2024年高考第一次模擬考試-數(shù)學(xué)（七省新高考2）（全解全析）

2024年高考數(shù)學(xué)第一次模擬考試（七省新高考02）

數(shù)學(xué)?全解全析

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項(xiàng)：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、

準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.

2.回答第I卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需

改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).寫在本試卷上無(wú)效.

3.回答第n卷時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無(wú)效.

4.測(cè)試范圍：高考全部?jī)?nèi)容

5.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

第I卷（選擇題）

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合要求的。

1.已知集合/=卜|3-2》>0},5={-1,0,1,2,3},則/口8=（）

A.{-1,0,1,2}B.{-1,0,1}C.{1,2,3}D.{253}

【答案】B

【分析】根據(jù)一元一次不等式的解法，結(jié)合集合交集的定義進(jìn)行求解即可.

33

【詳解】：3-2x>0,二x<5,則/={x|無(wú)<]},

.,.^05={-1,0,1）.

故選：B

2.已知2=l+i,貝1]工=（）

1+Z

A13.n13.k31.「3

A.------1B.—I—iC.-"y1D.--

5555555

【答案】A

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算從而求解.

【詳解】由題意知：z=l+i,貝!=

F1-i13

所以：心二而二聲雙i二p丁丁.故A項(xiàng)正確?

故選：A.

1jr

3.過(guò)拋物線x=：/的焦點(diǎn)的直線的傾斜角為三，則拋物線頂點(diǎn)到該直線的距離為()

A.—B.V3C.vD.1

22

【答案】A

【分析】由題意首先求得焦點(diǎn)坐標(biāo)，然后確定直線方程，最后由點(diǎn)到直線距離公式可得距離.

【詳解】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是必=4x,其頂點(diǎn)是(0,0),焦點(diǎn)是(1,0),

由直線的傾斜角得其斜率是左=tan1=6,所以直線的方程是了=#(x-l),

則拋物線的頂點(diǎn)到直線的距離為d=上包=@.

V1+32

故選：A.

4.某校有1000人參加某次模擬考試，其中數(shù)學(xué)考試成績(jī)近似服從正態(tài)分布N(105,/)(A0),試卷

滿分150分，統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀(高于120分)的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的g,則此次數(shù)學(xué)考試成

績(jī)?cè)?0分到105分之間的人數(shù)約為()

A.150B.200

C.300D.400

【答案】C

【分析】由已知求出尸(X<90)=P(X>120)=0.2,進(jìn)一步求出

P(90<X<105)=1P(90<X<120)=0.3,則可求出答案.

【詳解】P(X<90)=P{X>120)=0.2,

尸(90<X<120)=1-0.4=0.6,

尸(90<X<105)=1P(90<^<120)=0.3,

此次數(shù)學(xué)考試成績(jī)?cè)?0分到105分之間得人數(shù)約為1000x0.3=300.

故選:C.

5.光岳樓，又稱“余木樓”“鼓樓”“東昌樓”，位于山東省聊城市，在《中國(guó)名樓》站臺(tái)票紀(jì)念冊(cè)中，

光岳樓與鸛雀樓、黃鶴樓、岳陽(yáng)樓、太白樓、滕王閣、蓬萊閣、鎮(zhèn)海樓、甲秀樓、大觀樓共同組成

中國(guó)十大名樓.其墩臺(tái)為磚石砌成的正四棱臺(tái)，如圖所示，光岳樓的墩臺(tái)上底面正方形的邊長(zhǎng)約為

32m,下底面正方形的邊長(zhǎng)約為34.5m,高的4倍比上底面的邊長(zhǎng)長(zhǎng)4m,則光岳樓墩臺(tái)的體積約為

()

A.9872.75m3B.9954.75m3C.9988.45m3D.9998.25m3

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，求得光岳樓墩臺(tái)的高〃=9m,結(jié)合臺(tái)體的體積公式，即可求解.

【詳解】由題意，設(shè)光岳樓墩臺(tái)的高為h,貝!)〃=(x(32+4)=9m,

所以光岳樓墩臺(tái)的體積約為r=1x(322+34.52+32x34.5)x9=9954.75m3.

故選：B.

6.《紅海行動(dòng)》是一部現(xiàn)代海軍題材影片，該片講述了中國(guó)海軍“蛟龍突擊隊(duì)”奉命執(zhí)行撤僑任務(wù)的

故事.撤僑過(guò)程中，海軍艦長(zhǎng)要求隊(duì)員們依次完成六項(xiàng)任務(wù)，并對(duì)任務(wù)的順序提出了如下要求：重

點(diǎn)任務(wù)8必須排在前三位，且任務(wù)/、。必須排在一起，則這六項(xiàng)任務(wù)的不同安排方案共有()

A.240種B.188種C.156種D.120種

【答案】D

【分析】分任務(wù)B排在首位、第2位、第3位三種情況討論即可.

【詳解】若任務(wù)B排在首位，則將A、D捆綁在一起，A、D之間有2種排法，再將A、D看作一

個(gè)整體和剩下的3個(gè)任務(wù)全排列即可，此時(shí)共有l(wèi)x2xA：=48種方案；

若任務(wù)B排在第2位，則第1位可排除A、D外的3項(xiàng)任務(wù)中的任意一項(xiàng)，有3種排法；將A、D

捆綁在一起，A、D之間有2種排法，再將A、D看作一個(gè)整體和剩下的2個(gè)任務(wù)全排列即可，此

時(shí)共有1X3X2XA；=36種方案；

若任務(wù)B排在第3位，則將A、D捆綁在一起，A、D之間有2種排法，再將A、D看作一個(gè)整體

有3個(gè)位置可排，再將剩下的3個(gè)任務(wù)全排列安排在剩下的3個(gè)位置即可，此時(shí)共有1x2x3xA：=36

種方案；

故總共有48+36+36=120種方案.

故選：D.

7.已知a=3bg83”=log34,c=3ig32,則a,6,c的大小關(guān)系為()

A.a>b>cB.c>a>b

C.a>c>bD.c>b>a

【答案】C

333

【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得到。b<-9c=得到答案.

33

【詳解】"3晦3=1叫3>1。&a=1鳴22=于

2

b=log34<log3V27=log33=-；

1083

C-31Tog32_310g33-log322—3.

--~29

故。>c>b.

故選：C.

8.已知〃x)的定義域?yàn)镽,且/(x+1)是奇函數(shù)，當(dāng)x>l時(shí)，/(x)=2_函數(shù)

g(x)=」(x-l)#>。則方程/(x)=g(x)的所有的根之和為()

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【分析】根據(jù)的定義域?yàn)镽，且/(x+1)是奇函數(shù),得到“X)的圖象關(guān)于(1，0)對(duì)稱，且/'⑴=0,

再根據(jù)g(x)的圖象也關(guān)于(1,0)對(duì)稱，畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合法求解.

【詳解】解：因?yàn)?(x)的定義域?yàn)镽,且/(x+1)是奇函數(shù)，

所以/(f+1)-1),則〃x)的圖象關(guān)于(1,0)對(duì)稱，且〃1)=0,

2-x,l<x<2

當(dāng)x>l時(shí),〃尤)=

x2一4x+4,x>2

又因?yàn)楹瘮?shù)g(x)=Mx-l),左>0,

所以g(x)的圖象關(guān)于(1,0)對(duì)稱，

所以方程/(無(wú))=g(x)的所有的根之和即為兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)和,

/(X)和g(力的圖象,如圖所示：

由圖象知：〃x）和g（x）的圖象有5個(gè)交點(diǎn)，其中一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1,另外四個(gè)，兩兩分別關(guān)

于（1，0）對(duì)稱，

所以5個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為2x2+l=5,

故選：C

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目的要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。

9.PM2.5是衡量空氣質(zhì)量的重要指標(biāo)，下圖是某地7月1日到10日的PM2.5日均值（單位：ug/n?）

的折線圖，則下列關(guān)于這10天中PM2.5日均值的說(shuō)法正確的是

—-PM2.5日均值

140

120

100

80

60

40

20

0

A.眾數(shù)為30

B.中位數(shù)是31

C.平均數(shù)小于中位數(shù)

D.后4天的方差小于前4天的方差

【答案】AD

【分析】根據(jù)折線圖，由眾數(shù)，中位數(shù)，平均數(shù)，方差等概念及公式，逐項(xiàng)判斷，即可得出結(jié)果.

【詳解】眾數(shù)即是出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)字，由折線圖可得，眾數(shù)為30,即A正確；

中位數(shù)即是處在中間位置的數(shù)字，將折線圖中數(shù)字由小到大依次排序，得到：17,25,30,30,31,

32,34,38,42,126；處在中間位置的數(shù)字是：31,32,因此中位數(shù)為31.5,即B錯(cuò)；

17+25+30+30+31+32+34+38+42+126

由折線圖可得，平均數(shù)為:=40.5>31.5,故C錯(cuò);

10

38+25+17+3042+31+32+30

前4天的平均數(shù)為:=27.5,后4天的平均數(shù)為=33.75

44

（38-27.5）2+（25-27.5）2+（17-27.^2X30-27；2

前4天方差為：s；—58.25

4

后4天方差為:

22

2_(42-33.75)+(31-33.75)+02-33.75J+-33.75)_

腿―4",，

所以后4天的方差小于前4天的方差，故D正確.

故選：AD.

【點(diǎn)睛】本題主要考查由折線圖計(jì)算眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、方差等，屬于基礎(chǔ)題型.

10.已知圓C：/+/+-2(加+l)y+2/+2"-3=0(weR)上存在兩個(gè)點(diǎn)到點(diǎn)2(0,-1)的距離為4,則

m的可能的值為

A.1B.-1C.-3D.-5

【答案】ACD

【解析】根據(jù)題意，圓C：(x+O+[y-(加+1)了=2?與圓/:一+(>+了=42相交，再由兩圓圓心距大于

兩圓半徑之差，小于兩圓半徑之和，列出不等式，解得即可.

【詳解】由題知，圓。《+優(yōu))2+[歹_(,”+1)了=22與圓/*2+3+1)2=42相交，

所以，|4-2卜|。卜4+2,即2<J/+[(加+了<6,

解得"74-布-1,-2川(0,后-1),即用的值可以為：1或-3或-5.

故選：ACD.

【點(diǎn)睛】本題體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，解題的關(guān)鍵在于將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩圓相交，屬于基礎(chǔ)題.

11.已知，是數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，q=8,則下列遞推關(guān)系中能使S“存在最大值的有()

A.a“+i=-2a“B.an+l-an-2

1

C.a^a-nD.??i=-------

n+ln+I-。.

【答案】BC

【分析】對(duì)于A,根據(jù)等比數(shù)列求和公式求出S“，可得A不正確；對(duì)于B,根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公

式可得B正確；對(duì)于C,計(jì)算出數(shù)列的前四項(xiàng)，結(jié)合單調(diào)性可得C正確；對(duì)于D,推出數(shù)列為周期

函數(shù)，可得D不正確.

【詳解】對(duì)于A,由。角=一2g，/=8,可得%=8x(-2)7,$=8[1(-2)[=、

"1+23LJ

當(dāng)〃為正奇數(shù)且趨近于無(wú)窮大時(shí)，S”也趨近于正無(wú)窮大，故S,不存在最大值，故A不正確；

對(duì)于B,由%+1=%—2,得%討―%=—2,又4=8,所以4=8—2(〃—1)=—2〃+10,

當(dāng)1(〃(4時(shí)，%>0,當(dāng)〃=5時(shí)，%=0,當(dāng)〃>5時(shí)，%<0,

所以當(dāng)〃=4或〃=5時(shí)，S〃取得最大值，故B正確；

丁，C,由，。]=8,%=。1—1=7,/=/_2=5,&=/_3=2,

a5=a4-4=-29又％討-4=f<0,｛%｝遞減，所以當(dāng)〃=4時(shí)，S”取最大值，故C正確；

117

對(duì)于D,由冊(cè)+1—T，%=8,得Q，2=~~f03=7，&=8,L,

1—78

所以數(shù)列｛%｝的周期為3,故s“不存在最大值，故D不正確.

故選：BC

12.正方體48co-4片。|。中，M是正方形/BCD的中心，尸為線段片C上一動(dòng)點(diǎn)，下列結(jié)論中正

確的是()

A.B.M1AC；

B.直線片/與直線/。所成角的余弦值為逅；

6

C.不存在點(diǎn)尸使得。尸〃平面/月。；

D.三棱錐4-/。尸的體積為定值.

【答案】ABD

【分析】A選項(xiàng)，由三線合一證明出線線垂直；B選項(xiàng)，作出輔助線，找到異面直線的夾角，利用

余弦定理求出答案；C選項(xiàng)，找到點(diǎn)P的位置，使得。P//平面44。，C不正確；D選項(xiàng)，利用等

體積法得到VAt_ADP=1?邑3V4B,由面積和AB為定值得到體積為定值.

【詳解】設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為2.

A選項(xiàng)，在三角形/C片中，BIA=BXC=242,M是/C的中點(diǎn),

所以所以A正確.

B選項(xiàng)，設(shè)N是48的中點(diǎn)，連接跖V,則MN//4D,

所以乙WkW是異面直線4/與直線所成角（或其補(bǔ)角），

在三角形B'MN中，B\M=J（拒『+2?=〃，及N=AA2+22=屈MN=1,

eeKJ/n.?r6+1—5y/6

所以cosAB,MN=---T=—=——,

2xV6xl6

所以異面直線片/與直線NO所成角的余弦值為骼，B正確.

C選項(xiàng)，根據(jù)正方體的性質(zhì)可知8D//3Q”BG///2,

由于AD仁平面48Q,耳，u平面ABXDX,

所以8D〃平面/月。，

同理可證得5G〃平面"4A，

由于BDcBC\=B,BD,BCiu平面BCXD,

所以平面AB,DJ/平面BCQ,

當(dāng)3Cc4C=尸時(shí)，。尸u平面3CQ,

所以。尸〃平面N40.

即存在點(diǎn)P使得DPH平面4BR,C不正確.

=

D選項(xiàng)，VAX-ADPH,

其中Sa4和N3為定值，所以三棱錐4尸的體積為定值，所以D正確.

故選：ABD

第n卷（非選擇題）

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分

13.若口=2,忖=1,且歸+用=3,則Z與3的夾角為;

【答案】y

【分析】根據(jù)已知結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律可推得7否=-1，然后即可求出cos?》）=-；,進(jìn)而得出答

案.

【詳解】由已知可得，,+彳=/+片+2￡*=4+1+215=3,

所以，a-b=-\y

所以，小/_砂r\=雨a-b—-11.

又0"茄）4兀，所以

2兀

故答案為：y.

22

14.雙曲線0-占=1（。>0,6>0）的一條漸近線與直線2x-y+l=0平行，則它的離心率

ab

為.

【答案】V5.

【分析】由直線平行則斜率相等，求得6之間的等量關(guān)系，再求離心率即可.

【詳解】因?yàn)闈u近線與直線2x-y+1=0平行，

故可得2=2,根據(jù)雙曲線離心率的計(jì)算公式可得：

a

故答案為：V5.

【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線離心率的求解，屬基礎(chǔ)題.

15.記函數(shù)/(x)=cos(0x+0)(0>O,O<e<7t)的最小正周期為T,若〃7)=學(xué)，x=］為了⑴的

零點(diǎn)，則。的最小值為.

【答案】3

【分析】首先表示出7,根據(jù)/(7)=［求出。，再根據(jù)x=5為函數(shù)的零點(diǎn)，即可求出。的取值,

從而得解；

【詳解】解：因?yàn)?(x)=cos(0x+°),(?>0,0<夕<兀)

所以最小正周期T弋,因?yàn)?7)=cos^-7+?=cos(2兀+0)=cos^=%

兀

又0<夕<兀所以9=9即/(x)=cosCOXH----

66

又X=g為“力的零點(diǎn)，所以1/+$=^+叔后eZ,解得0=3+9左，4eZ,

9962

因?yàn)?>0,所以當(dāng)左=0時(shí)%山=3；

故答案為：3

16.若曲線N=lnx在點(diǎn)尸(士,必)處的切線與曲線》=6、相切于點(diǎn)。色,%),則

2

--------\-x.

xx-\

【答案】-1

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義可分別用和三表示出切線方程，根據(jù)切線方程相同可構(gòu)造方程組，化簡(jiǎn)

得到王=土|,代入所求式子整理即可.

【詳解】??,(lnx)'=J,(e，)'=/，???切線斜率左=：=產(chǎn)，

,切線方程可記為：了=14》—天)+出玉=‘.-1+111網(wǎng)或>=32(苫一天)+e*2=e%2-x+(l-^)e\

一In%]=x2

X](inx1-1)=l-x2

X—1

則X](%2+1)=%2-1，易得％2+1,0，?.=2+]

222

F%2~ZF%2=TH%2=-X]—卜X?——1

否-]―1—1一__一

x2+1%+1

故答案為：-1.

三、解答題：本小題共6小題，共70分，其中第17題10分，18?22題12分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)

明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.在中，內(nèi)角A,B,。所對(duì)的邊分別為b,c,已知4cos2---------2=4sin/sin5-4.

2

⑴求角。的大??；

(2)若$力吹=馬芭，求C的最小值.

'/AAtSL4

【答案】(1)C=3

0

(2)1

【分析】(1)利用三角恒等變換對(duì)原式化簡(jiǎn)，結(jié)合三角形的內(nèi)角和為兀，即可求解；

(2)根據(jù)面積公式求得斜=2+6,再利用余弦定理以及基本不等式可得出c的取值范圍，即可得

解.

【詳解】(1)由題意知，原式可化為2cos(/-3)=4sin/sin5-

即2(cosAcos8+sin/sin3)=4sin/sin8-6.

整理可得：2cos(/+B)=-6，即cos(/+8)=-g.

又因?yàn)?+8+。=兀，貝!)0<。<兀，

所以cosC=",故C=g.

26

(2)因?yàn)?謝=g06sinC=；仍=2+f'所以。6=2+G，

由余弦定理和基本不等式可得：

c2=a2+b2-2ab-cosC=a2+b2-yjiab>2ab-Gb-。一后、b=1,

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=H3=在產(chǎn)時(shí)，等號(hào)成立，

所以cNl,故。的最小值為1.

18.已知等比數(shù)列｛%｝,等差數(shù)列｛勾｝的公差”>0,且4=1,a2=b2,%="，%=%.

⑴求數(shù)列｛凡｝與也｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)數(shù)列｛&｝對(duì)任意〃eN*,均有?+—"+亍"+…+亍"=”成立，求匕｝的通項(xiàng)公式.

【答案】⑴4=2〃-1,%=3"T

⑵C"~[2x3"~l,n>2

【分析】(1)設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為/根據(jù)已知列出關(guān)系式，求解得出4=2,進(jìn)而得出｛"｝的

通項(xiàng)公式.然后求出氏的項(xiàng)，進(jìn)而得出/即可得出｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)根據(jù)前n項(xiàng)和公式以及通項(xiàng)之間的關(guān)系，即可得出口=2+「2=2,從而得出cm=2°m，

an+\

得出％的表達(dá)式，然后求出《的值，檢驗(yàn)即可得出答案.

【詳解】(D設(shè)等比數(shù)列｛與｝的公比為必

由題意fb2=Cl29&=〃3，b]4=。4，

所以b；=b2b14,即(1+4d)2=(1+d)(l+13d),

解得d=2,或d=0(舍去)，

所以〃=1+2(〃-1)=2〃一1.

所以％=02=3,%=4=9,

所以q=&=3,?i=—=1,

a2q

所以%=1X3"T=3"L

(2)由題意，—+—+--?+—=b,①

為“2n

幺+-+…+4+用，②

a\a2anan-A

②-①得==履「么=2,

%+i

所以q,+i=2。用，

所以C“=2%=2X3"T(〃22).

當(dāng)〃=1時(shí)，由立=4可得q=l不滿足上式.

[l,n=l

所以0〃=1。&〃-1?

[2x3,n>2

19.如圖，已知四邊形與EE4。均為直角梯形，平面平面EE4Q,AB1BC,AF1AD,

"為8廠的中點(diǎn)，AF=AB=BC=2CD=IDE=2.

F

(1)證明：C,E,F,河四點(diǎn)共面；

(2)求平面AMC與平面ADE夾角的余弦值.

【答案】(1)證明見解析

⑵孚

【分析】⑴取E4的中點(diǎn)P,連接"P,尸。，根據(jù)中位線結(jié)合已知得出四邊形PMCD與四邊形FPDE

是平行四邊形，即可得出CM〃EV,即可證明；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系.，得出相應(yīng)各點(diǎn)坐標(biāo)，得出相應(yīng)向量，即可根據(jù)平面法向量求法

得出平面AMC與平面ADE的法向量，即可根據(jù)二面角的向量求法得出答案.

【詳解】(1)取見的中點(diǎn)P,連接MP,PD.

因?yàn)镸為昉的中點(diǎn)，P為E4的中點(diǎn)，且4B，BC,AB=2CD,

AU

所以尸河="=CD,且尸N||/3||C。，

2

所以四邊形尸河。是平行四邊形，

所以CMIIDP且CN=D尸.

又因?yàn)?尸_L4D,且4F=2DE,

所以FP〃ED,FP=ED,

所以四邊形FPDE是平行四邊形，

所以DP=EF.

所以CN〃EF,CM=EF,

所以C,E,F,/四點(diǎn)共面.

(2)因?yàn)槠矫鎆8CD2平面平面Z8CDc平面E/XD=40,

且4尸，力。，所以/尸_L平面48co.

如圖，以B為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系8-9z,

C~~x

則8（0,0,0）,C（2,0,0）,4（0,2,0）,￡＞（2,1,0）,尸（0,2,2）,￡（2,1,1）,M（0,1,1）.

設(shè)平面/MC的一個(gè)法向量為*=（x2],zj,因?yàn)檠?（0,-1,1）,就=（2,-2,0）,

所以]；"十：令陽(yáng)=1,得乂=4=1,所以*=（1,1,1）.

（2x,-2y1=0

設(shè)平面4）E的一個(gè)法向量為晨=（%，%，Z2），因?yàn)槎?（2,-1,0）,詼=（0,0,1）,

2x>一％=0—/、

所以，令工2=1，得%=2,Z2=0,所以〃2=0,2,0).

設(shè)平面AMC與平面ADE夾角為。,

麗［-

20.紅蜘蛛是柚子的主要害蟲之一，能對(duì)柚子樹造成嚴(yán)重傷害，每只紅蜘蛛的平均產(chǎn)卵數(shù)y（個(gè)）

和平均溫度xCC）有關(guān)，現(xiàn)收集了以往某地的7組數(shù)據(jù)，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.

小產(chǎn)卵數(shù)

400-

350-

300-

250-

200-

150-

100-

50-

°與之2宏2'62’83b32313k褊度

dx

⑴根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，y=bx+a^y=ce（其中e=2.718…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）哪一個(gè)更適合作為

平均產(chǎn)卵數(shù)y（個(gè)）關(guān)于平均溫度x（℃）的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說(shuō)明理由）

（2）由（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的回歸方程.（計(jì)算結(jié)果精確到0.1）

,八方回一祖m一A之xiyi-nxy

附：回歸方程中歹=BX+Q,b=-—--------...二號(hào)-----二一，a=y-bx

22

“巧-x)^xt-nx

Z=1Z=1

參考數(shù)據(jù)(z=lny)

777

Ew,Xyz

i=li=li=l

5215177137142781.33.6

(3)根據(jù)以往每年平均氣溫以及對(duì)果園年產(chǎn)值的統(tǒng)計(jì)，得到以下數(shù)據(jù)：平均氣溫在22。13以下的年數(shù)占

60%,對(duì)柚子產(chǎn)量影響不大，不需要采取防蟲措施；平均氣溫在22。(2至28。(2的年數(shù)占30%,柚子產(chǎn)

量會(huì)下降20%；平均氣溫在28。(3以上的年數(shù)占10%,柚子產(chǎn)量會(huì)下降50%.為了更好的防治紅蜘蛛

蟲害，農(nóng)科所研發(fā)出各種防害措施供果農(nóng)選擇.

在每年價(jià)格不變，無(wú)蟲害的情況下，某果園年產(chǎn)值為200萬(wàn)元，根據(jù)以上數(shù)據(jù)，以得到最高收益(收

益=產(chǎn)值一防害費(fèi)用)為目標(biāo)，請(qǐng)為果農(nóng)從以下幾個(gè)方案中推薦最佳防害方案，并說(shuō)明理由.

方案1：選擇防害措施/,可以防止各種氣溫的紅蜘蛛蟲害不減產(chǎn)，費(fèi)用是18萬(wàn)；

方案2：選擇防害措施3,可以防治22。(2至28。(2的蜘蛛蟲害，但無(wú)法防治28。(2以上的紅蜘蛛蟲害，

費(fèi)用是10萬(wàn)；

方案3：不采取防蟲害措施.

【答案]⑴]ce&更適宜

(2)y=e0-3^4-5

(3)選擇方案1最佳，理由見解析

【分析】(D根據(jù)散點(diǎn)圖的形狀，可判斷y=ce也更適宜作為平均產(chǎn)卵數(shù)y關(guān)于平均溫度x的回歸方

程類型；

(2)將y=c/兩邊同時(shí)取自然對(duì)數(shù)，轉(zhuǎn)化為線性回歸方程，即可得到答案；

(3)求出三種方案的收益的均值，根據(jù)均值越大作為判斷標(biāo)準(zhǔn).

【詳解】(1)由散點(diǎn)圖可以判斷，y=ce&更適宜作為平均產(chǎn)卵數(shù)y關(guān)于平均溫度x的回歸方程類型.

(2)將了=。*兩邊同時(shí)取自然對(duì)數(shù)，可得lny=lnc+辦;，

由題中的數(shù)據(jù)可得，-7xz=33.6,'伍-x)=112,

i=li—li—l

7

i=l

所以d=7篙。S

入；-7/

Z=1

貝?。軮nc=7-及=3.6-0.3x27=-4.5，

所以z關(guān)于x的線性回歸方程為z=0.3x-4.5,

故y關(guān)于x的回歸方程為y=eg-"

（3）用X-X?和占分別表示選擇三種方案的收益.

采用第1種方案，無(wú)論氣溫如何，產(chǎn)值不受影響，收益為200-18=182萬(wàn)，即乂=182

采用第2種方案，不發(fā)生28。（：以上的紅蜘蛛蟲害，收益為200-10=190萬(wàn),

190,不發(fā)生280c以上的紅蜘蛛蟲害

如果發(fā)生，則收益為100-10=90萬(wàn)，即k=

90,發(fā)生28℃以上的紅蜘蛛蟲害

’200,不發(fā)生蟲害

同樣，采用第3種方案，有4=160,只發(fā)生22-28C蟲害

100,發(fā)生28℃以上蟲害

所以，E（XJ=182,

￡1（X2）=190xP（X2=190）+90xP氏=90）=190x0.9+90x0.1=171+9=180,

￡（區(qū)）=200、尸（入3=200）+160xP居=160,100xP儲(chǔ)=100）

=200x0.6+160x0.3+100x0.1=178.

顯然，￡（Xj最大，所以選擇方案1最佳.

22

21.已知橢圓。：宏+三=19>6）的左、右頂點(diǎn)分別為4，4,點(diǎn)P為橢圓C上異于4，4的一

3

點(diǎn)，且直線24，%的斜率之積為

（1）求橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）直線/過(guò)右焦點(diǎn)4與橢圓C交于M,N兩點(diǎn)（M,N與4不重合），/不與x軸垂直，若

=求|肱V|.

【答案】⑴2+片=1；（2）看.

437

【解析】（D設(shè)出尸點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)尸點(diǎn)在橢圓上以及尸4,尸小的斜率之積為-；3，列出方程，即

可求得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

（2）設(shè)出直線/的方程以及M,N點(diǎn)的坐標(biāo)，與橢圓方程聯(lián)立，消去無(wú)，利用韋達(dá)定理得出％+%

與乂力的值，再根據(jù)心也+3戶=一％可列出方程，即可解出直線的斜率，從而利用弦長(zhǎng)公式求得|〃N|.

【詳解】解：（1）設(shè)夕（%,九），

由題意知：4（-凡0）,4（。,0）,

3[l-4

3,

,,kpa,kp&=y0y0

XQ+QXQ_Q篙—/片一/

._A__2

7=~~7，

a4

解得：a2=4>

22

???橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為上+匕=1；

43

（2）根據(jù)題意，設(shè)M（%i，必），N（x2,y2）,直線7W:x=冽y+l（加wO）,

f22

二上二1

t十1，

由J43,

x=my+1,

消去X并整理得：（3療+4）/+6叼-9=0,

則A=36/+36(3加2+4)>0,

6m9

即%+%=-%%=一

3m之+43m之+4

1,k二巴

后4%

再+2x2+2

?k-4-k

一八4M丁及4N

“(9+2)+%(%+2)

(再+