山西省運(yùn)城市2024年高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

山西省運(yùn)城市2024年高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)試卷

注意事項(xiàng)

1.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回.

2.答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.

3.請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符.

4.作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他

答案.作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效.

5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

22

1.已知橢圓C：=+==l（a〉6〉0）的左、右焦點(diǎn)分別為匕，工，點(diǎn)P（X，X），0（—番,一%）在橢圓。上，其

ab

中芯＞0,%〉0,若|PQ|=2|O閶，悟卜弓，則橢圓。的離心率的取值范圍為（）

B.(0,76-2]

D.(0,73-1]

2.在中，BD=DC,AP=2PD,BP=AAB+〃AC,則彳+〃=（）

1111

A.一一B.-C.一一D.-

3322

3.盒子中有編號為1,2,3,4,5,6,7的7個相同的球，從中任取3個編號不同的球，則取的3個球的編號的中位

數(shù)恰好為5的概率是（）

4.已知拋物線產(chǎn)=4x的焦點(diǎn)為F,拋物線上任意一點(diǎn)P,且PQLy軸交y軸于點(diǎn)Q,則PQ-P尸的最小值為（）

11

A.——B.——C.-1D?1

42

5.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z-3|=2,z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為則"不可能為（）

A.（2,73）B.（3,2）C.（5,0）D.（4,1）

6.5G網(wǎng)絡(luò)是一種先進(jìn)的高頻傳輸技術(shù)，我國的5G技術(shù)發(fā)展迅速，已位居世界前列.華為公司2019年8月初推出了

一款5G手機(jī)，現(xiàn)調(diào)查得到該款5G手機(jī)上市時間》和市場占有率V（單位：%）的幾組相關(guān)對應(yīng)數(shù)據(jù).如圖所示的折

線圖中，橫軸1代表2019年8月，2代表2019年9月……，5代表2019年12月，根據(jù)數(shù)據(jù)得出V關(guān)于x的線性回歸

方程為y=0,042%+a.若用此方程分析并預(yù)測該款手機(jī)市場占有率的變化趨勢，則最早何時該款5G手機(jī)市場占有率

能超過0.5%（精確到月）（）

＞（單位：％）

0.20-

0.18

0.5.方3

0.10-11

005-O.OoiJ.oTsx|1

012345t

A.2020年6月B.2020年7月C.2020年8月D.2020年9月

7777

7.函數(shù)/（x）=sin。乳。＞0）的圖象向右平移個單位得到函數(shù)y=g(x)的圖象，并且函數(shù)g(x)在區(qū)間[―,一]上

63

單調(diào)遞增，在區(qū)間[工，工]上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)。的值為（）

32

735_

A.-B.-C.2D.

424

8.如圖所示點(diǎn)口是拋物線V=8x的焦點(diǎn)，點(diǎn)4、3分別在拋物線yz=8x及圓V+/—4x—12=0的實(shí)線部分上

運(yùn)動，且總是平行于％軸，則的周長的取值范圍是（)

M

A.（6,10）B.（8,12）C.[6,8]D.[8,12]

9.設(shè)。={一1,0,1,2},集合A={x|x2〈I,]?。},則CUA=（)

A.{0,1,2}B.{-1,1,2}C.{-1,0,2}D.{-1,0,1)

10.設(shè)尸={jly=-7+l,xGR},Q={y\y=2\x￡R},則

A.PB.QNP

C.CRPJQD.QJCRP

11.(x—l)3(y—2)5的展開式中，滿足機(jī)+〃=2的x'"y"的系數(shù)之和為()

A.640B.416C.406D.-236

12.若函數(shù)/(為=以3+3/+〃在％=1處取得極值2,則a—6=()

A.-3B.3C.-2D.2

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

x-y+1..0,

13.已知實(shí)數(shù)x,丁滿足約束條件「x-y-3,,0,則z=2x+y的最大值為.

y-.O,

14.設(shè)等比數(shù)列｛4｝的前“項(xiàng)和為S",若%—%=2,4-。3=6,貝!|S4=

15.已知向量口=(—4,3),b=(6,m),且a_L6,貝！J.

4e2

16.已知f(x)=Inx,g(x)=-----,如果函數(shù)h(x)=/(%)-g(x)有三個零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_____________

(X-4Z)

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

sinx

17.(12分)已知函數(shù)/(%)=---,g(x)=/n(x-l)-21nx.

(1)求證：當(dāng)時，/(x)<l；

(2)若對任意尤o?0,1］存在不?0,句和％2e(0,%|a使g(%)=g(9)=/(%)成立,求實(shí)數(shù)用的最小值.

18.(12分)如圖，在四棱錐P—ABC。中，平面平面240,AD//BC,AB=BC=AP=-AD,ZADP-30，

2

ZBAD=90，E是PZ>的中點(diǎn).

(1)證明：PD±PBi

(2)設(shè)AO=2,點(diǎn)M在線段PC上且異面直線與CE所成角的余弦值為手，求二面角"-AB-P的余弦值.

19.(12分)設(shè)函數(shù)/(x)=ia(2+cosx)-sinx,/(x)是函數(shù)/(無)的導(dǎo)數(shù).

(1)若0=1,證明r(x)在區(qū)間1-ggj上沒有零點(diǎn);

(2)在xe(0,+8)上/(x)>0恒成立，求。的取值范圍.

20.（12分）如圖，三棱錐P—ABC中，PA=PC,AB=BC,ZAPC=120°,NA5c=90°，AC=y/3PB.

(1)求證：AC1PB,

(2)求直線AC與平面R鉆所成角的正弦值.

21.(12分)已知函數(shù)y=/(x).若在定義域內(nèi)存在5,使得/(一%)=一/(%)成立，則稱/為函數(shù)y=/(x)的局

部對稱點(diǎn).

(1)若人￡尺且證明：函數(shù)/(%)—ax^+bx-a有局部對稱點(diǎn)；

(2)若函數(shù)8(月=2'+0在定義域［-1』內(nèi)有局部對稱點(diǎn)，求實(shí)數(shù)c的取值范圍；

(3)若函數(shù)"(x)=4X—H12+1+4-3在R上有局部對稱點(diǎn)，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

x=-3+—

2

22.(10分)在直角坐標(biāo)系X0y中，直線/的參數(shù)方程為.。為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，x軸的正半

73

r

軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為Q2—4。cos8+3=0.

(1)求/的普通方程及。的直角坐標(biāo)方程；

(2)求曲線C上的點(diǎn)P至I"距離的取值范圍.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、C

【解析】

根據(jù)|PQ|=2|O閭可得四邊形PKQ8為矩形，設(shè)因=，%根據(jù)橢圓的定義以及勾股定理可得

4c?mnmnc4c2473

F~A=—+一,再分析t=-+-的取值范圍，進(jìn)而求得2<寸一訂<--再求離心率的范圍即可.

2^a'-cjnmnm2（礦—c2）3

【詳解】

設(shè)。耳=”，PF2="2,由占>0,%〉0,知相<〃，

因?yàn)镻（X，X）,Q（F，f）在橢圓c上尸。|=2|0尸|=2|0勾，

所以四邊形PF}QF2為矩形，。耳=PF］；

由恪可得正<生<1,

33n

由橢圓的定義可得加+〃=2。,加2十打2=4，①,

平方相減可得mn=2（a2-c2）②,

22

4c2m+nmn

由①②得而二U-------二—1—；

mnnm'

所以f=v+

V

22

所以1—e?<e<^(l-e

3、

所以;<e2<4-2A/3,

解得變＜eW百-1.

2

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了橢圓的定義運(yùn)用以及構(gòu)造齊次式求橢圓的離心率的問題,屬于中檔題.

2、A

【解析】

先根據(jù)3。=。。,4/3=2/5。得到「為人45。的重心，｝^AP=-AB+-AC,AP=-AB+-AC,利用

3333

BP=AP-AJS^BP=-^AB+AC,故可計算的值.

【詳解】

因?yàn)?。=DC,AP=2PD,所以P為AABC的重心，

所以AD=LAB+LAC,...3AP=4AB+LAC,

22222

所以AP」AB+LAC,

33

21

所以BP=A.P—AB=——AB+—AC,因?yàn)锽P=AAB+//AC,

211

所以彳=---,〃=一,1.2+〃二—，故選A.

333

【點(diǎn)睛】

對于AABC,一般地，如果G為AABC的重心，那么AG=；（A3+AC）,反之，如果G為平面上一點(diǎn)，且滿足

AG=1（AB+AC）,那么6為AABC的重心.

3、B

【解析】

由題意，取的3個球的編號的中位數(shù)恰好為5的情況有C；C；,所有的情況有2種，由古典概型的概率公式即得解.

【詳解】

由題意，取的3個球的編號的中位數(shù)恰好為5的情況有C；C；,所有的情況有《種

由古典概型，取的3個球的編號的中位數(shù)恰好為5的概率為：

r^,C\C\_8

W35

故選:B

【點(diǎn)睛】

本題考查了排列組合在古典概型中的應(yīng)用，考查了學(xué)生綜合分析，概念理解，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.

4、A

【解析】

設(shè)點(diǎn)則點(diǎn)Q(O,y),廠(1,0),利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得PQ?'=￡(/一2丫一：，利用二次函

數(shù)的性質(zhì)可得最值.

【詳解】

(y1)

解：設(shè)點(diǎn)尸一/，則點(diǎn)Q(0,y),F(l,0),

(4)

.(J)、

PQ=-4,0,PF=1—"

7

(?2A(2\

PQ-PF=-^-,0-y

44

k7I47

當(dāng)y2=2時，PQ.PE取最小值，最小值為-

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查拋物線背景下的向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查學(xué)生的計算能力，是基礎(chǔ)題.

5、D

【解析】

依題意，設(shè)2=。+初，由|z—3|=2,得①―3)2+/=4,再一一驗(yàn)證.

【詳解】

:&.z=a+bi,

因?yàn)閨z—3|=2,

所以(a—3)2+〃=4,

經(jīng)驗(yàn)證M(4,1)不滿足,

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的幾何意義，還考查了推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題.

6、C

【解析】

根據(jù)圖形，計算出然后解不等式即可.

【詳解】

解：x=|x(l+2+3+4+5)=3,y=1x(0.02+0.05+0.1+0.15+0.18)=0.1

點(diǎn)(3,0.1)在直線9=0.042%+省上

0.1=0.042x3+4,a=-0.026

j=0.042%-0.026

令》=0.042X—0.026>0.5

%>13

因?yàn)闄M軸1代表2019年8月，所以橫軸13代表2020年8月，

故選：C

【點(diǎn)睛】

考查如何確定線性回歸直線中的系數(shù)以及線性回歸方程的實(shí)際應(yīng)用，基礎(chǔ)題.

7、C

【解析】

由函數(shù)/(x)=sina>x(&>>0)的圖象向右平移氐個單位得到g(x)=sin[co(.x-^)]=sinkcox-),函數(shù)g(x)在

jrjrjrjr

區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間

_o3J|_32_

上單調(diào)遞減，可得x時，g(x)取得最大值，即(ox?—算)='+2左不，kwZ,。>0,當(dāng)k=0時，解得6y=2,

故選C.

點(diǎn)睛：本題主要考查了三角函數(shù)圖象的平移變換和性質(zhì)的靈活運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題；據(jù)平移變換“左加右減，上加下減”

的規(guī)律求解出g(x),根據(jù)函數(shù)g(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間y,-上單調(diào)遞減可得x時，g(x)取

得最大值，求解可得實(shí)數(shù)。的值.

8、B

【解析】

根據(jù)拋物線方程求得焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，結(jié)合定義表示出|人口；根據(jù)拋物線與圓的位置關(guān)系和特點(diǎn)，求得3點(diǎn)橫坐

標(biāo)的取值范圍，即可由AE48的周長求得其范圍.

【詳解】

拋物線V=8x,則焦點(diǎn)/（2,0）,準(zhǔn)線方程為％=—2,

根據(jù)拋物線定義可得|”|=%+2，

圓（x-2『+爐=16,圓心為（2,0）,半徑為4,

點(diǎn)4、3分別在拋物線/=8x及圓f+產(chǎn)―4x—12=0的實(shí)線部分上運(yùn)動，解得交點(diǎn)橫坐標(biāo)為2.

點(diǎn)A、3分別在兩個曲線上，AB總是平行于x軸，因而兩點(diǎn)不能重合,不能在x軸上,則由圓心和半徑可知/e（2,6）,

則△/的周長為|入其+|+忸同=以+2+%—以+4=6+口，

所以6+/?812）,

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了拋物線定義、方程及幾何性質(zhì)的簡單應(yīng)用，圓的幾何性質(zhì)應(yīng)用，屬于中檔題.

9、B

【解析】

先化簡集合A,再求QA.

【詳解】

由必<1得：—1<%<1,所以4=網(wǎng)，因此?L={—1,1,2},故答案為B

【點(diǎn)睛】

本題主要考查集合的化簡和運(yùn)算，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和計算推理能力.

10、C

【解析】

解：因?yàn)镻={y[y=-x2+1,xGR}={y|y<1},Q={y|y=2x,x￡R}={y|y>0},因此選C

11、B

【解析】

m=Qfm=1[m—2..

根+〃=2,有c，{1{八三種情形，用（尤—1）3=（—1+%）3中/的系數(shù)乘以（y—2）5=（—2+y）5中y〃

n=2=1

的系數(shù)，然后相加可得.

【詳解】

當(dāng)加+〃=2時，（x—l）3（y—2）5的展開式中X",的系數(shù)為

c；xm（-i）3-m-c;/（-2）5-n=c;-c;-（-i）8-（m+n）-25fzy=25T.G"，.G'x"y.當(dāng)加=o,“=2時，系數(shù)為

23xlxlO=8O;當(dāng)m=1,〃=1時，系數(shù)為24x3x5=240;當(dāng)加=2,〃=0時，系數(shù)為x3xl=96;故滿足

相+〃=2的的系數(shù)之和為80+240+96=416.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查二項(xiàng)式定理，掌握二項(xiàng)式定理和多項(xiàng)式乘法是解題關(guān)鍵.

12、A

【解析】

"3=0,

對函數(shù)/（X）求導(dǎo)，可得c，即可求出a,b，進(jìn)而可求出答案.

J（1）=2

【詳解】

因?yàn)?0）=加+3廠+6,所以八x）=3or+6x,則L,八,…解得口=-2力=1,則。一5=-3.

/（l）=a+3+P=2

故選:A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與極值，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、1

【解析】

作出約束條件表示的可行域，轉(zhuǎn)化目標(biāo)函數(shù)z=2x+y為y=-2x+z,當(dāng)目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)（2,3）時，直線的截距最大,

取得最大值，即得解.

【詳解】

作出約束條件表示的可行域

是以A(2,3),B(-1,O),C(1,O),為頂點(diǎn)的三角形及其內(nèi)部,

轉(zhuǎn)化目標(biāo)函數(shù)z=2x+y為y=-2x+z

當(dāng)目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)(2,3)時，直線的截距最大

此時z=2x2+3=7取得最大值1.

故答案為：1

【點(diǎn)睛】

本題考查了線性規(guī)劃問題，考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)形結(jié)合，數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

14、-40

【解析】

由題意，設(shè)等比數(shù)列的公比為彘根據(jù)已知條件，列出方程組,求得的值，利用求和公式，即可求解.

【詳解】

由題意，設(shè)等比數(shù)列的公比為q,

a,-CLq=2

因?yàn)閝=2,。，一/=6,即〈、，，解得4=3,%=-1,

%q—%q=6

所以S4==—40?

1—41-3

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，及前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用,其中解答中根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，正確求解首項(xiàng)

和公比是解答本題的關(guān)鍵，著重考查了推理與計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

15、8.

【解析】

利用a±b轉(zhuǎn)化得到a?。=o力口以計算，得到m?

【詳解】

向量a=(-4,3),b=(6,m),aLb,

則a?b=0,-4x6+3m=0,m=8?

【點(diǎn)睛】

本題考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算、平面向量的數(shù)量積、平面向量的垂直以及轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用.屬于容易題.

16、(3e,+co)

【解析】

4G22e2e

首先把零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為方程問題，等價于Inx=-——-有三個零點(diǎn)，兩側(cè)開方，可得x=。土-F=，即a=x±

(x-a)VinxVinx

有三個零點(diǎn)，再運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合最值即可求出參數(shù)的取值范圍.

【詳解】

4e2

若函數(shù)/X)=/(%)-g(x)有三個零點(diǎn)，即Inxn7——3零點(diǎn)有，顯然％>1，則有(a-x)2=絲，可得

(x-a)Inx

x=a+R——,即a=x±￡——有三個零點(diǎn),不妨令g(x)=x±-^=,對于g(x)=xr=,函數(shù)單調(diào)遞增，

JinxJinxJinxJinx

g(八/五—2缶<0,g(e-)=e2-e>Q,所以函數(shù)在區(qū)間(1,+向上只有一解，對于函數(shù)g(x)=x+^2^e,

3

g(X)_]c(lnx)2_0,解得x=e,g'(x)<0,解得l<x<e,g'(￡)>0,解得x〉e,所以函數(shù)在區(qū)間(l,e)

上單調(diào)遞減，在區(qū)間(e,+8)上單調(diào)遞增，g(e)=e+2e=3e,當(dāng)時，g(X)->-HX),當(dāng)％f中?時，g(x)f+o。,

此時函數(shù)若有兩個零點(diǎn)，則有a>3e,綜上可知，若函數(shù)人(無)=/'(%)-g(x)有三個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

(3e,+<?).

故答案為：(3e,+8)

【點(diǎn)睛】

本題考查了函數(shù)零點(diǎn)的零點(diǎn)，恰當(dāng)?shù)拈_方，轉(zhuǎn)化為函數(shù)有零點(diǎn)問題，注意恰有三個零點(diǎn)條件的應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)的最值

求解參數(shù)的范圍，屬于難題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

/、r…lz、21n?+l

17、(1)見解析；(2)-----「

7T-1

【解析】

(1)不等式〃》)<1等價于sinx<x,xe(O,句，設(shè)M%)=sinx—x,x?0,句，利用導(dǎo)數(shù)可證p(x)<0恒成立,

從而原不等式成立.

(2)由題設(shè)條件可得g(￡|=/(xo)在(°，句上有兩個不同零點(diǎn)，且[0,1)口{y|y=ga),xe(O,?]},利用導(dǎo)數(shù)討論

g(x)的單調(diào)性后可得其最小值，結(jié)合前述的集合的包含關(guān)系可得加的取值范圍.

【詳解】

⑴設(shè)p(x)=sinx-則p［x)=cosx-l,

當(dāng)％?0,句時，由p'(x)<0,所以p(x)在(0,句上是減函數(shù)，

所以p(x)<p(O)=O,故sinx<x.

因?yàn)榫?0,司，所以笠^<1,所以當(dāng)xe(O,?］時，/(x)<l.

(2)由(1)當(dāng)xe(O,句時,0</(x)<l；

任意尤o?0,同，存在不?0,句和%W/)使8(%)=8(*2)=/(不)成立，

所以g(尤)=/5)在(0,句上有兩個不同零點(diǎn)，且［0,1)口{y|y=g(x),xe(O,?］},

(1)當(dāng)〃2=0時，g(x)=-21nx在(0,句上為減函數(shù)，不合題意；

(2)當(dāng)niwO時，g'(x)=~~一

X

由題意知g(x)在(0,句上不單調(diào)，

22

所以。<一<兀，即機(jī),一，

m7i

當(dāng)時，g'(x)<0,時，g'(x)>°，

(2、(2)

所以g(x)在0-上遞減，在一，萬上遞增，

Vrnj)

所以g(?)=(%-1)加一21n%21,解得〃2“"+1,

因?yàn)閘e(0,捫，所以⑴=0成立,

下面證明存在］。目，使得g(”,

2

取，=6一機(jī)，先證明"“<一,即證2*一機(jī)>0，

m

mm

令h(mj=2e-m9則〃(間=2e一1>0在(0,+8)時恒成立,

所以2e機(jī)—加>2—0>0成立，

e、r/21nTT+12+1.

因?yàn)間(e\)=me-m+m>m>------->---->1,

\77C~\71-1

、2In7T+1，，一?、.

所以用2-------時命題成上.

7T-1

21n7r+l21n〃22b”、21n?+l

因?yàn)?....—>-->―所以加2---------.

71-171-17T-17171

故實(shí)數(shù)機(jī)的最小值為2+1.

〃一1

【點(diǎn)睛】

本題考查導(dǎo)數(shù)在不等式恒成立、等式能成立中的應(yīng)用，前者注意將欲證不等式合理變形，轉(zhuǎn)化為容易證明的新不等式,

后者需根據(jù)等式能成立的特點(diǎn)確定出函數(shù)應(yīng)該具有的性質(zhì)，再利用導(dǎo)數(shù)研究該性質(zhì)，本題屬于難題.

18、(1)見解析；(2)S

7

【解析】

(1)由平面ABCD,平面上4。的性質(zhì)定理得平面上4D,.?.人3，？0.在八抽0中，由勾股定理得

PDLAP,..PD，平面R43,即可得PDLPB；

(2)以P為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，由空間向量法和異面直線與CE所成角的余弦值為巫，得點(diǎn)M的

5

坐標(biāo)，從而求出二面角M-AB-P的余弦值.

【詳解】

（1）平面ABCD_L平面R4D，平面ABCZ）平面上4￡>=AD,ZBAD=90，所以AB_LAD.由面面垂直的

性質(zhì)定理得ABL平面ELD,在AR4D中，AP=^-AD,NADP=30，；?由正弦定理可得：

2

sinZADP=-sinZAPD,

2

:.ZAPD^90，即PDLAP,..PD，平面PAB,:.PD±PB.

(2)以尸為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則8（0,1,1）,C

35—

5一Z"M

=ACOSBM,CE=，”產(chǎn)

），

C2,\BM\\CE\U-2~~忑5

A/2〃一3ct+2x—

V2

#?=-,=而A3=（0,0,l）,設(shè)平面ABM的法向量為以=（蒼以z）‘由|?？傻?

3333v'v7n-AB=0

y/3x-2y-z=0

令x=2,則〃=(2,g,0),取平面R鉆的法向量加=(1,0,0),則

z=0

m-n22A/7,,一~山人一⑷r2-J1

cosm,n二I―ppr=-j^->故二面角Af—AB—P的余弦值為-----.

|m||n|V777

【點(diǎn)睛】

本題考查了線線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)和向量法的合理運(yùn)用,

屬于中檔題.

19、(1)證明見解析(2)g+s)

【解析】

(1)先利用導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和導(dǎo)數(shù)公式求出f\x),再由函數(shù)/'(X)的導(dǎo)數(shù)可知，

函數(shù)/(X)在(4,0)上單調(diào)遞增，在，口上單調(diào)遞減，而尸［-￡|〉0,廣百|(zhì)〉°，可知/‘。)>0在區(qū)間

上恒成立，即/‘(X)在區(qū)間［-看,上沒有零點(diǎn)；

cinVcinx

(2)由題意可將/(%)>0轉(zhuǎn)化為辦----------->0,構(gòu)造函數(shù)方(%)二"------------,

2+cosx2+cosx

利用導(dǎo)數(shù)討論研究其在X￡(0,+8)上的單調(diào)性，由40>0,即可求出〃的取值范圍.

【詳解】

(1)若4=1,貝!|/(X)=x(2+cos%)-sinx,/'(%)=2-xsinx,

設(shè)/z(x)=7'(%)=2-xsinx,貝(!"(x)=-sin%-%cos%,/z'(0)=0,

hr(-x)=sinx+%cos光=-h'(x),故函數(shù)4(x)是奇函數(shù).

當(dāng)時，sinx>0,xcosx>0,這時"(x)<0,

又函數(shù)〃'(x)是奇函數(shù)，所以當(dāng)時，//(x)>0.

綜上，當(dāng)時，函數(shù)/'(x)單調(diào)遞增；當(dāng)xe0微時，函數(shù)/'(X)單調(diào)遞減.

7T

又/=2-->0,f2一表0,

71717171

故/'。)>0在區(qū)間上恒成立，所以/(X)在區(qū)間上沒有零點(diǎn).

sinx

(2)/(%)=(2+cosx)ax--,---由--c-o--sxe[—l,l],所以2+cosx>0恒成立,

2+cosx

升「/、八risinx八、r-、sinx

右/(x)>。，貝!)依---------->0,設(shè)/(幻二依----------,

2+cos%2+cosx

2cosx+l_23(11V1

(2+cosx)2+cosx(2+cosx)-(2+cosx3)3

故當(dāng)a時，尸(x)N0,又/(0)=0,所以當(dāng)尤>0時，F(xiàn)(x)>0,滿足題意；

當(dāng)avo時，有/[耳)=5義。一5<0,與條件矛盾，舍去；

當(dāng)0<a<』時，令g(x)=sinx—3依，則g'(x)=cosx-3a,

又3a<1,故g'(x)=cosx—3a=0在區(qū)間(0,+co)上有無窮多個零點(diǎn),

設(shè)最小的零點(diǎn)為X1,

則當(dāng)xe(O,xJ時，g'(x)>0,因此g(x)在(0,石)上單調(diào)遞增.

g(x)>g(0)=0,所以sinx>3ac.

十口,,/八、sinxsinxsin%人一

于是，當(dāng)xe(O,%)時，-------->----->ax,得ta-------------<0,與條件矛盾.

2+cosx32+cosx

故a的取值范圍是

【點(diǎn)睛】

本題主要考查導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和導(dǎo)數(shù)公式的應(yīng)用，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，涉及分類討論思想和

放縮法的應(yīng)用，難度較大，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力，數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和邏輯推理能力，屬于較難題.

20、(1)證明見詳解；(2)好

5

【解析】

(1)取AC中點(diǎn)。，根據(jù)ACLPQACLB。，利用線面垂直的判定定理，可得AC，平面003,最后可得結(jié)果.

(2)利用建系，假設(shè)AC長度，可得AC，以及平面MB的一個法向量，然后利用向量的夾角公式，可得結(jié)果.

【詳解】

(1)取AC中點(diǎn)。，連接。R05,如圖

由PA=PC,AB=BC

所以

由POBO=O,PO,BOcOPB

所以AC,平面O/歸，又Qfiu平面OM

所以ACLP3

(2)假設(shè)AC=3,

由NAPC=120°,NABC=90°，AC=V3PB.

所以尸3=6,03=3,OP=走

22

則=O§2+op2,所以。

又OPLAC,ACc03=0,AC,06u平面ABC

所以尸0,平面ABC,所以POLOB,POLOC

又OBLOC,故建立空間直角坐標(biāo)系O-孫z,如圖

y

x

d0,—g,o：c[o,|,o：'|,o,o：p

、

S，o"=fo3也

AC=（0,3,0）,AB=[。2,2

7

設(shè)平面PAB的一個法向量為n=(%,y,z)

33八

n-AB=022

則n

n-AP=03,6?

—yd---z=0

122

令Z=G，所以〃=

n-AC=好

則直線AC與平面K48所成角的正弦值為

n\AC

【點(diǎn)睛】

本題考查線面垂直、線線垂直的應(yīng)用，還考查線面角，學(xué)會使用建系的方法來解決立體幾何問題，將幾何問題代數(shù)化,

化繁為簡，屬中檔題.

21、(1)見解析(2)-1<c<-l(3)l—64mW2也

【解析】

(1)若函數(shù),"X)=分2+"-0有局部對稱點(diǎn)，貝！J/(―X)+/(X)=0,即(以2+/一〃)+(?_?一灰一.)=0有解，即可求證;

(2)由題可得g(r)+g(x)=0在［-1』內(nèi)有解，即方程2*+2一*+2c=0在區(qū)間［T1］上有解，則-2c=2'+2T,設(shè)

t=2X(-1<%<1)，利用導(dǎo)函數(shù)求得2,+2T的范圍，即可求得。的范圍；

(3)由題可得網(wǎng)r)+//(%)=0在R上有解,即4-x-m-2TM+■_3+(4'_加?26+■—3)=0在尺上有解，設(shè)

2、+2r=。?22),則可變形為方程產(chǎn)一2機(jī)t+2m2—8=0在區(qū)間［2,+8)內(nèi)有解，進(jìn)而求解即可.

【詳