已知a=3bg83”=log34,c=3ig32,則a,6,c的大小關(guān)系為()
A.a>b>cB.c>a>b
C.a>c>bD.c>b>a
【答案】C
333
【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得到。b<-9c=得到答案.
33
【詳解】"3晦3=1叫3>1。&a=1鳴22=于
2
b=log34<log3V27=log33=-;
1083
C-31Tog32_310g33-log322—3.
--~29
故。>c>b.
故選:C.
8.已知〃x)的定義域?yàn)镽,且/(x+1)是奇函數(shù),當(dāng)x>l時(shí),/(x)=2_函數(shù)
g(x)=」(x-l)#>。則方程/(x)=g(x)的所有的根之和為()
A.3B.4C.5D.6
【答案】C
【分析】根據(jù)的定義域?yàn)镽,且/(x+1)是奇函數(shù),得到“X)的圖象關(guān)于(1,0)對(duì)稱,且/'⑴=0,
再根據(jù)g(x)的圖象也關(guān)于(1,0)對(duì)稱,畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象,利用數(shù)形結(jié)合法求解.
【詳解】解:因?yàn)?(x)的定義域?yàn)镽,且/(x+1)是奇函數(shù),
所以/(f+1)-1),則〃x)的圖象關(guān)于(1,0)對(duì)稱,且〃1)=0,
2-x,l<x<2
當(dāng)x>l時(shí),〃尤)=
x2一4x+4,x>2
又因?yàn)楹瘮?shù)g(x)=Mx-l),左>0,
所以g(x)的圖象關(guān)于(1,0)對(duì)稱,
所以方程/(無(wú))=g(x)的所有的根之和即為兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)和,
/(X)和g(力的圖象,如圖所示:
由圖象知:〃x)和g(x)的圖象有5個(gè)交點(diǎn),其中一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1,另外四個(gè),兩兩分別關(guān)
于(1,0)對(duì)稱,
所以5個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為2x2+l=5,
故選:C
二、多項(xiàng)選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合
題目的要求,全部選對(duì)的得5分,部分選對(duì)的得2分,有選錯(cuò)的得0分。
9.PM2.5是衡量空氣質(zhì)量的重要指標(biāo),下圖是某地7月1日到10日的PM2.5日均值(單位:ug/n?)
的折線圖,則下列關(guān)于這10天中PM2.5日均值的說(shuō)法正確的是
—-PM2.5日均值
140
120
100
80
60
40
20
0
A.眾數(shù)為30
B.中位數(shù)是31
C.平均數(shù)小于中位數(shù)
D.后4天的方差小于前4天的方差
【答案】AD
【分析】根據(jù)折線圖,由眾數(shù),中位數(shù),平均數(shù),方差等概念及公式,逐項(xiàng)判斷,即可得出結(jié)果.
【詳解】眾數(shù)即是出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)字,由折線圖可得,眾數(shù)為30,即A正確;
中位數(shù)即是處在中間位置的數(shù)字,將折線圖中數(shù)字由小到大依次排序,得到:17,25,30,30,31,
32,34,38,42,126;處在中間位置的數(shù)字是:31,32,因此中位數(shù)為31.5,即B錯(cuò);
17+25+30+30+31+32+34+38+42+126
由折線圖可得,平均數(shù)為:=40.5>31.5,故C錯(cuò);
10
38+25+17+3042+31+32+30
前4天的平均數(shù)為:=27.5,后4天的平均數(shù)為=33.75
44
(38-27.5)2+(25-27.5)2+(17-27.^2X30-27;2
前4天方差為:s;—58.25
4
后4天方差為:
22
2_(42-33.75)+(31-33.75)+02-33.75J+-33.75)_
腿―4",,
所以后4天的方差小于前4天的方差,故D正確.
故選:AD.
【點(diǎn)睛】本題主要考查由折線圖計(jì)算眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、方差等,屬于基礎(chǔ)題型.
10.已知圓C:/+/+-2(加+l)y+2/+2"-3=0(weR)上存在兩個(gè)點(diǎn)到點(diǎn)2(0,-1)的距離為4,則
m的可能的值為
A.1B.-1C.-3D.-5
【答案】ACD
【解析】根據(jù)題意,圓C:(x+O+[y-(加+1)了=2?與圓/:一+(>+了=42相交,再由兩圓圓心距大于
兩圓半徑之差,小于兩圓半徑之和,列出不等式,解得即可.
【詳解】由題知,圓。《+優(yōu))2+[歹_(,”+1)了=22與圓/*2+3+1)2=42相交,
所以,|4-2卜|。卜4+2,即2<J/+[(加+了<6,
解得"74-布-1,-2川(0,后-1),即用的值可以為:1或-3或-5.
故選:ACD.
【點(diǎn)睛】本題體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想,解題的關(guān)鍵在于將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩圓相交,屬于基礎(chǔ)題.
11.已知,是數(shù)列{%}的前〃項(xiàng)和,q=8,則下列遞推關(guān)系中能使S“存在最大值的有()
A.a“+i=-2a“B.an+l-an-2
1
C.a^a-nD.??i=-------
n+ln+I-。.
【答案】BC
【分析】對(duì)于A,根據(jù)等比數(shù)列求和公式求出S“,可得A不正確;對(duì)于B,根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公
式可得B正確;對(duì)于C,計(jì)算出數(shù)列的前四項(xiàng),結(jié)合單調(diào)性可得C正確;對(duì)于D,推出數(shù)列為周期
函數(shù),可得D不正確.
【詳解】對(duì)于A,由。角=一2g,/=8,可得%=8x(-2)7,$=8[1(-2)[=、
"1+23LJ
當(dāng)〃為正奇數(shù)且趨近于無(wú)窮大時(shí),S”也趨近于正無(wú)窮大,故S,不存在最大值,故A不正確;
對(duì)于B,由%+1=%—2,得%討―%=—2,又4=8,所以4=8—2(〃—1)=—2〃+10,
當(dāng)1(〃(4時(shí),%>0,當(dāng)〃=5時(shí),%=0,當(dāng)〃>5時(shí),%<0,
所以當(dāng)〃=4或〃=5時(shí),S〃取得最大值,故B正確;
丁,C,由,。]=8,%=。1—1=7,/=/_2=5,&=/_3=2,
a5=a4-4=-29又%討-4=f<0,{%}遞減,所以當(dāng)〃=4時(shí),S”取最大值,故C正確;
117
對(duì)于D,由冊(cè)+1—T,%=8,得Q,2=~~f03=7,&=8,L,
1—78
所以數(shù)列{%}的周期為3,故s“不存在最大值,故D不正確.
故選:BC
12.正方體48co-4片。|。中,M是正方形/BCD的中心,尸為線段片C上一動(dòng)點(diǎn),下列結(jié)論中正
確的是()
A.B.M1AC;
B.直線片/與直線/。所成角的余弦值為逅;
6
C.不存在點(diǎn)尸使得。尸〃平面/月。;
D.三棱錐4-/。尸的體積為定值.
【答案】ABD
【分析】A選項(xiàng),由三線合一證明出線線垂直;B選項(xiàng),作出輔助線,找到異面直線的夾角,利用
余弦定理求出答案;C選項(xiàng),找到點(diǎn)P的位置,使得。P//平面44。,C不正確;D選項(xiàng),利用等
體積法得到VAt_ADP=1?邑3V4B,由面積和AB為定值得到體積為定值.
【詳解】設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為2.
A選項(xiàng),在三角形/C片中,BIA=BXC=242,M是/C的中點(diǎn),
所以所以A正確.
B選項(xiàng),設(shè)N是48的中點(diǎn),連接跖V,則MN//4D,
所以乙WkW是異面直線4/與直線所成角(或其補(bǔ)角),
在三角形B'MN中,B\M=J(拒『+2?=〃,及N=AA2+22=屈MN=1,
eeKJ/n.?r6+1—5y/6
所以cosAB,MN=---T=—=——,
2xV6xl6
所以異面直線片/與直線NO所成角的余弦值為骼,B正確.
C選項(xiàng),根據(jù)正方體的性質(zhì)可知8D//3Q”BG///2,
由于AD仁平面48Q,耳,u平面ABXDX,
所以8D〃平面/月。,
同理可證得5G〃平面"4A,
由于BDcBC\=B,BD,BCiu平面BCXD,
所以平面AB,DJ/平面BCQ,
當(dāng)3Cc4C=尸時(shí),。尸u平面3CQ,
所以。尸〃平面N40.
即存在點(diǎn)P使得DPH平面4BR,C不正確.
=
D選項(xiàng),VAX-ADPH,
其中Sa4和N3為定值,所以三棱錐4尸的體積為定值,所以D正確.
故選:ABD
第n卷(非選擇題)
二、填空題:本大題共4小題,每小題5分,共20分
13.若口=2,忖=1,且歸+用=3,則Z與3的夾角為;
【答案】y
【分析】根據(jù)已知結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律可推得7否=-1,然后即可求出cos?》)=-;,進(jìn)而得出答
案.
【詳解】由已知可得,,+彳=/+片+2£*=4+1+215=3,
所以,a-b=-\y
所以,小/_砂r\=雨a-b—-11.
又0"茄)4兀,所以
2兀
故答案為:y.
22
14.雙曲線0-占=1(。>0,6>0)的一條漸近線與直線2x-y+l=0平行,則它的離心率
ab
為.
【答案】V5.
【分析】由直線平行則斜率相等,求得6之間的等量關(guān)系,再求離心率即可.
【詳解】因?yàn)闈u近線與直線2x-y+1=0平行,
故可得2=2,根據(jù)雙曲線離心率的計(jì)算公式可得:
a
故答案為:V5.
【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線離心率的求解,屬基礎(chǔ)題.
15.記函數(shù)/(x)=cos(0x+0)(0>O,O<e<7t)的最小正周期為T,若〃7)=學(xué),x=]為了⑴的
零點(diǎn),則。的最小值為.
【答案】3
【分析】首先表示出7,根據(jù)/(7)=[求出。,再根據(jù)x=5為函數(shù)的零點(diǎn),即可求出。的取值,
從而得解;
【詳解】解:因?yàn)?(x)=cos(0x+°),(?>0,0<夕<兀)
所以最小正周期T弋,因?yàn)?7)=cos^-7+?=cos(2兀+0)=cos^=%
兀
又0<夕<兀所以9=9即/(x)=cosCOXH----
66
又X=g為“力的零點(diǎn),所以1/+$=^+叔后eZ,解得0=3+9左,4eZ,
9962
因?yàn)?>0,所以當(dāng)左=0時(shí)%山=3;
故答案為:3
16.若曲線N=lnx在點(diǎn)尸(士,必)處的切線與曲線》=6、相切于點(diǎn)。色,%),則
2
--------\-x.
xx-\
【答案】-1
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義可分別用和三表示出切線方程,根據(jù)切線方程相同可構(gòu)造方程組,化簡(jiǎn)
得到王=土|,代入所求式子整理即可.
【詳解】??,(lnx)'=J,(e,)'=/,???切線斜率左=:=產(chǎn),
,切線方程可記為:了=14》—天)+出玉=‘.-1+111網(wǎng)或>=32(苫一天)+e*2=e%2-x+(l-^)e\
一In%]=x2
X](inx1-1)=l-x2
X—1
則X](%2+1)=%2-1,易得%2+1,0,?.=2+]
222
F%2~ZF%2=TH%2=-X]—卜X?——1
否-]―1—1一__一
x2+1%+1
故答案為:-1.
三、解答題:本小題共6小題,共70分,其中第17題10分,18?22題12分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)
明、證明過(guò)程或演算步驟.
17.在中,內(nèi)角A,B,。所對(duì)的邊分別為b,c,已知4cos2---------2=4sin/sin5-4.
2
⑴求角。的大??;
(2)若$力吹=馬芭,求C的最小值.
'/AAtSL4
【答案】(1)C=3
0
(2)1
【分析】(1)利用三角恒等變換對(duì)原式化簡(jiǎn),結(jié)合三角形的內(nèi)角和為兀,即可求解;
(2)根據(jù)面積公式求得斜=2+6,再利用余弦定理以及基本不等式可得出c的取值范圍,即可得
解.
【詳解】(1)由題意知,原式可化為2cos(/-3)=4sin/sin5-
即2(cosAcos8+sin/sin3)=4sin/sin8-6.
整理可得:2cos(/+B)=-6,即cos(/+8)=-g.
又因?yàn)?+8+。=兀,貝!)0<。<兀,
所以cosC=",故C=g.
26
(2)因?yàn)?謝=g06sinC=;仍=2+f'所以。6=2+G,
由余弦定理和基本不等式可得:
c2=a2+b2-2ab-cosC=a2+b2-yjiab>2ab-Gb-。一后、b=1,
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=H3=在產(chǎn)時(shí),等號(hào)成立,
所以cNl,故。的最小值為1.
18.已知等比數(shù)列{%},等差數(shù)列{勾}的公差”>0,且4=1,a2=b2,%=",%=%.
⑴求數(shù)列{凡}與也}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)數(shù)列{&}對(duì)任意〃eN*,均有?+—"+亍"+…+亍"=”成立,求匕}的通項(xiàng)公式.
【答案】⑴4=2〃-1,%=3"T
⑵C"~[2x3"~l,n>2
【分析】(1)設(shè)等比數(shù)列{%}的公比為/根據(jù)已知列出關(guān)系式,求解得出4=2,進(jìn)而得出{"}的
通項(xiàng)公式.然后求出氏的項(xiàng),進(jìn)而得出/即可得出{%}的通項(xiàng)公式;
(2)根據(jù)前n項(xiàng)和公式以及通項(xiàng)之間的關(guān)系,即可得出口=2+「2=2,從而得出cm=2°m,
an+\
得出%的表達(dá)式,然后求出《的值,檢驗(yàn)即可得出答案.
【詳解】(D設(shè)等比數(shù)列{與}的公比為必
由題意fb2=Cl29&=〃3,b]4=。4,
所以b;=b2b14,即(1+4d)2=(1+d)(l+13d),
解得d=2,或d=0(舍去),
所以〃=1+2(〃-1)=2〃一1.
所以%=02=3,%=4=9,
所以q=&=3,?i=—=1,
a2q
所以%=1X3"T=3"L
(2)由題意,—+—+--?+—=b,①
為“2n
幺+-+…+4+用,②
a\a2anan-A
②-①得==履「么=2,
%+i
所以q,+i=2。用,
所以C“=2%=2X3"T(〃22).
當(dāng)〃=1時(shí),由立=4可得q=l不滿足上式.
[l,n=l
所以0〃=1。&〃-1?
[2x3,n>2
19.如圖,已知四邊形與EE4。均為直角梯形,平面平面EE4Q,AB1BC,AF1AD,
"為8廠的中點(diǎn),AF=AB=BC=2CD=IDE=2.
F
(1)證明:C,E,F,河四點(diǎn)共面;
(2)求平面AMC與平面ADE夾角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析
⑵孚
【分析】⑴取E4的中點(diǎn)P,連接"P,尸。,根據(jù)中位線結(jié)合已知得出四邊形PMCD與四邊形FPDE
是平行四邊形,即可得出CM〃EV,即可證明;
(2)建立空間直角坐標(biāo)系.,得出相應(yīng)各點(diǎn)坐標(biāo),得出相應(yīng)向量,即可根據(jù)平面法向量求法
得出平面AMC與平面ADE的法向量,即可根據(jù)二面角的向量求法得出答案.
【詳解】(1)取見的中點(diǎn)P,連接MP,PD.
因?yàn)镸為昉的中點(diǎn),P為E4的中點(diǎn),且4B,BC,AB=2CD,
AU
所以尸河="=CD,且尸N||/3||C。,
2
所以四邊形尸河。是平行四邊形,
所以CMIIDP且CN=D尸.
又因?yàn)?尸_L4D,且4F=2DE,
所以FP〃ED,FP=ED,
所以四邊形FPDE是平行四邊形,
所以DP=EF.
所以CN〃EF,CM=EF,
所以C,E,F,/四點(diǎn)共面.
(2)因?yàn)槠矫鎆8CD2平面平面Z8CDc平面E/XD=40,
且4尸,力。,所以/尸_L平面48co.
如圖,以B為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系8-9z,
C~~x
則8(0,0,0),C(2,0,0),4(0,2,0),£>(2,1,0),尸(0,2,2),£(2,1,1),M(0,1,1).
設(shè)平面/MC的一個(gè)法向量為*=(x2],zj,因?yàn)檠?(0,-1,1),就=(2,-2,0),
所以];"十:令陽(yáng)=1,得乂=4=1,所以*=(1,1,1).
(2x,-2y1=0
設(shè)平面4)E的一個(gè)法向量為晨=(%,%,Z2),因?yàn)槎?(2,-1,0),詼=(0,0,1),
2x>一%=0—/、
所以,令工2=1,得%=2,Z2=0,所以〃2=0,2,0).
設(shè)平面AMC與平面ADE夾角為。,
麗[-
20.紅蜘蛛是柚子的主要害蟲之一,能對(duì)柚子樹造成嚴(yán)重傷害,每只紅蜘蛛的平均產(chǎn)卵數(shù)y(個(gè))
和平均溫度xCC)有關(guān),現(xiàn)收集了以往某地的7組數(shù)據(jù),得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.
小產(chǎn)卵數(shù)
400-
350-
300-
250-
200-
150-
100-
50-
°與之2宏2'62’83b32313k褊度
dx
⑴根據(jù)散點(diǎn)圖判斷,y=bx+a^y=ce(其中e=2.718…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))哪一個(gè)更適合作為
平均產(chǎn)卵數(shù)y(個(gè))關(guān)于平均溫度x(℃)的回歸方程類型?(給出判斷即可,不必說(shuō)明理由)
(2)由(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù),求出y關(guān)于x的回歸方程.(計(jì)算結(jié)果精確到0.1)
,八方回一祖m一A之xiyi-nxy
附:回歸方程中歹=BX+Q,b=-—--------...二號(hào)-----二一,a=y-bx
22
“巧-x)^xt-nx
Z=1Z=1
參考數(shù)據(jù)(z=lny)
777
Ew,Xyz
i=li=li=l
5215177137142781.33.6
(3)根據(jù)以往每年平均氣溫以及對(duì)果園年產(chǎn)值的統(tǒng)計(jì),得到以下數(shù)據(jù):平均氣溫在22。13以下的年數(shù)占
60%,對(duì)柚子產(chǎn)量影響不大,不需要采取防蟲措施;平均氣溫在22。(2至28。(2的年數(shù)占30%,柚子產(chǎn)
量會(huì)下降20%;平均氣溫在28。(3以上的年數(shù)占10%,柚子產(chǎn)量會(huì)下降50%.為了更好的防治紅蜘蛛
蟲害,農(nóng)科所研發(fā)出各種防害措施供果農(nóng)選擇.
在每年價(jià)格不變,無(wú)蟲害的情況下,某果園年產(chǎn)值為200萬(wàn)元,根據(jù)以上數(shù)據(jù),以得到最高收益(收
益=產(chǎn)值一防害費(fèi)用)為目標(biāo),請(qǐng)為果農(nóng)從以下幾個(gè)方案中推薦最佳防害方案,并說(shuō)明理由.
方案1:選擇防害措施/,可以防止各種氣溫的紅蜘蛛蟲害不減產(chǎn),費(fèi)用是18萬(wàn);
方案2:選擇防害措施3,可以防治22。(2至28。(2的蜘蛛蟲害,但無(wú)法防治28。(2以上的紅蜘蛛蟲害,
費(fèi)用是10萬(wàn);
方案3:不采取防蟲害措施.
【答案]⑴]ce&更適宜
(2)y=e0-3^4-5
(3)選擇方案1最佳,理由見解析
【分析】(D根據(jù)散點(diǎn)圖的形狀,可判斷y=ce也更適宜作為平均產(chǎn)卵數(shù)y關(guān)于平均溫度x的回歸方
程類型;
(2)將y=c/兩邊同時(shí)取自然對(duì)數(shù),轉(zhuǎn)化為線性回歸方程,即可得到答案;
(3)求出三種方案的收益的均值,根據(jù)均值越大作為判斷標(biāo)準(zhǔn).
【詳解】(1)由散點(diǎn)圖可以判斷,y=ce&更適宜作為平均產(chǎn)卵數(shù)y關(guān)于平均溫度x的回歸方程類型.
(2)將了=。*兩邊同時(shí)取自然對(duì)數(shù),可得lny=lnc+辦;,
由題中的數(shù)據(jù)可得,-7xz=33.6,'伍-x)=112,
i=li—li—l
7
i=l
所以d=7篙。S
入;-7/
Z=1
貝?。軮nc=7-及=3.6-0.3x27=-4.5,
所以z關(guān)于x的線性回歸方程為z=0.3x-4.5,
故y關(guān)于x的回歸方程為y=eg-"
(3)用X-X?和占分別表示選擇三種方案的收益.
采用第1種方案,無(wú)論氣溫如何,產(chǎn)值不受影響,收益為200-18=182萬(wàn),即乂=182
采用第2種方案,不發(fā)生28。(:以上的紅蜘蛛蟲害,收益為200-10=190萬(wàn),
190,不發(fā)生280c以上的紅蜘蛛蟲害
如果發(fā)生,則收益為100-10=90萬(wàn),即k=
90,發(fā)生28℃以上的紅蜘蛛蟲害
’200,不發(fā)生蟲害
同樣,采用第3種方案,有4=160,只發(fā)生22-28C蟲害
100,發(fā)生28℃以上蟲害
所以,E(XJ=182,
£1(X2)=190xP(X2=190)+90xP氏=90)=190x0.9+90x0.1=171+9=180,
£(區(qū))=200、尸(入3=200)+160xP居=160,100xP儲(chǔ)=100)
=200x0.6+160x0.3+100x0.1=178.
顯然,£(Xj最大,所以選擇方案1最佳.
22
21.已知橢圓。:宏+三=19>6)的左、右頂點(diǎn)分別為4,4,點(diǎn)P為橢圓C上異于4,4的一
3
點(diǎn),且直線24,%的斜率之積為
(1)求橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)直線/過(guò)右焦點(diǎn)4與橢圓C交于M,N兩點(diǎn)(M,N與4不重合),/不與x軸垂直,若
=求|肱V|.
【答案】⑴2+片=1;(2)看.
437
【解析】(D設(shè)出尸點(diǎn)的坐標(biāo),根據(jù)尸點(diǎn)在橢圓上以及尸4,尸小的斜率之積為-;3,列出方程,即
可求得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)出直線/的方程以及M,N點(diǎn)的坐標(biāo),與橢圓方程聯(lián)立,消去無(wú),利用韋達(dá)定理得出%+%
與乂力的值,再根據(jù)心也+3戶=一%可列出方程,即可解出直線的斜率,從而利用弦長(zhǎng)公式求得|〃N|.
【詳解】解:(1)設(shè)夕(%,九),
由題意知:4(-凡0),4(。,0),
3[l-4
3,
,,kpa,kp&=y0y0
XQ+QXQ_Q篙—/片一/
._A__2
7=~~7,
a4
解得:a2=4>
22
???橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為上+匕=1;
43
(2)根據(jù)題意,設(shè)M(%i,必),N(x2,y2),直線7W:x=冽y+l(加wO),
f22
二上二1
t十1,
由J43,
x=my+1,
消去X并整理得:(3療+4)/+6叼-9=0,
則A=36/+36(3加2+4)>0,
6m9
即%+%=-%%=一
3m之+43m之+4
1,k二巴
后4%
再+2x2+2
?k-4-k
一八4M丁及4N
“(9+2)+%(%+2)
(再+
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