2024年廣州中考數(shù)學(xué)終極押題密卷1含答案

2024年廣州中考數(shù)學(xué)終極押題密卷1一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．（3分）在中，無理數(shù)共有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2．（3分）如圖，數(shù)軸上兩點A，B表示的數(shù)互為相反數(shù)，則點B表示的數(shù)為（）A．6 B．﹣6 C．0 D．3．（3分）某校九年級有11名同學(xué)參加數(shù)學(xué)競賽，預(yù)賽成績各不相同，要取前5名參加決賽．小蘭已經(jīng)知道了自己的成績，她想知道自己能否進入決賽，還需要知道這11名同學(xué)成績的（）A．中位數(shù) B．眾數(shù) C．平均數(shù) D．不能確定4．（3分）下列各式不成立的是（）A． B．2 C．5 D．5．（3分）方程的解是（）A．x＝﹣1 B．x＝5 C．x＝7 D．x＝96．（3分）已知?ABCD中，∠A＝120°，則∠C的度數(shù)是（）A．60° B．80° C．100° D．120°7．（3分）如圖，在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，點A，B，C，D在小正方形的頂點處，AC與BD相交于點O，則AO的長等于（）A． B． C． D．8．（3分）如圖，在菱形ABOC中，∠A＝60°，它的一個頂點C在反比例函數(shù)y的圖象上，若將菱形向下平移2個單位，點A恰好落在函數(shù)圖象上，則反比例函數(shù)解析式為（）A．y B．y C．y D．y9．（3分）東莞市某學(xué)校數(shù)學(xué)探究小組利用無人機在操場上開展測量教學(xué)樓高度的活動，如圖，此時無人機在離地面30米的點D處，操控者站在點A處，無人機測得點A的俯角為30°，測得教學(xué)樓樓頂點C處的俯角為45°，操控者和教學(xué)樓BC的距離為60米，則教學(xué)樓BC的高度是（）米．A． B． C． D．10．（3分）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于點A（﹣1，0），頂點坐標(biāo)（1，n），拋物線與y軸的交點在（0，2），（0，3）之間（包含端點），則下列結(jié)論：①a+b+c＞0；②對于任意實數(shù)m，a+b≥am2+bm總成立；③關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝n有兩個相等的實數(shù)根；④﹣1≤a，其中結(jié)論正確個數(shù)為（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）11．（3分）式子有意義，則實數(shù)a的取值范圍是．12．（3分）分解因式：﹣2a2+8ab﹣8b2＝．13．（3分）△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝0.5cm，則AB的長是cm．14．（3分）若關(guān)于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1＝0有兩個實數(shù)根，則m的取值范圍是．15．（3分）如圖，將?ABCD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，其中點B，C，D分別落在點E，F(xiàn)，G處，且點B，E，D，F(xiàn)在同一直線上．若∠CBA＝115°，則∠CBD的度數(shù)為．16．（3分）如圖，正方形ABCD中，AB＝8，E是BC的中點．將△ABE沿AE對折至△AFE，延長EF交DC于點H，則DH的長是．三．解答題（共9小題，滿分72分）17．（4分）解方程：（1）3x2﹣7x﹣10＝0；（2）（x+1）（x+3）＝15．18．（4分）在△ABC中，已知AB＝AC，∠ABC＝40°，BD是∠ABC的角平分線，延長BD至點E使得DE＝AD，求∠ECA．19．（6分）已知：．（1）化簡A；（2）從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求A的值．條件①：若點P（a，a+2）是反比例函數(shù)圖象上的點；條件②：若a是方程x2+x＝8﹣x的一個根．20．（6分）“綜合與實踐”是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022版）》中四大領(lǐng)域之一，武侯區(qū)某學(xué)校九年級開展“綜合與實踐”項目式學(xué)習(xí)，設(shè)置了“A．制作視力表”“B．猜想、證明與拓廣”“C．池塘里有多少條魚”三個項目供九年級學(xué)生選擇，每名學(xué)生只選擇其中一個項目進行學(xué)習(xí)，現(xiàn)隨機調(diào)查部分學(xué)生的選擇情況并繪制了如下表格：項目選擇人數(shù)頻率A．制作視力表4aB．猜想、證明與拓廣bcC．池塘里有多少條魚200.5請根據(jù)以上信息解答下列問題：（1）填空：a＝，b＝，c＝；（2）該校共有500名九年級學(xué)生，請估計選擇“B．猜想、證明與拓廣”項目學(xué)習(xí)的學(xué)生人數(shù)；（3）本次調(diào)查中，選擇“A．制作視力表”項目學(xué)習(xí)的四人中有三名女生和一名男生，現(xiàn)從中隨機選取兩人在全年級作匯報展示，請利用畫樹狀圖或列表的方法，求恰好選到一名女生和一名男生的概率．21．（8分）嶗山二中生涯規(guī)劃工作已有八年的歷史，著力于培養(yǎng)學(xué)生的領(lǐng)導(dǎo)力和管理能力．2018年生涯規(guī)劃團隊策劃了眾多活動，4月份的校園周末大集深受同學(xué)們的歡迎．高一海洋班同學(xué)為此從即墨路小商品批發(fā)市場批發(fā)文具進行零售，部分文具批發(fā)價格與零售價格如表：文具品種糾錯本修正帶大筆記本鋼筆批發(fā)價3.6（元/本）5.4（元/本）8（元/本）4.8（元/本）零售價5.4（元/本）8.4（元/本）14（元/本）7.6（元/本）請解答下列問題：（1）第一天，該班批發(fā)糾錯本和大筆記本兩種文具共300本，用去了1520元錢，這兩種文具當(dāng)天全部售完一共能賺多少元錢？（2）第二天，該班用1520元錢仍然批發(fā)糾錯本和大筆記本，要想當(dāng)天全部售完后所賺錢數(shù)不少于1050元，則該班最多能批發(fā)糾錯本多少本？22．（10分）如圖，拋物線y＝ax2+bx﹣3與x軸交于點A（1，0）、B（3，0），與y軸交于點C，聯(lián)結(jié)AC、BC．（1）求該拋物線的表達式及頂點D的坐標(biāo)；（2）如果點P在拋物線上，CB平分∠ACP，求點P的坐標(biāo)；（3）如果點Q在拋物線的對稱軸上，△DBQ與△ABC相似，求點Q的坐標(biāo)．23．（10分）如圖，已知Rt△ABC內(nèi)接于⊙O（AB＜BC），∠ABC＝90°，點D為的中點，作BE⊥AC于點F，交CD于點E．（1）證明：BE＝BC；（2）若cos∠BCE，EF＝4，求AF的長．24．（12分）定義：如果一個三角形一條邊上的高與這條邊的比值是4：5，那么稱這個三角形為“準(zhǔn)黃金”三角形，這條邊就叫做這個三角形的“金底”．（1）如圖1，在△ABC中，AC＝8，BC＝5，∠ACB＝30°，試判斷△ABC是否是“準(zhǔn)黃金”三角形，請說明理由．（2）如圖2，△ABC是“準(zhǔn)黃金”三角形，BC是“金底”，把△ABC沿BC翻折得到△DBC，AD交BC的延長線于點E，若點C恰好是△ABD的重心，求的值．（3）如圖3，l1∥l2，且直線l1與l2之間的距離為4，“準(zhǔn)黃金”△ABC的“金底”BC在直線l2上，點A在直線l1上，，若∠ABC是鈍角，將△ABC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到△A′B′C，線段A′C交l1于點D．當(dāng)點B′落在直線l1上時，則的值為．25．（12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+6（a≠0）交x軸于A、B兩點，交y軸于點C，且OA＝OC＝3OB，連接AC．（1）求拋物線的解析式；（2）動點P和動點Q同時出發(fā)，點P從點C以每秒2個單位長度的速度沿CA運動到點A，點Q從點O以每秒1個單位長度的速度沿OC運動到點C，連接PQ，當(dāng)點P到達點A時，點Q停止運動，求S△CPQ的最大值及此時點P的坐標(biāo)；（3）點M是拋物線上一點，是否存在點M，使得∠ACM＝15°？若存在，請直接寫出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

2024年菁優(yōu)廣州中考數(shù)學(xué)終極押題密卷1參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．（3分）在中，無理數(shù)共有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【考點】無理數(shù)．【專題】實數(shù)；數(shù)感．【答案】B【分析】運用無理數(shù)的概念進行辨別、求解．【解答】解：∵，3.5，1.3是有理數(shù)，π，0.1010010001…是無理數(shù)，故選：B．【點評】此題考查了無理數(shù)的辨別能力，關(guān)鍵是能準(zhǔn)確理解并運用相關(guān)概念進行正確地求解．2．（3分）如圖，數(shù)軸上兩點A，B表示的數(shù)互為相反數(shù)，則點B表示的數(shù)為（）A．6 B．﹣6 C．0 D．【考點】數(shù)軸；相反數(shù)．【專題】實數(shù)；符號意識．【答案】A【分析】根據(jù)數(shù)軸表示和相反數(shù)的定義進行求解．【解答】解：∵﹣6的相反數(shù)是6，∴點B表示的數(shù)為6，故選：A．【點評】此題考查了用數(shù)軸上的點表示實數(shù)和相反數(shù)的定義的應(yīng)用能力，關(guān)鍵是能準(zhǔn)確理解并運用以上知識．3．（3分）某校九年級有11名同學(xué)參加數(shù)學(xué)競賽，預(yù)賽成績各不相同，要取前5名參加決賽．小蘭已經(jīng)知道了自己的成績，她想知道自己能否進入決賽，還需要知道這11名同學(xué)成績的（）A．中位數(shù) B．眾數(shù) C．平均數(shù) D．不能確定【考點】統(tǒng)計量的選擇．【專題】應(yīng)用題．【答案】A【分析】11人成績的中位數(shù)是第6名的成績．參賽選手要想知道自己是否能進入前5名，只需要了解自己的成績以及全部成績的中位數(shù)，比較即可．【解答】解：由于總共有11個人，且他們的分?jǐn)?shù)互不相同，第6名的成績是中位數(shù)，要判斷是否進入前5名，故應(yīng)知道自己的成績和中位數(shù)．故選：A．【點評】此題主要考查統(tǒng)計的有關(guān)知識，主要包括平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的意義．反映數(shù)據(jù)集中程度的統(tǒng)計量有平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)等，各有局限性，因此要對統(tǒng)計量進行合理的選擇和恰當(dāng)?shù)倪\用．4．（3分）下列各式不成立的是（）A． B．2 C．5 D．【考點】二次根式的混合運算．【專題】二次根式；運算能力．【答案】C【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)、二次根式的加法法則、除法法則計算，判斷即可．【解答】解：3，A選項成立，不符合題意；2，B選項成立，不符合題意；，C選項不成立，符合題意；，D選項成立，不符合題意；故選：C．【點評】本題考查的是二次根式的混合運算，掌握二次根式的性質(zhì)、二次根式的混合運算法則是解題的關(guān)鍵．5．（3分）方程的解是（）A．x＝﹣1 B．x＝5 C．x＝7 D．x＝9【考點】解分式方程．【專題】分式方程及應(yīng)用；運算能力．【答案】D【分析】方程兩邊都乘（x﹣2）（5+x）得出5+x＝2（x﹣2），求出方程的解，再進行檢驗即可．【解答】解：，方程兩邊都乘（x﹣2）（5+x），得5+x＝2（x﹣2），解得：x＝9，檢驗：當(dāng)x＝9時，（x﹣2）（5+x）≠0，所以x＝9是分式方程的解，故選：D．【點評】本題考查了解分式方程，能把分式方程轉(zhuǎn)化成整式方程是解此題的關(guān)鍵．6．（3分）已知?ABCD中，∠A＝120°，則∠C的度數(shù)是（）A．60° B．80° C．100° D．120°【考點】平行四邊形的性質(zhì)．【專題】多邊形與平行四邊形；推理能力．【答案】D【分析】由四邊形ABCD是平行四邊形，可得平行四邊形的對角相等，繼而求得答案．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠A＝∠C，∵∠A＝120°，∴∠C＝120°．故選：D．【點評】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)．注意平行四邊形的對角相等，鄰角互補是解題關(guān)鍵．7．（3分）如圖，在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，點A，B，C，D在小正方形的頂點處，AC與BD相交于點O，則AO的長等于（）A． B． C． D．【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理．【專題】網(wǎng)格型；等腰三角形與直角三角形；圖形的相似；運算能力；推理能力．【答案】A【分析】利用勾股定理，相似三角形的判定定理解答即可．【解答】解：連接AB，CD，如圖，由網(wǎng)格圖可知：AG＝2，BG＝1，DH＝4，CH＝2，∴2，AG，CD2，∵∠AGB＝∠CHD＝90°，∴△AGB∽△CHD，∴∠BAG＝∠DCH．∵AE∥CF，∴∠GAC＝∠HCA，∴∠BAO＝∠DCO．∵∠AOB＝∠COD，∴△AOB∽△COD，∴，∴AOOC，∴AOAC．∵AC，∴AO．故選：A．【點評】本題主要考查了勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，本題是網(wǎng)格題目，利用網(wǎng)格線的特征，熟練應(yīng)用平行線的性質(zhì)和勾股定理是解題的關(guān)鍵．8．（3分）如圖，在菱形ABOC中，∠A＝60°，它的一個頂點C在反比例函數(shù)y的圖象上，若將菱形向下平移2個單位，點A恰好落在函數(shù)圖象上，則反比例函數(shù)解析式為（）A．y B．y C．y D．y【考點】反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征；菱形的性質(zhì)；坐標(biāo)與圖形變化﹣平移．【答案】A【分析】過點C作CD⊥x軸于D，設(shè)菱形的邊長為a，根據(jù)菱形的性質(zhì)和三角函數(shù)分別表示出C，以及點A向下平移2個單位的點，再根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征得到方程組求解即可．【解答】解：過點C作CD⊥x軸于D，設(shè)菱形的邊長為a，在Rt△CDO中，OD＝a?cos60°a，CD＝a?sin60°a，則C（a，a），點A向下平移2個單位的點為（a﹣a，a﹣2），即（a，a﹣2），則，解得．故反比例函數(shù)解析式為y．故選：A．【點評】本題考查的是反比例函數(shù)綜合題目，考查了反比例函數(shù)解析式的求法、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、平移的性質(zhì)等知識；本題綜合性強，有一定難度．9．（3分）東莞市某學(xué)校數(shù)學(xué)探究小組利用無人機在操場上開展測量教學(xué)樓高度的活動，如圖，此時無人機在離地面30米的點D處，操控者站在點A處，無人機測得點A的俯角為30°，測得教學(xué)樓樓頂點C處的俯角為45°，操控者和教學(xué)樓BC的距離為60米，則教學(xué)樓BC的高度是（）米．A． B． C． D．【考點】解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題．【專題】應(yīng)用題；解直角三角形及其應(yīng)用；應(yīng)用意識．【答案】C【分析】過點D作DE⊥AB于E，過點C作CF⊥DE于F，根據(jù)正切的定義求出AE，根據(jù)題意求出BE，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出DF，結(jié)合圖形計算，得到答案．【解答】解：如圖，過點D作DE⊥AB于E，過點C作CF⊥DE于F，由題意得AB＝60米，DE＝30米，∠DAB＝30°，∠DCF＝45°，在Rt△ADE中，tan∠DAE，∴AE30（米），∵AB＝60米，∴BE＝AB﹣AE＝（60﹣30）米，∵CB⊥BE，F(xiàn)E⊥BE，CF⊥EF，∴四邊形BCFE為矩形，∴CF＝BE＝（60﹣30）米，在Rt△DFC中，∠CDF＝45°，∴DF＝CF＝（60﹣30）米，∴BC＝EF＝DE﹣DF＝30﹣（60﹣30）＝（3030）米，答：教學(xué)樓BC的高度為（3030）米．故選：C．【點評】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題，掌握仰角俯角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．10．（3分）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于點A（﹣1，0），頂點坐標(biāo)（1，n），拋物線與y軸的交點在（0，2），（0，3）之間（包含端點），則下列結(jié)論：①a+b+c＞0；②對于任意實數(shù)m，a+b≥am2+bm總成立；③關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝n有兩個相等的實數(shù)根；④﹣1≤a，其中結(jié)論正確個數(shù)為（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【考點】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系；二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征；拋物線與x軸的交點；根的判別式．【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；推理能力．【答案】D【分析】由圖象可知，當(dāng)x＝1時，y＞0，于是可對①進行判斷；利用二次函數(shù)的性質(zhì)可對②進行判斷；根據(jù)拋物線y＝ax2+bx+c與直線y＝n有一個交點可對③進行判斷；利用2≤c≤3和c＝﹣3a可對④進行判斷．【解答】解：由圖象可知，當(dāng)x＝1時，y＞0，∴a+b+c＞0，所以①正確；∵拋物線的頂點坐標(biāo)（1，n），∴x＝1時，二次函數(shù)值有最大值n，∴a+b+c≥am2+bm+c，即a+b≥am2+bm，所以②正確；∵拋物線的頂點坐標(biāo)（1，n），∴拋物線y＝ax2+bx+c與直線y＝n有一個交點，∴關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝n有兩個相等的實數(shù)根，所以③正確；∵拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于點A（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0，∵b＝﹣2a，∴a+2a+c＝0，∴c＝﹣3a，∵2≤c≤3，∴2≤﹣3a≤3，∴﹣1≤a，所以④正確；故選：D．【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小．當(dāng)a＞0時，拋物線開口向上；當(dāng)a＜0時，拋物線開口向下；一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置：當(dāng)a與b同號時，對稱軸在y軸左；當(dāng)a與b異號時，對稱軸在y軸右．常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點：拋物線與y軸交于（0，c）．拋物線與x軸交點個數(shù)由判別式確定：Δ＝b2﹣4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；Δ＝b2﹣4ac＝0時，拋物線與x軸有1個交點；Δ＝b2﹣4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）11．（3分）式子有意義，則實數(shù)a的取值范圍是a≥﹣3．【考點】二次根式有意義的條件．【專題】二次根式；運算能力．【答案】a≥﹣3．【分析】求二次根式中被開方數(shù)的取值范圍，依據(jù)為二次根式中的被開方數(shù)是非負數(shù)．【解答】解：式子有意義，則2a+6≥0，解得a≥﹣3，∴實數(shù)a的取值范圍是a≥﹣3，故答案為：a≥﹣3．【點評】本題主要考查了二次根式有意義的條件，如果所給式子中含有分母，則除了保證被開方數(shù)為非負數(shù)外，還必須保證分母不為零．12．（3分）分解因式：﹣2a2+8ab﹣8b2＝﹣2（a﹣2b）2．【考點】提公因式法與公式法的綜合運用．【專題】因式分解；運算能力．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式＝﹣2（a2﹣4ab+4b2）＝﹣2（a﹣2b）2．故答案為：﹣2（a﹣2b）2．【點評】此題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵．13．（3分）△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝0.5cm，則AB的長是1cm．【考點】含30度角的直角三角形．【專題】等腰三角形與直角三角形；運算能力；推理能力．【答案】1．【分析】利用直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半直接得出AB＝2BC＝1cm．【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝0.5cm，∴AB＝2BC＝1cm．故答案為1．【點評】本題考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)，掌握在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．14．（3分）若關(guān)于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1＝0有兩個實數(shù)根，則m的取值范圍是m且m≠1．【考點】根的判別式；一元二次方程的定義．【專題】判別式法；一元二次方程及應(yīng)用；運算能力；應(yīng)用意識．【答案】m且m≠1．【分析】利用一元二次方程的定義和判別式的意義得到m﹣1≠0且Δ＝12﹣4（m﹣1）≥0，然后求出兩不等式的公共部分即可．【解答】解：根據(jù)題意得m﹣1≠0且Δ＝12﹣4（k﹣1）≥0，解得m且m≠1．故答案為：m且m≠1．【點評】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：當(dāng)Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)Δ＝0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)Δ＜0時，方程無實數(shù)根．15．（3分）如圖，將?ABCD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，其中點B，C，D分別落在點E，F(xiàn)，G處，且點B，E，D，F(xiàn)在同一直線上．若∠CBA＝115°，則∠CBD的度數(shù)為50°．【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)．【專題】多邊形與平行四邊形；平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；推理能力．【答案】50°．【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AB＝AE，∠AEF＝∠CBA＝115°，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠AEB＝∠ABE＝65°，即可得出答案．【解答】解：∵平行四邊形ABCD繞點A旋轉(zhuǎn)到平行四邊形AEFG的位置，∴AB＝AE，∠AEF＝∠CBA＝115°，∴∠AEB＝∠ABE＝65°，∴∠CBD＝∠CBA﹣∠ABE＝115°﹣65°＝50°；故答案為：50°．【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)；熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．16．（3分）如圖，正方形ABCD中，AB＝8，E是BC的中點．將△ABE沿AE對折至△AFE，延長EF交DC于點H，則DH的長是．【考點】翻折變換（折疊問題）；全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)．【專題】矩形菱形正方形；平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；運算能力；推理能力．【答案】．【分析】利用翻折變換對應(yīng)邊關(guān)系得出AB＝AF，BE＝EF，∠B＝∠AFE＝90°，利用HL定理得出△ADH≌△AFH，由全等三角形的性質(zhì)得出DH＝FH，設(shè)DH＝FH＝x，則HC＝8﹣x，利用勾股定理得出HE2＝CH2+CE2，進而求出DH即可．【解答】解：如圖，連接AH，在正方形ABCD中，AD＝AB＝BC＝CD，∠D＝∠B＝∠BCD＝90°，∵將△ABE沿AE對折至△AFE，∴AB＝AF，BE＝EF，∠B＝∠AFE＝90°，∴AD＝AF，∠D＝∠AFH＝90°，又∵AH＝AH，在Rt△ADH和Rt△AFH中，，∴Rt△ADH≌Rt△AFH（HL），∴DH＝FH，設(shè)DH＝FH＝x，則HC＝8﹣x，∵E為CB的中點，∴CE＝EF＝BE＝4，∴EH＝4+x，在Rt△CEH中，HE2＝CH2+CE2，∴42+（8﹣x）2＝（4+x）2，解得x，∴DH．故答案為：．【點評】此題主要考查了勾股定理的綜合應(yīng)用以及翻折變換的性質(zhì)，根據(jù)翻折變換的性質(zhì)得出對應(yīng)線段相等是解題關(guān)鍵．三．解答題（共9小題，滿分72分）17．（4分）解方程：（1）3x2﹣7x﹣10＝0；（2）（x+1）（x+3）＝15．【考點】解一元二次方程﹣因式分解法．【專題】計算題；一元二次方程及應(yīng)用；運算能力．【答案】（1）x1＝﹣1，x2．（2）x1＝2，x2＝﹣6．【分析】（1）利用因式分解法求解即可；（2）利用因式分解法求解即可．【解答】解：（1）∵3x2﹣7x﹣10＝0，∴（x+1）（3x﹣10）＝0，∴x1＝﹣1，x2．（2）方程整理得，x2+4x﹣12＝0，∴（x﹣2）（x+6）＝0，∴x1＝2，x2＝﹣6．【點評】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關(guān)鍵．18．（4分）在△ABC中，已知AB＝AC，∠ABC＝40°，BD是∠ABC的角平分線，延長BD至點E使得DE＝AD，求∠ECA．【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)．【專題】圖形的全等；推理能力．【答案】40°．【分析】在BC上截取BF＝AB，連DF，根據(jù)SAS可證明△ABD≌△FBD，得出DF＝DA＝DE，證明△DCE≌△DCF，故∠ECA＝∠DCB＝40°．【解答】解：在BC上截取BF＝AB，連DF，∵BD是∠ABC的平分線，∴∠ABD＝∠FBD，在△ABD與△FBD中，，∴△ABD≌△FBD（SAS），∴DF＝DA＝DE，又∵∠ACB＝∠ABC＝40°，∠DFC＝180°﹣∠A＝80°，∴∠FDC＝60°，∴∠EDC＝∠ADB＝180°﹣∠ABD﹣∠A＝180°﹣20°﹣100°＝60°，在△DCE與△DCF中，，∴△DCE≌△DCF（SAS），∴∠ECA＝∠DCB＝40°．【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．19．（6分）已知：．（1）化簡A；（2）從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求A的值．條件①：若點P（a，a+2）是反比例函數(shù)圖象上的點；條件②：若a是方程x2+x＝8﹣x的一個根．【考點】反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征；分式的化簡求值；一元二次方程的解．【專題】分式；一元二次方程及應(yīng)用；反比例函數(shù)及其應(yīng)用；運算能力．【答案】（1）A；（2）A．【分析】（1）利用分式的減法法則化簡即可；（2）①由點P在反比例函數(shù)圖象上，即可得出a（a+2）的值，代入A化解后的分式中即可得出結(jié)論；②a是方程x2+x＝8﹣x的一個根，即可得出a（a+2）的值，代入A化解后的分式中即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）；（2）①點P（a，a+2）是反比例函數(shù)圖象上的點，∴a（a+2）＝8，∴A；②∵a是方程x2+x＝8﹣x的一個根，∴a2+a＝8﹣a，∴a（a+2）＝8，∴A；【點評】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，一元一次方程的解，分式的運算，把分式化簡是解題的關(guān)鍵．20．（6分）“綜合與實踐”是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022版）》中四大領(lǐng)域之一，武侯區(qū)某學(xué)校九年級開展“綜合與實踐”項目式學(xué)習(xí)，設(shè)置了“A．制作視力表”“B．猜想、證明與拓廣”“C．池塘里有多少條魚”三個項目供九年級學(xué)生選擇，每名學(xué)生只選擇其中一個項目進行學(xué)習(xí)，現(xiàn)隨機調(diào)查部分學(xué)生的選擇情況并繪制了如下表格：項目選擇人數(shù)頻率A．制作視力表4aB．猜想、證明與拓廣bcC．池塘里有多少條魚200.5請根據(jù)以上信息解答下列問題：（1）填空：a＝0.1，b＝16，c＝0.4；（2）該校共有500名九年級學(xué)生，請估計選擇“B．猜想、證明與拓廣”項目學(xué)習(xí)的學(xué)生人數(shù)；（3）本次調(diào)查中，選擇“A．制作視力表”項目學(xué)習(xí)的四人中有三名女生和一名男生，現(xiàn)從中隨機選取兩人在全年級作匯報展示，請利用畫樹狀圖或列表的方法，求恰好選到一名女生和一名男生的概率．【考點】列表法與樹狀圖法；用樣本估計總體．【專題】數(shù)據(jù)的收集與整理；概率及其應(yīng)用；數(shù)據(jù)分析觀念；運算能力．【答案】（1）0.1；16；0.4．（2）約200人．（3）．【分析】（1）用表格中C項目的人數(shù)除以頻率可得調(diào)查的學(xué)生人數(shù)，用A項目的人數(shù)除以調(diào)查的學(xué)生人數(shù)可得a的值，用調(diào)查的學(xué)生人數(shù)分別減去A，C項目的人數(shù)，可得b的值，用b的值除以調(diào)查的學(xué)生人數(shù)可得c的值．（2）根據(jù)用樣本估計總體，用500乘以c的值，即可得出答案．（3）列表可得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及恰好選到一名女生和一名男生的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：（1）調(diào)查的學(xué)生人數(shù)為20÷0.5＝40（人），∴a＝4÷40＝0.1，b＝40﹣4﹣20＝16，c＝16÷40＝0.4．故答案為：0.1；16；0.4．（2）500×0.4＝200（人）．∴估計選擇“B．猜想、證明與拓廣”項目學(xué)習(xí)的學(xué)生人數(shù)約200人．（3）列表如下：女女女男女（女，女）（女，女）（女，男）女（女，女）（女，女）（女，男）女（女，女）（女，女）（女，男）男（男，女）（男，女）（男，女）共有12種等可能的結(jié)果，其中恰好選到一名女生和一名男生的結(jié)果有6種，∴恰好選到一名女生和一名男生的概率為．【點評】本題考查列表法與樹狀圖法、用樣本估計總體，掌握列表法與樹狀圖法以及用樣本估計總體是解答本題的關(guān)鍵．21．（8分）嶗山二中生涯規(guī)劃工作已有八年的歷史，著力于培養(yǎng)學(xué)生的領(lǐng)導(dǎo)力和管理能力．2018年生涯規(guī)劃團隊策劃了眾多活動，4月份的校園周末大集深受同學(xué)們的歡迎．高一海洋班同學(xué)為此從即墨路小商品批發(fā)市場批發(fā)文具進行零售，部分文具批發(fā)價格與零售價格如表：文具品種糾錯本修正帶大筆記本鋼筆批發(fā)價3.6（元/本）5.4（元/本）8（元/本）4.8（元/本）零售價5.4（元/本）8.4（元/本）14（元/本）7.6（元/本）請解答下列問題：（1）第一天，該班批發(fā)糾錯本和大筆記本兩種文具共300本，用去了1520元錢，這兩種文具當(dāng)天全部售完一共能賺多少元錢？（2）第二天，該班用1520元錢仍然批發(fā)糾錯本和大筆記本，要想當(dāng)天全部售完后所賺錢數(shù)不少于1050元，則該班最多能批發(fā)糾錯本多少本？【考點】一元一次不等式的應(yīng)用；二元一次方程組的應(yīng)用．【專題】應(yīng)用題；一次方程（組）及應(yīng)用；一元一次不等式（組）及應(yīng)用；運算能力；應(yīng)用意識．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）設(shè)批發(fā)糾錯本x本，大筆記本y本，由題意列方程組求解即可；（2）設(shè)該班批發(fā)糾錯本a本，根據(jù)“當(dāng)天全部售完后所賺錢數(shù)不少于1050元“可列出不等式，解答即可．【解答】解：（1）設(shè)批發(fā)糾錯本x本，大筆記本y本，由題意得，，解得：．故批發(fā)糾錯本200本，大筆記本100本，則這兩種文具當(dāng)天全部售完一共能賺：200×1.8+100×6＝960（元）；答：這兩種文具當(dāng)天全部售完一共能賺960元．（2）設(shè)該班批發(fā)糾錯本a本，由題意得，（5.4﹣3.6）a．解得：a≤100．答：該經(jīng)營戶最多能批發(fā)糾錯本100本．【點評】本題考查了二元一次方程組和一元一次不等式的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，找出合適的等量關(guān)系和不等關(guān)系，列方程和不等式求解．22．（10分）如圖，拋物線y＝ax2+bx﹣3與x軸交于點A（1，0）、B（3，0），與y軸交于點C，聯(lián)結(jié)AC、BC．（1）求該拋物線的表達式及頂點D的坐標(biāo)；（2）如果點P在拋物線上，CB平分∠ACP，求點P的坐標(biāo)；（3）如果點Q在拋物線的對稱軸上，△DBQ與△ABC相似，求點Q的坐標(biāo)．【考點】二次函數(shù)綜合題．【專題】代數(shù)幾何綜合題；二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；圖形的相似；解直角三角形及其應(yīng)用；運算能力；推理能力．【答案】（1）拋物線的解析式為y＝﹣x2+4x﹣3，頂點D的坐標(biāo)為（2，1）；（2）點P的坐標(biāo)為（，）；（3）Q的坐標(biāo)是（2，）或（2，﹣2）．【分析】（1）把點A（1，0），B（3，0）兩點的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式y(tǒng)＝ax2+bx﹣3，利用待定系數(shù)法即可求解；（2）過點P作PH⊥x軸，垂足為H，過點C作CE⊥y軸，垂足為C，交PH于點E，則HE⊥CE，∠OCE＝90°，由OB＝OC＝3可得∠OBC＝∠OCB＝45°，由CB平分∠ACP可得∠ACO＝∠PCE，求出tan∠ACO，得tan∠ACO＝tan∠PCE，設(shè)P（x，﹣x2+4x﹣3），即可求解；（3）可得∠BDQ＝∠CBA＝45°，分兩種情況，①當(dāng)∠DBQ＝∠BCA時，②當(dāng)∠DBQ＝∠BAC時，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解．【解答】解：（1）把點A（1，0），B（3，0）兩點的坐標(biāo)代入y＝ax2+bx﹣3得：，解得．∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+4x﹣3；∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，∴頂點D的坐標(biāo)為（2，1）；（2）過點P作PH⊥x軸，垂足為H，過點C作CE⊥y軸，垂足為C，交PH于點E，∴HE⊥CE，∠OCE＝90°，∵拋物線的解析式為y＝﹣x2+4x﹣3，∴C（0，﹣3），∴OB＝OC＝3，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，∴∠BCE＝45°，∵CB平分∠ACP，∴∠ACB＝∠PCB，∴∠OCB﹣∠ACB＝∠BCE﹣∠BCP，∴∠ACO＝∠PCE，∵tan∠ACO，∴tan∠ACO＝tan∠PCE，設(shè)P（x，﹣x2+4x﹣3），∴PE＝3﹣（x2﹣4x+3）＝﹣x2+4x，CE＝x，∴，解得x＝0（舍去）或，∴點P的坐標(biāo)為（，）；（3）如圖：設(shè)對稱軸于x軸交于點M．∵頂點D的坐標(biāo)為（2，1），∴BM＝DM＝1，∴∠BDQ＝∠CBA＝45°，BD，∵A（1，0），B（3，0），C（0，﹣3），∴AB＝2，BC3．①當(dāng)∠DBQ＝∠BCA時，△DBQ∽△BCA．∴，即，∴DQ，∴QM＝DM﹣DQ＝1，∴Q的坐標(biāo)是（2，）；②當(dāng)∠DBQ＝∠BAC時，△DBQ∽△BAC．∴，即，∴DQ′＝3，∴Q′M＝DQ′﹣DM＝3﹣1＝2，∴Q′的坐標(biāo)是（2，﹣2）；∵∠BDN＝180°﹣45°＝135°，∠BAC＜135°，∴∠BDN≠∠BAC．∴點Q不可能在MD的延長線上，綜上所述，Q的坐標(biāo)是（2，）或（2，﹣2）．【點評】本題是二次函數(shù)的綜合題型，考查待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的應(yīng)用、相似三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)等知識，利用分類思想是解題的關(guān)鍵．23．（10分）如圖，已知Rt△ABC內(nèi)接于⊙O（AB＜BC），∠ABC＝90°，點D為的中點，作BE⊥AC于點F，交CD于點E．（1）證明：BE＝BC；（2）若cos∠BCE，EF＝4，求AF的長．【考點】三角形的外接圓與外心；解直角三角形；勾股定理；垂徑定理；圓心角、弧、弦的關(guān)系；圓周角定理．【專題】與圓有關(guān)的計算；運算能力；推理能力．【答案】（1）證明見解析；（2）．【分析】（1）由圓周角定理得到∠DBC＝∠DCB，∠A＝∠D，由余角的性質(zhì)得到∠A＝∠CBF，由三角形外角的性質(zhì)推出∠BEC＝∠DCB，得到BE＝BC；（2）由銳角的余弦求出EC長，由勾股定理求出FC長，由勾股定理列出關(guān)于BF的方程，求出BF的長，由△ABF∽△BCF，得到BF：CF＝AF：BF，代入有關(guān)數(shù)據(jù)，即可求出AF的長．【解答】（1）證明：∵點D為的中點，∠DBC＝∠DCB，∵AC是圓的直徑，∴∠ABC＝90°，∵BE⊥AC，∴∠A+∠ABF＝∠CBF+∠ABF＝90°，∴∠A＝∠CBF，∵∠A＝∠D，∴∠CBF＝∠D，∵∠BEC＝∠D+∠DBE，∠DBC＝∠CBF+∠DBE，∴∠BEC＝∠DBC，∴∠BEC＝∠DCB，∴BE＝BC；（2）解：∵∠FEC＝∠BCE，∴cos∠FEC＝cos∠BCE，∴，∵EF＝4，∴EC＝4，∴FC8，設(shè)BF＝x，則BC＝BE＝4+x，∵BC2＝BF2+FC2，∴（x+4）2＝x2+82，∴x＝6，∴BF＝6，∵∠AFB＝∠CFB＝90°，∠A＝∠CBF，∴△ABF∽△BCF，∴BF：CF＝AF：BF，∴6：8＝AF：6，∴AF．【點評】本題考查圓周角定理，圓心角、弧、弦的關(guān)系，勾股定理，解直角三角形，關(guān)鍵是由勾股定理求出BF的長，證明△ABF∽△BCF，從而求出AF的長．24．（12分）定義：如果一個三角形一條邊上的高與這條邊的比值是4：5，那么稱這個三角形為“準(zhǔn)黃金”三角形，這條邊就叫做這個三角形的“金底”．（1）如圖1，在△ABC中，AC＝8，BC＝5，∠ACB＝30°，試判斷△ABC是否是“準(zhǔn)黃金”三角形，請說明理由．（2）如圖2，△ABC是“準(zhǔn)黃金”三角形，BC是“金底”，把△ABC沿BC翻折得到△DBC，AD交BC的延長線于點E，若點C恰好是△ABD的重心，求的值．（3）如圖3，l1∥l2，且直線l1與l2之間的距離為4，“準(zhǔn)黃金”△ABC的“金底”BC在直線l2上，點A在直線l1上，，若∠ABC是鈍角，將△ABC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到△A′B′C，線段A′C交l1于點D．當(dāng)點B′落在直線l1上時，則的值為．【考點】相似形綜合題．【專題】幾何綜合題；等腰三角形與直角三角形；圖形的相似；運算能力；推理能力．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）過點A作AD⊥CB交CB的延長線于D．由直角三角形的性質(zhì)得出AD＝4，則可得出結(jié)論；（2）設(shè)AE＝4k，BC＝5k，得出BC：CE＝2：1，則CE，BE，求出AB，可得出答案；（3）方法一：如圖3，過點A作AE⊥BC于E，過點D作DF⊥AC于F，過點B′作B′G⊥BC于G．證明△CGB′∽△CFD，推出DF：CF：CD＝GB′：CG：CB′＝4：3：5，設(shè)DF＝4k，CF＝3k，CD＝5k，再求出AD（用k表示）即可解決問題．方法二：由勾股定理求出AC的長，證明△DCB'∽△DAC，由相似三角形的性質(zhì)可得出，則可求出答案．【解答】解：（1）結(jié)論：△ABC是“準(zhǔn)黃金”三角形，BC是“金底”．理由：過點A作AD⊥CB交CB的延長線于D．∵AC＝8，∠C＝30°，∴AD＝4，∴∴△ABC是“準(zhǔn)黃金”三角形，BC是“金底”．（2）如圖2，∵A，D關(guān)于BC對稱，∴BE⊥AD，AE＝ED，∵△ABC是“準(zhǔn)黃金”三角形，BC是“金底”，∴，不妨設(shè)AE＝4k，BC＝5k，∵C是△ABD的重心，∴BC：CE＝2：1，∴CE，BE，∴AB，∴．（3）．方法一：∵△ABC是“準(zhǔn)黃金”三角形，BC是“金底”，∴AE：BC＝4：5，∵AE＝4，∴BC＝5，∵，∴AB＝2，∴BE2，∴EC＝BE+BC＝7，如圖3，過點A作AE⊥BC于E，過點D作DF⊥AC于F，過點B′作B′G⊥BC于G．在Rt△CB′G中，∵∠CGB′＝90°，GB′＝4，CB′＝CB＝5，∴CG3，∵∠GCB′＝∠FCD＝α，∠CGB′＝∠CFD＝90°，∴△CGB′∽△CFD，∴DF：CF：CD＝GB′：CG：CB′＝4：3：5，設(shè)DF＝4k，CF＝3k，CD＝5k，∵△AEC∽△DFA，∴，∴，解得AF＝7k，∴ADk，∴．方法二：如圖3，同方法一求出CE＝7，AE＝4，∴AC，BC＝B'C＝5，∵l1∥l2，∴∠DAC＝∠ACB，∵∠ACB＝∠A'CB'，∴∠DCB'＝∠DAC，∵∠B'DC＝∠CDA，∴△DCB'∽△DAC，∴，∴．故答案為：．【點評】本題屬于相似形綜合題，考查了解直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，“準(zhǔn)黃金”三角形的定義等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題．25．（12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+6（a≠0）交x軸于A、B兩點，交y軸于點C，且OA＝OC＝3OB，連接AC．（1）求拋物線的解析式；（2）動點P和動點Q同時出發(fā)，點P從點C以每秒2個單位長度的速度沿CA運動到點A，點Q從點O以每秒1個單位長度的速度沿OC運動到點C，連接PQ，當(dāng)點P到達點A時，點Q停止運動，求S△CPQ的最大值及此時點P的坐標(biāo)；（3）點M是拋物線上一點，是否存在點M，使得∠ACM＝15°？若存在，請直接寫出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【考點】二次函數(shù)綜合題．【專題】代數(shù)幾何綜合題；二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；等腰三角形與直角三角形；解直角三角形及其應(yīng)用；運算能力；推理能力．【答案】（1）yx2﹣2x+6；（2）S△CPQ的最大值為，點P的坐標(biāo)為（﹣3，6﹣3）；（3）點M的坐標(biāo)為（﹣4﹣2，﹣4）或（﹣4，）．【分析】（1）先求出點A，點B坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求解析式；（2）先求出CQ與PH的長，由三角形的面積公式和二次函數(shù)的性質(zhì)可求解；（3）分兩種情況討論，先求出CM的解析式，聯(lián)立方程組可求解．【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+6（a≠0）交y軸于點C，∴點C（0，6），∴OC＝6，∵OA＝OC＝3OB，∴OA＝OC＝6，OB＝2，∴點A（﹣6，0），點B（2，0），將點A，點B坐標(biāo)代入解析式，可得：，解得：，∴拋物線的表達式為：yx2﹣2x+6；（2）如圖，過點P作PH⊥CO于H，∵OA＝OC＝6，∴∠OCA＝45°∵PH⊥OC，∴∠ACO＝∠CPH＝45°，∴PH＝CH，∵點P從點C以每秒2個單位長度的速度沿CA運動到點A，點Q從點O以每秒1個單位長度的速度沿OC運動到點C，∴CP＝2t，OQ＝t，∴PH＝CHt，CQ＝6﹣t，∴S△PCQCQ×PH（﹣t2+6t）（t﹣3）2，∴當(dāng)t＝3時，S△CPQ的最大值為，∴PH＝CH＝3，∴OH＝6﹣3，∴點P的坐標(biāo)為（﹣3，6﹣3）；（3）如圖，當(dāng)點M在AC的下方時，設(shè)CM與x軸的交點為H，∵∠ACM＝15°，∠ACO＝45°，∴∠OCH＝30°，∴tan∠OCH，∴OH＝2，∴點H（﹣2，0），∴直線CM的解析式為：yx+6，聯(lián)立方程組可得：，解得：（舍去）或，故點M（﹣4﹣2，﹣4）；當(dāng)點M'在AC的上方時，設(shè)CM'與x軸的交點為G，∵∠ACM'＝15°，∠ACO＝45°，∴∠OCG＝60°，∴tan∠OCG，∴OG＝6，∴點G（﹣6，0），∴直線CM'的解析式為：yx+6，聯(lián)立方程組可得：，解得：（舍去）或，故點M（﹣4，）；綜上所述：點M的坐標(biāo)為（﹣4﹣2，﹣4）或（﹣4，）．【點評】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求解析式，直角三角形的性質(zhì)，解直角三角形，靈活運用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．

考點卡片1．?dāng)?shù)軸（1）數(shù)軸的概念：規(guī)定了原點、正方向、單位長度的直線叫做數(shù)軸．?dāng)?shù)軸的三要素：原點，單位長度，正方向．（2）數(shù)軸上的點：所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示，但數(shù)軸上的點不都表示有理數(shù)．（一般取右方向為正方向，數(shù)軸上的點對應(yīng)任意實數(shù)，包括無理數(shù)．）（3）用數(shù)軸比較大?。阂话銇碚f，當(dāng)數(shù)軸方向朝右時，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大．2．相反數(shù)（1）相反數(shù)的概念：只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)．（2）相反數(shù)的意義：掌握相反數(shù)是成對出現(xiàn)的，不能單獨存在，從數(shù)軸上看，除0外，互為相反數(shù)的兩個數(shù)，它們分別在原點兩旁且到原點距離相等．（3）多重符號的化簡：與“+”個數(shù)無關(guān)，有奇數(shù)個“﹣”號結(jié)果為負，有偶數(shù)個“﹣”號，結(jié)果為正．（4）規(guī)律方法總結(jié)：求一個數(shù)的相反數(shù)的方法就是在這個數(shù)的前邊添加“﹣”，如a的相反數(shù)是﹣a，m+n的相反數(shù)是﹣（m+n），這時m+n是一個整體，在整體前面添負號時，要用小括號．3．無理數(shù)（1）、定義：無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)．說明：無理數(shù)是實數(shù)中不能精確地表示為兩個整數(shù)之比的數(shù)，即無限不循環(huán)小數(shù)．如圓周率、2的平方根等．（2）、無理數(shù)與有理數(shù)的區(qū)別：①把有理數(shù)和無理數(shù)都寫成小數(shù)形式時，有理數(shù)能寫成有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)，比如4＝4.0，0.33333…而無理數(shù)只能寫成無限不循環(huán)小數(shù)，比如1.414213562．②所有的有理數(shù)都可以寫成兩個整數(shù)之比；而無理數(shù)不能．（3）學(xué)習(xí)要求：會判斷無理數(shù)，了解它的三種形式：①開方開不盡的數(shù)，②無限不循環(huán)小數(shù)，③含有π的數(shù)，如分?jǐn)?shù)是無理數(shù)，因為π是無理數(shù)．無理數(shù)常見的三種類型（1）開不盡的方根，如等．（2）特定結(jié)構(gòu)的無限不循環(huán)小數(shù)，如0.303003000300003…（兩個3之間依次多一個0）．（3）含有π的絕大部分?jǐn)?shù)，如2π．注意：判斷一個數(shù)是否為無理數(shù)，不能只看形式，要看化簡結(jié)果．如是有理數(shù)，而不是無理數(shù)．4．提公因式法與公式法的綜合運用先提取公因式，再對余下的多項式利用完全平方公式繼續(xù)分解即可．5．分式的化簡求值先把分式化簡后，再把分式中未知數(shù)對應(yīng)的值代入求出分式的值．在化簡的過程中要注意運算順序和分式的化簡．化簡的最后結(jié)果分子、分母要進行約分，注意運算的結(jié)果要化成最簡分式或整式．【規(guī)律方法】分式化簡求值時需注意的問題1．化簡求值，一般是先化簡為最簡分式或整式，再代入求值．化簡時不能跨度太大，而缺少必要的步驟，代入求值的模式一般為“當(dāng)…時，原式＝…”．2．代入求值時，有直接代入法，整體代入法等常用方法．解題時可根據(jù)題目的具體條件選擇合適的方法．當(dāng)未知數(shù)的值沒有明確給出時，所選取的未知數(shù)的值必須使原式中的各分式都有意義，且除數(shù)不能為0．6．二次根式有意義的條件判斷二次根式有意義的條件：（1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式．（2）二次根式中被開方數(shù)的取值范圍．二次根式中的被開方數(shù)是非負數(shù)．（3）二次根式具有非負性．（a≥0）是一個非負數(shù)．學(xué)習(xí)要求：能根據(jù)二次根式中的被開方數(shù)是非負數(shù)來確定二次根式被開方數(shù)中字母的取值范圍，并能利用二次根式的非負性解決相關(guān)問題．【規(guī)律方法】二次根式有無意義的條件1．如果一個式子中含有多個二次根式，那么它們有意義的條件是：各個二次根式中的被開方數(shù)都必須是非負數(shù)．2．如果所給式子中含有分母，則除了保證被開方數(shù)為非負數(shù)外，還必須保證分母不為零．7．二次根式的混合運算（1）二次根式的混合運算是二次根式乘法、除法及加減法運算法則的綜合運用．學(xué)習(xí)二次根式的混合運算應(yīng)注意以下幾點：①與有理數(shù)的混合運算一致，運算順序先乘方再乘除，最后加減，有括號的先算括號里面的．②在運算中每個根式可以看做是一個“單項式“，多個不同類的二次根式的和可以看作“多項式“．（2）二次根式的運算結(jié)果要化為最簡二次根式．（3）在二次根式的混合運算中，如能結(jié)合題目特點，靈活運用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍．8．二元一次方程組的應(yīng)用（一）列二元一次方程組解決實際問題的一般步驟：（1）審題：找出問題中的已知條件和未知量及它們之間的關(guān)系．（2）設(shè)元：找出題中的兩個關(guān)鍵的未知量，并用字母表示出來．（3）列方程組：挖掘題目中的關(guān)系，找出兩個等量關(guān)系，列出方程組．（4）求解．（5）檢驗作答：檢驗所求解是否符合實際意義，并作答．（二）設(shè)元的方法：直接設(shè)元與間接設(shè)元．當(dāng)問題較復(fù)雜時，有時設(shè)與要求的未知量相關(guān)的另一些量為未知數(shù)，即為間接設(shè)元．無論怎樣設(shè)元，設(shè)幾個未知數(shù)，就要列幾個方程．9．一元二次方程的定義（1）一元二次方程的定義：只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程．（2）概念解析：一元二次方程必須同時滿足三個條件：①整式方程，即等號兩邊都是整式；方程中如果有分母，那么分母中無未知數(shù)；②只含有一個未知數(shù)；③未知數(shù)的最高次數(shù)是2．（3）判斷一個方程是否是一元二次方程應(yīng)注意抓住5個方面：“化簡后”；“一個未知數(shù)”；“未知數(shù)的最高次數(shù)是2”；“二次項的系數(shù)不等于0”；“整式方程”．10．一元二次方程的解（1）一元二次方程的解（根）的意義：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．又因為只含有一個未知數(shù)的方程的解也叫做這個方程的根，所以，一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根．（2）一元二次方程一定有兩個解，但不一定有兩個實數(shù)解．這x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩實數(shù)根，則下列兩等式成立，并可利用這兩個等式求解未知量．a(chǎn)x12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．11．解一元二次方程-因式分解法（1）因式分解法解一元二次方程的意義因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法．因式分解法就是先把方程的右邊化為0，再把左邊通過因式分解化為兩個一次因式的積的形式，那么這兩個因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個一元一次方程的解，這樣也就把原方程進行了降次，把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問題了（數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想）．（2）因式分解法解一元二次方程的一般步驟：①移項，使方程的右邊化為零；②將方程的左邊分解為兩個一次因式的乘積；③令每個因式分別為零，得到兩個一元一次方程；④解這兩個一元一次方程，它們的解就都是原方程的解．12．根的判別式利用一元二次方程根的判別式（△＝b2﹣4ac）判斷方程的根的情況．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與△＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：①當(dāng)△＞0時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根；②當(dāng)△＝0時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根；③當(dāng)△＜0時，方程無實數(shù)根．上面的結(jié)論反過來也成立．13．解分式方程（1）解分式方程的步驟：①去分母；②求出整式方程的解；③檢驗；④得出結(jié)論．（2）解分式方程時，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母為0，所以應(yīng)如下檢驗：①將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值不為0，則整式方程的解是原分式方程的解．②將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值為0，則整式方程的解不是原分式方程的解．所以解分式方程時，一定要檢驗．14．一元一次不等式的應(yīng)用（1）由實際問題中的不等關(guān)系列出不等式，建立解決問題的數(shù)學(xué)模型，通過解不等式可以得到實際問題的答案．（2）列不等式解應(yīng)用題需要以“至少”、“最多”、“不超過”、“不低于”等詞來體現(xiàn)問題中的不等關(guān)系．因此，建立不等式要善于從“關(guān)鍵詞”中挖掘其內(nèi)涵．（3）列一元一次不等式解決實際問題的方法和步驟：①弄清題中數(shù)量關(guān)系，用字母表示未知數(shù)．②根據(jù)題中的不等關(guān)系列出不等式．③解不等式，求出解集．④寫出符合題意的解．15．反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征反比例函數(shù)y＝k/x（k為常數(shù)，k≠0）的圖象是雙曲線，①圖象上的點（x，y）的橫縱坐標(biāo)的積是定值k，即xy＝k；②雙曲線是關(guān)于原點對稱的，兩個分支上的點也是關(guān)于原點對稱；③在y＝k/x圖象中任取一點，過這一個點向x軸和y軸分別作垂線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積是定值|k|．16．二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）①二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大?。?dāng)a＞0時，拋物線向上開口；當(dāng)a＜0時，拋物線向下開口；|a|還可以決定開口大小，|a|越大開口就越?。谝淮雾椣禂?shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置．當(dāng)a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左側(cè)；當(dāng)a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右側(cè)．（簡稱：左同右異）③．常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點．拋物線與y軸交于（0，c）．④拋物線與x軸交點個數(shù)．△＝b2﹣4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△＝b2﹣4ac＝0時，拋物線與x軸有1個交點；△＝b2﹣4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．17．二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象是拋物線，頂點坐標(biāo)是（，）．①拋物線是關(guān)于對稱軸x成軸對稱，所以拋物線上的點關(guān)于對稱軸對稱，且都滿足函數(shù)函數(shù)關(guān)系式．頂點是拋物線的最高點或最低點．②拋物線與y軸交點的縱坐標(biāo)是函數(shù)解析中的c值．③拋物線與x軸的兩個交點關(guān)于對稱軸對稱，設(shè)兩個交點分別是（x1，0），（x2，0），則其對稱軸為x．18．拋物線與x軸的交點求二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點坐標(biāo)，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解關(guān)于x的一元二次方程即可求得交點橫坐標(biāo)．（1）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的交點與一元二次方程ax2+bx+c＝0根之間的關(guān)系．△＝b2﹣4ac決定拋物線與x軸的交點個數(shù)．△＝b2﹣4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△＝b2﹣4ac＝0時，拋物線與x軸有1個交點；△＝b2﹣4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．（2）二次函數(shù)的交點式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常數(shù)，a≠0），可直接得到拋物線與x軸的交點坐標(biāo)（x1，0），（x2，0）．19．二次函數(shù)綜合題（1）二次函數(shù)圖象與其他函數(shù)圖象相結(jié)合問題解決此類問題時，先根據(jù)給定的函數(shù)或函數(shù)圖象判斷出系數(shù)的符號，然后判斷新的函數(shù)關(guān)系式中系數(shù)的符號，再根據(jù)系數(shù)與圖象的位置關(guān)系判斷出圖象特征，則符合所有特征的圖象即為正確選項．（2）二次函數(shù)與方程、幾何知識的綜合應(yīng)用將函數(shù)知識與方程、幾何知識有機地結(jié)合在一起．這類試題一般難度較大．解這類問題關(guān)鍵是善于將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程問題，善于利用幾何圖形的有關(guān)性質(zhì)、定理和二次函數(shù)的知識，并注意挖掘題目中的一些隱含條件．（3）二次函數(shù)在實際生活中的應(yīng)用題從實際問題中分析變量之間的關(guān)系，建立二次函數(shù)模型．關(guān)鍵在于觀察、分析、創(chuàng)建，建立直角坐標(biāo)系下的二次函數(shù)圖象，然后數(shù)形結(jié)合解決問題，需要我們注意的是自變量及函數(shù)的取值范圍要使實際問題有意義．20．全等三角形的判定與性質(zhì)（1）全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．（2）在應(yīng)用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形．21．角平分線的性質(zhì)角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．注意：①這里的距離是指點到角的兩邊垂線段的長；②該性質(zhì)可以獨立作為證明兩條線段相等的依據(jù)，有時不必證明全等；③使用該結(jié)論的前提條件是圖中有角平分線，有垂直角平分線的性質(zhì)語言：如圖，∵C在∠AOB的平分線上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE22．含30度角的直角三角形（1）含30度角的直角三角形的性質(zhì)：在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半．（2）此結(jié)論是由等邊三角形的性質(zhì)推出，體現(xiàn)了直角三角形的性質(zhì)，它在解直角三角形的相關(guān)問題中常用來求邊的長度和角的度數(shù)．（3）注意：①該性質(zhì)是直角三角形中含有特殊度數(shù)的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能應(yīng)用；②應(yīng)用時，要注意找準(zhǔn)30°的角所對的直角邊，點明斜邊．23．勾股定理（1）勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方．如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的變形有：a，b及c．（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角邊．24．平行四邊形的性質(zhì)（1）平行四邊形的概念：有兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形．（2）平行四邊形的性質(zhì)：①邊：平行四邊形的對邊相等．②角：平行四邊形的對角相等．③對角線：平行四邊形的對角線互相平分．（3）平行線間的距離處處相等．（4）平行四邊形的面積：①平行四邊形的面積等于它的底和這個底上的高的積．②同底（等底）同高（等高）的平行四邊形面積相等．25．菱形的性質(zhì)（1）菱形的性質(zhì)①菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；②菱形的四條邊都相等；③菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；④菱形是軸對稱圖形，它有2條對稱軸，分別是兩條對角線所在直線．（2）菱形的面積計算①利用平行四邊形的面積公式．②菱形面積ab．（a、b是兩條對角線的長度）26．正方形的性質(zhì)（1）正方形的定義：有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形．（2）正方形的性質(zhì)①正方形的四條邊都相等，四個角都是直角；②正方形的兩條對角線相等，互相垂直平分，并且每條對角線平分一組對角；③正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)．④兩條對角線將正方形分成四個全等的等腰直角三角形，同時，正方形又是軸對稱圖形，有四條對稱軸．27．垂徑定理（1）垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧．（2）垂徑定理的推論推論1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧．推論2：弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條?。普?：平分弦所對一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條?。?8．圓心角、弧、弦的關(guān)系（1）定理：在同圓和等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等．（2）推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等．說明：同一條弦對應(yīng)兩條弧，其中一條是優(yōu)弧，一條是劣弧，而在本定理和推論中的“弧”是指同為優(yōu)弧或劣?。?）正確理解和使用圓心角、弧、弦三者的關(guān)系三者關(guān)系可理解為：在同圓或等圓中，①圓心角相等，②所對的弧相等，③所對的弦相等，三項“知一推二”，一項相等，其余二項皆相等．這源于圓的旋轉(zhuǎn)不變性，即：圓繞其圓心旋轉(zhuǎn)任意角度，所得圖形與原圖形完全重合．（4）在具體應(yīng)用上述定理解決問題時，可根據(jù)需要，選擇其有關(guān)部分．29．圓周角定理（1）圓周角的定義：頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角．注意：圓周角必須滿足兩個條件：①頂點在圓上．②角的兩條邊都與圓相交，二者缺一不可．（2）圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．（3）在解圓的有關(guān)問題時，常常需要添加輔助線，構(gòu)成直徑所對的圓周角，這種基本技能技巧一定要掌握．（4）注意：①圓周角和圓心角的轉(zhuǎn)化可通過作圓的半徑構(gòu)造等腰三角形．利用等腰三角形的頂點和底角的關(guān)系進行轉(zhuǎn)化．②圓周角和圓周角的轉(zhuǎn)化可利用其“橋梁”﹣﹣﹣圓心角轉(zhuǎn)化．③