4.3.2相似多邊形的性質(zhì)

第1頁(yè)（共55頁(yè)）相似多邊形的性質(zhì)1．（2011?臺(tái)灣）如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，E、F兩點(diǎn)分別在AB、DC上．若AE=4，EB=6，DF=2，F(xiàn)C=3，且梯形AEFD與梯形EBCF相似，則AD與BC的長(zhǎng)度比為何？（）A．1：2 B．2：3 C．2：5 D．4：9【考點(diǎn)】相似多邊形的性質(zhì)．【分析】根據(jù)兩個(gè)梯形相似，則對(duì)應(yīng)邊的比相等，即可求解．【解答】解：∵梯形AEFD∽梯形EBCF，且DF：FC=2：3∴AD：EF=EF：BC=2：3∴AD=EF，BC=EF，∴AD：EF：BC=：1：=4：6：9，∴AD：BC=4：9．故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了相似多邊形的性質(zhì)，正確理解性質(zhì)是關(guān)鍵．2．（2010?南平）下列說(shuō)法中，錯(cuò)誤的是（）A．等邊三角形都相似 B．等腰直角三角形都相似C．矩形都相似 D．正方形都相似【考點(diǎn)】相似多邊形的性質(zhì)．【分析】根據(jù)相似三角形的判定及相似多邊形的定義作答．【解答】解：A、由于等邊三角形的每個(gè)角都等于60°，根據(jù)有兩角對(duì)應(yīng)相等的兩三角形相似，知等邊三角形都相似正確，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、由于任意一個(gè)等腰直角三角形的三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是45°，45°，90°，根據(jù)有兩角對(duì)應(yīng)相等的兩三角形相似，知等腰直角三角形都相似正確，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、由于矩形對(duì)應(yīng)邊的比不一定相等，根據(jù)相似多邊形的定義知矩形都相似，不正確，故選項(xiàng)正確；D、由于正方形的每個(gè)角都相等，每條邊也相等，根據(jù)相似多邊形的定義知正方形都相似正確，故選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選C．【點(diǎn)評(píng)】有兩角對(duì)應(yīng)相等的兩三角形相似．如果兩個(gè)多邊形滿足對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等，那么這兩個(gè)多邊形相似．3．（2013?銅仁市模擬）圖中，有三個(gè)矩形，其中相似的是（）A．甲和乙 B．甲和丙C．乙和丙 D．沒(méi)有相似的矩形【考點(diǎn)】相似多邊形的性質(zhì)．【分析】如果兩個(gè)邊數(shù)相同的多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例，這兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形，據(jù)此作答．【解答】解：三個(gè)矩形的角都是直角，甲、乙、丙相鄰兩邊的比分別為2：3，1.5：2.5=3：5，1：1.5=2：3，∴甲和丙相似，故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查相似多邊形的概念，一定要考慮對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例．4．（2010?濰坊）如圖所示，一般書本的紙張是在原紙張多次對(duì)開(kāi)得到．矩形ABCD沿EF對(duì)開(kāi)后，再把矩形EFCD沿MN對(duì)開(kāi)，依此類推．若各種開(kāi)本的矩形都相似，那么等于（）A．0.618 B． C． D．2【考點(diǎn)】相似多邊形的性質(zhì)．【分析】根據(jù)相似多邊形的對(duì)應(yīng)邊成比例求解．【解答】解：∵矩形ABCD∽矩形BFEA，∴AB：BF=AD：AB，∴AD?BF=AB?AB，又∵BF=AD，∴AD2=AB2，∴=．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似多邊形的性質(zhì)．相似多邊形對(duì)應(yīng)邊之比、周長(zhǎng)之比等于相似比，而面積之比等于相似比的平方．5．（2004?溫州）如圖，點(diǎn)B在圓錐母線VA上，且VB=VA．過(guò)點(diǎn)B作平行于底面的平面截得一個(gè)小圓錐，若小圓錐的側(cè)面積為S1，原圓錐的側(cè)面積為S，則下列判斷中正確的是（）A．S1=S B．S1=S C．S1=S D．S1=S【考點(diǎn)】相似多邊形的性質(zhì)；圓錐的計(jì)算．【分析】可知，相似多邊形的相似比等于對(duì)應(yīng)邊的比，面積的比等于相似比的平方．【解答】解：兩個(gè)圓錐的展開(kāi)圖都是扇形，這兩個(gè)扇形一定相似，面積的比等于半徑的比的平方，半徑的比是VB：VA=，因而面積的比是1：9，因而S1=S．故選D．【點(diǎn)評(píng)】圓心角相等的扇形是相似圖形，相似比就是半徑的比，面積的比等于相似比的平方．6．（2015?杭州模擬）我國(guó)國(guó)土面積約為960萬(wàn)平方千米，畫在比例尺為1：1000萬(wàn)的地圖上的面積約是（）A．960平方千米 B．960平方米 C．960平方分米 D．960平方厘米【考點(diǎn)】相似多邊形的性質(zhì)．【分析】相似多邊形的面積比等于相似比的平方，據(jù)此求解，注意統(tǒng)一單位．【解答】解：960萬(wàn)平方千米=9.6×1016平方厘米，設(shè)畫在地圖上的面積約為x平方厘米，則x：9.6×1016=（1：1000萬(wàn)）2，解得x=960．則畫在地圖上的面積約為960平方厘米．故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似多邊形的性質(zhì)．相似多邊形對(duì)應(yīng)邊之比、周長(zhǎng)之比等于相似比，而面積之比等于相似比的平方．7．在一張比例尺為1：50000的地圖上，一塊多邊形地區(qū)的面積是320cm2，這個(gè)地區(qū)的實(shí)際面積是（）A．8×107m2 B．8×108m2 C．8×1010m2 D．8×1011m2【考點(diǎn)】相似多邊形的性質(zhì)．【分析】相似多邊形的面積之比等于相似比的平方，據(jù)此求解，注意單位．【解答】解：設(shè)這個(gè)地區(qū)的實(shí)際面積是xcm2，由題意得，320：x=（1：50000）2，解得，x=8×1011，8×1011cm2=8×107m2，故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似多邊形的性質(zhì)．相似多邊形對(duì)應(yīng)邊之比、周長(zhǎng)之比等于相似比，而面積之比等于相似比的平方．8．（2014?佛山）若兩個(gè)相似多邊形的面積之比為1：4，則它們的周長(zhǎng)之比為（）A．1：4 B．1：2 C．2：1 D．4：1【考點(diǎn)】相似多邊形的性質(zhì)．【分析】根據(jù)相似多邊形的面積之比等于相似比的平方，周長(zhǎng)之比等于相似比，就可求解．【解答】解：∵兩個(gè)相似多邊形面積比為1：4，∴周長(zhǎng)之比為=1：2．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似多邊形的性質(zhì)．相似多邊形對(duì)應(yīng)邊之比、周長(zhǎng)之比等于相似比，而面積之比等于相似比的平方．9．（2012?東營(yíng)）如圖，在直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，邊OA在x軸上，OC在y軸上，如果矩形OA′B′C′與矩形OABC關(guān)于點(diǎn)O位似，且矩形OA′B′C′的面積等于矩形OABC面積的，那么點(diǎn)B′的坐標(biāo)是（）A．（﹣2，3） B．（2，﹣3） C．（3，﹣2）或（﹣2，3） D．（﹣2，3）或（2，﹣3）【考點(diǎn)】相似多邊形的性質(zhì)；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．【分析】由矩形OA′B′C′與矩形OABC關(guān)于點(diǎn)O位似，且矩形OA′B′C′的面積等于矩形OABC面積的，利用相似三角形的面積比等于相似比的平方，即可求得矩形OA′B′C′與矩形OABC的位似比為1：2，又由點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣4，6），即可求得答案．【解答】解：∵矩形OA′B′C′與矩形OABC關(guān)于點(diǎn)O位似，∴矩形OA′B′C′∽矩形OABC，∵矩形OA′B′C′的面積等于矩形OABC面積的，∴位似比為：1：2，∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣4，6），∴點(diǎn)B′的坐標(biāo)是：（﹣2，3）或（2，﹣3）．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了位似圖形的性質(zhì)．此題難度不大，注意位似圖形是特殊的相似圖形，注意掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方定理的應(yīng)用，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．10．（2012?濰坊）已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一點(diǎn)E，沿AE將△ABE向上折疊，使B點(diǎn)落在AD上的F點(diǎn)，若四邊形EFDC與矩形ABCD相似，則AD=（）A． B． C． D．2【考點(diǎn)】相似多邊形的性質(zhì)；翻折變換（折疊問(wèn)題）．【分析】可設(shè)AD=x，根據(jù)四邊形EFDC與矩形ABCD相似，可得比例式，求解即可．【解答】解：∵沿AE將△ABE向上折疊，使B點(diǎn)落在AD上的F點(diǎn)，∴四邊形ABEF是正方形，∵AB=1，設(shè)AD=x，則FD=x﹣1，F(xiàn)E=1，∵四邊形EFDC與矩形ABCD相似，∴=，=，解得x1=，x2=（負(fù)值舍去），經(jīng)檢驗(yàn)x1=是原方程的解．故選B．【點(diǎn)評(píng)】考查了翻折變換（折疊問(wèn)題），相似多邊形的性質(zhì)，本題的關(guān)鍵是根據(jù)四邊形EFDC與矩形ABCD相似得到比例式．二．填空題（共16小題）11．（2015?葫蘆島）如圖，在矩形ABCD中，AD=2，CD=1，連接AC，以對(duì)角線AC為邊，按逆時(shí)針?lè)较蜃骶匦蜛BCD的相似矩形AB1C1C，再連接AC1，以對(duì)角線AC1為邊作矩形AB1C1C的相似矩形AB2C2C1，…，按此規(guī)律繼續(xù)下去，則矩形ABnCnCn﹣1的面積為．【考點(diǎn)】相似多邊形的性質(zhì)．【分析】根據(jù)已知和矩形的性質(zhì)可分別求得AC，AC1，AC2的長(zhǎng)，從而可發(fā)現(xiàn)規(guī)律，根據(jù)規(guī)律即可求得第n個(gè)矩形的面積．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD⊥DC，∴AC===，∵按逆時(shí)針?lè)较蜃骶匦蜛BCD的相似矩形AB1C1C，∴矩形AB1C1C的邊長(zhǎng)和矩形ABCD的邊長(zhǎng)的比為：2∴矩形AB1C1C的面積和矩形ABCD的面積的比5：4，∵矩形ABCD的面積=2×1=2，∴矩形AB1C1C的面積=，依此類推，矩形AB2C2C1的面積和矩形AB1C1C的面積的比5：4∴矩形AB2C2C1的面積=∴矩形AB3C3C2的面積=，按此規(guī)律第n個(gè)矩形的面積為：故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，相似多邊形的性質(zhì)，解此題的關(guān)鍵是能根據(jù)求出的結(jié)果得出規(guī)律．12．（2014?紹興）把標(biāo)準(zhǔn)紙一次又一次對(duì)開(kāi)，可以得到均相似的“開(kāi)紙”．現(xiàn)在我們?cè)陂L(zhǎng)為2、寬為1的矩形紙片中，畫兩個(gè)小矩形，使這兩個(gè)小矩形的每條邊都與原矩形紙的邊平行，或小矩形的邊在原矩形的邊上，且每個(gè)小矩形均與原矩形紙相似，然后將它們剪下，則所剪得的兩個(gè)小矩形紙片周長(zhǎng)之和的最大值是4+．【考點(diǎn)】相似多邊形的性質(zhì)．【分析】根據(jù)相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比相等的性質(zhì)分別求出所剪得的兩個(gè)小矩形紙片的長(zhǎng)與寬，進(jìn)而求解即可．【解答】解：∵在長(zhǎng)為2、寬為1的矩形紙片中，畫兩個(gè)小矩形，使這兩個(gè)小矩形的每條邊都與原矩形紙的邊平行，或小矩形的邊在原矩形的邊上，且每個(gè)小矩形均與原矩形紙相似，∴要使所剪得的兩個(gè)小矩形紙片周長(zhǎng)之和最大，則這兩個(gè)小矩形紙片長(zhǎng)與寬的和最大．∵矩形的長(zhǎng)與寬之比為2：1，∴剪得的兩個(gè)小矩形中，一個(gè)矩形的長(zhǎng)為1，寬為=，∴另外一個(gè)矩形的長(zhǎng)為2﹣=，寬為=，∴所剪得的兩個(gè)小矩形紙片周長(zhǎng)之和的最大值是2（1+++）=4+．故答案為：4+．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似多邊形的性質(zhì)，分別求出所剪得的兩個(gè)小矩形紙片的長(zhǎng)與寬是解題的關(guān)鍵．13．（2014?甘肅模擬）如圖，在長(zhǎng)8cm，寬4cm的矩形中截去一個(gè)矩形（陰影部分）使留下的矩形與原矩形相似，那么留下的矩形的面積為8cm2．【考點(diǎn)】相似多邊形的性質(zhì)．【分析】本題需先設(shè)留下的矩形的寬為x，再根據(jù)留下的矩形與矩形相似，列出方程即可求出留下的矩形的面積．【解答】解：設(shè)留下的矩形的寬為x，∵留下的矩形與原矩形相似，∴，x=2，∴留下的矩形的面積為：2×4=8（cm2）故答案為：8．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了相似多邊形的性質(zhì)，在解題時(shí)要能根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)列出方程是本題的關(guān)鍵．14．（2013?棗莊）已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一點(diǎn)E，將△ABE沿AE向上折疊，使B點(diǎn)落在AD上的F點(diǎn)．若四邊形EFDC與矩形ABCD相似，則AD=．【考點(diǎn)】相似多邊形的性質(zhì)；翻折變換（折疊問(wèn)題）．【分析】可設(shè)AD=x，由四邊形EFDC與矩形ABCD相似，根據(jù)相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比相等列出比例式，求解即可．【解答】解：∵AB=1，設(shè)AD=x，則FD=x﹣1，F(xiàn)E=1，∵四邊形EFDC與矩形ABCD相似，∴=，=，解得x1=，x2=（不合題意舍去），經(jīng)檢驗(yàn)x1=是原方程的解．故答案為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了翻折變換（折疊問(wèn)題），相似多邊形的性質(zhì)，本題的關(guān)鍵是根據(jù)四邊形EFDC與矩形ABCD相似得到比例式．15．（2013?拱墅區(qū)一模）在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD的位置如圖所示，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，2）．延長(zhǎng)CB交x軸于點(diǎn)A1，作正方形A1B1C1C；延長(zhǎng)C1B1交x軸于點(diǎn)A2，作正方形A2B2C2C1…按這樣的規(guī)律進(jìn)行下去，第2011個(gè)正方形的面積為5（）4020．【考點(diǎn)】相似多邊形的性質(zhì)；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)．【分析】先利用ASA證明△AOD和△A1BA相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例可以得到AB=2A1B，所以正方形A1B1C1C的邊長(zhǎng)等于正方形ABCD邊長(zhǎng)的，以此類推，后一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是前一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)的，然后即可求出第2011個(gè)正方形的邊長(zhǎng)與第1個(gè)正方形的邊長(zhǎng)的關(guān)系，從而求出第2011個(gè)正方形的面積．【解答】解：如圖，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠BAD=90°，AB=BC，∴∠ABA1=90°，∠DAO+∠BAA1=180°﹣90°=90°，又∵∠AOD=90°，∴∠ADO+∠DAO=90°，∴∠ADO=∠BAA1，在△AOD和A1BA中，，∴△AOD∽△A1BA，∴==2，∴BC=2A1B，∴A1C=BC，以此類推A2C1=A1C，A3C2=A2C1，即后一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是前一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)的倍，∴第2011個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為（）2010BC，∵A的坐標(biāo)為（1，0），D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），∴BC=AD==，∴第2011個(gè)正方形的面積為[（）2010BC]2=5（）4020．故答案為：5（）4020．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與正方形的性質(zhì)，根據(jù)規(guī)律推出第2011個(gè)正方形的邊長(zhǎng)與第1個(gè)正方形的邊長(zhǎng)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，也是難點(diǎn)，本題綜合性較強(qiáng)．16．（2013?武威校級(jí)模擬）已知兩個(gè)相似的菱形的相似比為2：3，面積之差為5cm2，則這兩個(gè)菱形的面積分別是4cm2，9cm2．【考點(diǎn)】相似多邊形的性質(zhì)．【分析】分別設(shè)兩個(gè)菱形的面積為xcm2、（x+5）cm2，然后根據(jù)相似多邊形的面積的比等于相似比的平方列式求解即可．【解答】解：設(shè)兩個(gè)菱形的面積為xcm2、（x+5）cm2，∵兩個(gè)相似的菱形的相似比為2：3，∴=（）2，解得x=4，x+5=9，∴這兩個(gè)菱形的面積分別是4cm2，9cm2．故答案為：4cm2，9cm2．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了相似多邊形的面積的比等于相似比的平方，熟練掌握性質(zhì)并列出比例式是求解的關(guān)鍵．17．（2011?齊齊哈爾）如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形．取BC邊中點(diǎn)E，作ED∥AB，EF∥AC，得到四邊形EDAF，它的面積記作S1；取BE中點(diǎn)E1，作E1D1∥FB，E1F1∥EF，得到四邊形E1D1FF1，它的面積記作S2．照此規(guī)律作下去，則S2011=?（表示為?亦可）．【考點(diǎn)】相似多邊形的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；三角形中位線定理．【分析】先根據(jù)△ABC是等邊三角形可求出△ABC的高，再根據(jù)三角形中位線定理可求出S1的值，進(jìn)而可得出S2的值，找出規(guī)律即可得出S2011的值．【解答】解：∵△ABC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，∴△ABC的高=AB?sin∠A=1×=，∵DE、EF是△ABC的中位線，∴AF=，∴S1=××=；同理可得，S2=×；…∴Sn=（）n﹣1；∴S2011=?（表示為?亦可）．故答案為：S2011=?（表示為?亦可）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是相似多邊形的性質(zhì)，涉及到等邊三角形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的定義、特殊角的三角函數(shù)值及三角形中位線定理，熟知以上知識(shí)是解答此題的關(guān)鍵．18．（2011?青島）如圖，以邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD的邊AB為對(duì)角線作第二個(gè)正方形AEBO1，再以BE為對(duì)角線作第三個(gè)正方形EFBO2，如此作下去，…，則所作的第n個(gè)正方形的面積Sn=．【考點(diǎn)】相似多邊形的性質(zhì)；正方形的性質(zhì)．【分析】由正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，根據(jù)正方形的性質(zhì)，即可求得AO1，EO2的值，則可求得S2，S3，S4的值，即可求得規(guī)律所作的第n個(gè)正方形的面積Sn=．【解答】解：∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，∴AB=1，AC=，∴AE=AO1=，則：AO2=AB=，∴S2=，S3=，S4=，∴作的第n個(gè)正方形的面積Sn=．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了正方形的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是找到規(guī)律：所作的第n個(gè)正方形的面積Sn=．19．（2011?汕頭）如圖（1），將一個(gè)正六邊形各邊延長(zhǎng)，構(gòu)成一個(gè)正六角星形AFBDCE，它的面積為1，取△ABC和△DEF各邊中點(diǎn)，連接成正六角星形A1F1B1D1C1E1，如圖（2）中陰影部分；取△A1B1C1和△1D1E1F1各邊中點(diǎn)，連接成正六角星形A2F2B2D2C2E2F2，如圖（3）中陰影部分；如此下去…，則正六角星形AnFnBnDnCnEnFn的面積為．【考點(diǎn)】相似多邊形的性質(zhì)；三角形中位線定理．【分析】先分別求出第一個(gè)正六角星形AFBDCE與第二個(gè)邊長(zhǎng)之比，再根據(jù)相似多邊形面積的比等于相似比的平方，找出規(guī)律即可解答．【解答】解：∵A1、F1、B1、D1、C1、E1分別是△ABC和△DEF各邊中點(diǎn)，∴正六角星形AFBDCE∽正六角星形A1F1B1D1C1E1且相似比為2：1，∵正六角星形AFBDCE的面積為1，∴正六角星形A1F1B1D1C1E1的面積為，同理可得，第二個(gè)六角形的面積為：=，第三個(gè)六角形的面積為：=，第n個(gè)六角形的面積為：．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是相似多邊形的性質(zhì)及三角形中位線定理，解答此題的關(guān)鍵是熟知相似多邊形面積的比等于相似比的平方．20．（2010?長(zhǎng)沙模擬）如圖，依次連接一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形各邊的中點(diǎn)，得到第二個(gè)正方形，再依次連接第二個(gè)正方形各邊的中點(diǎn)，得到第三個(gè)正方形，按此方法繼續(xù)下去，則第n個(gè)正方形的面積是．【考點(diǎn)】相似多邊形的性質(zhì)；三角形中位線定理；正方形的性質(zhì)．【分析】觀察可得，后一個(gè)正方形的對(duì)角線是前一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)，根據(jù)正方形的面積等于邊長(zhǎng)的平方，也可以利用對(duì)角線乘積的一半求解，所以后一個(gè)正方形的面積等于前一個(gè)正方形的面積的一半，依此類推即可求解．【解答】解：第1個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是1，所以面積是1，第2個(gè)正方形的對(duì)角線是第一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)，是1，所以面積是×1×1=，第3個(gè)正方形的對(duì)角線是第2個(gè)正方形的邊長(zhǎng)，所以面積是×=，依此類推，后一個(gè)正方形的面積是前一個(gè)正方形的面積的一半，∴第n個(gè)正方形的面積是．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題是對(duì)圖形變化規(guī)律的考查，根據(jù)正方形的面積等于邊長(zhǎng)的平方，或者是對(duì)角線乘積的一半得出后一個(gè)正方形的面積等于前一個(gè)正方形的面積的一半是解題的關(guān)鍵，也是解答本題的難點(diǎn)．21．（2009?如皋市模擬）如圖，梯形ABCD中，∠A=∠B=90°，且AD=AB，∠C=45°．將它分割成4個(gè)大小一樣，都與原梯形相似的梯形．（在圖形中直接畫分割線，不需要說(shuō)明）【考點(diǎn)】相似多邊形的性質(zhì)；直角梯形；梯形中位線定理．【分析】設(shè)直角梯形ABCD，∠B=90°，上底AD=a，下底BC=2a，高AB=a，作該梯形中位線，分別交AB、CD于E、F，過(guò)BC中點(diǎn)M作垂線，交中位線EF于H，過(guò)AD中點(diǎn)N，作垂線，交中位線EF于G，直角梯形：GNAB、DNGF、GHMB、FHMC就是所求的四個(gè)小直角梯形．【解答】解：故答案為：如圖【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查對(duì)直角梯形，梯形的中位線定理，相似多邊形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能靈活運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行畫圖是解此題的關(guān)鍵，此題題型較好，但有一點(diǎn)難度．22．（1999?安徽）一個(gè)多邊形的邊長(zhǎng)依次為1，2，3，4，5，6，與它相似的另一個(gè)多邊形的最大邊長(zhǎng)為8，那么另一個(gè)多邊形的周長(zhǎng)是28．【考點(diǎn)】相似多邊形的性質(zhì)．【分析】根據(jù)相似多邊形的周長(zhǎng)比等于相似比作答．【解答】解：設(shè)另一個(gè)多邊形的周長(zhǎng)是x．依題意，有x：（1+2+3+4+5+6）=8：6，解得x=28．故另一個(gè)多邊形的周長(zhǎng)是28．【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似多邊形的性質(zhì)．相似多邊形對(duì)應(yīng)邊之比、周長(zhǎng)之比等于相似比，而面積之比等于相似比的平方．23．（2014?大港區(qū)一模）在1×3的矩形內(nèi)不重疊地放兩個(gè)與大矩形相似的小矩形，且每個(gè)小矩形的每條邊與大矩形的一條邊平行．（Ⅰ）如圖①放置時(shí)，兩個(gè)小矩形周長(zhǎng)和（兩個(gè)小矩形重疊的邊要重復(fù)計(jì)算）為．（Ⅱ）怎樣放置才能使兩個(gè)小矩形周長(zhǎng)和最大？在圖②中畫出圖形，其最大值為．【考點(diǎn)】相似多邊形的性質(zhì)；矩形的性質(zhì)．【分析】（Ⅰ）根據(jù)相似多邊形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出小矩形的寬，然后根據(jù)周長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算即可得解；（Ⅱ）根據(jù)放置方式的不同，分①兩個(gè)小矩形都“豎放”時(shí)，與（Ⅰ）相同，②兩個(gè)小矩形都“橫放”，再分都橫向放置，一上一下放置兩種情況，先表示出一個(gè)矩形的長(zhǎng)與寬，再根據(jù)大矩形是1×3的規(guī)格表示出另一個(gè)矩形的長(zhǎng)與寬，然后根據(jù)矩形的周長(zhǎng)公式列式整理，即可得解；③兩個(gè)小矩形一個(gè)“橫放”，一個(gè)“豎放”，先表示出一個(gè)矩形的長(zhǎng)與寬，再表示出另一個(gè)矩形的長(zhǎng)與寬，然后根據(jù)矩形的周長(zhǎng)公式列式整理，然后根據(jù)大矩形是1×3的規(guī)格求出a的取值范圍，再根據(jù)一次函數(shù)的增減性解答．【解答】解：（Ⅰ）設(shè)小矩形的寬為x，∵小矩形與大矩形相似，∴=，解得x=，所以，兩個(gè)小矩形周長(zhǎng)和=2×2（1+）=；（Ⅱ）兩個(gè)矩形的放置方式情況有如下幾種：①兩個(gè)小矩形都“豎放”，在這種放法下，周長(zhǎng)和最大的兩個(gè)小矩形邊長(zhǎng)分別為1和，周長(zhǎng)和的最大值為；②兩個(gè)小矩形都“橫放”，這時(shí)兩個(gè)小矩形的周長(zhǎng)和的最大值為：2（a+3a）+2[1﹣a+3（1﹣a）]=8a+2（1﹣a+3﹣3a）=8a+8﹣8a=8；③兩個(gè)小矩形一個(gè)“橫放”，一個(gè)“豎放”，這時(shí)兩個(gè)小矩形的周長(zhǎng)和為：2（a+3a）+2（3﹣a+）=8a+6﹣2a+2﹣a=8+，因?yàn)?＜3a≤1，即0＜a≤，故當(dāng)a=時(shí)，此時(shí)兩個(gè)小矩形的周長(zhǎng)和最大為8+=．故答案為：；．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似多邊形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，主要利用了相似多邊形對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，（2）要根據(jù)放置方式的不同進(jìn)行討論求解．24．（2011?東莞）如圖（1），將一個(gè)正六邊形各邊延長(zhǎng)，構(gòu)成一個(gè)正六角星形AFBDCE，它的面積為1，取△ABC和△DEF各邊中點(diǎn)，連接成正六角星形A1F1B1D1C1E1，如圖（2）中陰影部分，取△A1B1C1和△D1E1F1各邊中點(diǎn)，連接成正六角星形A2F2B2D2C2E2，如圖（3）中陰影部分，如此下去…，則正六角星形A4F4B4D4C4E4的面積為．【考點(diǎn)】相似多邊形的性質(zhì)；三角形中位線定理．【分析】先分別求出第一個(gè)正六角星形AFBDCE與第二個(gè)邊長(zhǎng)之比，再根據(jù)相似多邊形面積的比等于相似比的平方，找出規(guī)律即可解答．【解答】解：∵A1、F1、B1、D1、C1、E1分別是△ABC和△DEF各邊中點(diǎn)，∴正六角星形AFBDCE∽正六角星形A1F1B1D1C1E1，且相似比為2：1，∵正六角星形AFBDCE的面積為1，∴正六角星形A1F1B1D1C1E1的面積為，同理可得，第三個(gè)六角形的面積為：=，第四個(gè)六角形的面積為：××=，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是相似多邊形的性質(zhì)及三角形中位線定理，解答此題的關(guān)鍵是熟知相似多邊形面積的比等于相似比的平方．25．（2012?金堂縣一模）如圖，如果以正方形ABCD的對(duì)角線AC為邊作第二個(gè)正方形ACEF，再以對(duì)角線AE為邊作第三個(gè)正方形AEGH，如此下去…，已知正方形ABCD的面積S1為1，按上述方法所作的正方形的面積依次為s2，s3，…，sn（n為正整數(shù)），那么第9個(gè)正方形的面積S9=256．【考點(diǎn)】相似多邊形的性質(zhì)；正方形的性質(zhì)．【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)可知，當(dāng)面積為1時(shí)，邊長(zhǎng)為1，對(duì)角線長(zhǎng)為，以為邊的對(duì)角線長(zhǎng)為2，依次可推出第4個(gè)正方形邊長(zhǎng)2，第5個(gè)邊長(zhǎng)為4，第6個(gè)邊長(zhǎng)為4，第7邊長(zhǎng)個(gè)為8，第8邊長(zhǎng)個(gè)為8，知道邊長(zhǎng)可求出面積．【解答】解：以正方形的對(duì)角線為邊長(zhǎng)就是在原來(lái)邊長(zhǎng)的基礎(chǔ)上都乘以就是下一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)．因?yàn)榈谝粋€(gè)邊長(zhǎng)為1，所以第9個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為16，S9=16×16=256．故答案為：256．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是相似多邊形的性質(zhì)及正方形的性質(zhì)，要求學(xué)生能夠根據(jù)勾股定理得到前后正方形的邊長(zhǎng)之間的關(guān)系，進(jìn)一步得到面積之間的關(guān)系，從而找到規(guī)律．26．相似多邊形對(duì)應(yīng)邊之比叫做相似比，兩個(gè)相似多邊形的最長(zhǎng)邊分別為10cm和20cm，其中一個(gè)多邊形的最短邊為5cm，則另一個(gè)多邊形的最短邊為2.5cm或10cm．【考點(diǎn)】相似多邊形的性質(zhì)．【分析】根據(jù)相似多邊形的對(duì)應(yīng)邊對(duì)應(yīng)成比例，列式求解．注意“其中一個(gè)多邊形的最短邊為5cm”，不確定是較大的多邊形的短邊，還是較小的多邊形的短邊，分別考慮．【解答】解：相似多邊形對(duì)應(yīng)邊之比叫做相似比，設(shè)最短邊為x，由題意得，10：20=5：x，或10：20=x：5，∴x=10或2.5．故答案為：相似比，2.5cm或10cm．【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似多邊形的性質(zhì)：相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊對(duì)應(yīng)成比例．三．解答題（共4小題）27．（2012?南京）下框中是小明對(duì)一道題目的解答以及老師的批改．題目：某村計(jì)劃建造如圖所示的矩形蔬菜溫室，要求長(zhǎng)與寬的比為2：1，在溫室內(nèi)，沿前側(cè)內(nèi)墻保留3m的空地，其他三側(cè)內(nèi)墻各保留1m的通道，當(dāng)溫室的長(zhǎng)與寬各為多少時(shí)，矩形蔬菜種植區(qū)域的面積是288m2？解：設(shè)矩形蔬菜種植區(qū)域的寬為xm，則長(zhǎng)為2xm，根據(jù)題意，得x?2x=288．解這個(gè)方程，得x1=﹣12（不合題意，舍去），x2=12所以溫室的長(zhǎng)為2×12+3+1=28（m），寬為12+1+1=14（m）答：當(dāng)溫室的長(zhǎng)為28m，寬為14m時(shí)，矩形蔬菜種植區(qū)域的面積是288m2．我的結(jié)果也正確！小明發(fā)現(xiàn)他解答的結(jié)果是正確的，但是老師卻在他的解答中畫了一條橫線，并打了一個(gè)？．結(jié)果為何正確呢？（1）請(qǐng)指出小明解答中存在的問(wèn)題，并補(bǔ)充缺少的過(guò)程：變化一下會(huì)怎樣…（2）如圖，矩形A′B′C′D′在矩形ABCD的內(nèi)部，AB∥A′B′，AD∥A′D′，且AD：AB=2：1，設(shè)AB與A′B′、BC與B′C′、CD與C′D′、DA與D′A′之間的距離分別為a、b、c、d，要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，a、b、c、d應(yīng)滿足什么條件？請(qǐng)說(shuō)明理由．【考點(diǎn)】相似多邊形的性質(zhì)；一元二次方程的應(yīng)用．【分析】（1）根據(jù)題意可得小明沒(méi)有說(shuō)明矩形蔬菜種植區(qū)域的長(zhǎng)與寬之比為2：1的理由，所以應(yīng)設(shè)矩形蔬菜種植區(qū)域的寬為xm，則長(zhǎng)為2xm，然后由題意得，矩形蔬菜種植區(qū)域的長(zhǎng)與寬之比為2：1，再利用小明的解法求解即可；（2）由使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，利用相似多邊形的性質(zhì)，可得，即，然后利用比例的性質(zhì)，即可求得答案．【解答】解：（1）小明沒(méi)有說(shuō)明矩形蔬菜種植區(qū)域的長(zhǎng)與寬之比為2：1的理由．在“設(shè)矩形蔬菜種植區(qū)域的寬為xm，則長(zhǎng)為2xm．”前補(bǔ)充以下過(guò)程：設(shè)溫室的寬為xm，則長(zhǎng)為2xm．則矩形蔬菜種植區(qū)域的寬為（x﹣1﹣1）m，長(zhǎng)為（2x﹣3﹣1）m．∵，∴矩形蔬菜種植區(qū)域的長(zhǎng)與寬之比為2：1；（2）要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，就要，即，即，即2AB﹣2（b+d）=2AB﹣（a+c），∴a+c=2（b+d），即．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了相似多邊形的性質(zhì)．此題屬于閱讀性題目，注意理解題意，讀懂題目是解此題的關(guān)鍵．28．（2006?臺(tái)州）善于學(xué)習(xí)的小敏查資料知道：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)梯形，叫做相似梯形．他想到“平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似”，提出如下兩個(gè)問(wèn)題，你能幫助解決嗎？問(wèn)題一：平行于梯形底邊的直線截兩腰所得的小梯形和原梯形是否相似？（1）從特殊情形入手探究．假設(shè)梯形ABCD中，AD∥BC，AB=6，BC=8，CD=4，AD=2，MN是中位線（如圖①）．根據(jù)相似梯形的定義，請(qǐng)你說(shuō)明梯形AMND與梯形ABCD是否相似；（2）一般結(jié)論：平行于梯形底邊的直線截兩腰所得的梯形與原梯形不相似；（填“相似”或“不相似”或“相似性無(wú)法確定”．不要求證明）問(wèn)題二：平行于梯形底邊的直線截兩腰所得的兩個(gè)小梯形是否相似？（1）從特殊平行線入手探究．梯形的中位線截兩腰所得的兩個(gè)小梯形不相似；（填“相似”或“不相似”或“相似性無(wú)法確定”．不要求證明）（2）從特殊梯形入手探究．同上假設(shè)，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=6，BC=8，CD=4，AD=2，你能找到與梯形底邊平行的直線PQ（點(diǎn)P，Q在梯形的兩腰上，如圖②），使得梯形APQD與梯形PBCQ相似嗎？請(qǐng)根據(jù)相似梯形的定義說(shuō)明理由；（3）一般結(jié)論：對(duì)于任意梯形（如圖③），一定存在（填“存在”或“不存在”）平行于梯形底邊的直線PQ，使截得的兩個(gè)小梯形相似．若存在，則確定這條平行線位置的條件是=．（不妨設(shè)AD=a，BC=b，AB=c，CD=d．不要求證明）【考點(diǎn)】相似多邊形的性質(zhì)．【分析】?jī)蓚€(gè)梯形相似，因而兩個(gè)梯形的對(duì)應(yīng)腰的相等，對(duì)應(yīng)底的比相等；這個(gè)圖形中判定相似要同時(shí)滿足這幾個(gè)條件．反之，若相似則兩個(gè)梯形的對(duì)應(yīng)腰的相等，對(duì)應(yīng)底的比相等．【解答】解：?jiǎn)栴}一：（1）兩個(gè)梯形的腰相等，即腰的比是1：2，而上底的比是1：1，因而這兩個(gè)梯形一定不相似；（2）不相似．問(wèn)題二：（1）不相似；（2）梯形APQD與梯形PBCQ相似，∴=，即=解得：PQ=4．∵===．又∵AP+PB=6，∴AP=2（3）如果梯形APQD∽梯形PBCQ，則，，∵AD=a，BC=b，∴PQ==，∴==．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了多邊形相似的性質(zhì)，對(duì)應(yīng)邊的比相等，反之，相似圖形的判定方法是對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等．29．如圖，?ABCD∽?CEFG，，且，P為AF的中點(diǎn)，探究線段DP、EP的數(shù)量關(guān)系．【考點(diǎn)】相似多邊形的性質(zhì)；三角形中位線定理；平行四邊形的性質(zhì)；平行四邊形的判定；相似三角形的判定與性質(zhì)．【分析】此題需要從相似多邊形和相似三角形的角度入手求解；首先連接AC、BD，EG、CF，設(shè)AC、BD的交點(diǎn)為M，EG、CF的交點(diǎn)為N，連接MP、NP；根據(jù)平行四邊形的對(duì)角線互相平分得：MP、NP是△ACF的兩條中位線，那么四邊形MPNC是平行四邊形，然后通過(guò)證△DPM∽△PEN來(lái)求得DP、EP的數(shù)量關(guān)系．【解答】解：如圖，連接AC、BD交于點(diǎn)M，連接EG、CF交于點(diǎn)N；連接MP、PN，則MP、PN是△ACF的中位線；故PN∥MC、MP∥CN，且PN=AC、MP=CF；∴四邊形MPCN是平行四邊形，∴∠PMC=∠CNP，由于?ABCD∽?CEFG，得∠AMD=∠ENF，則∠DMP=∠ENP；又∵，，∴，∴△DMP∽△PNE，得：，即PE=kPD；故DP、PE的數(shù)量關(guān)系為：PE=kPD．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查的是相似三角形和相似多邊形的應(yīng)用，還涉及到平行四邊形的判定和性質(zhì)、三角形中位線定理等知識(shí)，難度較大．30．（2008?天河區(qū)一模）已知矩形ABCD中，AD=3，AB=1．（1）若EF把矩形分成兩個(gè)小的矩形，如圖所示，其中矩形ABEF與矩形ABCD相似．求AF：AD的值；（2）若在矩形ABCD內(nèi)不重疊地放兩個(gè)長(zhǎng)是寬的3倍的小長(zhǎng)方形，且每個(gè)小長(zhǎng)方形的每條邊與矩形ABCD的邊平行，求這兩個(gè)小長(zhǎng)方形周長(zhǎng)和的最大值．【考點(diǎn)】相似多邊形的性質(zhì)．【分析】（1）設(shè)AF=x，再根據(jù)矩形ABEF與矩形ABCD相似即可求出x的值，進(jìn)而得出AF：AD的值；（2）由于小矩形放置的位置不確定，故應(yīng)分三種情況討論：①兩個(gè)小矩形都“豎放”；②兩個(gè)小矩形都“橫放”；③兩個(gè)小矩形一個(gè)“橫放”，一個(gè)“豎放”．【解答】解：（1）設(shè)AF=x，∵矩形ABEF與矩形ABCD相似，AD=3，AB=1，∴=，即=，解得x=，∴AF：AD=：3=1：9；（2）解：兩個(gè)小矩形的放置情況有如下幾種：①兩個(gè)小矩形都“豎放”，如圖（一），在這種放法下，周長(zhǎng)和最大的兩個(gè)小矩形，邊長(zhǎng)分別為1和，故此時(shí)周長(zhǎng)和的最大值為．②兩個(gè)小矩形都“橫放”，如圖（二）及圖（三）所示，這時(shí)兩個(gè)小矩形的周長(zhǎng)和的最大值是2（a+3a）+2[1﹣a+3（1﹣a）]=8．③兩個(gè)小矩形一個(gè)“橫放”，一個(gè)“豎放”，如圖（四），這時(shí)兩個(gè)小矩形的周長(zhǎng)和為2（a+3a）+2（3﹣a+）=8+，因?yàn)?＜3a≤1，即0＜a≤，故當(dāng)a=時(shí)，此時(shí)兩個(gè)小矩形的周長(zhǎng)和最大為，綜上三種情形，知所求的最大值為．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是相似多邊形的性質(zhì)，即相似多邊形的對(duì)應(yīng)邊成比例，解答此題時(shí)要注意分類討論．1．（2013?銅仁市模擬）圖中，有三個(gè)矩形，其中相似的是（）A．甲和乙 B．甲和丙C．乙和丙 D．沒(méi)有相似的矩形【考點(diǎn)】相似多邊形的性質(zhì)．【專題】常規(guī)題型；壓軸題．【分析】如果兩個(gè)邊數(shù)相同的多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例，這兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形，據(jù)此作答．【解答】解：三個(gè)矩形的角都是直角，甲、乙、丙相鄰兩邊的比分別為2：3，1.5：2.5=3：5，1：1.5=2：3，∴甲和丙相似，故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查相似多邊形的概念，一定要考慮對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例．2．（2011?臺(tái)灣）如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，E、F兩點(diǎn)分別在AB、DC上．若AE=4，EB=6，DF=2，F(xiàn)C=3，且梯形AEFD與梯形EBCF相似，則AD與BC的長(zhǎng)度比為何？（）A．1：2 B．2：3 C．2：5 D．4：9【考點(diǎn)】相似多邊形的性質(zhì)．【專題】壓軸題．【分析】根據(jù)兩個(gè)梯形相似，則對(duì)應(yīng)邊的比相等，即可求解．【解答】解：∵梯形AEFD∽梯形EBCF，且DF：FC=2：3∴AD：EF=EF：BC=2：3∴AD=EF，BC=EF，∴AD：EF：BC=：1：=4：6：9，∴AD：BC=4：9．故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了相似多邊形的性質(zhì)，正確理解性質(zhì)是關(guān)鍵．3．（2010?南平）下列說(shuō)法中，錯(cuò)誤的是（）A．等邊三角形都相似 B．等腰直角三角形都相似C．矩形都相似 D．正方形都相似【考點(diǎn)】相似多邊形的性質(zhì)．【專題】壓軸題．【分析】根據(jù)相似三角形的判定及相似多邊形的定義作答．【解答】解：A、由于等邊三角形的每個(gè)角都等于60°，根據(jù)有兩角對(duì)應(yīng)相等的兩三角形相似，知等邊三角形都相似正確，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、由于任意一個(gè)等腰直角三角形的三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是45°，45°，90°，根據(jù)有兩角對(duì)應(yīng)相等的兩三角形相似，知等腰直角三角形都相似正確，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、由于矩形對(duì)應(yīng)邊的比不一定相等，根據(jù)相似多邊形的定義知矩形都相似，不正確，故選項(xiàng)正確；D、由于正方形的每個(gè)角都相等，每條邊也相等，根據(jù)相似多邊形的定義知正方形都相似正確，故選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選C．【點(diǎn)評(píng)】有兩角對(duì)應(yīng)相等的兩三角形相似．如果兩個(gè)多邊形滿足對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等，那么這兩個(gè)多邊形相似．4．（2010?濰坊）如圖所示，一般書本的紙張是在原紙張多次對(duì)開(kāi)得到．矩形ABCD沿EF對(duì)開(kāi)后，再把矩形EFCD沿MN對(duì)開(kāi)，依此類推．若各種開(kāi)本的矩形都相似，那么等于（）A．0.618 B． C． D．2【考點(diǎn)】相似多邊形的性質(zhì)．【專題】壓軸題．【分析】根據(jù)相似多邊形的對(duì)應(yīng)邊成比例求解．【解答】解：∵矩形ABCD∽矩形BFEA，∴AB：BF=AD：AB，∴AD?BF=AB?AB，又∵BF=AD，∴AD2=AB2，∴=．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似多邊形的性質(zhì)．相似多邊形對(duì)應(yīng)邊之比、周長(zhǎng)之比等于相似比，而面積之比等于相似比的平方．5．（2004?溫州）如圖，點(diǎn)B在圓錐母線VA上，且VB=VA．過(guò)點(diǎn)B作平行于底面的平面截得一個(gè)小圓錐，若小圓錐的側(cè)面積為S1，原圓錐的側(cè)面積為S，則下列判斷中正確的是（）A．S1=S B．S1=S C．S1=S D．S1=S【考點(diǎn)】相似多邊形的性質(zhì)；圓錐的計(jì)算．【專題】壓軸題．【分析】可知，相似多邊形的相似比等于對(duì)應(yīng)邊的比，面積的比等于相似比的平方．【解答】解：兩個(gè)圓錐的展開(kāi)圖都是扇形，這兩個(gè)扇形一定相似，面積的比等于半徑的比的平方，半徑的比是VB：VA=，因而面積的比是1：9，因而S1=S．故選D．【點(diǎn)評(píng)】圓心角相等的扇形是相似圖形，相似比就是半徑的比，面積的比等于相似比的平方．6．（2014?涼山州）如果兩個(gè)相似多邊形面積的比為1：5，則它們的相似比為（）A．1：25 B．1：5 C．1：2.5 D．1：【考點(diǎn)】相似多邊形的性質(zhì)．【專題】計(jì)算題．【分析】根據(jù)相似多邊形的面積的比等于相似比的平方解答．【解答】解：∵兩個(gè)相似多邊形面積的比為1：5，∴它們的相似比為1：．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似多邊形的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（2014?佛山）若兩個(gè)相似多邊形的面積之比為1：4，則它們的周長(zhǎng)之比為（）A．1：4 B．1：2 C．2：1 D．4：1【考點(diǎn)】相似多邊形的性質(zhì)．【分析】根據(jù)相似多邊形的面積之比等于相似比的平方，周長(zhǎng)之比等于相似比，就可求解．【解答】解：∵兩個(gè)相似多邊形面積比為1：4，∴周長(zhǎng)之比為=1：2．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似多邊形的性質(zhì)．相似多邊形對(duì)應(yīng)邊之比、周長(zhǎng)之比等于相似比，而面積之比等于相似比的平方．8．（2012?東營(yíng)）如圖，在直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，邊OA在x軸上，OC在y軸上，如果矩形OA′B′C′與矩形OABC關(guān)于點(diǎn)O位似，且矩形OA′B′C′的面積等于矩形OABC面積的，那么點(diǎn)B′的坐標(biāo)是（）A．（﹣2，3） B．（2，﹣3） C．（3，﹣2）或（﹣2，3） D．（﹣2，3）或（2，﹣3）【考點(diǎn)】相似多邊形的性質(zhì)；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．【分析】由矩形OA′B′C′與矩形OABC關(guān)于點(diǎn)O位似，且矩形OA′B′C′的面積等于矩形OABC面積的，利用相似三角形的面積比等于相似比的平方，即可求得矩形OA′B′C′與矩形OABC的位似比為1：2，又由點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣4，6），即可求得答案．【解答】解：∵矩形OA′B′C′與矩形OABC關(guān)于點(diǎn)O位似，∴矩形OA′B′C′∽矩形OABC，∵矩形OA′B′C′的面積等于矩形OABC面積的，∴位似比為：1：2，∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣4，6），∴點(diǎn)B′的坐標(biāo)是：（﹣2，3）或（2，﹣3）．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了位似圖形的性質(zhì)．此題難度不大，注意位似圖形是特殊的相似圖形，注意掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方定理的應(yīng)用，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．9．（2012?濰坊）已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一點(diǎn)E，沿AE將△ABE向上折疊，使B點(diǎn)落在AD上的F點(diǎn)，若四邊形EFDC與矩形ABCD相似，則AD=（）A． B． C． D．2【考點(diǎn)】相似多邊形的性質(zhì)；翻折變換（折疊問(wèn)題）．【分析】可設(shè)AD=x，根據(jù)四邊形EFDC與矩形ABCD相似，可得比例式，求解即可．【解答】解：∵沿AE將△ABE向上折疊，使B點(diǎn)落在AD上的F點(diǎn)，∴四邊形ABEF是正方形，∵AB=1，設(shè)AD=x，則FD=x﹣1，F(xiàn)E=1，∵四邊形EFDC與矩形ABCD相似，∴=，=，解得x1=，x2=（負(fù)值舍去），經(jīng)檢驗(yàn)x1=是原方程的解．故選B．【點(diǎn)評(píng)】考查了翻折變換（折疊問(wèn)題），相似多邊形的性質(zhì)，本題的關(guān)鍵是根據(jù)四邊形EFDC與矩形ABCD相似得到比例式．10．（2012?銅仁地區(qū)）如圖，六邊形ABCDEF∽六邊形GHIJKL，相似比為2：1，則下列結(jié)論正確的是（）A．∠E=2∠KB．BC=2HIC．六邊形ABCDEF的周長(zhǎng)=六邊形GHIJKL的周長(zhǎng)D．S六邊形ABCDEF=2S六邊形GHIJKL【考點(diǎn)】相似多邊形的性質(zhì)．【專題】探究型．【分析】根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析即可．【解答】解：A、∵六邊形ABCDEF∽六邊形GHIJKL，∴∠E=∠K，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、∵六邊形ABCDEF∽六邊形GHIJKL，相似比為2：1，∴BC=2HI，故本選項(xiàng)正確；C、∵六邊形ABCDEF∽六邊形GHIJKL，相似比為2：1，∴六邊形ABCDEF的周長(zhǎng)=六邊形GHIJKL的周長(zhǎng)×2，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、∵六邊形ABCDEF∽六邊形GHIJKL，相似比為2：1，∴S六邊形ABCDEF=4S六邊形GHIJKL，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是相似多邊形的性質(zhì)，即兩個(gè)相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，周長(zhǎng)的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方．11．（2011?畢節(jié)地區(qū)）兩個(gè)相似多邊形的面積比是9：16，其中小多邊形的周長(zhǎng)為36cm，則較大多邊形的周長(zhǎng)為（）A．48cm B．54cm C．56cm D．64cm【考點(diǎn)】相似多邊形的性質(zhì)．【分析】根據(jù)相似多邊形對(duì)應(yīng)邊之比、周長(zhǎng)之比等于相似比，而面積之比等于相似比的平方計(jì)算即可．【解答】解：兩個(gè)相似多邊形的面積比是9：16，面積比是周長(zhǎng)比的平方，則大多邊形與小多邊形的相似比是4：3．相似多邊形周長(zhǎng)的比等于相似比，因而設(shè)大多邊形的周長(zhǎng)為x，則有=，解得：x=48．大多邊形的周長(zhǎng)為48cm．故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似多邊形的性質(zhì)．相似多邊形對(duì)應(yīng)邊之比、周長(zhǎng)之比等于相似比，而面積之比等于相似比的平方．12．（2009?濟(jì)寧）如圖，在長(zhǎng)為8cm、寬為4cm的矩形中，截去一個(gè)矩形，使得留下的矩形（圖中陰影部分）與原矩形相似，則留下矩形的面積是（）A．2cm2 B．4cm2 C．8cm2 D．16cm2【考點(diǎn)】相似多邊形的性質(zhì)．【分析】利用相似多邊形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，對(duì)應(yīng)角相等分析．【解答】解：長(zhǎng)為8cm、寬為4cm的矩形的面積是32cm2，留下的矩形（圖中陰影部分）與原矩形相似，相似比是4：8=1：2，因而面積的比是1：4，因而留下矩形的面積是32×=8cm2．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似多邊形的性質(zhì)．相似多邊形面積之比等于相似比的平方．13．（2009?宜賓）若一個(gè)圖形的面積為2，那么將與它成中心對(duì)稱的圖形放大為原來(lái)的兩倍后的圖形面積為（）A．8 B．6 C．4 D．2【考點(diǎn)】相似多邊形的性質(zhì)．【分析】利用相似圖形的面積比等于相似比的平方，圖形放大為原來(lái)的兩倍，面積擴(kuò)大為原來(lái)的4倍．【解答】解：根據(jù)題意，面積擴(kuò)大為原來(lái)的4倍，所以圖形面積為：2×4=8．故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了相似多邊形的性質(zhì)：面積的比等于相似比的平方，需要熟練掌握．二．填空題（共14小題）14．（2015?葫蘆島）如圖，在矩形ABCD中，AD=2，CD=1，連接AC，以對(duì)角線AC為邊，按逆時(shí)針?lè)较蜃骶匦蜛BCD的相似矩形AB1C1C，再連接AC1，以對(duì)角線AC1為邊作矩形AB1C1C的相似矩形AB2C2C1，…，按此規(guī)律繼續(xù)下去，則矩形ABnCnCn﹣1的面積為．【考點(diǎn)】相似多邊形的性質(zhì)．【專題】壓軸題；規(guī)律型．【分析】根據(jù)已知和矩形的性質(zhì)可分別求得AC，AC1，AC2的長(zhǎng)，從而可發(fā)現(xiàn)規(guī)律，根據(jù)規(guī)律即可求得第n個(gè)矩形的面積．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD⊥DC，∴AC===，∵按逆時(shí)針?lè)较蜃骶匦蜛BCD的相似矩形AB1C1C，∴矩形AB1C1C的邊長(zhǎng)和矩形ABCD的邊長(zhǎng)的比為：2∴矩形AB1C1C的面積和矩形ABCD的面積的比5：4，∵矩形ABCD的面積=2×1=2，∴矩形AB1C1C的面積=，依此類推，矩形AB2C2C1的面積和矩形AB1C1C的面積的比5：4∴矩形AB2C2C1的面積=∴矩形AB3C3C2的面積=，按此規(guī)律第n個(gè)矩形的面積為：故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，相似多邊形的性質(zhì)，解此題的關(guān)鍵是能根據(jù)求出的結(jié)果得出規(guī)律．15．（2014?紹興）把標(biāo)準(zhǔn)紙一次又一次對(duì)開(kāi)，可以得到均相似的“開(kāi)紙”．現(xiàn)在我們?cè)陂L(zhǎng)為2、寬為1的矩形紙片中，畫兩個(gè)小矩形，使這兩個(gè)小矩形的每條邊都與原矩形紙的邊平行，或小矩形的邊在原矩形的邊上，且每個(gè)小矩形均與原矩形紙相似，然后將它們剪下，則所剪得的兩個(gè)小矩形紙片周長(zhǎng)之和的最大值是4+．【考點(diǎn)】相似多邊形的性質(zhì)．【專題】壓軸題．【分析】根據(jù)相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比相等的性質(zhì)分別求出所剪得的兩個(gè)小矩形紙片的長(zhǎng)與寬，進(jìn)而求解即可．【解答】解：∵在長(zhǎng)為2、寬為1的矩形紙片中，畫兩個(gè)小矩形，使這兩個(gè)小矩形的每條邊都與原矩形紙的邊平行，或小矩形的邊在原矩形的邊上，且每個(gè)小矩形均與原矩形紙相似，∴要使所剪得的兩個(gè)小矩形紙片周長(zhǎng)之和最大，則這兩個(gè)小矩形紙片長(zhǎng)與寬的和最大．∵矩形的長(zhǎng)與寬之比為2：1，∴剪得的兩個(gè)小矩形中，一個(gè)矩形的長(zhǎng)為1，寬為=，∴另外一個(gè)矩形的長(zhǎng)為2﹣=，寬為=，∴所剪得的兩個(gè)小矩形紙片周長(zhǎng)之和的最大值是2（1+++）=4+．故答案為：4+．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似多邊形的性質(zhì)，分別求出所剪得的兩個(gè)小矩形紙片的長(zhǎng)與寬是解題的關(guān)鍵．16．（2014?甘肅模擬）如圖，在長(zhǎng)8cm，寬4cm的矩形中截去一個(gè)矩形（陰影部分）使留下的矩形與原矩形相似，那么留下的矩形的面積為8cm2．【考點(diǎn)】相似多邊形的性質(zhì)．【專題】壓軸題．【分析】本題需先設(shè)留下的矩形的寬為x，再根據(jù)留下的矩形與矩形相似，列出方程即可求出留下的矩形的面積．【解答】解：設(shè)留下的矩形的寬為x，∵留下的矩形與原矩形相似，∴，x=2，∴留下的矩形的面積為：2×4=8（cm2）故答案為：8．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了相似多邊形的性質(zhì)，在解題時(shí)要能根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)列出方程是本題的關(guān)鍵．17．（2013?棗莊）已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一點(diǎn)E，將△ABE沿AE向上折疊，使B點(diǎn)落在AD上的F點(diǎn)．若四邊形EFDC與矩形ABCD相似，則AD=．【考點(diǎn)】相似多邊形的性質(zhì)；翻折變換（折疊問(wèn)題）．【專題】壓軸題．【分析】可設(shè)AD=x，由四邊形EFDC與矩形ABCD相似，根據(jù)相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比相等列出比例式，求解即可．【解答】解：∵AB=1，設(shè)AD=x，則FD=x﹣1，F(xiàn)E=1，∵四邊形EFDC與矩形ABCD相似，∴=，=，解得x1=，x2=（不合題意舍去），經(jīng)檢驗(yàn)x1=是原方程的解．故答案為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了翻折變換（折疊問(wèn)題），相似多邊形的性質(zhì)，本題的關(guān)鍵是根據(jù)四邊形EFDC與矩形ABCD相似得到比例式．18．（2013?拱墅區(qū)一模）在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD的位置如圖所示，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，2）．延長(zhǎng)CB交x軸于點(diǎn)A1，作正方形A1B1C1C；延長(zhǎng)C1B1交x軸于點(diǎn)A2，作正方形A2B2C2C1…按這樣的規(guī)律進(jìn)行下去，第2011個(gè)正方形的面積為5（）4020．【考點(diǎn)】相似多邊形的性質(zhì)；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)．【專題】壓軸題；規(guī)律型．【分析】先利用ASA證明△AOD和△A1BA相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例可以得到AB=2A1B，所以正方形A1B1C1C的邊長(zhǎng)等于正方形ABCD邊長(zhǎng)的，以此類推，后一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是前一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)的，然后即可求出第2011個(gè)正方形的邊長(zhǎng)與第1個(gè)正方形的邊長(zhǎng)的關(guān)系，從而求出第2011個(gè)正方形的面積．【解答】解：如圖，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠BAD=90°，AB=BC，∴∠ABA1=90°，∠DAO+∠BAA1=180°﹣90°=90°，又∵∠AOD=90°，∴∠ADO+∠DAO=90°，∴∠ADO=∠BAA1，在△AOD和A1BA中，，∴△AOD∽△A1BA，∴==2，∴BC=2A1B，∴A1C=BC，以此類推A2C1=A1C，A3C2=A2C1，即后一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是前一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)的倍，∴第2011個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為（）2010BC，∵A的坐標(biāo)為（1，0），D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），∴BC=AD==，∴第2011個(gè)正方形的面積為[（）2010BC]2=5（）4020．故答案為：5（）4020．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與正方形的性質(zhì)，根據(jù)規(guī)律推出第2011個(gè)正方形的邊長(zhǎng)與第1個(gè)正方形的邊長(zhǎng)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，也是難點(diǎn)，本題綜合性較強(qiáng)．19．（2013?武威校級(jí)模擬）已知兩個(gè)相似的菱形的相似比為2：3，面積之差為5cm2，則這兩個(gè)菱形的面積分別是4cm2，9cm2．【考點(diǎn)】相似多邊形的性質(zhì)．【專題】計(jì)算題；壓軸題．【分析】分別設(shè)兩個(gè)菱形的面積為xcm2、（x+5）cm2，然后根據(jù)相似多邊形的面積的比等于相似比的平方列式求解即可．【解答】解：設(shè)兩個(gè)菱形的面積為xcm2、（x+5）cm2，∵兩個(gè)相似的菱形的相似比為2：3，∴=（）2，解得x=4，x+5=9，∴這兩個(gè)菱形的面積分別是4cm2，9cm2．故答案為：4cm2，9cm2．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了相似多邊形的面積的比等于相似比的平方，熟練掌握性質(zhì)并列出比例式是求解的關(guān)鍵．20．（2012?金堂縣一模）如圖，如果以正方形ABCD的對(duì)角線AC為邊作第二個(gè)正方形ACEF，再以對(duì)角線AE為邊作第三個(gè)正方形AEGH，如此下去…，已知正方形ABCD的面積S1為1，按上述方法所作的正方形的面積依次為s2，s3，…，sn（n為正整數(shù)），那么第9個(gè)正方形的面積S9=256．【考點(diǎn)】相似多邊形的性質(zhì)；正方形的性質(zhì)．【專題】壓軸題；規(guī)律型．【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)可知，當(dāng)面積為1時(shí)，邊長(zhǎng)為1，對(duì)角線長(zhǎng)為，以為邊的對(duì)角線長(zhǎng)為2，依次可推出第4個(gè)正方形邊長(zhǎng)2，第5個(gè)邊長(zhǎng)為4，第6個(gè)邊長(zhǎng)為4，第7邊長(zhǎng)個(gè)為8，第8邊長(zhǎng)個(gè)為8，知道邊長(zhǎng)可求出面積．【解答】解：以正方形的對(duì)角線為邊長(zhǎng)就是在原來(lái)邊長(zhǎng)的基礎(chǔ)上都乘以就是下一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)．因?yàn)榈谝粋€(gè)邊長(zhǎng)為1，所以第9個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為16，S9=16×16=256．故答案為：256．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是相似多邊形的性質(zhì)及正方形的性質(zhì)，要求學(xué)生能夠根據(jù)勾股定理得到前后正方形的邊長(zhǎng)之間的關(guān)系，進(jìn)一步得到面積之間的關(guān)系，從而找到規(guī)律．21．（2011?齊齊哈爾）如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形．取BC邊中點(diǎn)E，作ED∥AB，EF∥AC，得到四邊形EDAF，它的面積記作S1；取BE中點(diǎn)E1，作E1D1∥FB，E1F1∥EF，得到四邊形E1D1FF1，它的面積記作S2．照此規(guī)律作下去，則S2011=?（表示為?亦可）．【考點(diǎn)】相似多邊形的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；三角形中位線定理．【專題】壓軸題；規(guī)律型．【分析】先根據(jù)△ABC是等邊三角形可求出△ABC的高，再根據(jù)三角形中位線定理可求出S1的值，進(jìn)而可得出S2的值，找出規(guī)律即可得出S2011的值．【解答】解：∵△ABC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，∴△ABC的高=AB?sin∠A=1×=，∵DE、EF是△ABC的中位線，∴AF=，∴S1=××=；同理可得，S2=×；…∴Sn=（）n﹣1；∴S2011=?（表示為?亦可）．故答案為：S2011=?（表示為?亦可）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是相似多邊形的性質(zhì)，涉及到等邊三角形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的定義、特殊角的三角函數(shù)值及三角形中位線定理，熟知以上知識(shí)是解答此題的關(guān)鍵．22．（2011?東莞）如圖（1），將一個(gè)正六邊形各邊延長(zhǎng)，構(gòu)成一個(gè)正六角星形AFBDCE，它的面積為1，取△ABC和△DEF各邊中點(diǎn)，連接成正六角星形A1F1B1D1C1E1，如圖（2）中陰影部分，取△A1B1C1和△D1E1F1各邊中點(diǎn)，連接成正六角星形A2F2B2D2C2E2，如圖（3）中陰影部分，如此下去…，則正六角星形A4F4B4D4C4E4的面積為．【考點(diǎn)】相似多邊形的性質(zhì)；三角形中位線定理．【專題】壓軸題；規(guī)律型．【分析】先分別求出第一個(gè)正六角星形AFBDCE與第二個(gè)邊長(zhǎng)之比，再根據(jù)相似多邊形面積的比等于相似比的平方，找出規(guī)律即可解答．【解答】解：∵A1、F1、B1、D1、C1、E1分別是△ABC和△DEF各邊中點(diǎn)，∴正六角星形AFBDCE∽正六角星形A1F1B1D1C1E1，且相似比為2：1，∵正六角星形AFBDCE的面積為1，∴正六角星形A1F1B1D1C1E1的面積為，同理可得，第三個(gè)六角形的面積為：=，第四個(gè)六角形的面積為：××=，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是相似多邊形的性質(zhì)及三角形中位線定理，解答此題的關(guān)鍵是熟知相似多邊形面積的比等于相似比的平方．23．（2011?青島）如圖，以邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD的邊AB為對(duì)角線作第二個(gè)正方形AEBO1，再以BE為對(duì)角線作第三個(gè)正方形EFBO2，如此作下去，…，則所作的第n個(gè)正方形的面積Sn=．【考點(diǎn)】相似多邊形的性質(zhì)；正方形的性質(zhì)．【專題】壓軸題；規(guī)律型．【分析】由正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，根據(jù)正方形的性質(zhì)，即可求得AO1，EO2的值，則可求得S2，S3，S4的值，即可求得規(guī)律所作的第n個(gè)正方形的面積Sn=．【解答】解：∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，∴AB=1，AC=，∴AE=AO1=，則：AO2=AB=，∴S2=，S3=，S4=，∴作的第n個(gè)正方形的面積Sn=．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了正方形的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是找到規(guī)律：所作的第n個(gè)正方形的面積Sn=．24．（2011?汕頭）如圖（1），將一個(gè)正六邊形各邊延長(zhǎng)，構(gòu)成一個(gè)正六角星形AFBDCE，它的面積為1，取△ABC和△DEF各邊中點(diǎn)，連接成正六角星形A1F1B1D1C1E1，如圖（2）中陰影部分；取△A1B1C1和△1D1E1F1各邊中點(diǎn)，連接成正六角星形A2F2B2D2C2E2F2，如圖（3）中陰影部分；如此下去…，則正六角星形AnFnBnDnCnEnFn的面積為．【考點(diǎn)】相似多邊形的性質(zhì)；三角形中位線定理．【專題】壓軸題；規(guī)律型．【分析】先分別求出第一個(gè)正六角星形AFBDCE與第二個(gè)邊長(zhǎng)之比，再根據(jù)相似多邊形面積的比等于相似比的平方，找出規(guī)律即可解答．【解答】解：∵A1、F1、B1、D1、C1、E1分別是△ABC和△DEF各邊中點(diǎn)，∴正六角星形AFBDCE∽正六角星形A1F1B1D1C1E1且相似比為2：1，∵正六角星形AFBDCE的面積為1，∴正六角星形A1F1B1D1C1E1的面積為，同理可得，第二個(gè)六角形的面積為：=，第三個(gè)六角形的面積為：=，第n個(gè)六角形的面積為：．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是相似多邊形的性質(zhì)及三角形中位線定理，解答此題的關(guān)鍵是熟知相似多邊形面積的比等于相似比的平方．25．（2009?如皋市模擬）如圖，梯形ABCD中，∠A=∠B=90°，且AD=AB，∠C=45°．將它分割成4個(gè)大小一樣，都與原梯形相似的梯形．（在圖形中直接畫分割線，不需要說(shuō)明）【考點(diǎn)】相似多邊形的性質(zhì)；直角梯形；梯形中位線定理．【專題】作圖題；壓軸題．【分析】設(shè)直角梯形ABCD，∠B=90°，上底AD=a，下底BC=2a，高AB=a，作該梯形中位線，分別交AB、CD于E、F，過(guò)BC中點(diǎn)M作垂線，交中位線EF于H，過(guò)AD中點(diǎn)N，作垂線，交中位線EF于G，直角梯形：GNAB、DNGF、GHMB、FHMC就是所求的四個(gè)小直角梯形．【解答】解：故答案為：如圖【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查對(duì)直角梯形，梯形的中位線定理，相似多邊形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能靈活運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行畫圖是解此題的關(guān)鍵，此題題型較好，但有一點(diǎn)難度．26．（2010?長(zhǎng)沙模擬）如圖，依次連接一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形各邊的中點(diǎn)，得到第二個(gè)正方形，再依次連接第二個(gè)正方形各邊的中點(diǎn)，得到第三個(gè)正方形，按此方法繼續(xù)下去，則第n個(gè)正方形的面積是．【考點(diǎn)】相似多邊形的性質(zhì)；三角形中位線定理；正方形的性質(zhì)．【專題】壓軸題；規(guī)律型．【分析】觀察可得，后一個(gè)正方形的對(duì)角線是前一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)，根據(jù)正方形的面積等于邊長(zhǎng)的平方，也可以利用對(duì)角線乘積的一半求解，所以后一個(gè)正方形的面積等于前一個(gè)正方形的面積的一半，依此類推即可求解．【解答】解：第1個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是1，所以面積是1，第2個(gè)正方形的對(duì)角線是第一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)，是1，所以面積是×1×1=，第3個(gè)正方形的對(duì)角線是第2個(gè)正方形的邊長(zhǎng)，所以面積是×=，依此類推，后一個(gè)正方形的面積是前一個(gè)正方形的面積的一半，∴第n個(gè)正方形的面積是．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題是對(duì)圖形變化規(guī)律的考查，根據(jù)正方形的面積等于邊長(zhǎng)的平方，或者是對(duì)角線乘積的一半得出后一個(gè)正方形的面積等于前一個(gè)正方形的面積的一半是解題的關(guān)鍵，也是解答本題的難點(diǎn)．27．（1999?安徽）一個(gè)多邊形的邊長(zhǎng)依次為1，2，3，4，5，6，與它相似的另一個(gè)多邊形的最大邊長(zhǎng)為8，那么另一個(gè)多邊形的周長(zhǎng)是28．【考點(diǎn)】相似多邊形的性質(zhì)．【專題】壓軸題．【分析】根據(jù)相似多邊形的周長(zhǎng)比等于相似比作答．【解答】解：設(shè)另一個(gè)多邊形的周長(zhǎng)是x．依題意，有x：（1+2+3+4+5+6）=8：6，解得x=28．故另一個(gè)多邊形的周長(zhǎng)是28．【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似多邊形的性質(zhì)．相似多邊形對(duì)應(yīng)邊之比、周長(zhǎng)之比等于相似比，而面積之比等于相似比的平方．三．解答題（共3小題）28．（2012?南京）下框中是小明對(duì)一道題目的解答以及老師的批改．題目：某村計(jì)劃建造如圖所示的矩形蔬菜溫室，要求長(zhǎng)與寬的比為2：1，在溫室內(nèi)，沿前側(cè)內(nèi)墻保留3m的空地，其他三側(cè)內(nèi)墻各保留1m的通道，當(dāng)溫室的長(zhǎng)與寬各為多少時(shí)，矩形蔬菜種植區(qū)域的面積是288m2？解：設(shè)矩形蔬菜種植區(qū)域的寬為xm，則長(zhǎng)為2xm，根據(jù)題意，得x?2x=288．解這個(gè)方程，得x1=﹣12（不合題意，舍去），x2=12所以溫室的長(zhǎng)為2×12+3+1=28（m），寬為12+1+1=14（m）答：當(dāng)溫室的長(zhǎng)為28m，寬為14m時(shí)，矩形蔬菜種植區(qū)域的面積是288m2．我的結(jié)果也正確！小明發(fā)現(xiàn)他解答的結(jié)果是正確的，但是老師卻在他的解答中畫了一條橫線，并打了一個(gè)？．結(jié)果為何正確呢？（1）請(qǐng)指出小明解答中存在的問(wèn)題，并補(bǔ)充缺少的過(guò)程：變化一下會(huì)怎樣…（2）如圖，矩形A′B′C′D′在矩形ABCD的內(nèi)部，AB∥A′B′，AD∥A′D′，且AD：AB=2：1，設(shè)AB與A′B′、BC與B′C′、CD與C′D′、DA與D′A′之間的距離分別為a、b、c、d，要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，a、b、c、d應(yīng)滿足什么條件？請(qǐng)說(shuō)明理由．【考點(diǎn)】相似多邊形的性質(zhì)；一元二次方程的應(yīng)用．【專題】壓軸題．【分析】（1）根據(jù)題意可得小明沒(méi)有說(shuō)明矩形蔬菜種植區(qū)域的長(zhǎng)與寬之比為2：1的理由，所以應(yīng)設(shè)矩形蔬菜種植區(qū)域的寬為xm，則長(zhǎng)為2xm，然后由題意得，矩形蔬菜種植區(qū)域的長(zhǎng)與寬之比為2：1，再利用小明的解法求解即可；（2）由使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，利用相似多邊形的性質(zhì)，可得，即，然后利用比例的性質(zhì)，即可求得答案．【解答】解：（1）小明沒(méi)有說(shuō)明矩形蔬菜種植區(qū)域的長(zhǎng)與寬之比為2：1的理由．在“設(shè)矩形蔬菜種植區(qū)域的寬為xm，則長(zhǎng)為2xm．”前補(bǔ)充以下過(guò)程：設(shè)溫室的寬為xm，則長(zhǎng)為2xm．則矩形蔬菜種植區(qū)域的寬為（x﹣1﹣1）m，長(zhǎng)為（2x﹣3﹣1）m．∵，∴矩形蔬菜種植區(qū)域的長(zhǎng)與寬之比為2：1；（2）要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，就要，即，即，即2AB﹣2（b+d）=2AB﹣（a+c），∴a+c=2（b+d），即．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了相似多邊形的性質(zhì)．此題屬于閱讀性題目，注意理解題意，讀懂題目是解此題的關(guān)鍵．29．（2006?臺(tái)州）善于學(xué)習(xí)的小敏查資料知道：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)梯形，叫做相似梯形．他想到“平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似”，提出如下兩個(gè)問(wèn)題，你能幫助解決嗎？問(wèn)題一：平行于梯形底邊的直線截兩腰所得的小梯形和原梯形是否相似？（1）從特殊情形入手探究．假設(shè)梯形ABCD中，AD∥BC，AB=6，BC=8，CD=4，AD=2，MN是中位線（如圖①）．根據(jù)相似梯形的定義，請(qǐng)你說(shuō)明梯形AMND與梯形ABCD是否相似；（2）一般結(jié)論：平行于梯形底邊的直線截兩腰所得的梯形與原梯形不相似；（填“相似”或“不相似”或“相似性無(wú)法確定”．不要求證明）問(wèn)題二：平行于梯形底邊的直線截兩腰所得的兩個(gè)小梯形是否相似？（1）從特殊平行線入手探究．梯形的中位線截兩腰所得的兩個(gè)小梯形不相似；（填“相似”或“不相似”或“相似性無(wú)法確定”．不要求證明）（2）從特殊梯形入手探究．同上假設(shè)，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=6，BC=8，CD=4，AD=2，你能找到與梯形底邊平行的直線PQ（點(diǎn)P，Q在梯形的兩腰上，如圖②），使得梯形APQD與梯形PBCQ相似嗎？請(qǐng)根據(jù)相似梯形的定義說(shuō)明理由；（3）一般結(jié)論：對(duì)于任意梯形（如圖③），一定存在（填“存在”或“不存在”）平行于梯形底邊的直線PQ，使截得的兩個(gè)小梯形相似．若存在，則確定這條平行線位置的條件是=．（不妨設(shè)AD=a，BC=b，AB=c，CD=d．不要求證明）【考點(diǎn)】相似多邊形的性質(zhì)．【專題】壓軸題．【分析】?jī)蓚€(gè)梯形相似，因而兩個(gè)梯形的對(duì)應(yīng)腰的相等，對(duì)應(yīng)底的比相等；這個(gè)圖形中判定相似要同時(shí)滿足這幾個(gè)條件．反之，若相似則兩個(gè)梯形的對(duì)應(yīng)腰的相等，對(duì)應(yīng)底的比相等．【解答】解：?jiǎn)栴}一：（1）兩個(gè)梯形的腰相等，即腰的比是1：2，而上底的比是1：1，因而這兩個(gè)梯形一定不相似；（2）不相似．問(wèn)題二：（1）不相似；（2）梯形APQD與梯形PBCQ相似，∴=，即=解得：PQ=4．∵===．又∵AP+PB=6，∴AP=2（3）如果梯形APQD∽梯形PBCQ，則，，∵AD=a，BC=b，∴PQ==，∴==．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了多邊形相似的性質(zhì)，對(duì)應(yīng)邊的比相等，反之，相似圖形的判定方法是對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等．30．如圖，?ABCD∽?CEFG，，且，P為AF的中點(diǎn)，探究線段DP、EP的數(shù)量關(guān)系．【考點(diǎn)】相似多邊形的性質(zhì)；三角形中位線定理；平行四邊形的性質(zhì)；平行四邊形的判定；相似三角形的判定與性質(zhì)．【專題】壓軸題；探究型．【分析】此題需要從相似多邊形和相似三角形的角度入手求解；首先連接AC、BD，EG、CF，設(shè)AC、BD的交點(diǎn)為M，EG、CF的交點(diǎn)為N，連接MP、NP；根據(jù)平行四邊形的對(duì)角線互相平分得：MP、NP是△ACF的兩條中位線，那么四邊形MPNC是平行四邊形，然后通過(guò)證△DPM∽△PEN來(lái)求得DP、EP的數(shù)量關(guān)系．【解答】解：如圖，連接AC、BD交于點(diǎn)M，連接EG、CF交于點(diǎn)N；連接MP、PN，則MP、PN是△ACF的中位線；故PN∥MC、MP∥CN，且PN=AC、MP=CF；∴四邊形MPCN是平行四邊形，∴∠PMC=∠CNP，由于?ABCD∽?CEFG，得∠AMD=∠ENF，則∠DMP=∠ENP；又∵，，∴，∴△DMP∽△PNE，得：，即PE=kPD；故DP、PE的數(shù)量關(guān)系為：PE=kPD．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查的是相似三角形和相似多邊形的應(yīng)用，還涉及到平行四邊形的判定和性質(zhì)、三角形中位線定理等知識(shí)，難度較大．1．（2007?茂名）在一張由復(fù)印機(jī)復(fù)印出來(lái)的紙上，一個(gè)多邊形圖案的一條邊由原來(lái)的1cm變成2cm，那么這次復(fù)印出來(lái)的多邊形圖案面積是原來(lái)的（）A．1倍 B．2倍 C．3倍 D．4倍【考點(diǎn)】相似多邊形的性質(zhì)．【專題】應(yīng)用題．【分析】復(fù)印前后的多邊形按照比例放大與縮小，因此它們是相似多邊形，本題按照相似多邊形的性質(zhì)求解．【解答】解：由題意可知，相似多邊形的邊長(zhǎng)之比=相似比=1：2，所以面積之比=（1：2）2=1：4．故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似多邊形的性質(zhì)．相似多邊形對(duì)應(yīng)邊之比、周長(zhǎng)之比等于相似比，而面積之比等于相似比的平方．2．（2006?揚(yáng)州）如圖，有兩個(gè)形狀相同的星星圖案，則x的值為（）A．15 B．12 C．10 D．8【考點(diǎn)】相似多邊形的性質(zhì)．【分析】利用相似多邊形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，對(duì)應(yīng)角相等分析．【解答】解：這兩個(gè)圖形兩個(gè)形狀相同，即兩個(gè)圖形相似，則對(duì)應(yīng)線段的比相等，因而，x=8．x的值是8cm．故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了相似圖形的性質(zhì)，相似圖形的對(duì)應(yīng)線段的比相等．3．（2006?樂(lè)山）已知平行四邊形ABCD與平行四邊形A′B′C′D′相似，AB=3，對(duì)應(yīng)邊A′B′=4，若平行四邊形ABCD的面積為18，則平行四邊形A′B′C′D′的面積為（）A． B． C．24 D．32【考點(diǎn)】相似多邊形的性質(zhì)．【分析】利用相似多邊形對(duì)應(yīng)邊之比、周長(zhǎng)之比等于相似比，而面積之比等于相似比的平方可得．【解答】解：平行四邊形ABCD與平行四邊形A′B′C′D′相似，AB=3，對(duì)應(yīng)邊A′B′=4，因而這兩個(gè)平行四邊形的相似比是3：4，因而面積的比是9：16，因而平行四邊形A′B′C′D′的面積是32．【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似多邊形的性質(zhì)．4．（2004?溫州）如圖，點(diǎn)B在圓錐母線VA上，且VB=VA．過(guò)點(diǎn)B作平行于底面的平面截得一個(gè)小圓錐，若小圓錐的側(cè)面積為S1，原圓錐的側(cè)面積為S，則下列判斷中正確的是（）A．S1=S B．S1=S C．S1=S D．S1=S【考點(diǎn)】相似多邊形的性質(zhì)；圓錐的計(jì)算．【專題】壓軸題．【分析】可知，相似多邊形的相似比等于對(duì)應(yīng)邊的比，面積的比等于相似比的平方．【解答】解：兩個(gè)圓錐的展開(kāi)圖都是扇形，這兩個(gè)扇形一定相似，面積的比等于半徑的比的平方，半徑的比是VB：VA=，因而面積的比是1：9，因而S1=S．故選D．【點(diǎn)評(píng)】圓心角相等的扇形是相似圖形，相似比就是半徑的比，面積的比等于相似比的平方．5．（2004?杭州）如圖為羽毛球單打場(chǎng)地按比例縮小的示意圖（由圖中粗實(shí)線表示），它的寬度為5.18米，那么它的長(zhǎng)大約在（）A．12米至13米之間 B．13米至14米之間C．14米至15米之間 D．15米至16米之間【考點(diǎn)】相似多邊形的性質(zhì)．【專題】應(yīng)用題．【分析】羽毛球單打場(chǎng)地按比例縮小的示意圖和羽毛球單打場(chǎng)地是相似多邊形，本題按照相似多邊形的性質(zhì)及對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)成比例來(lái)求解．【解答】解：測(cè)量得，示意圖長(zhǎng)約為61cm，寬約為24cm，于是設(shè)羽毛球單打場(chǎng)地的長(zhǎng)為l，則=．解得l≈13.17．故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似多邊形的性質(zhì)，相似多邊形對(duì)應(yīng)邊之比、周長(zhǎng)之比等于相似比，而面積之比等于相似比的平方．6．（2002?南京）兩個(gè)相似菱形邊長(zhǎng)的比是1：4，那么它們的面積比是（）A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16【考點(diǎn)】相似多邊形的性質(zhì)．【分析】根據(jù)相似多邊形對(duì)應(yīng)邊之比、周長(zhǎng)之比等于相似比，而面積之比等于相似比的平方可得．【解答】解：兩個(gè)相似菱形邊長(zhǎng)的比即相似比是1：4，面積的比是相似比的平方，因而面積的比是1：16．故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似多邊形的性質(zhì)．7．（1997?西寧）兩個(gè)相似多邊形的面積之比為1：3，則它們周長(zhǎng)之比為（）A．1：3 B．1：9 C