人教版高中數(shù)學必修二分層同步練習及答案全套

人教版高中數(shù)學必修二同步練習全套《第六章平面向量及其應(yīng)用》同步練習6.1平面向量的概念【合格基礎(chǔ)練】一、選擇題1．下列說法不正確的是()A．向量的模是一個非負實數(shù)B．任何一個非零向量都可以平行移動C．長度不相等而方向相反的兩個向量一定是共線向量D．兩個有共同起點且共線的向量終點也必相同D[根據(jù)向量的有關(guān)概念易判斷，D項錯誤．]2．下面幾個命題：①若a＝b，則|a|＝|b|；②若|a|＝0，則a＝0；③若|a|＝|b|，則a＝b；④若向量a，b滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|a|＝|b|；,a∥b，))則a＝b.其中正確命題的個數(shù)是()A．0B．1C．2D．3B[①正確．②錯誤．|a|＝0，則a＝0.③錯誤．a(chǎn)與b的方向不一定相同．④錯誤．a(chǎn)與b的方向有可能相反．]3．在同一平面內(nèi)，把所有長度為1的向量的始點固定在同一點，這些向量的終點形成的軌跡是()A．單位圓B．一段弧C．線段D．直線A[平面內(nèi)到定點距離等于定長的點的軌跡是圓．]4.如圖是3×4的格點圖(每個小方格都是單位正方形)，若起點和終點都在方格的頂點處，則與eq\o(AB,\s\up14(→))平行且模為eq\r(,2)的向量共有()A．12個B．18個C．24個D．36個C[每個正方形的邊長為1，則對角線長為eq\r(,2)，每個小正方形中存在兩個與eq\o(AB,\s\up14(→))平行且模為eq\r(,2)的向量，一共有12個正方形，故共有24個所求向量．]5.如圖所示，在正三角形ABC中，P，Q，R分別是AB，BC，AC的中點，則與向量eq\o(PQ,\s\up14(→))相等的向量是()A.eq\o(PR,\s\up14(→))與eq\o(QR,\s\up14(→))B.eq\o(AR,\s\up14(→))與eq\o(RC,\s\up14(→))C.eq\o(RA,\s\up14(→))與eq\o(CR,\s\up14(→))D.eq\o(PA,\s\up14(→))與eq\o(QR,\s\up14(→))B[向量相等要求模相等，方向相同，因此eq\o(AR,\s\up14(→))與eq\o(RC,\s\up14(→))都是和eq\o(PQ,\s\up14(→))相等的向量．]二、填空題6．如圖，四邊形ABCD和BCED都是平行四邊形，則與eq\o(BC,\s\up14(→))相等的向量有________．eq\o(AD,\s\up14(→))，eq\o(DE,\s\up14(→))[由平行四邊形的性質(zhì)和相等向量的定義得eq\o(BC,\s\up14(→))＝eq\o(AD,\s\up14(→))，eq\o(BC,\s\up14(→))＝eq\o(DE,\s\up14(→)).]7．若a為任一非零向量，b為模為1的向量，下列各式：①|(zhì)a|＞|b|；②a∥b；③|a|＞0；④|b|＝±1.其中正確的是________(填序號)．③[①錯誤．|a|＝eq\f(1,2)時，|a|＜|b|；②錯誤．a(chǎn)與b的方向關(guān)系無法確定；③正確；④錯誤．|b|＝1.]8．給出下列四個條件：①a＝b；②|a|＝|b|；③a與b方向相反；④|a|＝0或|b|＝0.其中能使a∥b成立的條件是________(填序號)．①③④[相等向量一定是共線向量；兩個向量的模相等，方向不一定相同或相反，故應(yīng)填①③④.]三、解答題9.O是正方形ABCD對角線的交點，四邊形OAED，OCFB都是正方形，在如圖所示的向量中：(1)分別找出與eq\o(AO,\s\up14(→))，eq\o(BO,\s\up14(→))相等的向量；(2)找出與eq\o(AO,\s\up14(→))共線的向量；(3)找出與eq\o(AO,\s\up14(→))模相等的向量；(4)向量eq\o(AO,\s\up14(→))與eq\o(CO,\s\up14(→))是否相等？[解](1)eq\o(AO,\s\up14(→))＝eq\o(BF,\s\up14(→))，eq\o(BO,\s\up14(→))＝eq\o(AE,\s\up14(→)).(2)與eq\o(AO,\s\up14(→))共線的向量有：eq\o(BF,\s\up14(→))，eq\o(CO,\s\up14(→))，eq\o(DE,\s\up14(→)).(3)與eq\o(AO,\s\up14(→))模相等的向量有：eq\o(CO,\s\up14(→))，eq\o(DO,\s\up14(→))，eq\o(BO,\s\up14(→))，eq\o(BF,\s\up14(→))，eq\o(CF,\s\up14(→))，eq\o(AE,\s\up14(→))，eq\o(DE,\s\up14(→)).(4)向量eq\o(AO,\s\up14(→))與eq\o(CO,\s\up14(→))不相等，因為它們的方向不相同．10．已知飛機從A地按北偏東30°方向飛行2000km到達B地，再從B地按南偏東30°方向飛行2000km到達C地，再從C地按西南方向飛行1000eq\r(2)km到達D地．畫圖表示向量eq\o(AB,\s\up14(→))，eq\o(BC,\s\up14(→))，eq\o(CD,\s\up14(→))，并指出向量eq\o(AD,\s\up14(→))的模和方向．[解]以A為原點，正東方向為x軸正方向，正北方向為y軸正方向建立直角坐標系．據(jù)題設(shè)，B點在第一象限，C點在x軸正半軸上，D點在第四象限，向量eq\o(AB,\s\up14(→))，eq\o(BC,\s\up14(→))，eq\o(CD,\s\up14(→))如圖所示，由已知可得，△ABC為正三角形，所以AC＝2000km.又∠ACD＝45°，CD＝1000eq\r(2)km，所以△ADC為等腰直角三角形，所以AD＝1000eq\r(2)km，∠CAD＝45°.故向量eq\o(AD,\s\up14(→))的模為1000eq\r(2)km，方向為東南方向．【等級過關(guān)練】1.四邊形ABCD，CEFG，CGHD都是全等的菱形，HE與CG相交于點M，則下列關(guān)系不一定成立的是()A．|eq\o(AB,\s\up14(→))|＝|eq\o(EF,\s\up14(→))|B.eq\o(AB,\s\up14(→))與eq\o(FH,\s\up14(→))共線C.eq\o(BD,\s\up14(→))與eq\o(EH,\s\up14(→))共線D.eq\o(DC,\s\up14(→))與eq\o(EC,\s\up14(→))共線C[∵三個四邊形都是菱形，∴|eq\o(AB,\s\up14(→))|＝|eq\o(EF,\s\up14(→))|，AB∥CD∥FH，故eq\o(AB,\s\up14(→))與eq\o(FH,\s\up14(→))共線．又三點D，C，E共線，∴eq\o(DC,\s\up14(→))與eq\o(EC,\s\up14(→))共線，故A，B，D都正確．故選C.]2.如圖所示，已知四邊形ABCD是矩形，O為對角線AC與BD的交點，設(shè)點集M＝{O，A，B，C，D}，向量的集合T＝{eq\o(PQ,\s\up14(→))|P，Q∈M，且P，Q不重合}，則集合T有________個元素．12[根據(jù)題意知，由點O，A，B，C，D可以構(gòu)成20個向量．但它們有12個向量各不相等，由元素的互異性知T中有12個元素．]6.2.1向量的加法運算[合格基礎(chǔ)練]一、選擇題1．下列等式不正確的是()①a＋(b＋c)＝(a＋c)＋b；②eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(BA,\s\up14(→))＝0；③eq\o(AC,\s\up14(→))＝eq\o(DC,\s\up14(→))＋eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(BD,\s\up14(→)).A．②③B．②C．①D．③B[②錯誤，eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(BA,\s\up14(→))＝0，①③正確．]2．已知向量a∥b，且|a|＞|b|＞0，則向量a＋b的方向()A．與向量a方向相同 B．與向量a方向相反C．與向量b方向相同 D．與向量b方向相反A[因為a∥b，且|a|＞|b|＞0，由三角形法則知向量a＋b與a同向．]3．若向量a表示“向東航行1km”，向量b表示“向北航行eq\r(,3)km”，則向量a＋b表示()A．向東北方向航行2kmB．向北偏東30°方向航行2kmC．向北偏東60°方向航行2kmD．向東北方向航行(1＋eq\r(,3))kmB[eq\o(AB,\s\up14(→))＝a表示“向東航行1km，eq\o(BC,\s\up14(→))＝b表示“向北航行eq\r(,3)km”，根據(jù)三角形法則，∴eq\o(AC,\s\up14(→))＝a＋b，∵tanA＝eq\r(,3)，∴A＝60°，且eq\o(AC,\s\up14(→))＝eq\r(,\r(,3)2＋12)＝2，∴a＋b表示向北偏東30°方向航行2km.]4.如圖所示的方格中有定點O，P，Q，E，F(xiàn)，G，H，則eq\o(OP,\s\up14(→))＋eq\o(OQ,\s\up14(→))＝()A.eq\o(OH,\s\up14(→))B.eq\o(OG,\s\up14(→))C.eq\o(FO,\s\up14(→))D.eq\o(EO,\s\up14(→))C[設(shè)a＝eq\o(OP,\s\up14(→))＋eq\o(OQ,\s\up14(→))，以O(shè)P，OQ為鄰邊作平行四邊形(圖略)，則夾在OP，OQ之間的對角線對應(yīng)的向量即為向量a＝eq\o(OP,\s\up14(→))＋eq\o(OQ,\s\up14(→))，則a與eq\o(FO,\s\up14(→))長度相等，方向相同，所以a＝eq\o(FO,\s\up14(→)).]5．a(chǎn)，b為非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，則()A．a(chǎn)∥b，且a與b方向相同B．a(chǎn)，b是共線向量且方向相反C．a(chǎn)＝bD．a(chǎn)，b無論什么關(guān)系均可A[根據(jù)三角形法則可知，a∥b，且a與b方向相同．]二、填空題6．設(shè)a0，b0分別是a，b的單位向量，則下列結(jié)論中正確的是________(填序號)．①a0＝b0；②a0＝－b0；③|a0|＋|b0|＝2；④a0∥b0.③[單位向量不一定相等或相反，也不一定共線，但其模為1，故只有③正確．]7.如圖，在平行四邊形ABCD中，eq\o(AD,\s\up14(→))＋eq\o(AB,\s\up14(→))＝________，eq\o(AD,\s\up14(→))＋eq\o(DC,\s\up14(→))＝________，eq\o(AC,\s\up14(→))＋eq\o(BA,\s\up14(→))＝________.eq\o(AC,\s\up14(→))eq\o(AC,\s\up14(→))eq\o(BC,\s\up14(→))(或eq\o(AD,\s\up14(→)))[利用三角形法則和平行四邊形法則求解．]8.如圖所示，在正六邊形ABCDEF中，若AB＝1，則|eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(FE,\s\up14(→))＋eq\o(CD,\s\up14(→))|等于________．2[正六邊形ABCDEF中，eq\o(AB,\s\up14(→))＝eq\o(ED,\s\up14(→))，eq\o(CD,\s\up14(→))＝eq\o(AF,\s\up14(→))，∴eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(FE,\s\up14(→))＋eq\o(CD,\s\up14(→))＝eq\o(ED,\s\up14(→))＋eq\o(FE,\s\up14(→))＋eq\o(AF,\s\up14(→))＝eq\o(AF,\s\up14(→))＋eq\o(FE,\s\up14(→))＋eq\o(ED,\s\up14(→))＝eq\o(AD,\s\up14(→))，∵|eq\o(AB,\s\up14(→))|＝1，∴|eq\o(AD,\s\up14(→))|＝2.]三、解答題9．如圖所示，試用幾何法分別作出向量eq\o(BA,\s\up14(→))＋eq\o(BC,\s\up14(→))，eq\o(CA,\s\up14(→))＋eq\o(CB,\s\up14(→)).[解]以BA，BC為鄰邊作?ABCE，根據(jù)平行四邊形法則，可知eq\o(BE,\s\up14(→))就是eq\o(BA,\s\up14(→))＋eq\o(BC,\s\up14(→)).以CB，CA為鄰邊作?ACBF，根據(jù)平行四邊形法則，可知eq\o(CF,\s\up14(→))就是eq\o(CA,\s\up14(→))＋eq\o(CB,\s\up14(→)).10．如圖所示，P，Q是△ABC的邊BC上兩點，且eq\o(BP,\s\up14(→))＋eq\o(CQ,\s\up14(→))＝0.求證：eq\o(AP,\s\up14(→))＋eq\o(AQ,\s\up14(→))＝eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(AC,\s\up14(→)).[證明]∵eq\o(AP,\s\up14(→))＝eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(BP,\s\up14(→))，eq\o(AQ,\s\up14(→))＝eq\o(AC,\s\up14(→))＋eq\o(CQ,\s\up14(→))，∴eq\o(AP,\s\up14(→))＋eq\o(AQ,\s\up14(→))＝eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(AC,\s\up14(→))＋eq\o(BP,\s\up14(→))＋eq\o(CQ,\s\up14(→)).又∵eq\o(BP,\s\up14(→))＋eq\o(CQ,\s\up14(→))＝0，∴eq\o(AP,\s\up14(→))＋eq\o(AQ,\s\up14(→))＝eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(AC,\s\up14(→)).[等級過關(guān)練]1．若a＝(eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(CD,\s\up14(→)))＋(eq\o(BC,\s\up14(→))＋eq\o(DA,\s\up14(→)))，b是任一非零向量，則在下列結(jié)論中：①a∥b；②a＋b＝a；③a＋b＝b；④|a＋b|＜|a|＋|b|；⑤|a＋b|＝|a|＋|b|.正確結(jié)論的序號是()A．①⑤B．②④⑤C．③⑤D．①③⑤D[a＝eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(BC,\s\up14(→))＋eq\o(CD,\s\up14(→))＋eq\o(DA,\s\up14(→))＝0，b為任一非零向量，∴a∥b，即①對；0＋b＝b，即②錯，③對；④中|0＋b|＝|b|＝|0|＋|b|，即④錯，⑤對．故選D.]2．若在△ABC中，AB＝AC＝1，|eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(AC,\s\up14(→))|＝eq\r(2)，則△ABC的形狀是()A．正三角形 B．銳角三角形C．斜三角形 D．等腰直角三角形D[設(shè)線段BC的中點為O，由平行四邊形法則和平行四邊形對角線互相平分可知|eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(AC,\s\up14(→))|＝2|eq\o(AO,\s\up14(→))|，又|eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(AC,\s\up14(→))|＝eq\r(2)，故|eq\o(AO,\s\up14(→))|＝eq\f(\r(2),2)，又BO＝CO＝eq\f(\r(2),2)，所以△ABO和△ACO都是等腰直角三角形，所以△ABC是等腰直角三角形．]6.2.2向量的減法運算[合格基礎(chǔ)練]一、選擇題1．在平行四邊形ABCD中，下列結(jié)論錯誤的是()A.eq\o(AB,\s\up14(→))－eq\o(DC,\s\up14(→))＝0 B.eq\o(AD,\s\up14(→))－eq\o(BA,\s\up14(→))＝eq\o(AC,\s\up14(→))C.eq\o(AB,\s\up14(→))－eq\o(AD,\s\up14(→))＝eq\o(BD,\s\up14(→)) D.eq\o(AD,\s\up14(→))＋eq\o(CB,\s\up14(→))＝0C[因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以eq\o(AB,\s\up14(→))＝eq\o(DC,\s\up14(→))，eq\o(AB,\s\up14(→))－eq\o(DC,\s\up14(→))＝0，eq\o(AD,\s\up14(→))－eq\o(BA,\s\up14(→))＝eq\o(AD,\s\up14(→))＋eq\o(AB,\s\up14(→))＝eq\o(AC,\s\up14(→))，eq\o(AB,\s\up14(→))－eq\o(AD,\s\up14(→))＝eq\o(DB,\s\up14(→))，eq\o(AD,\s\up14(→))＋eq\o(CB,\s\up14(→))＝eq\o(AD,\s\up14(→))＋eq\o(DA,\s\up14(→))＝0，故只有C錯誤．]2．在△ABC中，eq\o(BC,\s\up14(→))＝a，eq\o(CA,\s\up14(→))＝b，則eq\o(AB,\s\up14(→))等于()A．a(chǎn)＋b B．－a＋(－b)C．a(chǎn)－b D．b－aB[如圖，∵eq\o(BA,\s\up14(→))＝eq\o(BC,\s\up14(→))＋eq\o(CA,\s\up14(→))＝a＋b，∴eq\o(AB,\s\up14(→))＝－eq\o(BA,\s\up14(→))＝－a－b.]3．已知非零向量a與b同向，則a－b()A．必定與a同向B．必定與b同向C．必定與a是平行向量D．與b不可能是平行向量C[a－b必定與a是平行向量．]4．下列各式中不能化簡為eq\o(AD,\s\up14(→))的是()A．(eq\o(AB,\s\up14(→))－eq\o(DC,\s\up14(→)))－eq\o(CB,\s\up14(→))B.eq\o(AD,\s\up14(→))－(eq\o(CD,\s\up14(→))＋eq\o(DC,\s\up14(→)))C．－(eq\o(CB,\s\up14(→))＋eq\o(MC,\s\up14(→)))－(eq\o(DA,\s\up14(→))＋eq\o(BM,\s\up14(→)))D．－eq\o(BM,\s\up14(→))－eq\o(DA,\s\up14(→))＋eq\o(MB,\s\up14(→))D[選項A中，(eq\o(AB,\s\up14(→))－eq\o(DC,\s\up14(→)))－eq\o(CB,\s\up14(→))＝eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(CD,\s\up14(→))＋eq\o(BC,\s\up14(→))＝eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(BC,\s\up14(→))＋eq\o(CD,\s\up14(→))＝eq\o(AD,\s\up14(→))；選項B中，eq\o(AD,\s\up14(→))－(eq\o(CD,\s\up14(→))＋eq\o(DC,\s\up14(→)))＝eq\o(AD,\s\up14(→))－0=eq\o(AD,\s\up14(→))；選項C中，－(eq\o(CB,\s\up14(→))＋eq\o(MC,\s\up14(→)))－(eq\o(DA,\s\up14(→))＋eq\o(BM,\s\up14(→)))＝－eq\o(CB,\s\up14(→))－eq\o(MC,\s\up14(→))－eq\o(DA,\s\up14(→))－eq\o(BM,\s\up14(→))＝eq\o(BC,\s\up14(→))＋eq\o(CM,\s\up14(→))＋eq\o(AD,\s\up14(→))＋eq\o(MB,\s\up14(→))＝(eq\o(MB,\s\up14(→))＋eq\o(BC,\s\up14(→))＋eq\o(CM,\s\up14(→)))＋eq\o(AD,\s\up14(→))＝eq\o(AD,\s\up14(→)).]5．若a，b為非零向量，則下列命題錯誤的是()A．若|a|＋|b|＝|a＋b|，則a與b方向相同B．若|a|＋|b|＝|a－b|，則a與b方向相反C．若|a|＋|b|＝|a－b|，則|a|＝|b|D．若||a|－|b||＝|a－b|，則a與b方向相同C[當a，b方向相同時，有|a|＋|b|＝|a＋b|，||a|－|b||＝|a－b|；當a，b方向相反時，有|a|＋|b|＝|a－b|，||a|－|b||＝|a＋b|，故A，B，D均正確．]二、填空題6．如圖，在△ABC中，若D是邊BC的中點，E是邊AB上一點，則eq\o(BE,\s\up14(→))－eq\o(DC,\s\up14(→))＋eq\o(ED,\s\up14(→))＝________.0[因為D是邊BC的中點，所以eq\o(BE,\s\up14(→))－eq\o(DC,\s\up14(→))＋eq\o(ED,\s\up14(→))＝eq\o(BE,\s\up14(→))＋eq\o(ED,\s\up14(→))－eq\o(DC,\s\up14(→))＝eq\o(BD,\s\up14(→))－eq\o(DC,\s\up14(→))＝0.]7．如圖所示，已知O為平行四邊形ABCD內(nèi)一點，eq\o(OA,\s\up14(→))＝a，eq\o(OB,\s\up14(→))＝b，eq\o(OC,\s\up14(→))＝c，則eq\o(OD,\s\up14(→))＝________.(用a，b，c表示)a－b＋c[由題意，在平行四邊形ABCD中，因為eq\o(OA,\s\up14(→))＝a，eq\o(OB,\s\up14(→))＝b，所以eq\o(BA,\s\up14(→))＝eq\o(OA,\s\up14(→))－eq\o(OB,\s\up14(→))＝a－b，所以eq\o(CD,\s\up14(→))＝eq\o(BA,\s\up14(→))＝a－b，所以eq\o(OD,\s\up14(→))＝eq\o(OC,\s\up14(→))＋eq\o(CD,\s\up14(→))＝a－b＋c.]8．已知向量|a|＝2，|b|＝4，且a，b不是方向相反的向量，則|a－b|的取值范圍是________．[2,6)[根據(jù)題意得||a|－|b||≤|a－b|＜|a|＋|b|，即2≤|a－b|＜6.]三、解答題9．如圖，O為△ABC內(nèi)一點，eq\o(OA,\s\up14(→))＝a，eq\o(OB,\s\up14(→))＝b，eq\o(OC,\s\up14(→))＝c.求作：(1)b＋c－a；(2)a－b－c.[解](1)以eq\o(OB,\s\up14(→))，eq\o(OC,\s\up14(→))為鄰邊作?OBDC，連接OD，AD，則eq\o(OD,\s\up14(→))＝eq\o(OB,\s\up14(→))＋eq\o(OC,\s\up14(→))＝b＋c，所以b＋c－a＝eq\o(OD,\s\up14(→))－eq\o(OA,\s\up14(→))＝eq\o(AD,\s\up14(→))，如圖所示．(2)由a－b－c＝a－(b＋c)，如圖，作?OBEC，連接OE，則eq\o(OE,\s\up14(→))＝eq\o(OB,\s\up14(→))＋eq\o(OC,\s\up14(→))＝b＋c，連接AE，則eq\o(EA,\s\up14(→))＝a－(b＋c)＝a－b－c.10．已知△OAB中，eq\o(OA,\s\up14(→))＝a，eq\o(OB,\s\up14(→))＝b，滿足|a|＝|b|＝|a－b|＝2，求|a＋b|與△OAB的面積．[解]由已知得|eq\o(OA,\s\up14(→))|＝|eq\o(OB,\s\up14(→))|，以eq\o(OA,\s\up14(→))，eq\o(OB,\s\up14(→))為鄰邊作平行四邊形OACB，則可知其為菱形，且eq\o(OC,\s\up14(→))＝a＋b，eq\o(BA,\s\up14(→))＝a－b，由于|a|＝|b|＝|a－b|，則OA＝OB＝BA，∴△OAB為正三角形，∴|a＋b|＝|eq\o(OC,\s\up14(→))|＝2×eq\r(3)＝2eq\r(3)，S△OAB＝eq\f(1,2)×2×eq\r(3)＝eq\r(3).[等級過關(guān)練]1．設(shè)點M是線段BC的中點，點A在直線BC外，|eq\o(BC,\s\up14(→))|2＝16，|eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(AC,\s\up14(→))|＝|eq\o(AB,\s\up14(→))－eq\o(AC,\s\up14(→))|，則|eq\o(AM,\s\up14(→))|＝()A．8B．4C．2D．1C[根據(jù)|eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(AC,\s\up14(→))|＝|eq\o(AB,\s\up14(→))－eq\o(AC,\s\up14(→))|可知，△ABC是以A為直角的直角三角形，∵|eq\o(BC,\s\up14(→))|2＝16，∴|eq\o(BC,\s\up14(→))|＝4，又∵M是BC的中點，∴|eq\o(AM,\s\up14(→))|＝eq\f(1,2)|eq\o(BC,\s\up14(→))|＝eq\f(1,2)×4＝2.]2．對于菱形ABCD，給出下列各式：①eq\o(AB,\s\up14(→))＝eq\o(BC,\s\up14(→))；②|eq\o(AB,\s\up14(→))|＝|eq\o(BC,\s\up14(→))|；③|eq\o(AB,\s\up14(→))－eq\o(CD,\s\up14(→))|＝|eq\o(AD,\s\up14(→))＋eq\o(BC,\s\up14(→))|；④|eq\o(AD,\s\up14(→))＋eq\o(CD,\s\up14(→))|＝|eq\o(CD,\s\up14(→))－eq\o(CB,\s\up14(→))|.其中正確的個數(shù)為()A．1B．2C．3 D．4C[菱形ABCD中，如圖，|eq\o(AB,\s\up14(→))|＝|eq\o(BC,\s\up14(→))|，∴②正確．又|eq\o(AB,\s\up14(→))－eq\o(CD,\s\up14(→))|＝|eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(DC,\s\up14(→))|＝|eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(AB,\s\up14(→))|＝2|eq\o(AB,\s\up14(→))|，|eq\o(AD,\s\up14(→))＋eq\o(BC,\s\up14(→))|＝|eq\o(AD,\s\up14(→))＋eq\o(AD,\s\up14(→))|＝2|eq\o(AD,\s\up14(→))|＝2|eq\o(AB,\s\up14(→))|，∴③正確；又|eq\o(AD,\s\up14(→))＋eq\o(CD,\s\up14(→))|＝|eq\o(DA,\s\up14(→))＋eq\o(DC,\s\up14(→))|＝|eq\o(DB,\s\up14(→))|，|eq\o(CD,\s\up14(→))－eq\o(CB,\s\up14(→))|＝|eq\o(BD,\s\up14(→))|＝|eq\o(DB,\s\up14(→))|，∴④正確；①肯定不正確，故選C.]6.2.3向量的數(shù)乘運算[合格基礎(chǔ)練]一、選擇題1.eq\f(1,3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)2a＋8b－4a－2b))等于()A．2a－bB．2b－aC．b－aD．a(chǎn)－bB[原式＝eq\f(1,3)(a＋4b－4a＋2b)＝eq\f(1,3)(－3a＋6b)＝－a＋2b＝2b－a.]2．已知m，n是實數(shù)，a，b是向量，則下列命題中正確的為()①m(a－b)＝ma－mb；②(m－n)a＝ma－na；③若ma＝mb，則a＝b；④若ma＝na，則m＝n.A．①④B．①②C．①③D．③④B[①正確．②正確．③錯誤．由ma＝mb得m(a－b)＝0，當m＝0時也成立，推不出a＝b.④錯誤．由ma＝na得(m－n)a＝0，當a＝0時也成立，推不出m＝n.]3．在四邊形ABCD中，若eq\o(AB,\s\up14(→))＝3a，eq\o(CD,\s\up14(→))＝－5a，且|eq\o(AD,\s\up14(→))|＝|eq\o(BC,\s\up14(→))|，則四邊形ABCD是()A．平行四邊形B．菱形C．等腰梯形D．非等腰梯形C[由條件可知eq\o(AB,\s\up14(→))＝－eq\f(3,5)eq\o(CD,\s\up14(→))，∴AB∥CD，又因為|eq\o(AD,\s\up14(→))|＝|eq\o(BC,\s\up14(→))|，所以四邊形為等腰梯形．]4．(2018·全國卷Ⅰ)在△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點，則eq\o(EB,\s\up14(→))＝()A.eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up14(→))－eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up14(→)) B.eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up14(→))－eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up14(→))C.eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up14(→)) D.eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up14(→))A[如圖所示，eq\o(EB,\s\up14(→))＝eq\o(ED,\s\up14(→))＋eq\o(DB,\s\up14(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up14(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up14(→))＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(AC,\s\up14(→)))＋eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up14(→))－eq\o(AC,\s\up14(→)))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up14(→))－eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up14(→))，故選A.]5．已知向量a，b是兩個非零向量，在下列四個條件中，一定能使a，b共線的是()①2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e；②存在相異實數(shù)λ，μ，使λa－μb＝0；③xa＋yb＝0(其中實數(shù)x，y滿足x＋y＝0)；④已知梯形ABCD，其中eq\o(AB,\s\up14(→))＝a，eq\o(CD,\s\up14(→))＝b.A．①②B．①③C．②D．③④A[對于①，可解得a＝eq\f(2,7)e，b＝－eq\f(8,7)e，故a與b共線；對于②，由于λ≠μ，故λ，μ不全為0，不妨設(shè)λ≠0，則由λa－μb＝0得a＝eq\f(μ,λ)b，故a與b共線；對于③，當x＝y(tǒng)＝0時，a與b不一定共線；對于④，梯形中沒有條件AB∥CD，可能AC∥BD，故a與b不一定共線．]二、填空題6．已知a與b是兩個不共線的向量，且向量a＋λb與－(b－3a)共線，則λ＝________.－eq\f(1,3)[由題意可以設(shè)a＋λb＝λ1(－b＋3a)＝3λ1a－λ1b，因為a與b不共線，所以有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝3λ1，,λ＝－λ1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ1＝\f(1,3)，,λ＝－\f(1,3).))即λ＝－eq\f(1,3).]7．已知平面上不共線的四點O，A，B，C，若eq\o(OA,\s\up14(→))－3eq\o(OB,\s\up14(→))＋2eq\o(OC,\s\up14(→))＝0，則eq\f(|\o(AB,\s\up14(→))|,|\o(BC,\s\up14(→))|)＝________.2[∵eq\o(OA,\s\up14(→))－3eq\o(OB,\s\up14(→))＋2eq\o(OC,\s\up14(→))＝0，∴eq\o(OB,\s\up14(→))－eq\o(OA,\s\up14(→))＝2(eq\o(OC,\s\up14(→))－eq\o(OB,\s\up14(→)))，∴eq\o(AB,\s\up14(→))＝2eq\o(BC,\s\up14(→))，∴eq\f(|\o(AB,\s\up14(→))|,|\o(BC,\s\up14(→))|)＝2.]8．已知在△ABC中，點M滿足eq\o(MA,\s\up14(→))＋eq\o(MB,\s\up14(→))＋eq\o(MC,\s\up14(→))＝0，若存在實數(shù)m使得eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(AC,\s\up14(→))＝meq\o(AM,\s\up14(→))成立，則m＝________.3[∵eq\o(MA,\s\up14(→))＋eq\o(MB,\s\up14(→))＋eq\o(MC,\s\up14(→))＝0，∴eq\o(MB,\s\up14(→))＋eq\o(MC,\s\up14(→))＝－eq\o(MA,\s\up14(→))，又由eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(AC,\s\up14(→))＝meq\o(AM,\s\up14(→))得(Meq\o(B,\s\up14(→))＋eq\o(MC,\s\up14(→)))－2eq\o(MA,\s\up14(→))＝meq\o(AM,\s\up14(→))，即－3eq\o(MA,\s\up14(→))＝meq\o(AM,\s\up14(→))＝－meq\o(MA,\s\up14(→))，所以m＝3.]三、解答題9．如圖，在△OAB中，延長BA到C，使AC＝BA，在OB上取點D，使DB＝eq\f(1,3)OB，DC與OA交點為E，設(shè)eq\o(OA,\s\up14(→))＝a，eq\o(OB,\s\up14(→))＝b，用a，b表示向量eq\o(OC,\s\up14(→))，eq\o(DC,\s\up14(→)).[解]∵AC＝BA，∴A是BC的中點，∴eq\o(OA,\s\up14(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up14(→))＋eq\o(OC,\s\up14(→)))，∴eq\o(OC,\s\up14(→))＝2eq\o(OA,\s\up14(→))－eq\o(OB,\s\up14(→))＝2a－b.∴eq\o(DC,\s\up14(→))＝eq\o(OC,\s\up14(→))－eq\o(OD,\s\up14(→))＝eq\o(OC,\s\up14(→))－eq\f(2,3)eq\o(OB,\s\up14(→))＝2a－b－eq\f(2,3)b＝2a－eq\f(5,3)b.10．設(shè)兩個非零向量e1，e2不共線，已知eq\o(AB,\s\up14(→))＝2e1＋ke2，eq\o(CB,\s\up14(→))＝e1＋3e2，eq\o(CD,\s\up14(→))＝2e1－e2.問：是否存在實數(shù)k，使得A，B，D三點共線，若存在，求出k的值；若不存在，說明理由．[解]設(shè)存在k∈R，使得A，B，D三點共線，∵eq\o(DB,\s\up14(→))＝eq\o(CB,\s\up14(→))－eq\o(CD,\s\up14(→))＝(e1＋3e2)－(2e1－e2)＝－e1＋4e2，eq\o(AB,\s\up14(→))＝2e1＋ke2，又∵A，B，D三點共線，∴eq\o(AB,\s\up14(→))＝λeq\o(DB,\s\up14(→))，∴2e1＋ke2＝λ(－e1＋4e2)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＝－λ，,k＝4λ，))∴k＝－8，∴存在k＝－8，使得A，B，D三點共線．[等級過關(guān)練]1．設(shè)a，b都是非零向量．下列四個條件中，使eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)成立的條件是()A．a(chǎn)＝－b B．a(chǎn)∥bC．a(chǎn)＝2b D．a(chǎn)∥b且|a|＝|b|C[eq\f(a,|a|)，eq\f(b,|b|)分別表示a，b的單位向量．對于A，當a＝－b時，eq\f(a,|a|)≠eq\f(b,|b|)；對于B，當a∥b時，可能有a＝－b，此時eq\f(a,|a|)≠eq\f(b,|b|)；對于C，當a＝2b時，eq\f(a,|a|)＝eq\f(2b,|2b|)＝eq\f(b,|b|)；對于D，當a∥b且|a|＝|b|時，可能有a＝－b，此時eq\f(a,|a|)≠eq\f(b,|b|).綜上所述，使eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)成立的條件是a＝2b，選C.]2．如圖，在△ABC中，延長CB到D，使BD＝BC，當點E在線段AD上移動時，若eq\o(AE,\s\up14(→))＝λeq\o(AB,\s\up14(→))＋μeq\o(AC,\s\up14(→))，則t＝λ－μ的最大值是________．3[eq\o(AE,\s\up14(→))，eq\o(AD,\s\up14(→))共線，則eq\o(AE,\s\up14(→))＝keq\o(AD,\s\up14(→))(0≤k≤1)，又B是CD的中點，則eq\o(AD,\s\up14(→))＝2eq\o(AB,\s\up14(→))－eq\o(AC,\s\up14(→))，eq\o(AE,\s\up14(→))＝2keq\o(AB,\s\up14(→))－keq\o(AC,\s\up14(→))，又eq\o(AE,\s\up14(→))＝λeq\o(AB,\s\up14(→))＋μeq\o(AC,\s\up14(→))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝2k，,μ＝－k，))∴λ－μ＝3k≤3，故最大值為3.]6.2.4向量的數(shù)量積[合格基礎(chǔ)練]一、選擇題1．若向量a，b滿足|a|＝|b|＝1，a與b的夾角為60°，則a·a＋a·b等于()A.eq\f(1,2)B.eq\f(3,2)C．1＋eq\f(\r(3),2)D．2B[a·a＋a·b＝|a|2＋|a||b|cos60°＝1＋eq\f(1,2)＝eq\f(3,2).]2．已知單位向量a，b的夾角為eq\f(π,3)，那么|a＋2b|＝()A．2eq\r(,3)B.eq\r(,7)C．2eq\r(,7)D．4eq\r(,3)B[|a|＝|b|＝1，|a＋2b|2＝a2＋4a·b＋4b2＝1＋4×1×1×eq\f(1,2)＋4×1＝7，∴|a＋2b|＝eq\r(,7).]3．若向量a，b，c，滿足a∥b且a⊥c，則c·(a＋2b)＝()A．4B．3C．2 D．0D[∵a∥b，a⊥c，∴b⊥c，∴a·c＝0，b·c＝0，c·(a＋2b)＝a·c＋2b·c＝0＋0＝0.]4．已知平面向量a，b是非零向量，|a|＝2，a⊥(a＋2b)，則向量b在向量a方向上的投影為()A．1B．－1C．2 D．－2B[因為a⊥(a＋2b)，所以a·(a＋2b)＝a2＋2a·b＝|a|2＋2a·b＝4＋2a·b＝0，所以a·b＝－2，所以向量b在向量a方向上的投影為eq\f(a·b,|a|)＝eq\f(－2,2)＝－1.]5．已知非零向量a，b滿足2|a|＝3|b|，|a－2b|＝|a＋b|，則a與b的夾角的余弦值為()A.eq\f(2,3)B.eq\f(3,4)C.eq\f(1,3)D.eq\f(1,4)C[|a－2b|＝|a＋b|?(a－2b)2＝(a＋b)2?a·b＝eq\f(1,2)b2?cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(\f(1,2)b2,\f(3,2)b2)＝eq\f(1,3).]二、填空題6．已知|a|＝3，|b|＝5，且a與b的夾角θ為45°，則向量a在向量b上的投影為________．eq\f(3\r(2),2)[由已知得向量a在向量b上的投影|a|cosθ＝3×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(3\r(2),2).]7．已知向量|a|＝eq\r(,5)，a·b＝10，|a＋b|＝5eq\r(,2)，則|b|＝________.5[|a|2＝5，|a＋b|＝5eq\r(,2)，∴|a＋b|2＝50，即|a|2＋|b|2＋2a·b＝50，∴5＋|b|2＋20＝50，∴|b|＝5，故答案為5.]8．若a，b均為非零向量，且(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，則a，b的夾角為________．eq\f(π,3)[由題知(a－2b)·a＝0，(b－2a)·b＝0，即|a|2－2b·a＝|a|2－2|a||b|cosθ＝0，|b|2－2b·a＝|b|2－2|a||b|cosθ＝0，故|a|2＝|b|2，即|a|＝|b|，所以|a|2－2|a||a|cosθ＝0，故cosθ＝eq\f(1,2)，因為0≤θ≤π，故θ＝eq\f(π,3).]三、解答題9．如圖所示，在平行四邊形ABCD中，|eq\o(AB,\s\up14(→))|＝4，|eq\o(AD,\s\up14(→))|＝3，∠DAB＝60°.求：(1)eq\o(AD,\s\up14(→))·eq\o(BC,\s\up14(→))；(2)eq\o(AB,\s\up14(→))·eq\o(CD,\s\up14(→))；(3)eq\o(AB,\s\up14(→))·eq\o(DA,\s\up14(→)).[解](1)eq\o(AD,\s\up14(→))·eq\o(BC,\s\up14(→))＝|eq\o(AD,\s\up14(→))|2＝9；(2)eq\o(AB,\s\up14(→))·eq\o(CD,\s\up14(→))＝－|eq\o(AB,\s\up14(→))|2＝－16；(3)eq\o(AB,\s\up14(→))·eq\o(DA,\s\up14(→))＝|eq\o(AB,\s\up14(→))||eq\o(DA,\s\up14(→))|cos(180°－60°)＝4×3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－6.10．已知非零向量a，b滿足|a|＝1，且(a－b)·(a＋b)＝eq\f(3,4).(1)求|b|；(2)當a·b＝－eq\f(1,4)時，求向量a與a＋2b的夾角θ的值．[解](1)因為(a－b)·(a＋b)＝eq\f(3,4)，即a2－b2＝eq\f(3,4)，即|a|2－|b|2＝eq\f(3,4)，所以|b|2＝|a|2－eq\f(3,4)＝1－eq\f(3,4)＝eq\f(1,4)，故|b|＝eq\f(1,2).(2)因為|a＋2b|2＝|a|2＋4a·b＋|2b|2＝1－1＋1＝1，故|a＋2b|＝1.又因為a·(a＋2b)＝|a|2＋2a·b＝1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，所以cosθ＝eq\f(a·a＋2b,|a|·|a＋2b|)＝eq\f(1,2)，又θ∈[0，π]，故θ＝eq\f(π,3).[等級過關(guān)練]1．已知平面向量a，b都是單位向量，若b⊥(2a－b)，則a與b的夾角等于()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,3)D.eq\f(π,2)C[設(shè)向量a，b的夾角為θ，∵b⊥(2a－b)，∴b·(2a－b)＝2a·b－b2＝2×1×1×cosθ－12＝0，解得cosθ＝eq\f(1,2)，又θ∈[0，π]，∴θ＝eq\f(π,3)，即a與b的夾角為eq\f(π,3)，故選C.]2．如圖，在△ABC中，AD⊥AB，eq\o(BC,\s\up14(→))＝eq\r(3)eq\o(BD,\s\up14(→))，|eq\o(AD,\s\up14(→))|＝1，則eq\o(AC,\s\up14(→))·eq\o(AD,\s\up14(→))等于()A．2eq\r(3)B.eq\f(\r(3),2)C.eq\f(\r(3),3)D.eq\r(3)D[eq\o(AC,\s\up14(→))·eq\o(AD,\s\up14(→))＝|eq\o(AC,\s\up14(→))||eq\o(AD,\s\up14(→))|cos∠DAC＝|eq\o(AC,\s\up14(→))|coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(∠BAC－\f(π,2)))＝|eq\o(AC,\s\up14(→))|sin∠BAC＝|eq\o(BC,\s\up14(→))|sinB＝eq\r(3)|eq\o(BD,\s\up14(→))|sinB＝eq\r(3)|eq\o(AD,\s\up14(→))|＝eq\r(3).]3．設(shè)a，b，c是任意的非零向量，且它們相互不共線，給出下列結(jié)論：①a·c－b·c＝(a－b)·c；②(b·c)·a－(c·a)·b不與c垂直；③|a|－|b|＜|a－b|；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.其中正確的序號是________．①③④[根據(jù)向量積的分配律知①正確；因為[(b·c)·a－(c·a)·b]·c＝(b·c)·(a·c)－(c·a)·(b·c)＝0，所以(b·c)·a－(c·a)·b與c垂直，②錯誤；因為a，b不共線，所以|a|，|b|，|a－b|組成三角形三邊，所以|a|－|b|＜|a－b|成立，③正確；④正確．故正確命題的序號是①③④.]4．已知|a|＝|b|＝|c|＝1且滿足3a＋mb＋7c＝0，其中a，b的夾角為60°，則實數(shù)m＝________.5或－8[因為3a＋mb＋7c＝0，所以3a＋mb＝－7c，所以(3a＋mb)2＝(－7c)2，即9＋m2＋6ma·b＝49，又a·b＝|a||b|cos60°＝eq\f(1,2)，所以m2＋3m－40＝0，解得m＝5或m＝－8.]5．已知|a|＝2，|b|＝1，(2a－3b)·(2a＋b)＝9.(1)求a與b之間的夾角θ；(2)求向量a在a＋b上的投影．[解](1)(2a－3b)·(2a＋b)＝4a2－4a·b－3b2＝9，即16－4a·b－3＝9，∴a·b＝1，∴cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(1,2).又∵θ∈[0，π]，∴θ＝eq\f(π,3).(2)|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝7，即|a＋b|＝eq\r(7).設(shè)a與a＋b的夾角為α，則向量a在a＋b上的投影為|a|cosα＝|a|×eq\f(a·a＋b,|a||a＋b|)＝eq\f(a·a＋b,|a＋b|)＝eq\f(a2＋a·b,|a＋b|)＝eq\f(5,\r(7))＝eq\f(5\r(7),7).6.3.1平面向量基本定理[合格基礎(chǔ)練]一、選擇題1．設(shè)向量e1與e2不共線，若3xe1＋(10－y)e2＝(4y－7)e1＋2xe2，則實數(shù)x，y的值分別為()A．0,0 B．1,1C．3,0 D．3,4D[因為e1與e2不共線，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＝4y－7，,10－y＝2x，))解方程組得x＝3，y＝4.]2．已知e1、e2是表示平面內(nèi)所有向量的一組基底，則下列四個向量中，不能作為一組基底的是()A．{e1＋e2，e1－e2} B．{3e1－2e2,4e2－6e1}C．{e1＋2e2，e2＋2e1} D．{e2，e1＋e2}B[∵4e2－6e1＝－2(3e1－2e2)，∴3e1－2e2與4e2－6e1共線，∴它們不能作為一組基底，作為基底的兩向量一定不共線．故應(yīng)選B.]3．在△ABC中，點D在BC邊上，且eq\o(BD,\s\up14(→))＝2eq\o(DC,\s\up14(→))，設(shè)eq\o(AB,\s\up14(→))＝a，eq\o(AC,\s\up14(→))＝b，則eq\o(AD,\s\up14(→))可用基底a，b表示為()A.eq\f(1,2)(a＋b) B.eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)bC.eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)b D.eq\f(1,3)(a＋b)C[因為eq\o(BD,\s\up14(→))＝2eq\o(DC,\s\up14(→))，所以eq\o(BD,\s\up14(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up14(→)).所以eq\o(AD,\s\up14(→))＝eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(BD,\s\up14(→))＝eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up14(→))＝eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(AC,\s\up14(→))－eq\o(AB,\s\up14(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up14(→))＝eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)b.]4．在△ABC中，eq\o(AE,\s\up14(→))＝eq\f(1,5)eq\o(AB,\s\up14(→))，EF∥BC，EF交AC于F，設(shè)eq\o(AB,\s\up14(→))＝a，eq\o(AC,\s\up14(→))＝b，則eq\o(BF,\s\up14(→))等于()A．－a＋eq\f(1,5)b B．a(chǎn)－eq\f(1,5)bC.eq\f(2,3)a－eq\f(1,3)b D.eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)bA[∵eq\o(AE,\s\up14(→))＝eq\f(1,5)eq\o(AB,\s\up14(→))，∴eq\o(BE,\s\up14(→))＝－eq\f(4,5)eq\o(AB,\s\up14(→)).又∵EF∥BC，∴eq\o(EF,\s\up14(→))＝eq\f(1,5)eq\o(BC,\s\up14(→))＝eq\f(1,5)(eq\o(AC,\s\up14(→))－eq\o(AB,\s\up14(→)))，∴eq\o(BF,\s\up14(→))＝eq\o(BE,\s\up14(→))＋eq\o(EF,\s\up14(→))＝－eq\f(4,5)eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\f(1,5)(eq\o(AC,\s\up14(→))－eq\o(AB,\s\up14(→)))＝eq\f(1,5)eq\o(AC,\s\up14(→))－eq\o(AB,\s\up14(→))＝－a＋eq\f(1,5)b.]5．設(shè)點D為△ABC中BC邊上的中點，O為AD邊上靠近點A的三等分點，則()A.eq\o(BO,\s\up14(→))＝－eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up14(→))B.eq\o(BO,\s\up14(→))＝eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up14(→))－eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up14(→))C.eq\o(BO,\s\up14(→))＝eq\f(5,6)eq\o(AB,\s\up14(→))－eq\f(1,6)eq\o(AC,\s\up14(→))D.eq\o(BO,\s\up14(→))＝－eq\f(5,6)eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AC,\s\up14(→))D[如圖，D為中點，O為靠近A的三等分點，eq\o(BO,\s\up14(→))＝eq\o(BA,\s\up14(→))＋eq\o(AO,\s\up14(→))＝－eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up14(→))＝－eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(AC,\s\up14(→)))＝－eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AC,\s\up14(→))＝－eq\f(5,6)eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AC,\s\up14(→)).]二、填空題6．設(shè)e1，e2是平面內(nèi)一組基向量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，則向量e1＋e2可以表示為以a，b為基向量的線性組合，即e1＋e2＝________.eq\f(2,3)a－eq\f(1,3)b[由a＝e1＋2e2①，b＝－e1＋e2②，由①＋②得e2＝eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b，代入①可求得e1＝eq\f(1,3)a－eq\f(2,3)b，所以e1＋e2＝eq\f(2,3)a－eq\f(1,3)b.]7．若向量a＝4e1＋2e2與b＝ke1＋e2共線，其中e1，e2是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量，則k的值為________．2[∵向量a與b共線，∴存在實數(shù)λ，使得b＝λa，即ke1＋e2＝λ(4e1＋2e2)＝4λe1＋2λe2.∵e1，e2是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝4λ，,1＝2λ，))∴k＝2.]8．設(shè)D，E分別是△ABC的邊AB，BC上的點，AD＝eq\f(1,2)AB，BE＝eq\f(2,3)BC，若eq\o(DE,\s\up14(→))＝λ1eq\o(AB,\s\up14(→))＋λ2eq\o(AC,\s\up14(→))(λ1，λ2為實數(shù))，則λ1＋λ2的值為________．eq\f(1,2)[如圖，由題意知，D為AB的中點，eq\o(BE,\s\up14(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up14(→))，所以eq\o(DE,\s\up14(→))＝eq\o(DB,\s\up14(→))＋eq\o(BE,\s\up14(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up14(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(AC,\s\up14(→))－eq\o(AB,\s\up14(→)))＝－eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up14(→))，所以λ1＝－eq\f(1,6)，λ2＝eq\f(2,3)，所以λ1＋λ2＝－eq\f(1,6)＋eq\f(2,3)＝eq\f(1,2).]三、解答題9．如圖，平行四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up14(→))＝a，eq\o(AD,\s\up14(→))＝b，H，M分別是AD，DC的中點，BF＝eq\f(1,3)BC，以a，b為基底表示向量eq\o(AM,\s\up14(→))與eq\o(HF,\s\up14(→)).[解]在平行四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up14(→))＝a，eq\o(AD,\s\up14(→))＝b，H，M分別是AD，DC的中點，BF＝eq\f(1,3)BC，∴eq\o(AM,\s\up14(→))＝eq\o(AD,\s\up14(→))＋eq\o(DM,\s\up14(→))＝eq\o(AD,\s\up14(→))＋eq\f(1,2)eq\o(DC,\s\up14(→))＝eq\o(AD,\s\up14(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up14(→))＝b＋eq\f(1,2)a，eq\o(HF,\s\up14(→))＝eq\o(AF,\s\up14(→))－eq\o(AH,\s\up14(→))＝eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(BF,\s\up14(→))－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up14(→))＝a＋eq\f(1,3)b－eq\f(1,2)b＝a－eq\f(1,6)b.10．如圖，在矩形OACB中，E和F分別是邊AC和BC上的點，滿足AC＝3AE，BC＝3BF，若eq\o(OC,\s\up14(→))＝λeq\o(OE,\s\up14(→))＋μeq\o(OF,\s\up14(→))，其中λ，μ∈R，求λ，μ的值．[解]在矩形OACB中，eq\o(OC,\s\up14(→))＝eq\o(OA,\s\up14(→))＋eq\o(OB,\s\up14(→))，又eq\o(OC,\s\up14(→))＝λeq\o(OE,\s\up14(→))＋μeq\o(OF,\s\up14(→))＝λ(eq\o(OA,\s\up14(→))＋eq\o(AE,\s\up14(→)))＋μ(eq\o(OB,\s\up14(→))＋eq\o(BF,\s\up14(→)))＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(OA,\s\up14(→))＋\f(1,3)\o(OB,\s\up14(→))))＋μeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(OB,\s\up14(→))＋\f(1,3)\o(OA,\s\up14(→))))＝eq\f(3λ＋μ,3)eq\o(OA,\s\up14(→))＋eq\f(3μ＋λ,3)eq\o(OB,\s\up14(→))，所以eq\f(3λ＋μ,3)＝1，eq\f(3μ＋λ,3)＝1，所以λ＝μ＝eq\f(3,4).[等級過關(guān)練]1．已知O是平面上一定點，A，B，C是平面上不共線的三個點，動點P滿足eq\o(OP,\s\up14(→))＝eq\o(OA,\s\up14(→))＋λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up14(→)),|\o(AB,\s\up14(→))|)＋\f(\o(AC,\s\up14(→)),|\o(AC,\s\up14(→))|)))(λ∈[0，＋∞))，則點P的軌跡一定通過△ABC的()A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心B[eq\f(\o(AB,\s\up14(→)),|\o(AB,\s\up14(→))|)為eq\o(AB,\s\up14(→))上的單位向量，eq\f(\o(AC,\s\up14(→)),|\o(AC,\s\up14(→))|)為eq\o(AC,\s\up14(→))上的單位向量，則eq\f(\o(AB,\s\up14(→)),|\o(AB,\s\up14(→))|)＋eq\f(\o(AC,\s\up14(→)),|\o(AC,\s\up14(→))|)的方向為∠BAC的角平分線eq\o(AD,\s\up14(→))的方向．又λ∈[0，＋∞)，∴λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up14(→)),|\o(AB,\s\up14(→))|)＋\f(\o(AC,\s\up14(→)),|\o(AC,\s\up14(→))|)))的方向與eq\f(\o(AB,\s\up14(→)),|\o(AB,\s\up14(→))|)＋eq\f(\o(AC,\s\up14(→)),|\o(AC,\s\up14(→))|)的方向相同．而eq\o(OP,\s\up14(→))＝eq\o(OA,\s\up14(→))＋λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up14(→)),|\o(AB,\s\up14(→))|)＋\f(\o(AC,\s\up14(→)),|\o(AC,\s\up14(→))|)))，∴點P在eq\o(AD,\s\up14(→))上移動，∴點P的軌跡一定通過△ABC的內(nèi)心．]2．若點M是△ABC所在平面內(nèi)一點，且滿足：eq\o(AM,\s\up14(→))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up14(→)).則△ABM與△ABC的面積之比為________．1∶4[如圖，由eq\o(AM,\s\up14(→))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up14(→))可知M，B，C三點共線，令eq\o(BM,\s\up14(→))＝λeq\o(BC,\s\up14(→))則eq\o(AM,\s\up14(→))＝eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(BM,\s\up14(→))＝eq\o(AB,\s\up14(→))＋λeq\o(BC,\s\up14(→))＝eq\o(AB,\s\up14(→))＋λ(eq\o(AC,\s\up14(→))－eq\o(AB,\s\up14(→)))＝(1－λ)eq\o(AB,\s\up14(→))＋λeq\o(AC,\s\up14(→))?λ＝eq\f(1,4)，所以eq\f(S△ABM,S△ABC)＝eq\f(1,4)，即△ABM與△ABC面積之比為1∶4.