專題10 阿氏圓與相似的融合（解析版）

專題10阿氏圓與相似的融合“PA+k·PB”型的最值問題是近幾年中考考查的熱點(diǎn)更是難點(diǎn)。1.當(dāng)k值為1時，即可轉(zhuǎn)化為“PA+PB”之和最短問題，就可用我們常見的“飲馬問題”模型來處理，即可以轉(zhuǎn)化為軸對稱問題來處理;2.當(dāng)k取任意不為1的正數(shù)時，若再以常規(guī)的軸對稱思想來解決問題，則無法進(jìn)行，因此必須轉(zhuǎn)換思路。此類問題的處理通常以動點(diǎn)P所在圖像的不同來分類，一般分為2類研究。即點(diǎn)P在直線上運(yùn)動和點(diǎn)P在圓上運(yùn)動。點(diǎn)P在圓周上運(yùn)動的類型稱之為“阿氏圓”問題。阿氏圓：阿氏圓鑰匙：構(gòu)造母子相似三角形模型建立：PA+k?PB的最小值。第一步：確動點(diǎn)的運(yùn)動軌跡（圓），以點(diǎn)0為圓心、r為半徑畫圓；（若圓已經(jīng)畫出則可省略這一步）第二步：連接動點(diǎn)至圓心0（將系數(shù)不為1的線段的固定端點(diǎn)與圓心相連接），即連接OP,OB。第三步：計(jì)算這兩條線段長度的比k;第五步：在0B上取點(diǎn)C,使得OC=k?OP;OCOP=OPOB=k,∠可得△POC∽△BOP可得：OCOP=PCPB=k,PC=k第六步：則PA+k?PB≥PA+PC≥AC,即當(dāng)A，P,C三點(diǎn)共線時可得最小值。［提升：若能直接構(gòu)造△相似計(jì)算的，直接計(jì)算，不能直接構(gòu)造△相似計(jì)算的，先把k提到括號外邊，將其中一條線段的系數(shù)化成1k，再構(gòu)造△相似進(jìn)行計(jì)算.典例如圖，在Rt△ABC中，AB＝AC＝4，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是扇形AEF的EF上任意一點(diǎn)，連接BP，CP，則12BP+CP的最小值是17典例思路引領(lǐng)：在AB上取一點(diǎn)T，使得AT＝1，連接PT，PA，CT．證明△PAT∽△BAP，推出PTPB=APAB=12，推出PT=12PB，推出12PB+CP＝CP+答案詳解：在AB上取一點(diǎn)T，使得AT＝1，連接PT，PA，CT．∵PA＝2．AT＝1，AB＝4，∴PA2＝AT?AB，∴PAAT∵∠PAT＝∠PAB，∴△PAT∽△BAP，∴PTPB∴PT=12∴12PB+CP＝CP+PT∵PC+PT≥TC，在Rt△ACT中，∵∠CAT＝90°，AT＝1，AC＝4，∴CT=A∴12PB+PC≥∴12PB+PC的最小值為17故答案為17．實(shí)戰(zhàn)訓(xùn)練實(shí)戰(zhàn)訓(xùn)練1．如圖，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝CB＝2，以B為圓心作圓B與AC相切，點(diǎn)P為圓B上任一動點(diǎn)，則PA+22PC的最小值是試題分析：作BH⊥AC于H，取BC的中點(diǎn)D，連接PD，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得BH為⊙B的半徑，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到BH=12AC=2，接著證明△BPD∽△BCP得到PD=22PC，所以PA+22PC＝PA+PD，而PA+PD≥AD（當(dāng)且僅當(dāng)A、P、答案詳解：解：作BH⊥AC于H，取BC的中點(diǎn)D，連接PD，如圖，∵AC為切線，∴BH為⊙B的半徑，∵∠B＝90°，AB＝CB＝2，∴AC=2BA＝22∴BH=12AC∴BP=2∵PBBC=2而∠PBD＝∠CBP，∴△BPD∽△BCP，∴PDPC∴PD=22∴PA+22PC＝PA+而PA+PD≥AD（當(dāng)且僅當(dāng)A、P、D共線時取等號），而AD=2∴PA+PD的最小值為5，即PA+22PC所以答案是5．2．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C為圓心、3為半徑作⊙C，P為⊙C上一動點(diǎn)，連接AP、BP，則13AP+BPA．7 B．52 C．4+10 D．試題分析：如圖，在CA上截取CM，使得CM＝1，連接PM，PC，BM．利用相似三角形的性質(zhì)證明MP=13PA，可得13AP+BP＝PM+PB≥BM答案詳解：解：如圖，在CA上截取CM，使得CM＝1，連接PM，PC，BM．∵PC＝3，CM＝1，CA＝9，∴PC2＝CM?CA，∴PCCA∵∠PCM＝∠ACP，∴△PCM∽△ACP，∴PMPA∴PM=13∴13AP+BP＝PM+PB∵PM+PB≥BM，在Rt△BCM中，∵∠BCM＝90°，CM＝1，BC＝7，∴BM=12+∴13AP+BP≥52∴13AP+BP的最小值為52所以選：B．3．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D、E分別是邊BC、AC上的兩個動點(diǎn)，且DE＝4，P是DE的中點(diǎn)，連接PA，PB，則PA+14PB的最小值為145試題分析：如圖，在CB上取一點(diǎn)F，使得CF=12，連接PF，AF．利用相似三角形的性質(zhì)證明PF=14PB，根據(jù)PF+PA≥答案詳解：解：如圖，在CB上取一點(diǎn)F，使得CF=12，連接PF，∵∠DCE＝90°，DE＝4，DP＝PE，∴PC=12DE＝∵CFCP=1∴CFCP∵∠PCF＝∠BCP，∴△PCF∽△BCP，∴PFPB∴PF=14∴PA+14PB＝PA+∵PA+PF≥AF，AF=C∴PA+14PB∴PA+14PB的最小值為所以答案是14524．如圖，在Rt△ABC中，AB＝AC＝4，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是扇形AEF的EF上任意一點(diǎn)，連接BP，CP，則12BP+CP的最小值是17試題分析：在AB上取一點(diǎn)T，使得AT＝1，連接PT，PA，CT．證明△PAT∽△BAP，推出PTPB=APAB=12，推出PT=12PB，推出12PB+CP＝CP+答案詳解：解：在AB上取一點(diǎn)T，使得AT＝1，連接PT，PA，CT．∵PA＝2．AT＝1，AB＝4，∴PA2＝AT?AB，∴PAAT∵∠PAT＝∠PAB，∴△PAT∽△BAP，∴PTPB∴PT=12∴12PB+CP＝CP+PT∵PC+PT≥TC，在Rt△ACT中，∵∠CAT＝90°，AT＝1，AC＝4，∴CT=A∴12PB+PC≥∴12PB+PC的最小值為17所以答案是17．5．如圖，在△ABC中，BC＝6，∠BAC＝60°，則2AB+AC的最大值為421．試題分析：由2AB+AC＝2（AB+12AC）得12AC=AE，再將AB+AE轉(zhuǎn)化成一條線段BP，可證出∠P是定角，從而點(diǎn)P在△PBC答案詳解：解：∵2AB+AC＝2（AB+1∴求2AB+AC的最大值就是求2（AB+1過C作CE⊥AB于E，延長EA到P，使得AP＝AE，∵∠BAC＝60°，∴EA=1∴AB+12AC=AB∵EC=3AE，PE＝2由勾股定理得：PC=7∴sinP=CE∴∠P為定值，∵BC＝6是定值，∴點(diǎn)P在△CBP的外接圓上，∵AB+AP＝BP，∴當(dāng)BP為直徑時，AB+AP最大，即BP'，∴sinP'＝sinP=BC解得BP'＝221，∴AB+AP＝221，∴2AB+AC＝2（AB+AP）＝421，所以答案是：421．6．如圖，已知菱形ABCD的邊長為8，∠B＝60°，圓B的半徑為4，點(diǎn)P是圓B上的一個動點(diǎn)，則PD-12PC的最大值為237試題分析：連接PB，在BC上取一點(diǎn)G，使得BG＝2，連接PG，DG，過點(diǎn)D作DH⊥BC交BC的延長線于H．利用相似三角形的性質(zhì)證明PG=12PC，再根據(jù)PD-12PC＝PD﹣PG≤答案詳解：解：連接PB，在BC上取一點(diǎn)G，使得BG＝2，連接PG，DG，過點(diǎn)D作DH⊥BC交BC的延長線于H．∵PB＝4，BG＝2，BC＝8，∴PB2＝BG?BC，∴PBBG∵∠PBG＝∠CBP，∴△PBG∽△CBP，∴PGPC∴PG=12∵四邊形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AB＝CD＝BC＝8，∴∠DCH＝∠ABC＝60°，在Rt△CDH中，CH＝CD?cos60°＝4，DH＝CD?sin60°＝43，∴GH＝CG+CH＝6+4＝10，∴DG=GH2∵PD-12PC＝PD﹣PG≤∴PD-12PC≤2∴PD-12PC的最大值為27．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=14x2-32x﹣4與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與（1）求點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)；（2）如圖1，連接BC，點(diǎn)D是拋物線上一點(diǎn)，若∠DCB＝∠ABC，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）如圖2，若點(diǎn)P在以點(diǎn)O為圓心，OA長為半徑作的圓上，連接BP、CP，請你直接寫出12CP+BP試題分析：（1）分別令x＝0和y＝0解方程可得結(jié)論；（2）分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)D在x軸的上方時，根據(jù)等角對等邊可得CE＝BE，設(shè)OE＝a，根據(jù)勾股定理列方程可得a的值，確定CE的解析式，聯(lián)立直線CE和拋物線的解析式列方程解出可得點(diǎn)D的坐標(biāo)；②當(dāng)點(diǎn)D在x軸的下方時，根據(jù)內(nèi)錯角相等可得CD與x軸平行，C和D是對稱點(diǎn)，可得點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）如圖3，根據(jù)12PC+BP＝PM+PB，確定當(dāng)B、P、M三點(diǎn)共線時，12CP+BP的值最小，根據(jù)勾股定理可得答案詳解：解：（1）當(dāng)x＝0時，y＝﹣4，當(dāng)y＝0時，14x2-32x﹣4＝0，解得：x1＝8，x2∴A（﹣2，0），B（8，0），C（0，﹣4）；（2）分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)D在x軸上方時，如圖1，CD交x軸于點(diǎn)E，∵∠DCB＝∠ABC，∴CE＝BE，設(shè)OE＝a，則BE＝8﹣a，Rt△OCE中，由勾股定理得：a2+42＝（8﹣a）2，解得：a＝3，∴E（3，0），∵C（0，4），設(shè)CE的解析式為：y＝kx+b，則3k+b=0b=-4，解得：k=∴CE的解析式為：y=43x﹣∵14x2-32x﹣4=4解得：x1＝0，x2=34∴D（343，100②當(dāng)點(diǎn)D在x軸的下方時，如圖2，∵∠DCB＝∠ABC，∴CD∥x軸，∴C和D關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，∴D（6，﹣4）；綜上，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（343，1009）或（6，﹣（3）如圖3，連接OP，PM，在y軸截取OM，使OMOP∵∠POM＝∠POC，∴△POM∽△COP，∴PMPC∴PM=12∴12PC+BP＝PM+PB當(dāng)B、P、M三點(diǎn)共線時，12CP+BP在Rt△BOM中，BM=O即12CP+BP的最小值是658．問題提出：如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，⊙C半徑為2，P為圓上一動點(diǎn)，連接AP、BP，求AP+12（1）嘗試解決：為了解決這個問題，下面給出一種解題思路：如圖2，連接CP，在CB上取點(diǎn)D，使CD＝1，則有CDCP=CPCB=12，又∵∠PCD＝∠BCP，∴△PCD∽△BCP．∴PDBP=12，∴PD請你完成余下的思考，并直接寫出答案：AP+12BP的最小值為37（2）自主探索：在“問題提出”的條件不變的情況下，13AP+BP的最小值為23（3）拓展延伸：已知扇形COD中，∠COD＝90°，OC＝6，OA＝3，OB＝5，點(diǎn)P是CD上一點(diǎn)，求2PA+PB的最小值．試題分析：（1）利用勾股定理即可求出，最小值為AD=37（2）連接CP，在CA上取點(diǎn)D，使CD=23，則有CDCP=CPCA=13，可證△PCD∽△ACP，得到PD=13AP，即：13AP+BP（3）延長OA到點(diǎn)E，使CE＝6，連接PE、OP，可證△OAP∽△OPE，得到EP＝2PA，得到2PA+PB＝EP+PB，當(dāng)E、P、B三點(diǎn)共線時，得到最小值．答案詳解：解：（1）如圖1，連接AD，∵AP+12BP＝AP+PD，要使AP+∴AP+AD最小，當(dāng)點(diǎn)A，P，D在同一條直線時，AP+AD最小，即：AP+12BP最小值為在Rt△ACD中，CD＝1，AC＝6，∴AD=AAP+12BP的最小值為37，所以答案是：（2）如圖2，連接CP，在CA上取點(diǎn)D，使CD=2∴CDCP∵∠PCD＝∠ACP，∴△PCD∽△ACP，∴PDAP∴PD=13∴13AP+BP＝BP+PD∴同（1）的方法得出13AP+BP的最小值為BD=所以答案是：23（3）如圖3，延長OA到點(diǎn)E，使CE＝6，∴OE＝OC+CE＝12，連接PE、OP，∵OA＝3，∴OAOP∵∠AOP＝∠AOP，∴△OAP∽△OPE，∴APEP∴EP＝2PA，∴2PA+PB＝EP+PB，∴當(dāng)E、P、B三點(diǎn)共線時，取得最小值為：BE=OB9．已知拋物線y＝x2﹣bx+c（b，c為常數(shù)，b＞0）經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，0），點(diǎn)M（m，0）是x軸正半軸上的動點(diǎn)．（Ⅰ）當(dāng)b＝2時，求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（Ⅱ）點(diǎn)D（b，yD）在拋物線上，當(dāng)AM＝AD，m＝5時，求b的值；（Ⅲ）點(diǎn)Q（b+12，yQ）在拋物線上，當(dāng)2AM+2QM的最小值為332試題分析：（Ⅰ）將點(diǎn)A（﹣1，0）代入y＝x2﹣bx+c，求出c關(guān)于b的代數(shù)式，再將b代入即可求出c的值，可進(jìn)一步寫出拋物線解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；（Ⅱ）將點(diǎn)D（b，yD）代入拋物線y＝x2﹣bx﹣b﹣1，求出點(diǎn)D縱坐標(biāo)為﹣b﹣1，由b＞0判斷出點(diǎn)D（b，﹣b﹣1）在第四象限，且在拋物線對稱軸x=b2的右側(cè)，過點(diǎn)D作DE⊥x軸，可證△ADE為等腰直角三角形，利用銳角三角函數(shù)可求出（Ⅲ）將點(diǎn)Q（b+12，yQ）代入拋物線y＝x2﹣bx﹣b﹣1，求出Q縱坐標(biāo)為-b2-34，可知點(diǎn)Q（b+12，-b2-34）在第四象限，且在直線x＝b的右側(cè)，點(diǎn)N（0，1），過點(diǎn)Q作直線AN的垂線，垂足為G，QG與x軸相交于點(diǎn)M，過點(diǎn)Q作QH⊥x軸于點(diǎn)H，則點(diǎn)H（b+12，0），在Rt△MQH中，可知∠QMH＝∠MQH＝45°，設(shè)點(diǎn)M（m，0），則可用含b的代數(shù)式表示m，因?yàn)?AM+2QM=3324，所以答案詳解：解：（Ⅰ）∵拋物線y＝x2﹣bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，0），∴1+b+c＝0，即c＝﹣b﹣1，當(dāng)b＝2時，y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣4）；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，拋物線的解析式為y＝x2﹣bx﹣b﹣1，∵點(diǎn)D（b，yD）在拋物線y＝x2﹣bx﹣b﹣1上，∴yD＝b2﹣b?b﹣b﹣1＝﹣b﹣1，由b＞0，得b＞b2＞0，﹣b﹣1∴點(diǎn)D（b，﹣b﹣1）在第四象限，且在拋物線對稱軸x=b如圖1，過點(diǎn)D作DE⊥x軸，垂足為E，則點(diǎn)E（b，0），∴AE＝b+1，DE＝b+1，得AE＝DE，∴在Rt△ADE中，∠ADE＝∠DAE＝45°，∴AD=2AE由已知AM＝AD，m＝5，∴5﹣（﹣1）=2（b+1∴b＝32-1（Ⅲ）∵點(diǎn)Q（b+12，yQ）在拋物線y＝x2﹣bx﹣b﹣∴yQ＝（b+12）2﹣b（b+12）﹣b可知點(diǎn)Q（b+12，-b2-∵2AM+2QM＝2（22AM+QM∴可取點(diǎn)N（0，1），如圖2，過點(diǎn)Q作直線AN的垂線，垂足為G，QG與x軸相交于點(diǎn)M，由∠GAM＝45°，得22AM＝GM則此時點(diǎn)M滿足題意，過點(diǎn)Q作QH⊥x軸于點(diǎn)H，則點(diǎn)H（b+12，在Rt△MQH中，可知∠QMH＝∠MQH＝45°，∴QH＝MH，QM=2MH∵點(diǎn)M（m，0），∴0﹣（-b2-34）＝（解得，m=b∵2AM+2QM=33∴2[（b2-14）﹣（﹣1）]+22[（b+12∴b＝4．10．如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與直線AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）兩點(diǎn)，直線AC：y=-12x﹣6交y軸于點(diǎn)C．點(diǎn)E是直線AB上的動點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF⊥x軸交AC于點(diǎn)F（1）求拋物線y＝﹣x2+bx+c的表達(dá)式；（2）連接GB，EO，當(dāng)四邊形GEOB是平行四邊形時，求點(diǎn)G的坐標(biāo)；（3）①在y軸上存在一點(diǎn)H，連接EH，HF，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動到什么位置時，以A，E，F(xiàn)，H為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？求出此時點(diǎn)E，H的坐標(biāo)；②在①的前提下，以點(diǎn)E為圓心，EH長為半徑作圓，點(diǎn)M為⊙E上一動點(diǎn)，求12AM+CM試題分析：（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式；（2）先利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式，進(jìn)而利用平行四邊形的對邊相等建立方程求解即可；（3）①先判斷出要以點(diǎn)A，E，F(xiàn)，H為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，只有EF為對角線，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式建立方程即可；②先取EG的中點(diǎn)P進(jìn)而判斷出△PEM∽△MEA即可得出PM=12AM，連接CP交圓E于M，再求出點(diǎn)答案詳解：解：（1）∵點(diǎn)A（﹣4，﹣4），B（0，4）在拋物線y＝﹣x2+bx+c上，∴-16∴b=-∴拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣2x+4；（2）設(shè)直線AB的解析式為y＝kx+n過點(diǎn)A，B，∴n=4-4k+n=-4∴k=2n=4∴直線AB的解析式為y＝2x+4，設(shè)E（m，2m+4），∴G（m，﹣m2﹣2m+4），∵四邊形GEOB是平行四邊形，∴EG＝OB＝4，∴﹣m2﹣2m+4﹣2m﹣4＝4，∴m＝﹣2∴G（﹣2，4）．（3）①如圖1，由（2）知，直線AB的解析式為y＝2x+4，∴設(shè)E（a，2a+4），∵直線AC：y=-12x∴F（a，-12a﹣設(shè)H（0，p），∵以點(diǎn)A，E，F(xiàn)，H為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，∵直線AB的解析式為y＝2x+4，直線AC：y=-12x∴AB⊥AC，∴EF為對角線，∴EF與AH互相平分，∴12（﹣4+0）=12（a+a），12（﹣4+p）=12（2a∴a＝﹣2，P＝﹣1，∴E（﹣2，0）．H（0，﹣1）；②如圖2，由①知，E（﹣2，0），H（0，﹣1），A（﹣4，﹣4），∴EH=5，AE＝25設(shè)AE交⊙E于G，取EG的中點(diǎn)P，∴PE=5連接PC交⊙E于M，連接EM，∴EM＝EH=5∴PEME∵M(jìn)EAE∴PEME=MEAE=∴△PEM∽△MEA，∴PMAM∴PM=12∴12AM+CM的最小值＝PC設(shè)點(diǎn)P（p，