上海市寶山區(qū)羅店中學(xué)2024年數(shù)學(xué)高一下期末學(xué)業(yè)水平測試試題含解析

上海市寶山區(qū)羅店中學(xué)2024年數(shù)學(xué)高一下期末學(xué)業(yè)水平測試試題注意事項1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．在中，，，，則（）A． B．或 C．或 D．2．已知函數(shù)，則（）A．的最小正周期為，最大值為1 B．的最小正周期為，最大值為C．的最小正周期為，最大值為1 D．的最小正周期為，最大值為3．已知底面邊長為1，側(cè)棱長為2的正四棱柱的各頂點均在同一個球面上，則該球的體積為（）A． B． C． D．4．已知點，直線過點，且與線段相交，則直線的斜率滿足()A．或 B．或 C． D．5．為數(shù)列的前n項和,若,則的值為()A．-7 B．-4 C．-2 D．06．已知為兩條不同的直線，為兩個不同的平面，給出下列命題：①若，，則；②若，，則；③若，，則；④若，，，則.其中正確的命題是（）A．②③ B．①③ C．②④ D．①④7．在正方體中，分別是線段的中點，則下列判斷錯誤的是（）A．與垂直 B．與垂直C．與平行 D．與平行8．等差數(shù)列中，，則的值為()A．14 B．17 C．19 D．219．在中，為的三等分點，則()A． B． C． D．10．若，則()A．0 B．-1 C．1或0 D．0或-1二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．四棱柱中，平面ABCD，平面ABCD是菱形，，，，E是BC的中點，則點C到平面的距離等于________.12．已知圓錐的底面半徑為3，體積是，則圓錐側(cè)面積等于___________.13．若各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，，則它的前項和為______.14．計算：________15．等比數(shù)列{an}中，a1＜0，{an}是遞增數(shù)列，則滿足條件的q的取值范圍是______________．16．如圖，在△中，三個內(nèi)角、、所對的邊分別為、、，若，，為△外一點，，，則平面四邊形面積的最大值為________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖，在處有一港口，兩艘海輪同時從港口處出發(fā)向正北方向勻速航行，海輪的航行速度為20海里/小時，海輪的航行速度大于海輪．在港口北偏東60°方向上的處有一觀測站，1小時后在處測得與海輪的距離為30海里，且處對兩艘海輪，的視角為30°．（1）求觀測站到港口的距離；（2）求海輪的航行速度．18．泉州與福州兩地相距約200千米，一輛貨車從泉州勻速行駛到福州，規(guī)定速度不得超過千米/時，已知貨車每小時的運輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度千米/時的平方成正比，比例系數(shù)為0.01；固定部分為64元.（1）把全程運輸成本元表示為速度千米/時的函數(shù)，并指出這個函數(shù)的定義域；（2）為了使全程運輸成本最小，貨車應(yīng)以多大速度行駛？19．已知函數(shù)，若，且，，求滿足條件的，.20．已知△ABC中，A（1，﹣4），B（6，6），C（﹣2，0）．求（1）過點A且平行于BC邊的直線的方程；（2）BC邊的中線所在直線的方程．21．如圖，求陰影部分繞旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體的表面積和體積．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解析】

利用正弦定理求出，然后利用三角形的內(nèi)角和定理可求出.【詳解】由正弦定理得，得，，，則或.當(dāng)時，由三角形的內(nèi)角和定理得；當(dāng)時，由三角形的內(nèi)角和定理得.因此，或.故選B.【點睛】本題考查利用正弦定理和三角形的內(nèi)角和定理求角，解題時要注意大邊對大角定理來判斷出角的大小關(guān)系，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.2、D【解析】

結(jié)合二倍角公式，對化簡，可求得函數(shù)的最小正周期和最大值.【詳解】由題意，，所以，當(dāng)時，取得最大值為.由函數(shù)的最小正周期為，故的最小正周期為.故選：D.【點睛】本題考查三角函數(shù)周期性與最值，考查學(xué)生的計算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.3、C【解析】

根據(jù)題意可知所求的球為正四棱柱的外接球，根據(jù)正四棱柱的特點利用勾股定理可求得外接球半徑，代入球的體積公式求得結(jié)果.【詳解】由題意可知所求的球為正四棱柱的外接球底面正方形對角線長為：外接球半徑外接球體積本題正確選項：【點睛】本題考查正棱柱外接球體積的求解問題，關(guān)鍵是能夠根據(jù)正棱柱的特點確定球心位置，從而利用勾股定理求得外接球半徑.4、A【解析】

畫出三點的圖像，根據(jù)的斜率，求得直線斜率的取值范圍.【詳解】如圖所示，過點作直線軸交線段于點，作由直線①直線與線段的交點在線段(除去點)上時，直線的傾斜角為鈍角，斜率的范圍是.②直線與線段的交點在線段(除去點)上時，直線的傾斜角為銳角，斜率的范圍是.因為，，所以直線的斜率滿足或.故選:A.【點睛】本小題主要考查兩點求斜率的公式，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.5、A【解析】

依次求得的值，進(jìn)而求得的值.【詳解】當(dāng)時，；當(dāng)時，，；當(dāng)時，；故.故選：A.【點睛】本小題主要考查根據(jù)遞推關(guān)系式求數(shù)列每一項，屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】

利用空間中線面平行、線面垂直、面面平行、面面垂直的判定與性質(zhì)即可作答.【詳解】垂直于同一條直線的兩個平面互相平行,故①對；平行于同一條直線的兩個平面相交或平行，故②錯；若，，，則或與為異面直線或與為相交直線，故④錯；若，則存在過直線的平面，平面交平面于直線，，又因為，所以，又因為平面，所以，故③對.故選B.【點睛】本題主要考查空間中，直線與平面平行或垂直的判定與性質(zhì),以及平面與平面平行或垂直的判定與性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題型.7、D【解析】

利用數(shù)形結(jié)合，逐一判斷，可得結(jié)果.【詳解】如圖由分別是線段的中點所以//A選項正確，因為，所以B選項正確，由，所以C選項正確D選項錯誤，由//，而與相交，所以可知，異面故選：D【點睛】本題主要考查空間中直線與直線的位置關(guān)系，屬基礎(chǔ)題.8、B【解析】

利用等差數(shù)列的性質(zhì)，.【詳解】，解得：.故選B.【點睛】本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題型.9、B【解析】試題分析：因為，所以，以點為坐標(biāo)原點，分別為軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)，又為的三等分點所以，，所以，故選B.考點：平面向量的數(shù)量積.【一題多解】若，則，即有，為邊的三等分點，則,故選B．10、D【解析】

由二倍角公式可得，即，從而分情況求解.【詳解】易得，或.

由得.

由，得.故選：D【點睛】本題考查二倍角公式的應(yīng)用以及有關(guān)的二次齊次式子求值，屬于中檔題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

利用等體法即可求解.【詳解】如圖，由ABCD是菱形，，，E是BC的中點，所以,又平面ABCD，所以平面ABCD，即，又，則平面，由平面，所以，所以，設(shè)點C到平面的距離為，由即，即，所以.故答案為：【點睛】本題考查了等體法求點到面的距離，同時考查了線面垂直的判定定理，屬于基礎(chǔ)題.12、【解析】試題分析：求圓錐側(cè)面積必須先求圓錐母線，既然已知體積，那么可先求出圓錐的高，再利用圓錐的性質(zhì)(圓錐的高，底面半徑，母線組成直角三角形)可得母線，，，，．考點：圓錐的體積與面積公式，圓錐的性質(zhì)．13、【解析】

利用等比數(shù)列的通項公式求出公比，由此能求出它的前項和.【詳解】設(shè)各項均為正數(shù)的等比數(shù)列的公比為，由，得，且，解得，它的前項和為.故答案：.【點睛】本題考查等比數(shù)列的前項和的求法，考查等比數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．14、【解析】

用正弦、正切的誘導(dǎo)公式化簡求值即可.【詳解】.【點睛】本題考查了正弦、正切的誘導(dǎo)公式，考查了特殊角的正弦值和正切值.15、【解析】試題分析：由題意可得，∴，解得0＜q＜1考點：等比數(shù)列的性質(zhì)16、【解析】

根據(jù)題意和正弦定理，化簡得，進(jìn)而得到，在中，由余弦定理，求得，進(jìn)而得到，，得出四邊形的面積為，再結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】由題意，在中，因為，所以，可得,即，所以，所以，又因為，可得，所以，即,因為，所以，在中，，由余弦定理，可得，又因為，所以為等腰直角三角形，所以，又因為，所以四邊形的面積為，當(dāng)時，四邊形的面積有最大值，最大值為.故答案為：.【點睛】本題主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面積公式的應(yīng)用，其中在解有關(guān)三角形的題目時，要抓住題設(shè)條件和利用某個定理的信息，合理應(yīng)用正弦定理和余弦定理求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）海里；（2）速度為海里/小時【解析】

（1）由已知可知,所以在中，運用余弦定理易得OA的長．（2）因為C航行1小時到達(dá)C，所以知道OC的長即可，即求BC的長．在中，由正弦定理求得，在中，再由正弦定理即可求出BC．【詳解】（1）因為海倫的速度為20海里/小時，所以1小時后，海里又海里，，所以中，由余弦定理知：即即，解得：海里（2）中，由正弦定理知：解得：中，，，所以所以在中，由正弦定理知：，解得：所以答：船的速度為海里/小時【點睛】三角形中一般已知三個條件可求其他條件，用到的工具一般是余弦定理或者正弦定理．18、（1）,；（2），貨車應(yīng)以千米/時速度行駛，貨車應(yīng)以千米/時速度行駛【解析】

（1）先計算出從泉州勻速行駛到福州所用時間，然后乘以每小時的運輸成本（可變部分加固定部分），由此求得全程運輸成本，并根據(jù)速度限制求得定義域.（2）由，，對進(jìn)行分類討論.當(dāng)時，利用基本不等式求得行駛速度.當(dāng)時，根據(jù)的單調(diào)性求得行駛速度.【詳解】（1）依題意一輛貨車從泉州勻速行駛到福州所用時間為小時，全程運輸成本為，所求函數(shù)定義域為；（2）當(dāng)時，故有，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立.當(dāng)時，易證在上單調(diào)遞減故當(dāng)千米/時，全程運輸成本最小.綜上，為了使全程運輸成本最小，，貨車應(yīng)以千米/時速度行駛，貨車應(yīng)以千米/時速度行駛.【點睛】本小題主要考查函數(shù)模型在實際生活中的應(yīng)用，考查基本不等式求最小值，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.19、，【解析】

利用三角恒等變換，化簡的解析式，從而得出結(jié)論．【詳解】解：，∴，待定系數(shù)，可得，又，∴，∴，.【點睛】本題主要考查三角恒等變換，屬于基礎(chǔ)題．20、（1）3x﹣4y﹣19＝1（2）7x﹣y﹣11＝1【解析】

（1）先求出BC的斜率，再用點斜式求出過點A且平行于BC邊的直線方程；

（2）先求出BC的中點為D的坐標(biāo)，再用兩點式求出直線AD的方程．【詳解】（1）△ABC中，∵A（1，﹣4），B（6，6），C（﹣2，1），故BC的斜率為，故過點A且平行于BC邊的直線的方程為y+4（x﹣1），即3x﹣4y﹣19＝1．（2）BC的中點為D（2，3），由兩點式求出BC邊的中線所在直線AD的方程為，即7x﹣y﹣11＝1．【點睛】本題主要考查直線的斜率公