2024年3月莆田市高三數(shù)學(xué)高考二模質(zhì)檢試卷附答案解析

2024年3月莆田市高三數(shù)學(xué)高考二模質(zhì)檢試卷

試卷滿分150分.考試時(shí)間120分鐘.2024.03

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目

要求的.

1.i為虛數(shù)單位，iz=l+i,則目=（）

A.1B.41C.百D.2

2.若集合”={3,4,5},4門(mén)8={3,4},則集合3可能為（）

A.{2,3,4}B.{2,3,5}C.{3,5,6}D.{4,5,6}

3.某校高三年級(jí)有男生600人，女生400人.為了獲得該校全體高三學(xué)生的身高信息，采用按比例分配

的分層隨機(jī)抽樣抽取樣本，得到男生、女生的平均身高分別為173cm和163cm，估計(jì)該校高三年級(jí)全體學(xué)

生的平均身高為（）

A.167cmB.168cmC.169cmD.170cm

4.柏拉圖多面體是指每個(gè)面都是全等正多邊形的正多面體，具有嚴(yán)格對(duì)稱，結(jié)構(gòu)等價(jià)的特點(diǎn).六氟化硫

具有良好的絕緣性和廣泛的應(yīng)用性.將六氟化硫分子中的氟原子按圖1所示方式連接可得正八面體（圖

2）.若正八面體外接球的體積為：，則此正八面體的表面積為（）

]—41

5?若尸（存）=歷，尸（彳）=不尸（8）="則（）

A.事件A與3互斥B.事件A與B相互獨(dú)立

13-1

CP…五D.P(AB)=-

6.已知拋物線/=4x的焦點(diǎn)為尸，點(diǎn)M在拋物線上.若點(diǎn)。在圓（x-3了+/=1上，則+的

最小值為（）

A.5B.4C.3D.2

7.已知角。的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與1軸的非負(fù)半軸重合，把它的終邊繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角，后經(jīng)過(guò)

點(diǎn)則sin“=()

1633—5663

A.—B.—C.—D.—

65656565

8.對(duì)于函數(shù)y=/(x)和y=g(x),及區(qū)間。，若存在實(shí)數(shù)4,6,使得/(x)2丘+62g(x)對(duì)任意xe。恒

成立，則稱＞=/(x)在區(qū)間。上“優(yōu)于"V=g(x).有以下四個(gè)結(jié)論：

①/(x)=COSX在區(qū)間R上“優(yōu)于"g(x)=1-；

②/(x)=tanx在區(qū)間上“優(yōu)于"g(x)=sinx；

③f(x)=e*-1在區(qū)間(-l,+oo)上“優(yōu)于"g(x)=ln(x+l)；

④若/'(x)=ox(x-l)在區(qū)間(0,+e)上“優(yōu)于"g(x)=lnx,則。=1.

其中正確的有()

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全

部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知函數(shù)/(x)=siiucosx,則()

B.〃x)的最大值為1

C.〃x)在詞上單調(diào)遞增

D.將函數(shù)/(無(wú))的圖象向右平移兀個(gè)單位長(zhǎng)度后與/(x)的圖象重合

10.在正方體48a中，點(diǎn)M在平面NCR上異于點(diǎn)C),則()

A.直線與。與CM垂直.

B.存在點(diǎn)使得CM〃A8i

C.三棱錐4-8G/的體積為定值

2

D.滿足直線G"和4G所成的角為三的點(diǎn)〃的軌跡是雙曲線

11.已知定義在R上的函數(shù)/(x)滿足：/(x+y)=/(x)+/(y)-3j(y(x+y),則()

A.y=/(x)是奇函數(shù)

B.若〃1)=1,則/(-2)=4

C.若=則>=/(尤)+/為增函數(shù)

D.若Vx>0,/(x)+x3>0,則y=f(x)+x3為增函數(shù)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分

12.已知3=(1,。),晨3=2,則向=,B在)上的投影向量的坐標(biāo)為.

13.已知AABC的內(nèi)角4及。的對(duì)邊分別為。，“c,若cosC=，,a=2忌，則cos/=.

14.如圖，點(diǎn)。是邊長(zhǎng)為1的正六邊形N8COE廠的中心，/是過(guò)點(diǎn)O的任一直線，將此正六邊形沿著/折

疊至同一平面上，則折疊后所成圖形的面積的最大值為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15.已知等差數(shù)列｛g｝的前〃項(xiàng)和為5.，公差dwO,且電,%，%成等比數(shù)列，￡=15.

(1)求數(shù)列｛七｝的通項(xiàng)公式；

⑵若b?=1'；然:'求數(shù)列抄“｝的前2n項(xiàng)和Tln.

16.如圖，在四棱柱/BCD-44GA中，底面/BCD為直角梯形，AB±AD,AB//CD,CD=2AB.

(1)證明：8?！ㄆ矫?8。；

3

⑵若AAtl平面ABCD,AB=AAi=1,AD=2,求二面角A「BD「D的正弦值.

17.某商場(chǎng)將在“周年慶”期間舉行“購(gòu)物刮刮樂(lè)，龍騰旺旺來(lái)”活動(dòng)，活動(dòng)規(guī)則：顧客投擲3枚質(zhì)地均勻

的股子.若3枚骰子的點(diǎn)數(shù)都是奇數(shù)，則中“龍騰獎(jiǎng)”，獲得兩張“刮刮樂(lè)”；若3枚骰子的點(diǎn)數(shù)之和為6

的倍數(shù)，則中“旺旺獎(jiǎng)”，獲得一張“刮刮樂(lè)”；其他情況不獲得“刮刮樂(lè)”.

(1)據(jù)往年統(tǒng)計(jì)，顧客消費(fèi)額X(單位：元)服從正態(tài)分布N(130,25).若某天該商場(chǎng)有20000位顧客,

請(qǐng)估計(jì)該天消費(fèi)額X在［105,180］內(nèi)的人數(shù)；

附：若X~N(〃,cr2),則尸(〃-bVXV〃+b)*0.6827,尸(〃-2(TVXW〃+2O?b0.9545.

31

(2)已知每張“刮刮樂(lè)”刮出甲獎(jiǎng)品的概率為a,刮出乙獎(jiǎng)品的概率為

①求顧客獲得乙獎(jiǎng)品的概率；

②若顧客已獲得乙獎(jiǎng)品，求其是中“龍騰獎(jiǎng)”而獲得的概率.

18.已知橢圓￡：?+%=1(。>6>0)的離心率為:，且￡上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離的最大值為2+G.

(1)求橢圓E的方程；

⑵己知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)于E內(nèi)任一點(diǎn)尸，直線。交E于4c兩點(diǎn)，點(diǎn)反。在￡上，且滿足麗=2麗，

求四邊形48CD面積的最大值.

19.已知函數(shù)/'(x)=e*-/nx,xe(O,+8).

(1)證明：當(dāng)/Ve時(shí)，/(x)>0；

⑵若函數(shù)g(x)=/(x)-尤hu-1有兩個(gè)零點(diǎn)玉,馬.

①求加的取值范圍；

②證明：再+lnx2<m~~~■

1.B

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法化簡(jiǎn)運(yùn)算，在根據(jù)模長(zhǎng)公式求解即可得答案.

【詳解】因?yàn)閕z=i+i,所以z=7=9=1-i,則目=［『+(-1)2=VL

故選：B.

2.A

【分析】根據(jù)題中條件逐項(xiàng)驗(yàn)證即可.

【詳解】對(duì)于A,若3={2,3,4},則/c3={3,4},

4

符合題意，故A正確;

對(duì)于B,若5={2,3,5},則/口8={3,5},

不符合題意，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,若8={3,5,6},則4口8={3,5},

不符合題意，故C錯(cuò)誤;

對(duì)于D,若3={4,5,6},則/cB={4,5},

不符合題意，故D錯(cuò)誤，

故選：A.

3.C

【分析】根據(jù)題意結(jié)合平均數(shù)的計(jì)算公式運(yùn)算求解.

【詳解】由題意可得：估計(jì)該校高三年級(jí)全體學(xué)生的平均身高為0.6x173+0.4x163=169（cm）.

故選：C.

4.D

【分析】根據(jù)正八面體的幾何特點(diǎn)求得該幾何體的球心，再由球的體積計(jì)算公式求得球半徑，結(jié)合球半

徑和棱的關(guān)系，以及三角形面積計(jì)算公式，即可求得結(jié)果.

【詳解】根據(jù)題意，作正八面體如下所示，連接AC,BD,PE,設(shè)/CcBD=O,

根據(jù)其對(duì)稱性可知，PE過(guò)點(diǎn)O,

又該八面體為正八面體，則面48c0,又/Ou面48cD,故尸OL/O；

顯然正八面體的外接球球心為。，設(shè)其半徑為R,PA=a,

則尸=A,在直角三角形尸/。中，a=PA=^OA2+OP2=72/?；

47r47r

由々-斤=工-可得R=1,貝!Ja=；

故該八面體的表面積S=8x立/=2、/5x2=4y/”.

5

故選：D.

5.B

【分析】對(duì)于A,由尸(/B)HO即可判斷，對(duì)于B,由對(duì)立事件概率公式以及獨(dú)立乘法公式驗(yàn)證；對(duì)于C,

由尸(4+3)="(4)+尸(3)-尸(48)即可判斷;對(duì)于D,由尸(五8)=尸尸(/2)即可判斷.

32211

【詳解】對(duì)于AB,P(^)=l--=-,MJP(^)JP(S)=-x-=—=^(^5)^0,故A錯(cuò)誤B正確；

對(duì)于C,尸(/+8)=尸(/)+尸(8)-尸(/3)=；+|-5=5,故C錯(cuò)誤；

_11Q

對(duì)于D,Pi^AB)=—P^AB^=—YQ=2Q,故D錯(cuò)誤.

故選：B.

6.C

【分析】畫(huà)出圖形結(jié)合拋物線定義、三角形三邊關(guān)系以及圓上點(diǎn)到定值線距離的最值即可求解.

由題意拋物線r=4尤的準(zhǔn)線為x=-l,它與x軸的交點(diǎn)為(-1,0),焦點(diǎn)為尸(1,0),

過(guò)點(diǎn)M向拋物線的準(zhǔn)線引垂線，垂足為點(diǎn)N,

設(shè)圓。-3『+：/=1的圓心為網(wǎng)3,0),已知圓與x軸的交點(diǎn)為點(diǎn)后，

\MF\+\MQ\=\MN\+\MQ\>\NQ\>|詆|一歸°|=|2VP|-r=|^|-1>|DP|-1=4-1=3,

且\MF\+\MQ\=3成立的條件是M,O重合且QE重合，

綜上所述，|兒加|+|同。|的最小值為3.

故選：C.

7.B

【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系求得sin",cos￡的值，再結(jié)合正弦兩角差公式即可得sina的值.

6

【詳解】因?yàn)閠an￡=g￡《O,/所以3夕=黑吃則sm￡=*s￡,

144(71\1?5

又sin2/?+cos2〃=l,所以COS2/?=7^,由￡e|0,彳|得cos/?=不，貝ljsin〃=：n

169I2J1313

(43、43

由題意可知角a+￡的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)[不,貝1人擊(。+夕)=),(：05(。+/)=不，

Ain3533

所以sine=sin[(c+￡)-￡]=sin(a+4)cos尸-cos(ar+^)sin^=yx---x—=—

故選：B.

8.B

【分析】對(duì)于①②:根據(jù)題意結(jié)合函數(shù)圖象分析判斷;對(duì)于③:構(gòu)建函數(shù)/卜)=/⑺-x,G(x)=g(x)-x,

利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，可證f(x"x2g(x),x>7；對(duì)于④：根據(jù)〃l)=g⑴=0結(jié)合公切線可得

a=l,并檢驗(yàn).

【詳解】對(duì)于①：若cosx2Ax+6在區(qū)間R上恒成立,

結(jié)合余弦函數(shù)的圖象可知：k=0,b<-\,

若左=0,64-1,此時(shí)>=6與g(x)=l-g/必有兩個(gè)交點(diǎn),

由圖象可知：6,1-0‘不恒成立'

即不存在實(shí)數(shù)上泊，使得/(無(wú)"依+6g@)對(duì)任意xeR恒成立，故①錯(cuò)誤;

tanx,xG

7171

結(jié)合正切函數(shù)圖象可知，不存在在實(shí)數(shù)左力,使得+6對(duì)任意恒成立，故②錯(cuò)誤;

252

7

對(duì)于③：構(gòu)建b(x)=/(x)-x=eX-x-l,x>-l,

則F(x)=ex-I,x>-1,

令尸(x)>0,解得x>0；F(x)<0,解得-l<x<0；

可知尸(x)在(TO)內(nèi)單調(diào)遞減，在(0,+功內(nèi)單調(diào)遞增，

則P(x)士尸(0)=0,gp/(x)>x,x>-l；

構(gòu)建G(x)=g(x)-x=ln(x+l)—JC,X>-1,

1Y

貝!JG'(x)=--1=-----,x>-1,

令G[x)>0,解得T<x<0；G(x)<0,解得x>0；

可知G(x)在(0,+s)內(nèi)單調(diào)遞減，在(-1,0)內(nèi)單調(diào)遞增，

則G(x)4G(0)=0,即g(x)4x,x>-1；

綜上所述：/(%)>%>g(x),x>-l,

即存在實(shí)數(shù)上=1,6=0,使得/(無(wú))2丘+62g(x)對(duì)任意xe(T,+8)恒成立,

所以/(x)=e*-1在區(qū)間(-1,+8)上“優(yōu)于"g(x)=In(x+1),故③正確；

對(duì)于④：因?yàn)榘薼)=g⑴=0,且/'(x)=a(2x-l),g'(x)=：,

若/(x)="(X-1)在區(qū)間(0,+8)上“優(yōu)于"g(x)=lnx,

可知符合條件的直線>=h+匕應(yīng)為/(x),g卜)在x=1處的公切線，

則/'⑴=g'。)，可得。=1,則切線方程為>=x-l,

構(gòu)建，(x)=/(x)-x+l=(x-l)2"在即xe(0,+8)內(nèi)恒成立，

可得/(x)2x-l,x>0；

由③可知：ln(jc+l)<jc,x>-l,可得lnx4x-l,x>0;

綜上所述：/(x)>Jc>g(x),Jc>0.

所以。=1符合題意，故D正確;

8

故選：B

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對(duì)于③：通過(guò)構(gòu)建函數(shù)證明/(x)2x2g(x),x>-l；

對(duì)于④：根據(jù)/'(i)=g(i)=o,結(jié)合題意分析可得了'(l)=g'(l),即可得a=l,注意檢驗(yàn).

9.AD

【分析】由二倍角公式化簡(jiǎn)函數(shù)表達(dá)式，可直接判斷AB,舉反例判斷C,由函數(shù)平移變換法則可判斷

D.

【詳解】對(duì)于AB,f(x)=sinxcosx=^-sin2x<^,/f｝山5=:,故A對(duì)B錯(cuò)；

當(dāng)/(-Llsin2E=l>/f2ZE]=lsin^=故C錯(cuò)誤；

[4222I8J244

將函數(shù)/(無(wú))的圖象向右平移兀個(gè)單位長(zhǎng)度后的圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為

/(x)=gsin2(尤一7t)=；sin2x,故D正確.

故選：AD.

10.ACD

【分析】根據(jù)線面垂直的判定定理以及性質(zhì)定理，可判斷A；采用反證的方法判斷B；根據(jù)三棱錐的體

積公式判斷C；結(jié)合圓錐曲線的形成判斷D.

【詳解】對(duì)于A,在正方體488-4月。。1中，8片，平面/BCD,/Cu平面/BCD,

故又BD工AC,且BBicBD=B,BBi，BDu平面B&D,

故ZC_L平面目3。，BQu平面B[BD,故AC，BD,

同理可證AD,1BD,AD}^AC=A,ADi,AC^^ACDl,

故BQ1平面ACD,,CMu平面ACD,，故BQVCM,A正確;

對(duì)于B,由于3月〃D。，假設(shè)存在點(diǎn)M,使得CM〃84,而CNu平面NCR,

9

BB\<z平面ACDlt則BBl//平面ACDt,則DDt//平面ACDt或DD{u平面4C%,

而直線與平面AC%顯然相交，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于c,由于2G〃/尻2G=/8,故四邊形/8G2為平形四邊形，

則8G〃N2，/Qu平面NCR,8G<Z平面NCR,故8G〃平面NCR,

同理可證4G〃平面NCR,4GnBC{=G,4GGu平面43G,

故平面45G〃平面ACDt,即平面48G和平面4CDI之間的距離為定值，

而M€平面/C2,故M點(diǎn)到平面42G的距離為定值，

由于V4BG的面積為定值，故三棱錐/-43G的體積為定值，

則三棱錐4-80/的體積為定值，c正確；

對(duì)于D,直線G"和4G所成的角為W，則M軌跡為以4G為軸、以G"所在直線上的線段為母線的

圓錐被平面NCR所截得的曲線，

由于4G〃平面NCR,結(jié)合圓錐曲線的形成（淡藍(lán)色部分為雙曲線），

可知滿足直線G"和4c所成的角為方的點(diǎn)”的軌跡是雙曲線，D正確

故選：ACD

11.ABD

【分析】根據(jù)已知條件，利用函數(shù)奇偶性的定義，單調(diào)性的定義和性質(zhì)，結(jié)合賦值法的使用，對(duì)每個(gè)選

項(xiàng)進(jìn)行逐一分析，即可判斷和選擇.

【詳解】對(duì)A：定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；

對(duì)原式，令x=y=O,可得/⑼=2〃0）,解得/（0）=0；

10

對(duì)原式，令〉=-工，可得f(o)=/(x)+“T),即“X)+/'(_”=0,

故y=f(x)是奇函數(shù)，A正確；

對(duì)B：對(duì)原式，令x=y=l,可得〃2)=2〃1)一3x2,

又/⑴=1，貝Uf(2)=2xl-6=-4；

由A可知，y=/(x)為奇函數(shù)，故/(-2)=-[(2)=4,故B正確;

對(duì)C：由A知，[(0)=0,又/(1)=-1,對(duì)了=/(力+》3,

當(dāng)x=0時(shí)，>=/(0)+0=0；當(dāng)x=l時(shí)，>=/(1)+1=0；

故y=/(x)+x3在/⑴=一1時(shí)，不是單調(diào)增函數(shù)，故C錯(cuò)誤；

對(duì)D：在R上任取%>%,令Mx)=f(x)+x3,

貝(]〃(國(guó))一〃(尤2)=/(再)+)；—/()2)-只

=/[(%1-X2)+X2]-/(X2)+(%1-X2)(X+4+占@

=-x2)+f(x2)-3(x,-x2)x2[(玉一龍2)+^2]-Xxj{X]-x)(彳+石+玉@

=f-x2)-3xtx2(X,-X2)+(X1-X2)(XI+xl+X]xj

=/(X)-X2)+(Xj+Xj-2XJX21

=〃X]-%)+(X]_X2)3,

由題可知Vx>0J(x)+x3>0,又再-12>0，故/(尤1一%)+(西一工2丫>0，

即訪(國(guó)戶力5)>°，”(再)>〃("),故了=〃(尤)在R上單調(diào)遞增,

也即y=/(x)+/在R上單調(diào)遞增，故D正確；

故選：ABD.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：處理本題的關(guān)鍵，一是合理的使用賦值法，對(duì)已知條件賦值，求得需要的函數(shù)值;

二是對(duì)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性定義的熟練掌握；三是在D選項(xiàng)處理過(guò)程中，對(duì)[(七)合理變形為

/[(^-x2)+x2],進(jìn)而根據(jù)抽象函數(shù)滿足的條件進(jìn)行計(jì)算，屬綜合題.

11

fl走］

12.2

、乙2’乙2)

【分析】根據(jù)向量的模長(zhǎng)的坐標(biāo)計(jì)算公式，代入數(shù)值即可求得同；根據(jù)投影向量的計(jì)算公式，結(jié)合已知

條件，即可求得投影向量的坐標(biāo).

【詳解】因?yàn)椋?(1,G),故同="2+(若『=2；

一一_/I~\

B在讓的投影向量為7xj=又)=(1,理則京=［；，?

0

故B在a上的投影向量的坐標(biāo)為

-

故答案為：2；-9-z.

1

13.——

3

【分析】根據(jù)余弦定理可得。=36,再利用余弦定理即可得cos4的值.

【詳角軍】由余弦定理可得^二片+從―2Q6COSC=1262+62—2x2^〃招=9b：,

3

所以c=3b,

1

b+02_Q2b2+9b2-l2b2_-2b2_1

于是有cosA=

2bc2b-3b——-3

故答案為：

14.673-9

【分析】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)和對(duì)稱性，可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求三角形面積最大值問(wèn)題，結(jié)合基本不等式求

出最值即可.

如圖，由對(duì)稱性可知，折疊后的圖形與另外一半不完全重合時(shí)比完全重合時(shí)面積大,

12

此時(shí)，折疊后面積為正六邊形面積的：與△尸九w面積的3倍的和.

由正六邊形的性質(zhì)和對(duì)稱性知，PM+PN+MN=\,NMPN=120°,

在△尸兒W中，由余弦定理可得：

MN2=（1-PM-PN｝2=PM2+PN2-2-PM-PNCOS120,

^2（PM+PN）-PM-PN-1=Q,

由基本不等式可知PM+PN>2dpM-PN，則0之NPM?PN-PM-PN-1,

故PM-PN-41PM?PN+l>0?

因0〈尸M<1,Q<PN<1,解得尸ArPNV（2-6）2=7一46，

當(dāng)且僅當(dāng)2攸=尸眩=2-#時(shí)等號(hào)成立，

故國(guó)弧=Q尸M.PNsin120。4彳（7-亞），

又正六邊形的面積S=6x1=XA,

42

所以折疊后的面積最大值為：字（7-4班卜3+，<?=6/-9.

故答案為：6A/3-9.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是，分析得折疊后所成圖形的面積要取得最大值時(shí)的狀態(tài)，從而

得解.

15.（l）a?=?（2）7；?=?2+1（4n-l）

【分析】（1）根據(jù)題意列式求生,",進(jìn)而可得結(jié)果；

（2）根據(jù)題意利用分組求和法結(jié)合等差、等比數(shù)列求和公式運(yùn)算求解.

%+2d=3

S5=5。3—15

【詳解】（1）由題意可得:

a：=a2a8(4+3d『=(4+d)(4+7(7)'

且dW0,解得ax=d=\,

所以數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式%=1+〃T=〃.

凡〃為奇數(shù)

（2）由（1）可得”二

2〃,〃為偶數(shù)'

13

可得T2n=4+b2+--+b2n=(4+&+2+621)+(62+64+3+62〃)

/\/242n\"(1+2”1)4(1-4〃)

=(1+3+---+2W-1)+(22+24+--?+22J=-^一-——1+；J

=n2+|(4"-l),

所以耳=/+g(4"-l).

16.(1)證明過(guò)程見(jiàn)解析(2)半

【分析】(1)取G2中點(diǎn)M,C。中點(diǎn)N,連接B\M,CM,BN,D\N,通過(guò)線面平行、面面平行的判定

定理首先得平面用CM”平面48,，再利用面面平行的性質(zhì)即可得證;

(2)建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求出兩平面的法向量，由向量夾角余弦的坐標(biāo)公式結(jié)合三角函數(shù)平方

關(guān)系即可得解.

【詳解】(1)如圖：

取?？谥悬c(diǎn)M,C0中點(diǎn)N,連接B\M,CM,BN,D、N,

一方面：因?yàn)?B//CD,CD=2AB,

所以4B〃ND,4B=ND,即四邊形/BND是平行四邊形,

所以BN//AD,BN=AD,

又40〃42,40=42,

所以BN〃42,5N=42,即四邊形4及是平行四邊形,

所以NDJ/4B,

因?yàn)镸DJICN,MD\=gGR=；CD=CN,

所以四邊形"2NC是平行四邊形，所以CM7/ND1,

仄而CM//A\B,

14

又因?yàn)镃M<z面AXBDX,48u面AXBDX,

所以CM//面4區(qū)0],

另一方面：又因?yàn)?4//四2,44,

所以四邊形A^MD,是平行四邊形，所以4"http:///Q,

又因?yàn)锽[M<z面A[BD[,40u面AlBDl,

所以/面48A，

結(jié)合以上兩方面，且注意到CNcJBm=M,CMJ8眼u平面4CN,

所以平面B、CMII平面4皿,

又4Cu平面4cM,

所以4c〃平面4BA；

（2）若平面48cD,又48,40u平面48c。，

所以/4_LAB,/4_LAD,

又AB工AD,

所以以A為原點(diǎn)，以4民組所在直線分別為X,%z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則4（0,0,1）,5（1,0,0）,￡>（0,2,0）,^（0,2,1）,

所以麗=（一1,2,0）,西=（0,0,1）,還=（1,0,-1）,西=（0,2,0）,

設(shè)％=（X],%zJ是平面Big的法向量，

fn}?BD=0f-x+2y.=0

則，------，即《八，令必=1，解得項(xiàng)=2/1=0,

丹?DR=0[馬=0

即可取平面m2的一個(gè)法向量為子=（2,1,0）,

15

設(shè)內(nèi)=(%J2/2)是平面的法向量,

n2?AXB=0x,-z9=0

則＜即"，令Z2=l,解得％=1,%=0,

〔2%=0一

n2-42=0

即可取平面48,的一個(gè)法向量為Z=(1,0,1),

設(shè)二面角4-BD「D的大小為e,

忖同—2_M

麗

所以sin0=巫，即二面角4-BD廠D的正弦值為叵.

55

3721

17.(1)16372(2)?—；②不

【分析】(1)由題意尸(105WXW180)=尸(〃-bVXW〃)+尸(〃4x(〃+2b),由此結(jié)合題中數(shù)據(jù)以及

對(duì)稱性即可求解相應(yīng)的概率，進(jìn)一步即可求解；

1711

(2)由題意有P(4)=g,尸(切4)=77,尸(為4)=:，進(jìn)一步分3大種情況求得尸(4)=『對(duì)于①，

o1646

由全概率公式即可求解；對(duì)于②，由條件概率公式即可求解.

【詳解】(1)由題意P(105VX4180)=P(1054X4130)+尸(1304x4180)

=P(〃一bVXW〃)+尸(〃V_rV〃+2b).1(0.6827+0.9545)-0.8186,

若某天該商場(chǎng)有20000位顧客，

估計(jì)該天消費(fèi)額X在［105,180］內(nèi)的人數(shù)為0.8186x20000=16372；

(2)設(shè)事件4="顧客中龍騰獎(jiǎng)”，事件4="顧客中旺旺獎(jiǎng)”，事件2="顧客獲得乙獎(jiǎng)品”,

由題意知尸⑷.總尸(814)=1-圖q”⑷=；,

事件4包括的事件是：“3枚骰子的點(diǎn)數(shù)之和為6”，“3枚骰子的點(diǎn)數(shù)之和為12”，“3枚骰子的點(diǎn)數(shù)之和

為18”，

則(i)若“3枚骰子的點(diǎn)數(shù)之和為6”，則有“1點(diǎn)，1點(diǎn)，4點(diǎn)”，“1點(diǎn)，2點(diǎn)，3點(diǎn)”，“2點(diǎn)，2點(diǎn)，2

點(diǎn)”，三類(lèi)情況，

共有砥1+人；+1=3+6+1=10種；

16

(ii)若“3枚骰子的點(diǎn)數(shù)之和為12”，則有“1點(diǎn)，5點(diǎn)，6點(diǎn)”，“2點(diǎn)，5點(diǎn)，5點(diǎn)”,“2點(diǎn)，4點(diǎn)，6點(diǎn)”,

“3點(diǎn)，4點(diǎn),5點(diǎn)”，“3點(diǎn)，3點(diǎn)，6點(diǎn)”，“4點(diǎn)，4點(diǎn),4點(diǎn)”,六類(lèi)情況，

共有人；+《＜2；+人；+人；+(2；(2；+1=6+3+6+6+3+1=25種；

(iii)若“3枚骰子的點(diǎn)數(shù)之和為18”,則有“6點(diǎn)，6點(diǎn),6點(diǎn)”,一類(lèi)情況,

共有1種;

而方10+25+1361

所有尸⑷下藍(lán)，

171137

①由全概率公式可得尸伍)=尸(4)尸⑷4)+尸(4)尸(切4)=￡”+￡:=荔7,

o10O43o4

37

即顧客獲得乙獎(jiǎng)品的概率為B;

384

②若顧客已獲得乙獎(jiǎng)品，求其是中“龍騰獎(jiǎng)”而獲得的概率是

J.7

*4吐*■4)尸(34)8、16，1

P(B)3737

384

所以顧客已獲得乙獎(jiǎng)品，求其是中“龍騰獎(jiǎng)”而獲得的概率是二.

37

18.(1)^+/=1(2)3

【分析】(1)由離心率公式以及焦半徑的最值列出方程組，結(jié)合62=/一02算出見(jiàn)。即可;

(2)分直線/C是否垂直于無(wú)軸進(jìn)行討論即可，當(dāng)直線ZC不垂直于X軸時(shí)，由弦長(zhǎng)公式、點(diǎn)到直線的

距離公式表示出四邊形/BCD的面積(含參數(shù)上,％),進(jìn)一步結(jié)合過(guò)點(diǎn)3與直線NC平行的直線/與橢圓

至少有一個(gè)交點(diǎn)，由此,從而即可進(jìn)一步求解.

【詳解】(1)由題意可得0=9=迫,a+c=2+6,

a2

所以a=2,c=5/3,Z>2=a2-c?=1,

所以橢圓￡的方程是片+丫2=1；

4-

(2)設(shè)點(diǎn)8到直線4C的距離為d,

因?yàn)辂?2而，所以點(diǎn)B到直線AC的距離是點(diǎn)D到直線AC的距離的2倍，

所以四邊形/BCD的面積為5=5./匿+5“8=3/0,+，/1：=：］/16?,

當(dāng)直線/C垂直于x軸時(shí)，|/C|=2,點(diǎn)3到直線NC的距離的最大值為2,

3

止匕時(shí)S=—x2x2=3,

4

17

當(dāng)直線/C不垂直于X軸時(shí)，可設(shè)直線ZC的方程為'=日，

代入橢圓方程《+/=1,整理并化簡(jiǎn)得小=二7,即/=±2可+1,

4,1+4后24左2+1

所以一

設(shè)過(guò)點(diǎn)3與直線/C平行的直線/的方程為>=丘+，"，

代入橢圓方程1+/=1,整理并化簡(jiǎn)得(1+4左2+8?x+4/7?-4=0,

由△=64左2加2-40+4無(wú)2)(4加2>o=>m2<4k2+1,

所以「

g-S小?音=3,等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)上=0且機(jī)=1,

綜上所述，四邊形/BCD面積的最大值為3.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問(wèn)的關(guān)鍵是求出四邊形面積表達(dá)式，還有一個(gè)約束條件是過(guò)點(diǎn)8與直線/C平

行的直線/與橢圓至少有一個(gè)交點(diǎn)，由此即可順利得解.

19.(1)證明見(jiàn)解析(2)①(e-l,+co)；②證明見(jiàn)解析

【分析】(1)求導(dǎo)，分類(lèi)討論判斷了(x)的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性和最值分析證明；

/、T1px1

(2)①令g(x)=0,整理可得加-Inx-」=0,^h(x)=--m-\wc--,x>0,求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判

XXXX

%i1Jy

斷單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性分析零點(diǎn)問(wèn)題；②分析可知原不等式等價(jià)于In(芭馬)e芭-}-三，構(gòu)建函

xi1Jy

數(shù)證明止1（再％2）<0<-e--%]-------即可.

【詳解】(1)由題意可得：函數(shù)/切，且x>0,m<e,

18

若加,則/'(x)=e"一加>1一次NO在(0,+8)內(nèi)恒成立，

可知/(x)在(0,+“)內(nèi)單調(diào)遞增,可得/⑺>/(O)=1-加N0；

^l<m<e,令/'(x)〉0,尚牟得x>ln加；令/'(x)<0,角軍得0<xvln加；

可知/(x)在(0,In加)內(nèi)單調(diào)遞減，在(In加,+。)內(nèi)單調(diào)遞增，

可得f(x)~/(inm)=m(1-Inm),

_&l<m<e,則In冽(1,則加(l—ln加)>0；

綜上所述：當(dāng)冽We時(shí)，/(x)>0.

(2)①由題意可得：g(x)=ex-mx-xlwc-l,

令g(x)=0,整理可得h-〃Llnx-，=0,

XX

設(shè)〃(X)=《一/M-1IU-L,X>0,則"⑴―L_L=(U),

xxXXX1X2

且x>0,可知e「1〉0,

令〃(x