《1.4.1 用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系》教案、導(dǎo)學(xué)案、同步練習(xí)

《1.4.1用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系》教案（第一課時）【教材分析】本節(jié)課選自《2019人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊》第一章《空間向量與立體幾何》，本節(jié)課主要學(xué)習(xí)運(yùn)用空間向量解決線線、線面、面面的位置關(guān)系，主要是平行。在向量坐標(biāo)化的基礎(chǔ)上，將空間中線線、線面、面面的位置關(guān)系，轉(zhuǎn)化為向量語言，進(jìn)而運(yùn)用向量的坐標(biāo)表示，從而實現(xiàn)運(yùn)用空間向量解決立體幾何問題，為學(xué)生學(xué)習(xí)立體幾何提供了新的方法和新的觀點，為培養(yǎng)學(xué)生思維提供了更廣闊的空間?！窘虒W(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)】課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)A.能用向量語言描述直線和平面,理解直線的方向向量與平面的法向量.B.能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行關(guān)系.C.能用向量方法證明必修內(nèi)容中有關(guān)直線、平面平行關(guān)系的判定定理.D.能用向量方法證明空間中直線、平面的平行關(guān)系.1.數(shù)學(xué)抽象：直線的方向向量與平面的法向量2.邏輯推理：直線、平面平行關(guān)系的判定；3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決直線、平面的平行關(guān)系.【教學(xué)重點】：用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行關(guān)系【教學(xué)難點】：用向量方法證明空間中直線、平面的平行關(guān)系【教學(xué)過程】教學(xué)過程教學(xué)設(shè)計意圖一、情境導(dǎo)學(xué)牌樓與牌坊類似,是中國傳統(tǒng)建筑之一,最早見于周朝。在園林、寺觀、宮苑、陵墓和街道常有建造.舊時牌樓主要有木、石、木石、磚木、琉璃幾種,多設(shè)于要道口。牌樓中有一種有柱門形構(gòu)筑物,一般較高大。如圖,牌樓的柱子與地面是垂直的,如果牌樓上部的下邊線與柱子垂直,我們就能知道下邊線與地面平行。這是為什么呢?二、探究新知一、空間中點、直線和平面的向量表示1.點的位置向量在空間中,我們?nèi)∫欢cO作為基點,那么空間中任意一點P就可以用向量OP來表示.我們把向量OP稱為點P的位置向量.如圖.2.空間直線的向量表示式如圖①,a是直線l的方向向量,在直線l上取AB=a,設(shè)P是直線l上的任意一點,則點P在直線l上的充要條件是存在實數(shù)t,使得AP=ta,即AP=tAB.如圖②,取定空間中的任意一點O,可以得到點P在直線l上的充要條件是存在實數(shù)t,使OP=OA+ta,或OP=OA+tAB①式和②式都稱為空間直線的向量表示式.由此可知,空間任意直線由直線上一點及直線的方向向量唯一確定.1.下列說法中正確的是()A.直線的方向向量是唯一的B.與一個平面的法向量共線的非零向量都是該平面的法向量C.直線的方向向量有兩個D.平面的法向量是唯一的答案:B解析:由平面法向量的定義可知,B項正確.3.空間平面的向量表示式如圖,取定空間任意一點O,空間一點P位于平面ABC內(nèi)的充要條件是存在實數(shù)x,y,使OP=OA+xAB+yAC.我們把這個式子稱為空間平面ABC的向量表示式.4.平面的法向量如圖,直線l⊥α,取直線l的方向向量a,我們稱向量a為平面α的法向量.給定一個點A和一個向量a,那么過點A,且以向量a為法向量的平面完全確定,可以表示為集合{P|a·AP=0}.點睛：空間中,一個向量成為直線l的方向向量,必須具備以下兩個條件:①是非零向量;②向量所在的直線與l平行或重合.2.若直線l過點A(-1,3,4),B(1,2,1),則直線l的一個方向向量可以是()A.-1,12,-3答案:D解析:AB=(2,-1,-3)=-3-233.若兩個向量AB=(1,2,3),AC=(3,2,1),則平面ABC的一個法向量為()A.(-1,2,-1) B.(1,2,1)C.(1,2,-1) D.(-1,2,1)答案:A解析:設(shè)平面ABC的法向量為n=(x,y,z),則n·AB=0,n·AC=0,即x+2y+3z=0,3x+2二、空間中直線、平面平行的向量表示位置關(guān)系向量表示線線平行設(shè)μ1,μ2分別是直線l1,l2的方向向量,則l1∥l2?μ1∥μ2??λ∈R,使得μ1=λμ2.線面平行設(shè)μ是直線l的方向向量,n是平面α的法向量,l?α,則l∥α?μ⊥n?μ·n=0.面面平行設(shè)n1,n2分別是平面α,β的法向量,則α∥β?n1∥n2??λ∈R,使得n1=λn2.點睛：1.空間平行關(guān)系的本質(zhì)是線線平行,根據(jù)共線向量定理,只需證明直線的方向向量μ1∥μ2.此外,證明線面平行也可用共面向量定理,即只要證明這條直線的方向向量能夠用平面內(nèi)兩個不共線向量線性表示即可.2.利用直線的方向向量證明直線與直線平行、直線與平面平行時,要注意向量所在的直線與所證直線或平面無公共點,證明平面與平面平行時也要注意兩平面沒有公共點.4.若兩條直線的方向向量分別是a=(2,4,-5),b=(-6,x,y),且兩條直線平行,則x=,y=.

答案:-12；15解析:因為兩條直線平行,所以a∥b.于是2-6=4x=-5.若平面β外的一條直線l的方向向量是u=(-1,2,-3),平面β的法向量為n=(4,-1,-2),則l與β的位置關(guān)系是.

答案:平行解析:因為u·n=(-1,2,-3)·(4,-1,-2)=0,所以u⊥n.所以直線與平面平行,即l∥β.例1.如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是正方形,側(cè)棱PD⊥底面ABCD,PD=DC=1,E是PC的中點,求平面EDB的一個法向量.思路分析首先建立空間直角坐標(biāo)系,然后利用待定系數(shù)法按照平面法向量的求解步驟進(jìn)行求解.解:如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系.依題意可得D(0,0,0),P(0,0,1),E0,12,DE=0,12設(shè)平面EDB的法向量為n=(x,y,z),則n⊥DE,n⊥DB,于是n取x=1,則y=-1,z=1,故平面EDB的一個法向量為n=(1,-1,1).延伸探究：本例條件不變,你能分別求出平面PAD與平面PCD的一個法向量嗎?它們之間的關(guān)系如何?解:如同例題建系方法,易知平面PAD的一個法向量為n1=(0,1,0),平面PCD的一個法向量為n2=(1,0,0),因為n1·n2=0,所以n1⊥n2.利用待定系數(shù)法求平面法向量的步驟(1)設(shè)平面的法向量為n=(x,y,z).(2)找出(求出)平面內(nèi)的兩個不共線的向量的坐標(biāo)a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2).(3)根據(jù)法向量的定義建立關(guān)于x,y,z的方程組n(4)解方程組,取其中的一個解,即得法向量.1.如圖所示,已知四邊形ABCD是直角梯形,AD∥BC,∠ABC=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=12,試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系(1)求平面ABCD的一個法向量;(2)求平面SAB的一個法向量;(3)求平面SCD的一個法向量.解:以點A為原點,AD、AB、AS所在的直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,0),B(0,1,0),C(1,1,0),D12,0,0,S(0,0,1).(1)∵SA⊥平面ABCD,∴AS=(0,0,1)是平面ABCD的一個法向量.(2)∵AD⊥AB,AD⊥SA,∴AD⊥平面SAB,∴AD=12,0,0是平面SAB的一個法向量.(3)在平面SCD中,DC=12,1,0,SC=(1,1,-1).設(shè)平面SCD的法向量是n=(x,y,z),則n⊥DC,n⊥SC,∴n得方程組1令y=-1,得x=2,z=1,∴n=(2,-1,1).例2.在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,AD=3,AA1=2,點P,Q,R,S分別是AA1,D1C1,AB,CC1的中點.求證:PQ∥RS.證明:(方法1)以點D為原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz.則P(3,0,1),Q(0,2,2),R(3,2,0),S(0,4,1),PQ=(-3,2,1),RS=(-3,2,1),∴PQ=RS,∴PQ即PQ∥RS.(方法2)RS=12PQ=∴RS=PQ,∴RS∥PQ利用空間向量證明線與線平行的方法要證明兩直線平行,可先求出兩直線的方向向量,然后證明兩直線的方向向量共線,從而證明兩直線平行.2.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點P在線段A1D上,點Q在線段AC上,線段PQ與直線A1D和AC都垂直,求證:PQ∥BD1.證明:以點D為坐標(biāo)原點,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體的棱長為1,D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),A1(1,0,1),D1(0,0,1),∴DA1=(1,0,1),AC=(-1,1,0),設(shè)PQ=(a,b,則DA1取PQ=(1,1,-1).易知BD1=(-1,-1,1),∴PQ=-∴PQ∥BD1,即PQ∥例3.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別是C1C,B1C1的中點.求證:MN∥平面A1BD.思路分析思路一:可證明MN與思路二:可證明MN與平面A1BD中的DA1是共線向量;思路三:可通過平面A1BD證明:(方法1)∵M(jìn)N==12∴MN,DB又∵M(jìn)N?平面A1BD,∴MN∥平面A1BD.(方法2)∵M(jìn)N=12(D1A1-又∵M(jìn)N?平面A1BD,∴MN∥平面A1BD.(方法3)以D為原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖.設(shè)正方體的棱長為1,則可求得M0,1,12,N12,1,于是MN=12,0,1設(shè)平面A1BD的法向量為n=(x,y,z),則n取x=1,得y=-1,z=-1,∴n=(1,-1,-1).∵M(jìn)N·n=12,0,12·(1,-1,-1)=又∵M(jìn)N?平面A1BD,∴MN∥平面A1BD.利用空間向量證明線面平行的方法(1)利用共面向量法:證明直線的方向向量p與平面內(nèi)的兩個不共線向量a,b是共面向量,即滿足p=xa+yb(x,y∈R),則p,a,b共面,從而可證直線與平面平行.(2)利用共線向量法:證明直線的方向向量p與該平面內(nèi)的某一向量共線,再結(jié)合線面平行的判定定理即可證明線面平行.(3)利用法向量法:求出直線的方向向量與平面的法向量,證明方向向量與法向量垂直,從而證明直線與平面平行.3.如圖,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=2,AF=1,M是線段EF的中點.求證:AM∥平面BDE.證明:建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)AC∩BD=N,連接NE,則點N,E的坐標(biāo)分別是22,所以NE=又點A,M的坐標(biāo)分別是(2,2,0),2所以AM=所以NE=AM,且A?NE,所以NE又因為NE?平面BDE,AM?平面BDE,所以AM∥平面BDE.例4.如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,O為底面ABCD的中心,P是DD1的中點,設(shè)Q是CC1上的點,問:當(dāng)點Q在什么位置時,平面D1BQ∥平面PAO?思路分析建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)出點Q的坐標(biāo),然后可根據(jù)面面平行的判定定理轉(zhuǎn)化為向量共線問題或者利用兩個平面的法向量共線進(jìn)行證明.解:如圖所示,分別以DA,DC,DD1所在直線為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,在CC1上任取一點Q,連接BQ,D1Q.設(shè)正方體的棱長為1,則O12,12,0,P0,0,12,A(1,0,0),(方法1)因為OP=-12,-12,于是OP∥BD1.AP=-1,0,當(dāng)m=12時,AP=BQ,即AP∥BQ,有平面PAO∥平面D故當(dāng)Q為CC1的中點時,平面D1BQ∥平面PAO.(方法2)OA=設(shè)平面PAO的法向量為n1=(x,y,z),則有n1⊥OA,n1⊥OP,因此1取x=1,則n1=(1,1,2).又因為BD1=(-1,-1,1),QD1=(0,-設(shè)平面D1BQ的法向量為n2=(x,y,z),則有n2⊥BD1,n2⊥QD取z=1,則n2=(m,1-m,1).要使平面D1BQ∥平面PAO,需滿足n1∥n2,因此1m=11-m=故當(dāng)Q為CC1的中點時,平面D1BQ∥平面PAO.利用空間向量證明面面平行的方法(1)轉(zhuǎn)化為線面平行、線線平行,然后借助向量共線進(jìn)行證明;(2)通過證明兩個平面的法向量平行證明.4.在長方體ABCD-A1B1C1D1中,DA=2,DC=3,DD1=4,M,N,E,F分別為棱A1D1,A1B1,D1C1,B1C1的中點.求證:平面AMN∥平面EFBD.證明:建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(2,0,0),B(2,3,0),M(1,0,4),N2,32,4,E∴MN=1,3AM=(-1,0,4),BF=(-1,0,4).∴MN=EF,AM=BF.∴MN∴MN∥平面EFBD,AM∥平面EFBD.又MN∩AM=M,∴平面AMN∥平面EFBD.金題典例：如圖,在正方體ABCD-A'B'C'D'中,求證:平面AB'D'∥平面BDC'.解題提示:證明面面平行常用的方法有兩種,一是證明它們的法向量共線;二是轉(zhuǎn)化為線面平行、線線平行即可.證明:(方法1)設(shè)正方體的棱長為1,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(1,0,0),B'(1,1,1),D'(0,0,1),B(1,1,0),D(0,0,0),C'(0,1,1),于是AB'=(0,1,1),D'B'設(shè)平面AB'D'的法向量為n1=(x1,y1,z1),則n1⊥AB',n⊥D'令y1=1,則x1=-1,z1=-1,可得平面AB'D'的一個法向量為n1=(-1,1,-1).設(shè)平面BDC'的法向量為n2=(x2,y2,z2).則n2⊥DB,n2⊥DC',即令y2=1,則x2=-1,z2=-1,可得平面BDC'的一個法向量為n2=(-1,1,-1).所以n1=n2,所以n1∥n2,故平面AB'D'∥平面BDC'.(方法2)由方法1知AD'=(1,0,1),BC'=(1,0,1),AB'=(0,1,1),所以AD'=BC',AB'=DC'所以AD'∥平面BDC',AB'∥平面BDC'.又AD'∩AB'=A,所以平面AB'D'∥平面BDC'.(方法3)同方法1得平面AB'D'的一個法向量為n1=(-1,1,-1).易知DB=(1,1,0),DC'=(0,1,1)因為n1·DB=(-1,1,-1)·(1,1,0)=0,n1·DC'=(-1,1,-1)·(0,1,1)=所以n1也是平面BDC'的一個法向量,所以平面AB'D'∥平面BDC'.點睛：建立空間直角坐標(biāo)系的關(guān)鍵是根據(jù)幾何體的特征,盡可能找到三條兩兩互相垂直且相交于一點的線段,特別是有垂直關(guān)系的一些幾何體,如正方體,長方體,直棱柱,有一條側(cè)棱垂直于底面的棱錐等,其中長方體(或正方體)是最簡單的模型.創(chuàng)設(shè)問題情境，引導(dǎo)學(xué)生回顧空間中線線、線面、面面的位置關(guān)系，并提出運(yùn)用空間向量解法立體幾何的問題，實現(xiàn)將空間幾何問題代數(shù)化的基本思想由基本問題出發(fā)，讓學(xué)生感受到空間向量語言與立體幾何的對應(yīng)關(guān)系，實現(xiàn)將立體幾何問題向量化。發(fā)展學(xué)生邏輯推理，數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。通過典型例題的分析和解決，讓學(xué)生感受空間向量坐標(biāo)運(yùn)算在解決立體幾何問題的應(yīng)用。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理的核心素養(yǎng)。通過典例解析，進(jìn)一步讓學(xué)生體會空間向量坐標(biāo)運(yùn)算在解決立體幾何中的應(yīng)用，提升推理論證能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算及邏輯推理的核心素養(yǎng)。三、達(dá)標(biāo)檢測1.若不重合的直線l1,l2的方向向量分別為a=(1,2,-2),b=(-3,-6,6),則()A.l1∥l2 B.l1⊥l2C.l1,l2相交但不垂直 D.不能確定答案:A解析:因為1-3=2-6=-26,所以a∥b.又直線l1,2.已知線段AB的兩端點坐標(biāo)為A(9,-3,4),B(9,2,1),則直線AB()A.與坐標(biāo)平面xOy平行 B.與坐標(biāo)平面yOz平行C.與坐標(biāo)平面xOz平行 D.與坐標(biāo)平面yOz相交答案:B解析:因為A(9,-3,4),B(9,2,1),所以AB=(0,5,-3),而坐標(biāo)平面yOz的法向量為(1,0,0),顯然(0,5,-3)·(1,0,0)=0,故直線AB與坐標(biāo)平面yOz平行.3.若平面α∥β,則下面可以是這兩個平面法向量的是()A.n1=(1,2,3),n2=(-3,2,1)B.n1=(1,2,2),n2=(-2,2,1)C.n1=(1,1,1),n2=(-2,2,1)D.n1=(1,1,1),n2=(-2,-2,-2)答案:D解析:因為平面α∥β,所以兩個平面的法向量應(yīng)該平行,只有D項符合.4.已知l∥α,且l的方向向量為(2,m,1),平面α的法向量為1,12,答案:-8解析:設(shè)a=(2,m,1),b=1,12,2.因為l∥α,所以a⊥b.于是2+12m+5.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,E,F分別是BB1,DD1的中點,求證:(1)FC1∥平面ADE;(2)平面ADE∥平面B1C1F.證明:如圖,建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz,則D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),C1(0,2,2),E(2,2,1),F(0,0,1),B1(2,2,2),所以FC1=(0,2,1),DA=(2,0,0),AE=(1)(方法1)設(shè)n1=(x1,y1,z1)是平面ADE的法向量,則n1⊥DA,n1⊥AE,即n1·DA=2x1=0,n1·所以n1=(0,-1,2).因為FC1·n1=-2+2=0,所以FC1又因為FC1?平面ADE,所以FC1∥平面ADE.(方法2)設(shè)FC1=λDA+μAE,則(0,2,1)=λ(2,0,0)所以2λ=0,2μ=2,μ=1,解得λ=0μ=1,即FC1=(2)C1B1設(shè)n2=(x2,y2,z2)是平面B1C1F的一個法向量.由n2⊥FC1,n2⊥得n令z2=2,則y2=-1,所以n2=(0,-1,2).因為n1=n2,所以平面ADE∥平面B1C1F.通過練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識，通過學(xué)生解決問題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。四、小結(jié)通過總結(jié)，讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，提高概括能力?！窘虒W(xué)反思】教學(xué)中主要突出了幾個方面：一是創(chuàng)設(shè)問題情景，通過現(xiàn)實情境提出問題，讓學(xué)生初步體會運(yùn)用向量解決立體幾何問題的基本方法，并以此來激發(fā)學(xué)生的探究心理。二是典例解析，通過對典型問題的分析解決，幫助學(xué)生建立運(yùn)用空間向量解決立體幾何問題的基本思路。教學(xué)設(shè)計盡量做到注意學(xué)生的心理特點和認(rèn)知規(guī)律，觸發(fā)學(xué)生的思維，使教學(xué)過程真正成為學(xué)生的學(xué)習(xí)過程，以思維教學(xué)代替單純的記憶教學(xué)。注意在探究問題時留給學(xué)生充分的時間，使數(shù)學(xué)教學(xué)成為數(shù)學(xué)活動的教學(xué)。從而發(fā)展學(xué)生的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)?！?.4.1用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系》教案（第二課時）【教材分析】本節(jié)課選自《2019人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊》第一章《空間向量與立體幾何》，本節(jié)課主要學(xué)習(xí)運(yùn)用空間向量解決線線、線面、面面的位置關(guān)系，主要是垂直。在向量坐標(biāo)化的基礎(chǔ)上，將空間中線線、線面、面面的位置關(guān)系，轉(zhuǎn)化為向量語言，進(jìn)而運(yùn)用向量的坐標(biāo)表示，從而實現(xiàn)運(yùn)用空間向量解決立體幾何問題，為學(xué)生學(xué)習(xí)立體幾何提供了新的方法和新的觀點，為培養(yǎng)學(xué)生思維提供了更廣闊的空間。【教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)】課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)A..能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關(guān)系.B.能用向量方法證明必修內(nèi)容中有關(guān)直線、平面垂直關(guān)系的判定定理.C.能用向量方法證明空間中直線、平面的垂直關(guān)系.1.數(shù)學(xué)抽象：向量語言表述垂直關(guān)系2.邏輯推理：直線、平面垂直關(guān)系的判定；3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決直線、平面的垂直關(guān)系.【教學(xué)重點】：用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關(guān)系【教學(xué)難點】：用向量方法證明空間中直線、平面的垂直關(guān)系【教學(xué)過程】教學(xué)過程教學(xué)設(shè)計意圖一、情境導(dǎo)學(xué)類似空間中直線、平面平行的向量表示，在直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關(guān)系中，直線的方向向量、平面的法向量之間有什么關(guān)系？二、探究新知空間中直線、平面垂直的向量表示位置關(guān)系向量表示線線垂直設(shè)直線l1,l2的方向向量分別為μ1,μ2,則l1⊥l2?μ1⊥μ2?μ1·μ2=0線面垂直設(shè)直線l的方向向量為μ,平面α的法向量為n,則l⊥α?μ∥n??λ∈R,使得μ=λn面面垂直設(shè)平面α,β的法向量分別為n1,n2,則α⊥β?n1⊥n2?n1·n2=01.判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內(nèi)打“√”,錯誤的打“×”.(1)若兩條直線的方向向量的數(shù)量積為0,則這兩條直線一定垂直相交.()(2)若一直線與平面垂直,則該直線的方向向量與平面內(nèi)的所有直線的方向向量的數(shù)量積為0.()(3)兩個平面垂直,則其中一平面內(nèi)的直線的方向向量與另一平面內(nèi)的直線的方向向量垂直.()(4)若兩平面α,β的法向量分別為u1=(1,0,1),u2=(0,2,0),則平面α,β互相垂直.()答案:(1)×(2)√(3)×(4)√2.設(shè)平面α的法向量為(1,2,-2),平面β的法向量(-2,-4,k),若α⊥β,則k=()A.2 B.-5 C.4 D.-2答案:B解析:因為α⊥β,所以-2-8-2k=0,解得k=-5.例1如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,四邊形ABCD是矩形,PA=AB=1,點F是PB的中點,點E在邊BC上移動.求證:無論點E在邊BC上的何處,都有PE⊥AF.思路分析只需證明直線PE與AF的方向向量互相垂直即可.證明:(方法1)以A為原點,以AD,AB,AP所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)AD=a,則A(0,0,0),P(0,0,1),B(0,1,0),C(a,1,0),于是F0,∵E在BC上,∴設(shè)E(m,1,0),∴PE=(m,1,-1),AF∵PE·AF=0,∴PE∴無論點E在邊BC上何處,總有PE⊥AF.(方法2)因為點E在邊BC上,可設(shè)BE=λBC,于是PE·AF=(PA+AB+BE)·12(=12(PA·AB+PA·AP+AB·AB+AB·AP+λBC·AB+λ故無論點E在邊BC上的何處,都有PE⊥AF.延伸探究本例條件不變,求證:AF⊥BC.證明:同例題建系,易知AF=0,12,12,BC=(a,0,0),因為AF·BC=利用向量方法證明線線垂直的方法(1)坐標(biāo)法:建立空間直角坐標(biāo)系,寫出相關(guān)點的坐標(biāo),求出兩直線方向向量的坐標(biāo),然后通過數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算法則證明數(shù)量積等于0,從而證明兩條直線的方向向量互相垂直;(2)基向量法:利用空間向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算及其運(yùn)算律,結(jié)合圖形,將兩直線所在的向量用基向量表示,然后根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律證明兩直線所在的向量的數(shù)量積等于0,從而證明兩條直線的方向向量互相垂直.跟蹤訓(xùn)練1在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為AC的中點.求證:(1)BD1⊥AC;(2)BD1⊥EB1.(2)∵BD1=(-1,-1,1),EB1=12,12,1,∴BD1·EB1=(-1)×12+(-證明:以D為原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)正方體的棱長為1,則B(1,1,0),D1(0,0,1),A(1,0,0),C(0,1,0),E12,12,(1)∵BD1=(-1,AC=(-1,1,0),∴BD1·AC=(-1)×(-1)+(-1)×1+1×∴BD1⊥AC,∴例2在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M分別為棱AB,BC,B1B的中點.求證:D1M⊥平面EFB1.思路分析一種思路是不建系,利用基向量法證明D1M與平面EFB1內(nèi)的兩個不共線向量都垂直,從而根據(jù)線面垂直的判定定理證得結(jié)論;另一種思路是建立空間直角坐標(biāo)系,通過坐標(biāo)運(yùn)算證明D1M與平面EFB1內(nèi)的兩個不共線向量都垂直;還可以在建系的前提下,求得平面EFB1證明:(方法1)因為E,F,M分別為棱AB,BC,B1B的中點,所以D1而B1于是D1M·B1E=0-0+0-12+12-14×0又因為B1E,B1F不共線,因此D1(方法2)分別以DA,DC,DD1所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.則D1(0,0,1),M1,B1(1,1,1),E1,12,0,B1因此D1M·B1E=1×0+1×-12又D1M·B1F=1×-12+1×0+-又B1E,B1F不共線,因此D1(方法3)分別以DA,DC,DD1所在直線為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則D1(0,0,1),M1,1,1E1,12,0,B1設(shè)平面EFB1的法向量為n=(x,y,z),于是n⊥B1E,n⊥B取x=2,則y=2,z=-1,即n=(2,2,-1),而1,1,-12=所以D1M∥n,故D1M⊥平面EFB利用空間向量證明線面垂直的方法(1)基向量法:選取基向量,用基向量表示直線所在的向量,在平面內(nèi)找出兩個不共線的向量,也用基向量表示,然后根據(jù)數(shù)量積運(yùn)算律分別證明直線所在向量與兩個不共線向量的數(shù)量積均為零,從而證得結(jié)論.(2)坐標(biāo)法:建立空間直角坐標(biāo)系,求出直線方向向量的坐標(biāo)以及平面內(nèi)兩個不共線向量的坐標(biāo),然后根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算法則證明直線的方向向量與兩個不共線向量的數(shù)量積均為零,從而證得結(jié)論.(3)法向量法:建立空間直角坐標(biāo)系,求出直線方向向量的坐標(biāo)以及平面法向量的坐標(biāo),然后說明直線方向向量與平面法向量共線,從而證得結(jié)論.跟蹤訓(xùn)練2如圖,在四棱錐P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,AB=4,CD=2,AD=22,PA⊥平面ABCD,PA=4.求證:BD⊥平面PAC.證明:因為AP⊥平面ABCD,AB⊥AD,所以以A為坐標(biāo)原點,AB,AD,AP所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.則B(4,0,0),P(0,0,4),D(0,22,0),C(2,22,0),所以BD=(-4,22,0),AC=(2,22,0),AP=(0,0,4).所以BD·AC=(-4)×2+22×22+0×0BD·AP=(-4)×0+22×0+0×4=0,所以BD⊥AC,BD因為AP∩AC=A,AC?平面PAC,AP?平面PAC,所以BD⊥平面PAC.例3如圖所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥BC,AB=BC=2,BB1=1,點E為BB1的中點,證明:平面AEC1⊥平面AA1C1C.思路分析要證明兩個平面垂直,由兩個平面垂直的條件,可證明這兩個平面的法向量垂直,轉(zhuǎn)化為求兩個平面的法向量n1,n2,證明n1·n2=0.解:由題意得AB,BC,B1B兩兩垂直.以點B為原點,BA,BC,BB1所在直線分別為x,y,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則A(2,0,0),A1(2,0,1),C(0,2,0),C1(0,2,1),E0,0,12,則AA1=(0,0,1),AC=(-2,2,0),AC1=(-2,2,1),AE=-設(shè)平面AA1C1C的一個法向量為n1=(x1,y1,z1).則n1·AA1=0,n1·AC=0?z1=0設(shè)平面AEC1的一個法向量為n2=(x2,y2,z2).則n令z2=4,得x2=1,y2=-1.∴n2=(1,-1,4).∵n1·n2=1×1+1×(-1)+0×4=0,∴n1⊥n2,∴平面AEC1⊥平面AA1C1C.利用空間向量證明面面垂直的方法1.利用空間向量證明面面垂直通常有兩個途徑:一是利用兩個平面垂直的判定定理將面面垂直問題轉(zhuǎn)化為線面垂直進(jìn)而轉(zhuǎn)化為線線垂直;二是直接求解兩個平面的法向量,由兩個法向量垂直,得面面垂直.2.向量法證明面面垂直的優(yōu)越性主要體現(xiàn)在不必考慮圖形的位置關(guān)系,恰當(dāng)建系或用基向量表示后,只需經(jīng)過向量運(yùn)算就可得到要證明的結(jié)果,思路方法“公式化”,降低了思維難度.跟蹤訓(xùn)練3如圖,在五面體ABCDEF中,FA⊥平面ABCD,AD∥BC∥FE,AB⊥AD,M為EC的中點,AF=AB=BC=FE=1求證:平面AMD⊥平面CDE.分析:因為FA⊥平面ABCD,所以可以以點A為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系.證明:如圖,建立空間直角坐標(biāo)系,點A為坐標(biāo)原點,設(shè)AB=1,依題意得A(0,0,0),M12,1,12,C(1,1,0),D(0,2,0),E(0,1,1),則AM=12,1,12,CE=(-1,0,1),又AM∩AD=A,∴CE⊥平面AMD.又CE?平面CED,∴平面AMD⊥平面CED.金題典例如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是以∠ABC為直角的等腰直角三角形,AC=2a,BB1=3a,D是A1C1的中點,E是B1C的中點.(1)求cos<BE,(2)在線段AA1上是否存在點F,使CF⊥平面B1DF?若存在,求出|AF|;若不存在,請說明理由.解:(1)以B為坐標(biāo)原點,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.∵AC=2a,∠ABC=90°,∴AB=BC=2a.∴B(0,0,0),A(2a,0,0),C(0,2a,0),B1(0,0,3a),A1(2a,0,3a),C1(0,2a,3a),D22a,2CA1=(2a,-2a,3BE=∴|CA1|=13a,|BE|=112a,CA1·BE=0-a2+9∴cos<BE,CA(2)存在.理由如下:假設(shè)存在點F,使CF⊥平面B1DF.不妨設(shè)AF=b,則F(2a,0,b),CF=(2a,-2a,b),B1F=(2a,0,b-3a),∵CF·B1D=a2-a2+0=0,由B1F·CF=2a2+b(b-3a)=b2-3ab+2a2=0,得b=a或∴當(dāng)|AF|=a或|AF|=2a時,CF⊥平面B1DF.應(yīng)用空間向量解答探索性(存在性)問題立體幾何中的存在探究題,解決思路一般有兩個:(1)根據(jù)題目的已知條件進(jìn)行綜合分析和觀察猜想,找出點或線的位置,并用向量表示出來,然后再加以證明,得出結(jié)論;(2)假設(shè)所求的點或參數(shù)存在,并用相關(guān)參數(shù)表示相關(guān)點,根據(jù)線、面滿足的垂直、平行關(guān)系,構(gòu)建方程(組)求解,若能求出參數(shù)的值且符合該限定的范圍,則存在,否則不存在.類比直線、平面平行的向量表示，提出運(yùn)用向量解空間中的垂直問題，引導(dǎo)學(xué)生回顧空間中線線、線面、面面的平行問題的解法方法，類比學(xué)習(xí)空間中的垂直問題，進(jìn)一步體會空間幾何問題代數(shù)化的基本思想由基本問題出發(fā)，讓學(xué)生掌握運(yùn)用空間向量解決空間中的垂直問題，實現(xiàn)將立體幾何問題向量化。發(fā)展學(xué)生邏輯推理，數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。通過典型例題的分析和解決，讓學(xué)生感受空間向量坐標(biāo)運(yùn)算在解決立體幾何問題的應(yīng)用。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理的核心素養(yǎng)。通過典例解析，進(jìn)一步讓學(xué)生體會空間向量坐標(biāo)運(yùn)算在解決立體幾何中的應(yīng)用，提升推理論證能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算及邏輯推理的核心素養(yǎng)。三、達(dá)標(biāo)檢測1.直線l的方向向量為a=(1,-2,3),平面α的法向量為n=(-3,6,-9),則()A.l?α B.l∥αC.l⊥α D.l與α相交答案:C解析:∵直線l的方向向量為a=(1,-2,3),平面α的法向量為n=(-3,6,-9),∴a=-13n,∴a∥n,∴l(xiāng)⊥α.2.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是BB1,CD的中點,則()A.平面AED∥平面A1FD1B.平面AED⊥平面A1FD1C.平面AED與平面A1FD1相交但不垂直D.以上都不對答案:B解析:以D為原點,DA,DC,DD1分別為x,y,z建立空間直角坐標(biāo)系,求出平面AED的法向量n1與平面A1FD1的法向量n2.因為n1·n2=0,所以n1⊥n2,故平面AED⊥3.若直線l的方向向量是a=(1,0,-2),平面β的法向量是b=(-1,0,2),則直線l與β的位置關(guān)系是.

答案:l⊥β解析:因為a∥b,所以l⊥β.4.如圖,在四面體ABCD中,AB⊥平面BCD,BC=CD,∠BCD=90°,∠ADB=30°,E,F分別是AC,AD的中點,求證:平面BEF⊥平面ABC.證明:建立空間直角坐標(biāo)系,如圖,取A(0,0,a),則易得B(0,0,0),C32a,32a,0,D(0,3a,0),E34a,34a,a2,F0∵∠BCD=90°,∴CD⊥BC.∵AB⊥平面BCD,∴AB⊥CD.又∵AB∩BC=B,∴CD⊥平面ABC.∴CD=-32設(shè)平面BEF的法向量n=(x,y,z),∴n·EF=0,即(x,y,z)·-34a,3由n·BF=0,即(x,y,z)·0,3有32ay+a2z=0,∴z=-取y=1,得n=(1,1,-3).∵n·CD=(1,1,-3)·-32∴n⊥CD.∴平面BEF⊥平面ABC.5．如圖所示，在長方體中，，，、分別是、的中點．（1）求證：平面；（2）求證：平面．證明：（1）以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，在長方體中，，，、分別是、的中點，，1，，，1，，，0，，平面的法向量，1，，，平面，平面．（2），0，，，2，，，2，，，1，，，，，，，平面．通過練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識，通過學(xué)生解決問題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。四、小結(jié)通過總結(jié)，讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，提高概括能力?！窘虒W(xué)反思】教學(xué)中主要突出了幾個方面：一是突出類比學(xué)習(xí)，讓學(xué)生類比向量解決平行問題，進(jìn)而學(xué)習(xí)運(yùn)用空間向量解決垂直問題，發(fā)展學(xué)生的類比思想和邏輯推理能力。二是典例解析，通過對典型問題的分析解決，幫助學(xué)生建立運(yùn)用空間向量解決立體幾何問題的基本思路。教學(xué)設(shè)計盡量做到注意學(xué)生的心理特點和認(rèn)知規(guī)律，觸發(fā)學(xué)生的思維，使教學(xué)過程真正成為學(xué)生的學(xué)習(xí)過程，以思維教學(xué)代替單純的記憶教學(xué)。注意在探究問題時留給學(xué)生充分的時間，使數(shù)學(xué)教學(xué)成為數(shù)學(xué)活動的教學(xué)。從而發(fā)展學(xué)生的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)?！?.4.1用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系》導(dǎo)學(xué)案（第一課時）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.能用向量語言描述直線和平面,理解直線的方向向量與平面的法向量.2.能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行關(guān)系.3.能用向量方法證明必修內(nèi)容中有關(guān)直線、平面平行關(guān)系的判定定理.4.能用向量方法證明空間中直線、平面的平行關(guān)系.【重點和難點】重點：用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行關(guān)系難點：用向量方法證明空間中直線、平面的平行關(guān)系【知識梳理】一、自主導(dǎo)學(xué)（一）空間中點、直線和平面的向量表示1.點的位置向量在空間中,我們?nèi)∫欢cO作為基點,那么空間中任意一點P就可以用向量OP來表示.我們把向量OP稱為點P的位置向量.如圖.2.空間直線的向量表示式如圖①,a是直線l的方向向量,在直線l上取AB=a,設(shè)P是直線l上的任意一點,則點P在直線l上的充要條件是存在實數(shù)t,使得AP=ta,即AP=tAB.如圖②,取定空間中的任意一點O,可以得到點P在直線l上的充要條件是存在實數(shù)t,使OP=OA+ta,或OP=OA+tAB①式和②式都稱為空間直線的向量表示式.由此可知,空間任意直線由直線上一點及直線的方向向量唯一確定.3.空間平面的向量表示式如圖,取定空間任意一點O,空間一點P位于平面ABC內(nèi)的充要條件是存在實數(shù)x,y,使OP=OA+xAB+yAC.我們把這個式子稱為空間平面ABC的向量表示式.4.平面的法向量如圖,直線l⊥α,取直線l的方向向量a,我們稱向量a為平面α的法向量.給定一個點A和一個向量a,那么過點A,且以向量a為法向量的平面完全確定,可以表示為集合{P|a·AP=0}.點睛：空間中,一個向量成為直線l的方向向量,必須具備以下兩個條件:①是非零向量;②向量所在的直線與l平行或重合.（二）、空間中直線、平面平行的向量表示位置關(guān)系向量表示線線平行設(shè)μ1,μ2分別是直線l1,l2的方向向量,則l1∥l2?μ1∥μ2??λ∈R,使得μ1=λμ2.線面平行設(shè)μ是直線l的方向向量,n是平面α的法向量,l?α,則l∥α?μ⊥n?μ·n=0.面面平行設(shè)n1,n2分別是平面α,β的法向量,則α∥β?n1∥n2??λ∈R,使得n1=λn2.點睛：1.空間平行關(guān)系的本質(zhì)是線線平行,根據(jù)共線向量定理,只需證明直線的方向向量μ1∥μ2.此外,證明線面平行也可用共面向量定理,即只要證明這條直線的方向向量能夠用平面內(nèi)兩個不共線向量線性表示即可.2.利用直線的方向向量證明直線與直線平行、直線與平面平行時,要注意向量所在的直線與所證直線或平面無公共點,證明平面與平面平行時也要注意兩平面沒有公共點.二、小試牛刀1.下列說法中正確的是()A.直線的方向向量是唯一的B.與一個平面的法向量共線的非零向量都是該平面的法向量C.直線的方向向量有兩個D.平面的法向量是唯一的2.若直線l過點A(-1,3,4),B(1,2,1),則直線l的一個方向向量可以是()A.-1,12,-33.若兩個向量AB=(1,2,3),AC=(3,2,1),則平面ABC的一個法向量為()A.(-1,2,-1) B.(1,2,1)C.(1,2,-1)D.(-1,2,1)4.若兩條直線的方向向量分別是a=(2,4,-5),b=(-6,x,y),且兩條直線平行,則x=,y=.

5.若平面β外的一條直線l的方向向量是u=(-1,2,-3),平面β的法向量為n=(4,-1,-2),則l與β的位置關(guān)系是.

【學(xué)習(xí)過程】一、情境導(dǎo)學(xué)牌樓與牌坊類似,是中國傳統(tǒng)建筑之一,最早見于周朝。在園林、寺觀、宮苑、陵墓和街道常有建造.舊時牌樓主要有木、石、木石、磚木、琉璃幾種,多設(shè)于要道口。牌樓中有一種有柱門形構(gòu)筑物,一般較高大。如圖,牌樓的柱子與地面是垂直的,如果牌樓上部的下邊線與柱子垂直,我們就能知道下邊線與地面平行。這是為什么呢?二、典例解析例1.如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是正方形,側(cè)棱PD⊥底面ABCD,PD=DC=1,E是PC的中點,求平面EDB的一個法向量.延伸探究：本例條件不變,你能分別求出平面PAD與平面PCD的一個法向量嗎?它們之間的關(guān)系如何?利用待定系數(shù)法求平面法向量的步驟(1)設(shè)平面的法向量為n=(x,y,z).(2)找出(求出)平面內(nèi)的兩個不共線的向量的坐標(biāo)a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2).(3)根據(jù)法向量的定義建立關(guān)于x,y,z的方程組n(4)解方程組,取其中的一個解,即得法向量.跟蹤訓(xùn)練1.如圖所示,已知四邊形ABCD是直角梯形,AD∥BC,∠ABC=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=12,試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系(1)求平面ABCD的一個法向量;(2)求平面SAB的一個法向量;(3)求平面SCD的一個法向量.例2.在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,AD=3,AA1=2,點P,Q,R,S分別是AA1,D1C1,AB,CC1的中點.求證:PQ∥RS.歸納總結(jié)：利用空間向量證明線與線平行的方法證明兩直線平行,可先求出兩直線的方向向量,然后證明兩直線的方向向量共線,從而證明兩直線平行.跟蹤訓(xùn)練2.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點P在線段A1D上,點Q在線段AC上,線段PQ與直線A1D和AC都垂直,求證:PQ∥BD1.例3.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別是C1C,B1C1的中點.求證:MN∥平面A1BD.利用空間向量證明線面平行的方法(1)利用共面向量法:證明直線的方向向量p與平面內(nèi)的兩個不共線向量a,b是共面向量,即滿足p=xa+yb(x,y∈R),則p,a,b共面,從而可證直線與平面平行.(2)利用共線向量法:證明直線的方向向量p與該平面內(nèi)的某一向量共線,再結(jié)合線面平行的判定定理即可證明線面平行.(3)利用法向量法:求出直線的方向向量與平面的法向量,證明方向向量與法向量垂直,從而證明直線與平面平行.跟蹤訓(xùn)練3.如圖,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=2,AF=1,M是線段EF的中點.求證:AM∥平面BDE.例4.如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,O為底面ABCD的中心,P是DD1的中點,設(shè)Q是CC1上的點,問:當(dāng)點Q在什么位置時,平面D1BQ∥平面PAO?利用空間向量證明面面平行的方法(1)轉(zhuǎn)化為線面平行、線線平行,然后借助向量共線進(jìn)行證明;(2)通過證明兩個平面的法向量平行證明.跟蹤訓(xùn)練4.在長方體ABCD-A1B1C1D1中,DA=2,DC=3,DD1=4,M,N,E,F分別為棱A1D1,A1B1,D1C1,B1C1的中點.求證:平面AMN∥平面EFBD.金題典例：如圖,在正方體ABCD-A'B'C'D'中,求證:平面AB'D'∥平面BDC'.【達(dá)標(biāo)檢測】1.若不重合的直線l1,l2的方向向量分別為a=(1,2,-2),b=(-3,-6,6),則()A.l1∥l2 B.l1⊥l2C.l1,l2相交但不垂直 D.不能確定2.已知線段AB的兩端點坐標(biāo)為A(9,-3,4),B(9,2,1),則直線AB()A.與坐標(biāo)平面xOy平行 B.與坐標(biāo)平面yOz平行C.與坐標(biāo)平面xOz平行 D.與坐標(biāo)平面yOz相交3.若平面α∥β,則下面可以是這兩個平面法向量的是()A.n1=(1,2,3),n2=(-3,2,1)B.n1=(1,2,2),n2=(-2,2,1)C.n1=(1,1,1),n2=(-2,2,1)D.n1=(1,1,1),n2=(-2,-2,-2)4.已知l∥α,且l的方向向量為(2,m,1),平面α的法向量為1,12,5.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,E,F分別是BB1,DD1的中點,求證:(1)FC1∥平面ADE;(2)平面ADE∥平面B1C1F.【課堂小結(jié)】【參考答案】知識梳理1.答案:B解析:由平面法向量的定義可知,B項正確.2答案:D解析:AB=(2,-1,-3)=-3-233.答案:A解析:設(shè)平面ABC的法向量為n=(x,y,z),則n令x=-1,則y=2,z=-1.即平面ABC的一個法向量為n=(-1,2,-1).4.答案:-12；15解析:因為兩條直線平行,所以a∥b.于是2-6=4x=-5.答案:平行解析:因為u·n=(-1,2,-3)·(4,-1,-2)=0,所以u⊥n.所以直線與平面平行,即l∥β.6.答案:(1)×(2)√(3)×(4)√學(xué)習(xí)過程例1.思路分析首先建立空間直角坐標(biāo)系,然后利用待定系數(shù)法按照平面法向量的求解步驟進(jìn)行求解.解:如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系.依題意可得D(0,0,0),P(0,0,1),E0,12,1DB=(1,1,0).設(shè)平面EDB的法向量為n=(x,y,z),則n⊥DE,n⊥DB,于是n取x=1,則y=-1,z=1,故平面EDB的一個法向量為n=(1,-1,1).延伸探究：解:如同例題建系方法,易知平面PAD的一個法向量為n1=(0,1,0),平面PCD的一個法向量為n2=(1,0,0),因為n1·n2=0,所以n1⊥n2.跟蹤訓(xùn)練1.解:以點A為原點,AD、AB、AS所在的直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,0),B(0,1,0),C(1,1,0),D12,0,0,S(0,0,1).(1)∵SA⊥平面ABCD,∴AS=(0,0,1)是平面ABCD的一個法向量.(2)∵AD⊥AB,AD⊥SA,∴AD⊥平面SAB,∴AD=12,0,0是平面SAB的一個法向量.(3)在平面SCD中,DC=12,1,0,SC=(1,1,-1).設(shè)平面SCD的法向量是n=(x,y,z),則n⊥DC,n⊥SC,∴n得方程組12x+y=0,x+y-z=0,∴例2.證明:(方法1)以點D為原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz.則P(3,0,1),Q(0,2,2),R(3,2,0),S(0,4,1),PQ=(-3,2,1),RS=(-3,2,1),∴PQ=RS,∴PQ∥RS(方法2)RS=RC+PQ=PA1+A1Q=1跟蹤訓(xùn)練2.證明:以點D為坐標(biāo)原點,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體的棱長為1,則D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),A1(1,0,1),D1(0,0,1),∴DA1=(1,0,1),AC=(-1,1,0),設(shè)PQ=(a,b,則DA1·PQ=0,AC·PQ易知BD1=(-1,-1,1),∴PQ=-BD1,∴PQ∥B例3.思路分析思路一:可證明MN與思路二:可證明MN與平面A1BD中的DA1是共線向量;思路三:可通過平面A1BD證明:(方法1)∵M(jìn)N=C1∴MN,DB,A1B是共面向量.又∵M(jìn)N?平面A1BD,∴(方法2)∵M(jìn)N=C1N-C1M=又∵M(jìn)N?平面A1BD,∴MN∥平面A1BD.(方法3)以D為原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖.設(shè)正方體的棱長為1,則可求得M0,1,12,N12,1,于是MN=12,0,設(shè)平面A1BD的法向量為n=(x,y,z),則n取x=1,得y=-1,z=-1,∴n=(1,-1,-1).∵M(jìn)N·n=12,0,12·(1,-1,-1)=又∵M(jìn)N?平面A1BD,∴MN∥平面A1BD.跟蹤訓(xùn)練3.證明:建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)AC∩BD=N,連接NE,則點N,E的坐標(biāo)分別是22,22,又點A,M的坐標(biāo)分別是(2,2,0),22所以NE=AM,且A?NE,所以NE又因為NE?平面BDE,AM?平面BDE,所以AM∥平面BDE.例4.思路分析建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)出點Q的坐標(biāo),然后可根據(jù)面面平行的判定定理轉(zhuǎn)化為向量共線問題或者利用兩個平面的法向量共線進(jìn)行證明.解:如圖所示,分別以DA,DC,DD1所在直線為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,在CC1上任取一點Q,連接BQ,D1Q.設(shè)正方體的棱長為1,則O12,12,0,P0,0,12,A(1,0,0),(方法1)因為OP=-12,-12,12,BDAP=-1,0,當(dāng)m=12時,AP=BQ,即AP∥BQ,有平面PAO∥平面D故當(dāng)Q為CC1的中點時,平面D1BQ∥平面PAO.(方法2)OA=設(shè)平面PAO的法向量為n1=(x,y,z),則有n1⊥OA,n1⊥OP,因此1取x=1,則n1=(1,1,2).又因為BD1=(-1,-1,1),QD1=(0,-設(shè)平面D1BQ的法向量為n2=(x,y,z),則有n2⊥BD1,n2⊥Q取z=1,則n2=(m,1-m,1).要使平面D1BQ∥平面PAO,需滿足n1∥n2,因此1m=11-m=21,解得m=12,這時Q0,1,跟蹤訓(xùn)練4.證明:建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(2,0,0),B(2,3,0),M(1,0,4),N2,32,4,E∴MN=1,32,0,EF=1,3∴MN=EF,AM=BF.∴MN∴MN∥平面EFBD,AM∥平面EFBD.又MN∩AM=M,∴平面AMN∥平面EFBD.金題典例：解題提示:證明面面平行常用的方法有兩種,一是證明它們的法向量共線;二是轉(zhuǎn)化為線面平行、線線平行即可.證明:(方法1)設(shè)正方體的棱長為1,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(1,0,0),B'(1,1,1),D'(0,0,1),B(1,1,0),D(0,0,0),C'(0,1,1),于是AB'=(0,1,1),D'B'設(shè)平面AB'D'的法向量為n1=(x1,y1,z1),則n1⊥AB',n⊥D'令y1=1,則x1=-1,z1=-1,可得平面AB'D'的一個法向量為n1=(-1,1,-1).設(shè)平面BDC'的法向量為n2=(x2,y2,z2).則n2⊥DB,n2⊥DC',即令y2=1,則x2=-1,z2=-1,可得平面BDC'的一個法向量為n2=(-1,1,-1).所以n1=n2,所以n1∥n2,故平面AB'D'∥平面BDC'.(方法2)由方法1知AD'=(1,0,1),BC'=(1,0,1),AB'=(0,1,1),所以AD'=BC',AB'=DC'所以AD'∥平面BDC',AB'∥平面BDC'.又AD'∩AB'=A,所以平面AB'D'∥平面BDC'.(方法3)同方法1得平面AB'D'的一個法向量為n1=(-1,1,-1).易知DB=(1,1,0),DC'=(0,1,1)因為n1·DB=(-1,1,-1)·(1,1,0)=0,n1·DC'=(-1,1,-1)·(0,1,1)=所以n1也是平面BDC'的一個法向量,所以平面AB'D'∥平面BDC'.點睛：建立空間直角坐標(biāo)系的關(guān)鍵是根據(jù)幾何體的特征,盡可能找到三條兩兩互相垂直且相交于一點的線段,特別是有垂直關(guān)系的一些幾何體,如正方體,長方體,直棱柱,有一條側(cè)棱垂直于底面的棱錐等,其中長方體(或正方體)是最簡單的模型.達(dá)標(biāo)檢測1.答案:A解析:因為1-3=2-6=-26,所以a∥b.又直線l1,2.答案:B解析:因為A(9,-3,4),B(9,2,1),所以AB=(0,5,-3),而坐標(biāo)平面yOz的法向量為(1,0,0),顯然(0,5,-3)·(1,0,0)=0,故直線AB與坐標(biāo)平面yOz平行.3.答案:D解析:因為平面α∥β,所以兩個平面的法向量應(yīng)該平行,只有D項符合.4.答案:-8解析:設(shè)a=(2,m,1),b=1,12,2.因為l∥α,所以a⊥b.于是2+12m+5.證明:如圖,建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz,D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),C1(0,2,2),E(2,2,1),F(0,0,1),B1(2,2,2),所以FC1=(0,2,1),DA=(2,0,0),AE=(1)(方法1)設(shè)n1=(x1,y1,z1)是平面ADE的法向量,則n1⊥DA,n1⊥AE,即n1·DA=2x1=0,n1·所以n1=(0,-1,2).因為FC1·n1=-2+2=0,所以FC1又因為FC1?平面ADE,所以FC1∥平面ADE.(方法2)設(shè)FC1=λDA+μAE,則(0,2,1)=λ(2,0,0)所以2λ=0,2μ=2,μ=1又因為FC1?平面ADE,所以FC1∥平面ADE.(2)C1B1設(shè)n2=(x2,y2,z2)是平面B1C1F的一個法向量.由n2⊥FC1,n2⊥得n令z2=2,則y2=-1,所以n2=(0,-1,2).因為n1=n2,所以平面ADE∥平面B1C1F.《1.4.1用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系》導(dǎo)學(xué)案（第二課時）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關(guān)系.(數(shù)學(xué)抽象)2.能用向量方法證明必修內(nèi)容中有關(guān)直線、平面垂直關(guān)系的判定定理.(邏輯推理)3.能用向量方法證明空間中直線、平面的垂直關(guān)系.(邏輯推理)【重點和難點】重點：用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關(guān)系難點：用向量方法證明空間中直線、平面的垂直關(guān)系【知識梳理】一、自主導(dǎo)學(xué)空間中直線、平面垂直的向量表示位置關(guān)系向量表示線線垂直設(shè)直線l1,l2的方向向量分別為μ1,μ2,則l1⊥l2?μ1⊥μ2?μ1·μ2=0線面垂直設(shè)直線l的方向向量為μ,平面α的法向量為n,則l⊥α?μ∥n??λ∈R,使得μ=λn面面垂直設(shè)平面α,β的法向量分別為n1,n2,則α⊥β?n1⊥n2?n1·n2=0二、小試牛刀1.判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內(nèi)打“√”,錯誤的打“×”.(1)若兩條直線的方向向量的數(shù)量積為0,則這兩條直線一定垂直相交.()(2)若一直線與平面垂直,則該直線的方向向量與平面內(nèi)的所有直線的方向向量的數(shù)量積為0.()(3)兩個平面垂直,則其中一平面內(nèi)的直線的方向向量與另一平面內(nèi)的直線的方向向量垂直.()(4)若兩平面α,β的法向量分別為u1=(1,0,1),u2=(0,2,0),則平面α,β互相垂直.()2.設(shè)平面α的法向量為(1,2,-2),平面β的法向量(-2,-4,k),若α⊥β,則k=()A.2 B.-5 C.4 D.-2【學(xué)習(xí)過程】一、情境導(dǎo)學(xué)類似空間中直線、平面平行的向量表示，在直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關(guān)系中，直線的方向向量、平面的法向量之間有什么關(guān)系？二、典例解析例1.如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,四邊形ABCD是矩形,PA=AB=1,點F是PB的中點,點E在邊BC上移動.求證:無論點E在邊BC上的何處,都有PE⊥AF.延伸探究本例條件不變,求證:AF⊥BC.利用向量方法證明線線垂直的方法(1)坐標(biāo)法:建立空間直角坐標(biāo)系,寫出相關(guān)點的坐標(biāo),求出兩直線方向向量的坐標(biāo),然后通過數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算法則證明數(shù)量積等于0,從而證明兩條直線的方向向量互相垂直;(2)基向量法:利用空間向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算及其運(yùn)算律,結(jié)合圖形,將兩直線所在的向量用基向量表示,然后根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律證明兩直線所在的向量的數(shù)量積等于0,從而證明兩條直線的方向向量互相垂直.跟蹤訓(xùn)練1在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為AC的中點.求證:(1)BD1⊥AC;(2)BD1⊥EB1.例2在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M分別為棱AB,BC,B1B的中點.求證:D1M⊥平面EFB1.利用空間向量證明線面垂直的方法(1)基向量法:選取基向量,用基向量表示直線所在的向量,在平面內(nèi)找出兩個不共線的向量,也用基向量表示,然后根據(jù)數(shù)量積運(yùn)算律分別證明直線所在向量與兩個不共線向量的數(shù)量積均為零,從而證得結(jié)論.(2)坐標(biāo)法:建立空間直角坐標(biāo)系,求出直線方向向量的坐標(biāo)以及平面內(nèi)兩個不共線向量的坐標(biāo),然后根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算法則證明直線的方向向量與兩個不共線向量的數(shù)量積均為零,從而證得結(jié)論.(3)法向量法:建立空間直角坐標(biāo)系,求出直線方向向量的坐標(biāo)以及平面法向量的坐標(biāo),然后說明直線方向向量與平面法向量共線,從而證得結(jié)論.跟蹤訓(xùn)練2如圖,在四棱錐P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,AB=4,CD=2,AD=22,PA⊥平面ABCD,PA=4.求證:BD⊥平面PAC.例3如圖所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥BC,AB=BC=2,BB1=1,點E為BB1的中點,證明:平面AEC1⊥平面AA1C1C.利用空間向量證明面面垂直的方法1.利用空間向量證明面面垂直通常有兩個途徑:一是利用兩個平面垂直的判定定理將面面垂直問題轉(zhuǎn)化為線面垂直進(jìn)而轉(zhuǎn)化為線線垂直;二是直接求解兩個平面的法向量,由兩個法向量垂直,得面面垂直.2.向量法證明面面垂直的優(yōu)越性主要體現(xiàn)在不必考慮圖形的位置關(guān)系,恰當(dāng)建系或用基向量表示后,只需經(jīng)過向量運(yùn)算就可得到要證明的結(jié)果,思路方法“公式化”,降低了思維難度.跟蹤訓(xùn)練3如圖,在五面體ABCDEF中,FA⊥平面ABCD,AD∥BC∥FE,AB⊥AD,M為EC的中點,AF=AB=BC=FE=1求證:平面AMD⊥平面CDE.金題典例如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是以∠ABC為直角的等腰直角三角形,AC=2a,BB1=3a,D是A1C1的中點,E是B1C的中點.(1)求cos<BE,(2)在線段AA1上是否存在點F,使CF⊥平面B1DF?若存在,求出|AF|;若不存在,請說明理由.應(yīng)用空間向量解答探索性(存在性)問題立體幾何中的存在探究題,解決思路一般有兩個:(1)根據(jù)題目的已知條件進(jìn)行綜合分析和觀察猜想,找出點或線的位置,并用向量表示出來,然后再加以證明,得出結(jié)論;(2)假設(shè)所求的點或參數(shù)存在,并用相關(guān)參數(shù)表示相關(guān)點,根據(jù)線、面滿足的垂直、平行關(guān)系,構(gòu)建方程(組)求解,若能求出參數(shù)的值且符合該限定的范圍,則存在,否則不存在.【達(dá)標(biāo)檢測】1.若直線l的方向向量為a=(1,-2,3),平面α的法向量為n=(-3,6,-9),則()A.l?α B.l∥αC.l⊥α D.l與α相交2.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是BB1,CD的中點,則()A.平面AED∥平面A1FD1B.平面AED⊥平面A1FD1C.平面AED與平面A1FD1相交但不垂直D.以上都不對3.若直線l的方向向量是a=(1,0,-2),平面β的法向量是b=(-1,0,2),則直線l與β的位置關(guān)系是.

4.如圖,在四面體ABCD中,AB⊥平面BCD,BC=CD,∠BCD=90°,∠ADB=30°,E,F分別是AC,AD的中點,求證:平面BEF⊥平面ABC.5．如圖所示，在長方體中，，，、分別是、的中點．（1）求證：平面；（2）求證：平面．【課堂小結(jié)】【參考答案】二、小試牛刀1.答案:(1)×(2)√(3)×(4)√2.答案:B解析:因為α⊥β,所以-2-8-2k=0,解得k=-5.學(xué)習(xí)過程例1思路分析只需證明直線PE與AF的方向向量互相垂直即可.證明:(方法1)以A為原點,以AD,AB,AP所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)AD=a,則A(0,0,0),P(0,0,1),B(0,1,0),C(a,1,0),于是F0,∵E在BC上,∴設(shè)E(m,1,0),∴PE=(m,1,-1),AF∵PE·AF=0,∴PE∴無論點E在邊BC上何處,總有PE⊥AF.(方法2)因為點E在邊BC上,可設(shè)BE=λBC,于是PE·AF=(PA+AB+BE)·12(=12(PA·AB+PA·AP+AB·AB+AB·AP+λBC·因此PE⊥故無論點E在邊BC上的何處,都有PE⊥AF.延伸探究證明:同例題建系,易知AF=0,12,12,BC=(a,0,0),因為AF·BC=跟蹤訓(xùn)練1證明:以D為原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)正方體的棱長為1,則B(1,1,0),D1(0,0,1),A(1,0,0),C(0,1,0),E12,12,(1)∵BD1=(-1,AC=(-1,1,0),∴BD1·AC=(-1)×(-1)+(-1)×1+1×∴BD1⊥AC,∴(2)∵BD1=(-1,-1,1),∴BD1·EB1=(-1)×12+(-1)×∴BD1⊥EB1,∴例2思路分析一種思路是不建系,利用基向量法證明D1M與平面EFB1內(nèi)的兩個不共線向量都垂直,從而根據(jù)線面垂直的判定定理證得結(jié)論;另一種思路是建立空間直角坐標(biāo)系,通過坐標(biāo)運(yùn)算證明D1M與平面EFB1內(nèi)的兩個不共線向量都垂直;還可以在建系的前提下,求得平面EFB1證明:(方法1)因為E,F,M分別為棱AB,BC,B1B的中點,所以D1而B1于是D1M·B1E=0-0+0-12+12因此D1M⊥B又因為B1因此D1M⊥平面EFB1.(方法2)分別以DA,DC,DD1所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.則D1(0,0,1),M1,B1(1,1,1),E1,12,于是D1B1因此D1M·B1E=1×0+1×-12又D1M·B1F=1×-12+1×0+-又B1E,B1F不共線,因此D1(方法3)分別以DA,DC,DD1所在直線為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則D1(0,0,1),M1,1,1E1,12,0,B1設(shè)平面EFB1的法向量為n=(x,y,z),于是n⊥B1E,n⊥B取x=2,則y=2,z=-1,即n=(2,2,-1),而1,1,-12=所以D1M∥n,故D1M⊥平面EFB跟蹤訓(xùn)練2證明:因為AP⊥平面ABCD,AB⊥AD,所以以A為坐標(biāo)原點,AB,AD,AP所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.則B(4,0,0),P(0,0,4),D(0,22,0),C(2,22,0),所以BD=(-4,22,0),AC=(2,22,0),AP=(0,0,4).所以BD·AC=(-4)×2+22×22+0×0BD·AP=(-4)×0+22×0+0×4所以BD⊥AC,BD⊥AP.因為AP∩AC=A,AC?平面PAC,AP?平面PAC,所以BD⊥平面PAC.例3思路分析要證明兩個平面垂直,由兩個平面垂直的條件,可證明這兩個平面的法向量垂直,轉(zhuǎn)化為求兩個平面的法向量n1,n2,證明n1·n2=0.解:由題意得AB,BC,B1B兩兩垂直.以點B為原點,BA,BC,BB1所在直線分別為x,y,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則A(2,0,0),A1(2,0,1),C(0,2,0),C1(0,2,1),E0,0,12,則AA1=(0,0,1),AC=(-2,2,0),AC1=(-2,2,1),AE=-設(shè)平面AA1C1C的一個法向量為n1=(x1,y1,z1).則n令x1=1,得y1=1.∴n1=(1,1,0).設(shè)平面AEC1的一個法向量為n2=(x2,y2,z2).則n令z2=4,得x2=1,y2=-1.∴n2=(1,-1,4).∵n1·n2=1×1+1×(-1)+0×4=0,∴n1⊥n2,∴平面AEC1⊥平面AA1C1C.跟蹤訓(xùn)練3分析:因為FA⊥平面ABCD,所以可以以點A為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系.證明:如圖,建立空間直角坐標(biāo)系,點A為坐標(biāo)原點,設(shè)AB=1,依題意得A(0,0,0),M12,1,12,則AM=12,1,12,CE=(-1,0,1),AD=(0,2,0),可得AM·CE又AM∩AD=A,∴CE⊥平面AMD.又CE?平面CED,∴平面AMD⊥平面CED.金題典例解:(1)以B為坐標(biāo)原點,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.∵AC=2a,∠ABC=90°,∴AB=BC=2a.∴B(0,0,0),A(2a,0,0),C(0,2a,0),B1(0,0,3a),A1(2a,0,3a),C1(0,2a,3a),D22a,2CA1=(2a,-2a,3BE=∴|CA1|=13a,|BE|=112a,CA1·BE=0-a2+9∴cos<BE,CA(2)存在.理由如下:假設(shè)存在點F,使CF⊥平面B1DF.不妨設(shè)AF=b,則F(2a,0,b),CF=(2a,-2a,b),B1F=(2a,0,b-3a),∵CF·B1D=a2-a2+0=0,由B1F·CF=2a2+b(b-3a)=b2-3ab+2得b=a或b=2a,∴當(dāng)|AF|=a或|AF|=2a時,CF⊥平面B1DF.達(dá)標(biāo)檢測1.答案:C解析:∵直線l的方向向量為a=(1,-2,3),平面α的法向量為n=(-3,6,-9),∴a=-13n,∴a∥n,∴l(xiāng)⊥α.2.答案:B解析:以D為原點,DA,DC,DD1分別為x,y,z建立空間直角坐標(biāo)系,求出平面AED的法向量n1與平面A1FD1的法向量n2.因為n1·n2=0,所以n1⊥n2,故平面AED⊥3.答案:l⊥β解析:因為a∥b,所以l⊥β.4.證明:建立空間直角坐標(biāo)系,如圖,取A(0,0,a),則易得B(0,0,0),C32a,32a,0,D(0,3a,0),E34a,34a,a2,F0∵∠BCD=90°,∴CD⊥BC.∵AB⊥平面BCD,∴AB⊥CD.又∵AB∩BC=B,∴CD⊥平面ABC.∴CD=-32設(shè)平面BEF的法向量n=(x,y,z),∴n·EF=0,即(x,y,z)·-34a,3由n·BF=0,即(x,y,z)·0,3有32ay+a2z=0,∴z=-取y=1,得n=(1,1,-3).∵n·CD=(1,1,-3)·-32∴n⊥CD.∴平面BEF⊥平面ABC.5．證明：（1）以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，在長方體中，，，、分別是、的中點，，1，，，1，，，0，，平面的法向量，1，，，平面，平面．（2），0，，，2，，，2，，，1，，，，，，，平面．《1.4.1用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系-基礎(chǔ)練》同步練習(xí)（第一課時）一、選擇題1.已知向量a=(2,4,5),b=(3,x,y)分別是直線l1,l2的方向向量,若l1∥l2,則()A.x=6,y=15 B.x=3,y=152C.x=3,y=15 D.x=6,y=2.設(shè)a=(3,-2,-1)是直線l的方向向量,n=(1,2,-1)是平面α的法向量,則()A.l⊥α B.l∥αC.l∥α或l?αD.l⊥α或l?α3.設(shè)α,β是不重合的兩個平面,α,β的法向量分別為n1,n2,l和m是不重合的兩條直線,l,m的方向向量分別為e1,e2,那么α∥β的一