（復(fù)習(xí)課）2024年高中數(shù)學(xué)高二暑假講義03 立體幾何（教師版）

第第頁復(fù)習(xí)課高中數(shù)學(xué)高二暑假講義03立體幾何【例題講解】【例1】如圖所示的三棱錐O-ABC為長方體的一角．其中OA，OB，OC兩兩垂直，三個側(cè)面OAB，OAC，OBC的面積分別為1.5cm2,1cm2,3cm2，求三棱錐O-ABC的體積．[解]設(shè)OA，OB，OC的長依次為xcm，ycm，zcm，則由已知可得eq\f(1,2)xy＝1.5，eq\f(1,2)xz＝1，eq\f(1,2)yz＝3.解得x＝1，y＝3，z＝2.將三棱錐O-ABC看成以C為頂點(diǎn)，以O(shè)AB為底面．易知OC為三棱錐C-OAB的高．于是VO-ABC＝VC-OAB＝eq\f(1,3)S△OAB·OC＝eq\f(1,3)×1.5×2＝1(cm3)．空間幾何體的表面積與體積的求法：(1)多面體的表面積是各個面的面積之和；組合體的表面積注意銜接部分的處理．(2)旋轉(zhuǎn)體的表面積問題注意其側(cè)面展開圖的應(yīng)用．(3)求復(fù)雜幾何體的體積常用割補(bǔ)法、等積法求解．【例2】(1)正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上，若該棱錐的高為6，底面邊長為4，則該球的表面積為()A.eq\f(44,3)πB.eq\f(484,9)πC.eq\f(81,4)πD．16π(2)一個球與一個正三棱柱的三個側(cè)面和兩個底面都相切，如果這個球的體積是eq\f(32,3)π，那么這個三棱柱的體積是()A．96eq\r(3)B．16eq\r(3)C．24eq\r(3) D．48eq\r(3)(1)B(2)D[(1)如圖，設(shè)PE為正四棱錐P-ABCD的高，則正四棱錐P-ABCD的外接球的球心O必在其高PE所在的直線上，延長PE交球面于一點(diǎn)F，連接AE，AF.由球的性質(zhì)可知△PAF為直角三角形且AE⊥PF，又底面邊長為4,所以AE＝2eq\r(2)，PE＝6,所以側(cè)棱長PA＝eq\r(PE2＋AE2)＝eq\r(62＋2\r(2)2)＝eq\r(44)＝2eq\r(11).設(shè)球的半徑為R,則PF＝2R.由三角形相似得PA2＝PF·PE，即44＝2R×6，解得R＝eq\f(11,3)，所以S＝4πR2＝4π×(eq\f(11,3))2＝eq\f(484π,9)，故選B.(2)由球的體積公式可求得球的半徑R＝2.設(shè)球的外切正三棱柱的底面邊長為a，高即側(cè)棱長，為h，則h＝2R＝4.在底面正三角形中，由正三棱柱的內(nèi)切球特征，有eq\f(1,3)·eq\f(\r(3),2)a＝R＝2，解得a＝4eq\r(3).故此三棱柱的體積V＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),2)×(4eq\r(3))2×4＝48eq\r(3).]與球相關(guān)問題的解題策略：(1)作適當(dāng)?shù)慕孛?如軸截面等)時，對于球內(nèi)接長方體、正方體，則截面一要過球心，二要過長方體或正方體的兩條體對角線，才有利于解題．(2)對于“內(nèi)切”和“外接”等問題，首先要弄清幾何體之間的相互關(guān)系，主要是指特殊的點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系，然后把相關(guān)的元素放到這些關(guān)系中來解決．【例3】如圖所示，正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直，EF∥AC，AB＝eq\r(2)，CE＝EF＝1.(1)求證：AF∥平面BDE；(2)求證：CF⊥平面BDE.[證明](1)設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O，連接EO，如圖所示，∵EF∥AC，且EF＝1，AO＝eq\f(1,2)AC＝1，∴四邊形AOEF為平行四邊形，∴AF∥OE.∵OE?平面BDE，AF?平面BDE，∴AF∥平面BDE.(2)連接FO，如圖所示．∵EF∥CO，EF＝CO＝1，且CE＝1，∴四邊形CEFO為菱形，∴CF⊥EO.∵四邊形ABCD為正方形，∴BD⊥AC.又平面ACEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD＝AC，∴BD⊥平面ACEF，∴CF⊥BD.又BD∩EO＝O，∴CF⊥平面BDE.空間平行、垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化：(1)平行、垂直關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化(2)證明空間線面平行或垂直需注意三點(diǎn)①由已知想性質(zhì)，由求證想判定．②適當(dāng)添加輔助線(或面)是解題的常用方法之一．③用定理時要先明確條件，再由定理得出相應(yīng)結(jié)論．【例4】如圖，正方體的棱長為1，B′C∩BC′＝O，求：(1)AO與A′C′所成角的度數(shù)；(2)AO與平面ABCD所成角的正切值；(3)平面AOB與平面AOC所成角的度數(shù)．[解](1)∵A′C′∥AC，∴AO與A′C′所成的角就是∠OAC.∵AB⊥平面BC′，OC?平面BC′，∴OC⊥AB，又OC⊥BO，AB∩BO＝B.∴OC⊥平面ABO.又OA?平面ABO，∴OC⊥OA.在Rt△AOC中，OC＝eq\f(\r(2),2)，AC＝eq\r(2)，sin∠OAC＝eq\f(OC,AC)＝eq\f(1,2)，∴∠OAC＝30°，即AO與A′C′所成角的度數(shù)為30°.(2)如圖，作OE⊥BC于E，連接AE.∵平面BC′⊥平面ABCD，∴OE⊥平面ABCD，∴∠OAE為OA與平面ABCD所成的角．在Rt△OAE中，OE＝eq\f(1,2)，AE＝eq\r(12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2)＝eq\f(\r(5),2)，∴tan∠OAE＝eq\f(OE,AE)＝eq\f(\r(5),5).(3)∵OC⊥OA，OC⊥OB，OA∩OB＝O，∴OC⊥平面AOB.又∵OC?平面AOC，∴平面AOB⊥平面AOC.即平面AOB與平面AOC所成角的度數(shù)為90°.空間角的求法：求空間各種角的大小一般都轉(zhuǎn)化為平面角來計算，空間角的計算步驟：一作，二證，三計算．(1)求異面直線所成的角常用平移轉(zhuǎn)化法(轉(zhuǎn)化為相交直線的夾角)．(2)求直線與平面所成的角常用射影轉(zhuǎn)化法(即作垂線、找射影)．(3)二面角的平面角的作法常有三種：①定義法；②垂線法；③垂面法．課堂跟蹤訓(xùn)練1．如圖所示，已知三棱柱ABC-A′B′C′，側(cè)面B′BCC′的面積是S，點(diǎn)A′到側(cè)面B′BCC′的距離是a，求三棱柱ABC-A′B′C′的體積．[解]連接A′B，A′C，如圖所示，這樣就把三棱柱分割成了兩個棱錐．設(shè)所求體積為V，顯然三棱錐A′-ABC的體積是eq\f(1,3)V.而四棱錐A′-BCC′B′的體積為eq\f(1,3)Sa，故有eq\f(1,3)V＋eq\f(1,3)Sa＝V，即V＝eq\f(1,2)Sa.2．側(cè)面都是等腰直角三角形的正三棱錐，底面邊長為a時，該三棱錐的表面積是()A.eq\f(3＋\r(3),4)a2 B.eq\f(3,4)a2C.eq\f(3＋\r(3),2)a2 D.eq\f(6＋\r(3),4)a2A[∵側(cè)面都是等腰直角三角形，故側(cè)棱長等于eq\f(\r(2),2)a，∴S表＝eq\f(\r(3),4)a2＋3×eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a))eq\s\up20(2)＝eq\f(3＋\r(3),4)a2.]3.平面α截球O的球面所得圓的半徑為1.球心O到平面α的距離為eq\r(2)，則此球的體積為()A.eq\r(6)πB．4eq\r(3)πC．4eq\r(6)πD．6eq\r(3)πB.解析：如圖，設(shè)截面圓的圓心為O′，M為截面圓上任一點(diǎn)，則OO′＝eq\r(2)，O′M＝1，∴OM＝eq\r(\r(2)2＋1)＝eq\r(3)，即球的半徑為eq\r(3)，∴V＝eq\f(4,3)π(eq\r(3))3＝4eq\r(3)π.4.已知半徑為5的球的兩個平行截面圓的周長分別為6π和8π，則這兩個截面間的距離為．1或7解析：若兩個平行截面在球心同側(cè)，如圖①，則兩個截面間的距離為eq\r(52－32)－eq\r(52－42)＝1；若兩個平行截面在球心異側(cè)，如圖②，則兩個截面間的距離為eq\r(52－32)＋eq\r(52－42)＝7.]①②5．若與球外切的圓臺的上、下底面半徑分別為r，R，則球的表面積為．4πRr[法一：如圖，作DE⊥BC于點(diǎn)E.設(shè)球的半徑為r1，則在Rt△CDE中，DE＝2r1，CE＝R－r，DC＝R＋r.由勾股定理得4req\o\al(2,1)＝(R＋r)2－(R－r)2，解得r1＝eq\r(Rr)，故球的表面積為S球＝4πreq\o\al(2,1)＝4πRr.法二：如圖，設(shè)球心為O，球的半徑為r1，連接OA，OB，則在Rt△AOB中，OF是斜邊AB上的高．由相似三角形的性質(zhì)得OF2＝BF·AF＝Rr，即req\o\al(2,1)＝Rr，故r1＝eq\r(Rr)，故球的表面積為S球＝4πRr.]6.如圖，AB是圓O的直徑，PA垂直于圓O所在的平面，M是圓周上任意一點(diǎn)，AN⊥PM，垂足為N.求證：AN⊥平面PBM.[證明]設(shè)圓O所在的平面為α，∵PA⊥α，且BM?α，∴PA⊥BM.又∵AB為⊙O的直徑，點(diǎn)M為圓周上一點(diǎn)，∴AM⊥BM.由于直線PA∩AM＝A，∴BM⊥平面PAM，而AN?平面PAM，∴BM⊥AN.∴AN與PM、BM兩條相交直線互相垂直．故AN⊥平面PBM.7.如圖所示，四邊形ABCD是邊長為a的菱形，PC⊥平面ABCD，E是PA的中點(diǎn)，求證：平面BDE⊥平面ABCD.[證明]連接AC，設(shè)AC∩BD＝O，連接OE.因為O為AC中點(diǎn)，E為PA的中點(diǎn)，所以EO是△PAC的中位線，所以EO∥PC.因為PC⊥平面ABCD，所以EO⊥平面ABCD.又因為EO?平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABCD.8．如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分別是棱BC，CC1上的點(diǎn)(點(diǎn)D不同于點(diǎn)C)，且AD⊥DE，F(xiàn)為B1C1的中點(diǎn)．求證：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；(2)直線A1F∥平面ADE.[證明](1)因為ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC.又AD?平面ABC，所以CC1⊥AD.又因為AD⊥DE，CC1，DE?平面BCC1B1，CC1∩DE＝E，所以AD⊥平面BCC1B1.又AD?平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCC1B1.(2)因為A1B1＝A1C1，F(xiàn)為B1C1的中點(diǎn)，所以A1F⊥B1C1.因為CC1⊥平面A1B1C1，且A1F?平面A1B1C1，所以CC1⊥A1F.又因為CC1，B1C1?平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1，所以A1F⊥平面BCC1B1.由(1)知AD⊥平面BCC1B1，所以A1F∥AD.又AD?平面ADE，A1F?平面ADE，所以A1F∥平面ADE.立體幾何檢測卷1．若圓錐的高等于底面直徑，則它的底面積與側(cè)面積之比為()A．1∶2 B．1∶eq\r(3)C．1∶eq\r(5) D.eq\r(3)∶2C[設(shè)圓錐底面半徑為r，則高h(yuǎn)＝2r，∴其母線長l＝eq\r(5)r.∴S側(cè)＝πrl＝eq\r(5)πr2，S底＝πr2.則S底∶S側(cè)＝1∶eq\r(5).]2．圓臺上、下底面面積分別是π、4π，側(cè)面積是6π，這個圓臺的體積是()A.eq\f(2\r(3),3)πB．2eq\r(3)C.eq\f(7\r(3),6)πD.eq\f(7\r(3),3)πD[S1＝π，S2＝4π，∴r＝1，R＝2，S側(cè)＝6π＝π(r＋R)l，∴l(xiāng)＝2，∴h＝eq\r(3).∴V＝eq\f(1,3)π(1＋4＋2)×eq\r(3)＝eq\f(7,3)eq\r(3)π.故選D.]3．圓臺的一個底面周長是另一個底面周長的3倍，母線長為3，圓臺的側(cè)面積為84π，則圓臺較小底面的半徑為()A．7B．6C．5D．3A[設(shè)圓臺較小底面半徑為r，則另一底面半徑為3r.由S＝π(r＋3r)·3＝84π，解得r＝7.]4.已知長方體的一個頂點(diǎn)處的三條棱長分別是eq\r(3)，eq\r(3)，eq\r(6)，這個長方體它的八個頂點(diǎn)都在同一個球面上，這個球的表面積是()A．12πB.18πC．36πD.6πA[由題意可知，該長方體的體對角線即為球的直徑，其長度為2eq\r(3)，從而球的半徑為eq\r(3)，球表面積為12π.]5.如圖，AB是圓的直徑，PA垂直于圓所在的平面，C是圓上一點(diǎn)(不同于A、B)且PA＝AC，則二面角P-BC-A的大小為()A．60°B．30°C．45°D．15°C[由條件得：PA⊥BC，AC⊥BC，又PA∩AC＝C，∴BC⊥平面PAC，∴∠PCA為二面角P-BC-A的平面角．在Rt△PAC中，由PA＝AC得∠PCA＝45°，故選C.]6．在正三角形ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，沿AD折成二面角B-AD-C后，BC＝eq\f(1,2)AB，這時二面角B-AD-C的大小為()A．60°B．90°C．45°D．120°A[∠BDC為二面角B-AD-C的平面角，設(shè)正三角形ABC的邊長為m，則折疊后，BC＝eq\f(1,2)m，BD＝DC＝eq\f(1,2)m，所以∠BDC＝60°.]7．把一個棱長為a的正方體，切成27個全等的小正方體，則所有小正方體的表面積為．18a2[原正方體的棱長為a，切成的27個小正方體的棱長為eq\f(1,3)a，每個小正方體的表面積S1＝eq\f(1,9)a2×6＝eq\f(2,3)a2，所以27個小正方體的表面積是eq\f(2,3)a2×27＝18a2.]8.一個正方體的八個頂點(diǎn)都在體積為eq\f(4,3)π的球面上，則正方體的表面積為．8[設(shè)球的半徑為R，正方體的棱長為a，則eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π，故R＝1，由eq\r(3)a＝2R＝2，所以a＝eq\f(2,\r(3))，所以正方體的表面積為S＝6a2＝6×(eq\f(2,\r(3)))2＝8.]9.如圖正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是棱C1C與BC的中點(diǎn)，則直線EF與直線D1C所成的角的大小是．60°[連結(jié)BC1，A1B(圖略)．∵BC1∥EF，A1B∥CD1，則∠A1BC1即為EF與D1C所成的角．又∵∠A1BC1為60°，∴直線EF與D1C所成的角為60°.]10.如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中，AC與BC1所成角的大小是．60°[連接AD1，則AD1∥BC1.∴∠CAD1(或其補(bǔ)角)就是AC與BC1所成的角，連接CD1，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，AC＝AD1＝CD1，∴∠CAD1＝60°，即AC與BC1所成的角為60°.]11.如圖所示，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，BC＝2，AA1＝1，E，F(xiàn)分別在AD和BC上，且EF∥AB，若二面角C1-EF-C等于45°，則BF＝.1[由題意知EF⊥BC.∵CC1⊥平面ABCD，∴CC1⊥EF，又BC∩CC1＝C，∴EF⊥平面CC1F，∴EF⊥C1F.故∠C1FC為二面角C1-EF-C的平面角，即∠C1FC＝45°，∵AA1＝1，∴CF＝1，又BC＝2，∴BF＝1.]12.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M、E、F、N分別是A1B1、B1C1、C1D1、D1A1的中點(diǎn)．求證：(1)E、F、B、D四點(diǎn)共面；(2)平面MAN∥平面EFDB.[思路探究](1)欲證E、F、B、D四點(diǎn)共面，需證BD∥EF即可．(2)要證平面MAN∥平面EFDB，只需證MN∥平面EFDB，AN∥平面BDFE即可．[解](1)連接B1D1，∵E、F分別是邊B1C1、C1D1的中點(diǎn)，∴EF∥B1D1.而BD∥B1D1，∴BD∥EF.∴E、F、B、D四點(diǎn)共面．(2)易知MN∥B1D1，B1D1∥BD，∴MN∥BD.又MN?平面EFDB，BD?平面EFDB.∴MN∥平面EFDB.連接MF.∵M(jìn)、F分別是A1B1、C1D1的中點(diǎn)，∴MF∥A1D1，MF＝A1D1.∴MF∥AD且MF＝AD.∴四邊形ADFM是平行四邊形，∴AM∥DF.又AM?平面BDFE，DF?平面BDFE，∴AM∥平面BDFE.又∵AM∩MN＝M，∴平面MAN∥平面EFDB.13.空間四邊形ABCD，E，F(xiàn)，G分別是BC，AD，DC的中點(diǎn)，F(xiàn)G＝2，GE＝eq\r(5)，EF＝3.求證：AC⊥BD.[證明]∵點(diǎn)G，E分別是CD，BC的中點(diǎn)，∴GE∥BD，同理GF∥AC.∴∠FGE或∠FGE的補(bǔ)角是異面直線AC與BD所成的角．在△EFG中，∵FG＝2，GE＝eq\r(5)，EF＝3，滿足FG2＋GE2＝EF2，∴∠FGE＝90°.即異面直線AC與BD所成的角是90°.∴AC⊥BD.14.如圖，在三棱錐S-ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中點(diǎn)，且SA＝SB＝SC.(1)求證：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求證：BD⊥平面SAC.[證明](1)因為SA＝SC，D是AC的中點(diǎn)，所以SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD＝BD，由已知SA＝SB，所以△ADS≌△BDS，所以SD⊥BD.又AC∩BD＝D，AC，BD?平面ABC，所以SD⊥平面ABC.(2)因為AB＝BC，D為AC的中點(diǎn)，所以BD⊥AC.由(1)知SD⊥BD.又因為SD∩AC＝D，SD，AC?平面SAC，所以BD⊥平面SAC.15.如圖，在長方體SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0是正方形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn).（1）證明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）證明：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（3）求二面角SKIPIF1<0的大小.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）SKIPIF1<0．【解析】（1）證明：設(shè)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是SKIPIF1<0中點(diǎn)，又SKIPIF1<0是SKIPIF1<0中點(diǎn)，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<