數(shù)學(xué)文化 課件 13-數(shù)學(xué)與社會(huì);14-數(shù)學(xué)美

數(shù)學(xué)文化第13章數(shù)學(xué)與人文社會(huì)科學(xué)

馬克思曾經(jīng)說過，一門學(xué)科，如果還沒有應(yīng)用數(shù)學(xué)，也就稱不上科學(xué)。這句話，也許部分讀者覺得有點(diǎn)偏頗，但馬克思主要強(qiáng)調(diào)的是數(shù)學(xué)的重要性。1971年，哈佛大學(xué)的多伊奇與另外兩位同事在美國(guó)權(quán)威的《科學(xué)》（《Science》）雜志上發(fā)表了一項(xiàng)研究報(bào)告，列舉了從1900年到1965年的62項(xiàng)重大社會(huì)科學(xué)成果；1980年又補(bǔ)充了77項(xiàng)，他們得出的結(jié)論是：大部分與數(shù)學(xué)有關(guān)。章節(jié)目錄13.1數(shù)學(xué)與經(jīng)濟(jì)13.2

數(shù)理語(yǔ)言學(xué)13.3數(shù)學(xué)與西方政治13.4

數(shù)學(xué)在創(chuàng)新教育中的功能分析13.5

數(shù)學(xué)與生物科學(xué) 經(jīng)濟(jì)活動(dòng)包含各類產(chǎn)業(yè)的生產(chǎn)活動(dòng)、商業(yè)活動(dòng)、經(jīng)濟(jì)管理、金融財(cái)政與稅收、經(jīng)濟(jì)學(xué)等。廣義地說，任何經(jīng)濟(jì)活動(dòng)都離不開數(shù)學(xué)。經(jīng)濟(jì)活動(dòng)越發(fā)展、經(jīng)濟(jì)規(guī)模越大、經(jīng)濟(jì)水平越高就越需要數(shù)學(xué)。例如，各類產(chǎn)業(yè)的生產(chǎn)活動(dòng)離不開數(shù)學(xué)，管理科學(xué)離不開數(shù)學(xué)，金融財(cái)政稅收整天都在與數(shù)字、數(shù)學(xué)打交道。沒有數(shù)學(xué)語(yǔ)言的幫助，具有復(fù)雜組織的商業(yè)就會(huì)延緩發(fā)展，甚至停止發(fā)展。在管理科學(xué)中也同在其他科學(xué)中一樣，數(shù)學(xué)成為進(jìn)步的條件。下面我們重點(diǎn)說說數(shù)學(xué)在經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域的應(yīng)用。13.1數(shù)學(xué)與經(jīng)濟(jì)

經(jīng)濟(jì)學(xué)系統(tǒng)運(yùn)用數(shù)學(xué)方法最早的例子，通常都認(rèn)為是17世紀(jì)中葉英國(guó)古典政治經(jīng)濟(jì)學(xué)的創(chuàng)始人配第的著作《政治算術(shù)》。實(shí)際上，數(shù)學(xué)與經(jīng)濟(jì)學(xué)真正緊密聯(lián)系起來還是始于近代數(shù)學(xué)已經(jīng)大量發(fā)展起來的19世紀(jì)中葉。1838年，數(shù)學(xué)家拉普拉斯和泊松的學(xué)生古諾發(fā)表了一部《財(cái)富理論的數(shù)學(xué)原理研究》的經(jīng)濟(jì)學(xué)著作，著作中有許多數(shù)學(xué)符號(hào)與對(duì)經(jīng)濟(jì)運(yùn)行的分析。例如，其中記市場(chǎng)需求為d，市場(chǎng)價(jià)格為p，需求作為價(jià)格的函數(shù)記為d=f(p)。 19世紀(jì)中葉之后，勒翁·瓦爾拉斯和杰文斯提出名為“邊際效用理論”的經(jīng)濟(jì)學(xué)。戈森和門格爾也是這一理論的奠基者。實(shí)際上這一理論中的“邊際”就是數(shù)學(xué)中的“導(dǎo)數(shù)”或“偏導(dǎo)數(shù)”。因此，這一理論的出現(xiàn)意味著微分學(xué)和其他高等數(shù)學(xué)已進(jìn)入經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域。

瓦爾拉斯于1874年前后又提出了另一種頗有影響的“一般經(jīng)濟(jì)均衡理論”，用聯(lián)立方程組來表達(dá)一般均衡理論。但是他的數(shù)學(xué)論證是不可靠的，嚴(yán)格證明一般均衡理論的數(shù)學(xué)工作一直到1954年才由數(shù)學(xué)博士阿羅和德布羅完成。1959年，德布羅發(fā)表了著作《價(jià)值理論，經(jīng)濟(jì)均衡的一種公理化分析》，標(biāo)志著運(yùn)用數(shù)學(xué)公理化方法的經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)的誕生。

20世紀(jì)60年代以后，由于德布羅把數(shù)學(xué)的公理化方法引進(jìn)經(jīng)濟(jì)學(xué)，為數(shù)學(xué)在經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域開辟了廣闊的活動(dòng)范圍，使數(shù)學(xué)本身也得到益處。經(jīng)濟(jì)學(xué)不斷根據(jù)自身的需要向數(shù)學(xué)提出問題。在這里出現(xiàn)的是一個(gè)被稱為商品空間的線性空間框架。在這個(gè)空間活動(dòng)的經(jīng)濟(jì)活動(dòng)者，都由該空間的集合及其上的函數(shù)或關(guān)系來刻畫。生產(chǎn)者由生產(chǎn)集來刻畫，消費(fèi)者由消費(fèi)集及其上的偏好關(guān)系或效用函數(shù)來刻畫。這里，出現(xiàn)了集值函數(shù)，一對(duì)一的單值函數(shù)被發(fā)展成一對(duì)多的集值映射。

在英國(guó)邊際效用學(xué)派的第二代中，有兩位代表人物，埃奇沃思和馬歇爾。埃奇沃思寫了一本名為《數(shù)學(xué)心理學(xué)》的經(jīng)濟(jì)學(xué)著作，使用抽象的數(shù)學(xué)來刻畫邊際效用理論。馬歇爾是在劍橋?qū)W數(shù)學(xué)的，他成為經(jīng)濟(jì)學(xué)的“劍橋?qū)W派”的宗師，今天的微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)著作中那些既直觀易懂，又不失數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性的曲線圖像多半出自馬歇爾之手。

由瓦爾拉斯開創(chuàng)的洛桑學(xué)派，其第二代的著名代表是帕累托，他是把科學(xué)思想、科學(xué)方法引進(jìn)經(jīng)濟(jì)理論最多的一個(gè)人，而他的科學(xué)思想、科學(xué)方法說到底首先是數(shù)學(xué)。描述社會(huì)收人不均和“帕累托法則”的是一個(gè)冪函數(shù)表達(dá)式“數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)”這一名稱最初也是由帕累托提出的。

美國(guó)的邊際效用學(xué)派是由克拉克奠定的。這個(gè)學(xué)派的第二代代表中的歐文·費(fèi)歇爾是耶魯大學(xué)的一位數(shù)學(xué)教授，他在貨幣理論方面的研究被凱恩斯視為精神上的祖父。

著名經(jīng)濟(jì)學(xué)家，馬歇爾的學(xué)生約翰.梅納德.凱恩斯是宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)的創(chuàng)始人，是對(duì)西方經(jīng)濟(jì)政策影響最大的人。而凱恩斯是以數(shù)學(xué)家的身份開始其學(xué)術(shù)研究的，1921年，他有一本數(shù)學(xué)著作《概率論》，是那個(gè)時(shí)代最重要的概率論著作之一，該書體現(xiàn)了他深邃的哲學(xué)思想和高超的邏輯演繹能力。1929年，資本主義世界爆發(fā)了有史以來最嚴(yán)重的經(jīng)濟(jì)危機(jī)，凱恩斯發(fā)表了《利息就業(yè)和貨幣通論》，解釋危機(jī)發(fā)生的根本原因及其解決辦法，引發(fā)了一次經(jīng)濟(jì)思想革命，史稱“凱恩斯革命”。該著作的主要觀點(diǎn)為：凱恩斯

第一，突破了傳統(tǒng)的就業(yè)均衡理論，建立了一種以存在失業(yè)為特點(diǎn)的經(jīng)濟(jì)均衡理論。傳統(tǒng)的新古典經(jīng)濟(jì)學(xué)以薩伊法則為核心提出了充分就業(yè)的假設(shè)。認(rèn)為可以通過價(jià)格調(diào)節(jié)實(shí)現(xiàn)資源的充分利用，從而把研究資源利用的宏觀經(jīng)濟(jì)問題排除在經(jīng)濟(jì)學(xué)研究的范圍之外?！锻ㄕ摗放兴_伊法則，承認(rèn)資本主義社會(huì)中非自愿失業(yè)的存在，正式把資源利用的宏觀經(jīng)濟(jì)問題提到日程上來。

第二，把國(guó)民收入作為宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)研究的中心問題?！锻ㄕ摗返闹行氖茄芯靠偩蜆I(yè)量的決定，進(jìn)而研究失業(yè)存在的原因。認(rèn)為總就業(yè)量和總產(chǎn)量關(guān)系密切，而這些正是現(xiàn)代宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)的特點(diǎn)。 第三，用總供給與總需求的均衡來分析國(guó)民收入?！锻ㄕ摗氛J(rèn)為有效需求決定總產(chǎn)量和總就業(yè)量，又用總供給與總需求函數(shù)來說明有效需求。在此基礎(chǔ)上，他說明了如何將整個(gè)經(jīng)濟(jì)的均衡用一組方程式表達(dá)出來，如何能通過檢驗(yàn)方程組參數(shù)的變動(dòng)對(duì)解方程組的影響來說明比較靜態(tài)的結(jié)果。即，他利用總需求和總供給的均衡關(guān)系來說明國(guó)民收入的決定和其他宏觀經(jīng)濟(jì)問題。

第四，建立了以總需求為核心的宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)體系。凱恩斯采用了短期分析，即假定生產(chǎn)設(shè)備、資金、技術(shù)等是不變的，從而總供給是不變的。在此基礎(chǔ)上來分析總需求如何決定國(guó)民收入，把存在失業(yè)原因歸結(jié)為總需求不足。

第五，對(duì)實(shí)物經(jīng)濟(jì)和貨幣進(jìn)行分析的貨幣理論。凱恩斯通過總量分析的方法把經(jīng)濟(jì)理論和貨幣理論結(jié)合起來，建立了一套生產(chǎn)貨幣理論。用這種方法分析了貨幣、利率的關(guān)系及其對(duì)整個(gè)宏觀經(jīng)濟(jì)的影響，從而把兩個(gè)理論結(jié)合在一起，形成了一套完整的經(jīng)濟(jì)理論。

第六，批判了“薩伊法則”，反對(duì)放任自流的經(jīng)濟(jì)政策，明確提出國(guó)家直接干預(yù)經(jīng)濟(jì)的主張。古典經(jīng)濟(jì)學(xué)家和贊同放任自流的經(jīng)濟(jì)政策，凱恩斯反對(duì)這些，提倡國(guó)家直接干預(yù)經(jīng)濟(jì)。他論證了國(guó)家直接干預(yù)經(jīng)濟(jì)的必要性，提出了比較具體的目標(biāo)；他的這種以財(cái)政政策和貨幣政策為核心的思想后來成整個(gè)宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)的核心，甚至可以說后來的宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)都是建立在凱恩斯的《通論》基礎(chǔ)之上的。

馬克思作為思想家、政治家、經(jīng)濟(jì)學(xué)家，他在許多地方運(yùn)用了數(shù)學(xué)的思想及其表達(dá)方式。馬克思在給恩格斯的一封信中曾說：“在制定政治經(jīng)濟(jì)學(xué)原理時(shí)，計(jì)算的錯(cuò)誤大大地阻礙了我，失望之余，只好重新坐下來把代數(shù)迅速地溫習(xí)一遍，算術(shù)我一向很差，不過間接地用代數(shù)方法，我很快又會(huì)正確計(jì)算的。”馬克思、恩格斯都具有極高的數(shù)學(xué)水平，這對(duì)于他們?cè)谡軐W(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)上取得巨大成就無(wú)疑有重大作用。 20世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家之一馮·諾伊曼，他與經(jīng)濟(jì)學(xué)家摩爾根斯長(zhǎng)期合作，進(jìn)行了有關(guān)對(duì)策論及其在經(jīng)濟(jì)學(xué)中應(yīng)用的研究，于1944年寫成了最重要的數(shù)學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)巨著：《對(duì)策論與經(jīng)濟(jì)行為》。這本書一問世就被人認(rèn)為是20世紀(jì)上半葉人類最偉大的科學(xué)成就之一。

計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)是從具體數(shù)據(jù)出發(fā)，用數(shù)理統(tǒng)計(jì)的方法，建立經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型；數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)是從一些經(jīng)濟(jì)假設(shè)出發(fā)，用抽象數(shù)學(xué)方法，建立經(jīng)濟(jì)機(jī)理的數(shù)學(xué)模型。前者是用歸納法，后者用的則是演繹法。例如，一般經(jīng)濟(jì)均衡理論就是數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)的機(jī)理模型。這兩種經(jīng)濟(jì)學(xué)的界線并非處處都是很明確的。計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)真正獨(dú)立于數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)是20世紀(jì)20年代開始的。1930年成立了計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)會(huì)，1932年出版《計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)》雜志，這些開創(chuàng)性的工作都與熊彼特的工作是分不開的。他在1932年移居美國(guó)之后，對(duì)美國(guó)的幾代經(jīng)濟(jì)學(xué)家都有重要影響。1937一1941年，他當(dāng)選為美國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)會(huì)主席。

雷格納·安東·季特爾·弗瑞希（1895一1973）在考爾斯委員會(huì)的資助下創(chuàng)辦《計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)》雜志并任主編長(zhǎng)達(dá)22年之久。計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)反過來推動(dòng)了數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的發(fā)展，成百上千個(gè)方程組成的計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型的運(yùn)用，為數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)家提出了許多新課題。數(shù)學(xué)滲入到經(jīng)濟(jì)學(xué)，經(jīng)濟(jì)學(xué)也推動(dòng)數(shù)學(xué)前進(jìn)。美籍奧地利著名經(jīng)濟(jì)學(xué)家熊彼特（J.A.Jo-sephAloisSchumpeter,1883-1950）對(duì)于經(jīng)濟(jì)學(xué)中使用數(shù)學(xué)方法也起了極大地推動(dòng)作用。

投入產(chǎn)出方法是一種數(shù)量經(jīng)濟(jì)分析方法，是通過編制投入產(chǎn)出表、建立數(shù)學(xué)模型、運(yùn)用計(jì)算機(jī)來研究經(jīng)濟(jì)活動(dòng)的投入與產(chǎn)出之間的數(shù)量依存關(guān)系。這種方法既可用來分析整個(gè)國(guó)民經(jīng)濟(jì)，也可用來分析地區(qū)以及部門和企業(yè)內(nèi)部的各種經(jīng)濟(jì)關(guān)系。投入產(chǎn)出方法是進(jìn)行計(jì)劃管理和經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)的一種有效工具。這一方法是由俄裔美國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家列昂惕夫于20世紀(jì)30年代首先提出并成功地建立了研究國(guó)民經(jīng)濟(jì)投入產(chǎn)出的數(shù)學(xué)模型。這一方法以其重要的應(yīng)用價(jià)值迅速為世界各國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)界和決策部門所采納。列昂惕夫也因此于1973年獲得了諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)。下面簡(jiǎn)要介紹一下投入產(chǎn)出方法。

投入產(chǎn)出方法是通過編制投入產(chǎn)出表，建立數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用計(jì)算機(jī)來研究一個(gè)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的投入與產(chǎn)出之間的數(shù)量依存關(guān)系的一種數(shù)量經(jīng)濟(jì)分析方法。這種方法既可用來分析整個(gè)國(guó)民經(jīng)濟(jì)，也可用來分析地區(qū)以及部門和企業(yè)內(nèi)部的各種經(jīng)濟(jì)關(guān)系，是進(jìn)行計(jì)劃管理和經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)的一種有效工具。 投入產(chǎn)出表也叫做部門聯(lián)系平衡表。在一個(gè)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中，各部門（或企業(yè)）既有消耗又有生產(chǎn)，或者說既有“投入”又有“產(chǎn)出”。一個(gè)部門生產(chǎn)的產(chǎn)品供給各部門和系統(tǒng)外以滿足需求，同時(shí)也消耗系統(tǒng)內(nèi)各部門所提供的產(chǎn)品（當(dāng)然，還有其他的諸如人力消耗等），消耗的目的是為了生產(chǎn)，生產(chǎn)的結(jié)果必然要?jiǎng)?chuàng)造新的價(jià)值，以支付工資和獲得利潤(rùn)。顯然，對(duì)每一個(gè)部門來講物資消槌和新創(chuàng)造的價(jià)值等于它生產(chǎn)的總產(chǎn)值。這就是投入和產(chǎn)出之間的平衡關(guān)系。1.投入產(chǎn)出表和平衡方程組 設(shè)一個(gè)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)有n個(gè)部門。以表示第i個(gè)部門在一個(gè)生產(chǎn)周期（如一年）的總產(chǎn)值；以表示第j個(gè)部門在生產(chǎn)過程中消耗第i個(gè)部門的產(chǎn)品數(shù)量，稱為部門流量或中間產(chǎn)品，當(dāng)i=j時(shí)，表示第i個(gè)部門留作本部門的生產(chǎn)消耗產(chǎn)品；以表示第i個(gè)部門的最終產(chǎn)品（包括消費(fèi)、積累和凈出口）；以分別表示第j個(gè)部門的勞動(dòng)報(bào)酬和社會(huì)純收入。于是我們可以得到表13-1。

在表中把它分成四部分，按照左上、右上、左下、右下的次序稱為第一、第二、第三、第四象限。第一象限是基本部分，它反映了各物質(zhì)生產(chǎn)部門之間的生產(chǎn)與分配聯(lián)系；第二象限是反映各物質(zhì)生產(chǎn)部門的總產(chǎn)品中，可供社會(huì)最終消費(fèi)的產(chǎn)品數(shù)量；第三象限是反映各物質(zhì)生產(chǎn)部門新創(chuàng)造的價(jià)值；第四象限是反映國(guó)民收入的再分配（這里我們暫不討論）。

從表中的每一行來看，任何一個(gè)部門的總產(chǎn)品，按其用途的分配情況，可以分為三部分：一是留作本部門生產(chǎn)消費(fèi)的產(chǎn)品，二是提供給其他部門用于中間消費(fèi)的產(chǎn)品，三是直接提供人們消費(fèi)、儲(chǔ)備和出口用的最終產(chǎn)品，即中間產(chǎn)品＋最終產(chǎn)品＝總產(chǎn)品

（13-1）或簡(jiǎn)寫為方程組(13-1)稱為分配平衡方程組。由此，可以得到如下線性方程組：

同樣，從表的每一列來看，任何一個(gè)部門的總產(chǎn)品（從價(jià)值形成角度來看）也分為三部分：一是各部門提供的生產(chǎn)性消耗，二是該部門勞動(dòng)者必要?jiǎng)趧?dòng)所創(chuàng)造的價(jià)值，三是該部門為社會(huì)的勞動(dòng)所創(chuàng)造的價(jià)值，即中間消耗＋凈產(chǎn)值=總投入

（13-2）或簡(jiǎn)寫為方程組(13-2)稱為消耗平衡方程組。（或投入平衡方程組）。由此，又可得到如下線性方程組：

從表13-1中，還可以得到如下平衡關(guān)系式：即各部門最終產(chǎn)品的總和等于各部門新創(chuàng)造價(jià)值的總和。

2.直接消耗系數(shù)

為了從數(shù)量上來確定各部門之間的生產(chǎn)技術(shù)聯(lián)系，我們引入部門間直接消耗系數(shù)的概念。第j部門生產(chǎn)單位產(chǎn)品直接消耗第i部門的產(chǎn)品數(shù)量，稱為第j部門對(duì)第i部門的直接消起系數(shù)，記作，即

（13-3）

直接消耗系數(shù)主要是由部門的生產(chǎn)技術(shù)條件決定的，它在一定時(shí)期內(nèi)是相對(duì)穩(wěn)定的，通常也稱生產(chǎn)技術(shù)系數(shù)。各部門間的直接消耗系數(shù)可以排成一個(gè)n階方陣，記為A，即例1設(shè)有一個(gè)包含三個(gè)經(jīng)濟(jì)部門的經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)在一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)的投入產(chǎn)出表如表13-2所示。求出各部門間的直接消耗系數(shù)矩陣以及各部門的最終產(chǎn)品和凈產(chǎn)值。解

由可計(jì)算出直接消耗系數(shù)矩陣為由分配平衡方程組（13-1）和消耗平衡方程組（13-2）有由（13-3）得到代入分配平衡方程組（13-1），則有或

（13-4）寫成矩陣形式為或

（13-5）其中A為直接消耗系數(shù)矩陣，X稱為產(chǎn)出向量，Y稱為最終需求向量。由于在此條件下，矩陣E-A是滿秩的，在（13-5）兩邊左乘它的逆矩陣可得

（13-6）（13-5）和（13-6）的意義是，當(dāng)直接消耗系數(shù)為已知時(shí)，我們可以由最終產(chǎn)品需求Y通過（13-6）求總產(chǎn)品X。進(jìn)一步還可由下式：求出各部門間的中間流量；或由總產(chǎn)品X通過（13-5）求最終產(chǎn)品Y。若將代入消耗平衡方程組（13-2），則有或

（13-7）寫成矩陣形式為

（13-8）其中Z稱為新創(chuàng)造價(jià)值向量。（13-8）的意義是，如直接消耗系數(shù)為已知，則方程組中每一個(gè)方程里只含有兩個(gè)變量

，可以由其中一個(gè)的值求出另一個(gè)的值。例如若已知

則若已知

則例2 已知某企業(yè)三個(gè)生產(chǎn)部門間在一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)的直接消耗系數(shù)及最終產(chǎn)品（貨幣單位）如表13-3所示。試求：（1）各部門的總產(chǎn)品；（2）各部門之間的流量。列出平衡表，計(jì)算各部門的新創(chuàng)價(jià)值。解

（1）由已知，直接消耗系數(shù)矩陣和最終需求向量為所以代入（13-6）可得所以三個(gè)部門的總產(chǎn)品分布為200，150和100.（2）各部門間的流量為再由求得各部門的新創(chuàng)價(jià)值分別為90,45和30,如表13-4所示。

3.完全消耗系數(shù)

在生產(chǎn)過程中，部門j除了需要直接消耗部門i的產(chǎn)品外，還要通過其他部門間接消耗部門i的產(chǎn)品，形成對(duì)部門i的產(chǎn)品的間接消耗。例如，一個(gè)汽車制造廠除直接消耗電力外，還要消耗其他部門的產(chǎn)品，如鋼材、電子儀表等，而生產(chǎn)鋼材和電子儀表也要消耗電力．這些電力對(duì)汽車制造廠來說就是間接消耗。這種只經(jīng)過一個(gè)中間環(huán)節(jié)實(shí)現(xiàn)的消耗稱為一次間接消耗。而煉鋼廠和儀表廠除了直接消耗電力外，還通過其他部門間接消起電力，這樣就形成汽車制造廠對(duì)電力的二次間接消耗

我們把直接消耗和全部間接消耗的和稱為完全消耗。

那么，完全消起應(yīng)當(dāng)怎樣計(jì)算呢？我們考慮短陣：(13-9)其中，A為直接消耗系數(shù)矩陣，，根據(jù)矩陣A的性質(zhì)，可知C的元素非負(fù)。 假定第j部門最終產(chǎn)品為1，其他部門最終產(chǎn)品為0，即那么有即

由此可知第k部門的總產(chǎn)品為

或。也就是說，為了第j部門多生產(chǎn)單位產(chǎn)品，第i部門應(yīng)該多生產(chǎn)中間產(chǎn)品

,就定義為第j部門生產(chǎn)單位產(chǎn)品對(duì)第i部門的完全消耗系數(shù)。它的意義是：第j部門生產(chǎn)單位產(chǎn)品時(shí)，直接消耗和通過其他部門間接消耗第i部門的產(chǎn)品量為

，我們把矩陣C稱為完全消耗系數(shù)矩陣。

由式（13-9）可得，代人式（13-6），有 (13-10)即 (13-11)由式（13-4）和式(13-11）得到

(13-12)式(13-12）兩邊的數(shù)值表示的是第i個(gè)部門的中間產(chǎn)品。此式表明第i個(gè)部門的中間產(chǎn)品可以表示為各個(gè)部門總產(chǎn)品的加權(quán)和。

對(duì)一個(gè)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)來說，在一個(gè)生產(chǎn)周期開始之前，通常都要制訂生產(chǎn)計(jì)劃，即編制投入產(chǎn)出平衡表。這時(shí)直接消耗系數(shù)矩陣A作為穩(wěn)定的技術(shù)性數(shù)據(jù)認(rèn)為是已知的，外界對(duì)各部門產(chǎn)品的最終需求可以根據(jù)市場(chǎng)信息獲得。有了這些數(shù)據(jù)就可以如例2那樣求出各部門的總產(chǎn)品數(shù)值和新創(chuàng)價(jià)值以及各部門之間的流量，從而編制出平衡表。這種平衡表稱為計(jì)劃期投入產(chǎn)出表。

在一個(gè)生產(chǎn)周期結(jié)束之后，通常要根據(jù)實(shí)際統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)再編制一個(gè)平衡表，以便向主管部門報(bào)告生產(chǎn)計(jì)劃的實(shí)際情況。這種平衡表稱為報(bào)告期投入產(chǎn)出表。我們根據(jù)各部門的實(shí)際總產(chǎn)品量和各部門間的流量，可以如例2那樣求出各部門的最終需求、新創(chuàng)價(jià)值和實(shí)際的直接消耗系數(shù)矩陣，將報(bào)告期的數(shù)據(jù)與計(jì)劃期的數(shù)據(jù)作比較，就可以了解生產(chǎn)計(jì)劃的實(shí)際情況和這個(gè)系統(tǒng)的實(shí)際情況。如某部門的直接消耗系數(shù)的降低意味著該部門人員的技術(shù)水平的提高。

報(bào)告期平衡表的數(shù)據(jù)為制訂下一個(gè)生產(chǎn)周期的生產(chǎn)計(jì)劃提供了十分可靠的依據(jù)。如己知報(bào)告期的完全消耗系數(shù)及外界對(duì)各部門產(chǎn)品的最終需求，這時(shí)可由(13-10）求出下一個(gè)生產(chǎn)周期的各部門的總產(chǎn)品量。特別是由于個(gè)別部門的最終需求的改變而要重新計(jì)算各部門的總產(chǎn)品量時(shí)，用(13-10）就很方便。例3 已知某個(gè)包含三個(gè)部門的經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)在一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)的完全消耗系數(shù)矩陣及最終需求分別為試求：(1)各部門的總產(chǎn)品：(2)如果第一個(gè)部門的最終需求的計(jì)劃改為100，那么各部門的總產(chǎn)品應(yīng)增加多少，才能滿足計(jì)劃要求？

解

（1）由（13-10）有

（2）把Y代入（13-10）有所以各部門的總產(chǎn)品的增加量約為

下面我們簡(jiǎn)要介紹幾位諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)獲得者的工作，以使讀者更好地理解數(shù)學(xué)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用。 在諾貝爾獎(jiǎng)中，原來既沒有數(shù)學(xué)獎(jiǎng)也沒有經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)。1969年，由瑞典中央銀行出資，以諾貝爾的名義設(shè)立了諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)。1969年的首屆諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)授予了弗瑞希和丁伯根。弗瑞希就是計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的創(chuàng)始人之一，他不僅運(yùn)用數(shù)學(xué)研究經(jīng)濟(jì)，而且他的研究成為經(jīng)濟(jì)學(xué)推動(dòng)數(shù)學(xué)發(fā)展的出色例子。丁伯根是一個(gè)物理學(xué)博士，他把物理和數(shù)學(xué)的方法帶進(jìn)了經(jīng)濟(jì)學(xué)，并與弗瑞希一道成為計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的奠基人。

1970年的獲獎(jiǎng)?wù)呤撬_繆爾森，他在1937年作為學(xué)位論文寫出而在1947年才正式出版的成名作《經(jīng)濟(jì)分析基礎(chǔ)》，是一部用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)理論總結(jié)數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)的劃時(shí)代著作。

1972年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)得主是阿羅和希克斯。希克斯的著作《價(jià)值與資本》創(chuàng)立了新的數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)分支一一公共選擇、社會(huì)選擇。社會(huì)選擇理論中的“阿羅不可能性定理”其實(shí)完全是一條適用于經(jīng)濟(jì)學(xué)的數(shù)學(xué)定理。

1973年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)為列昂惕夫獲得，他的投入產(chǎn)出方法現(xiàn)在幾乎成了經(jīng)濟(jì)學(xué)常識(shí)。

1975年的得獎(jiǎng)?wù)呤乔疤K聯(lián)的著名數(shù)學(xué)家康托洛維奇與美籍荷蘭經(jīng)濟(jì)學(xué)家?guī)炱章?938年起，康托洛維奇因?qū)?jīng)濟(jì)問題有興趣而研究線性規(guī)劃，于1942年寫成《經(jīng)濟(jì)資源的最優(yōu)利用》一書。庫(kù)普曼的工作與康托洛維奇非常相似，即他們都是運(yùn)用數(shù)學(xué)規(guī)劃理論來研究資驚的最優(yōu)利用和經(jīng)濟(jì)的最優(yōu)增長(zhǎng)。

1976年的得獎(jiǎng)?wù)吒ダ锏侣?978年的西蒙、1980年的克萊因、1981年的托平、1982年的斯蒂格勒、1983年的德布羅、1984年的斯通、1985年的莫迪利阿尼、1987年的索洛、1989年的哈維爾莫等都有極高的數(shù)學(xué)修養(yǎng)，或是數(shù)學(xué)家兼經(jīng)濟(jì)學(xué)家。因此，經(jīng)濟(jì)學(xué)與數(shù)學(xué)是在一種極高的水平下聯(lián)系著的。

2003年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)授予美國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家羅伯特·恩格爾（R.F.Engle）和英國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家克萊夫·格蘭杰（C.W.J.Granger），以表彰他們?cè)凇胺治鼋?jīng)濟(jì)時(shí)間序列”研究領(lǐng)域所作出的突破性貢獻(xiàn)。

恩格爾在20世紀(jì)80年代創(chuàng)立了一種被經(jīng)濟(jì)學(xué)界稱之為“自動(dòng)遞減條件下的異方差性”（又稱“自回歸條件異方差過程”），簡(jiǎn)稱ARCH模型的經(jīng)濟(jì)理論模式，提出了根據(jù)時(shí)間變化的變易率進(jìn)行經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列分析的方式。 瑞典皇家科學(xué)院稱贊恩格爾的分析方式對(duì)經(jīng)濟(jì)學(xué)研究具有“重大的突破性意義”，而且他的ARCH理論模式已成為經(jīng)濟(jì)學(xué)界用來進(jìn)行研究以及金融市場(chǎng)分析人士用來評(píng)估價(jià)格和風(fēng)險(xiǎn)的必不可少的工具。格蘭杰對(duì)經(jīng)濟(jì)學(xué)研究的突出貢獻(xiàn)是，發(fā)現(xiàn)非穩(wěn)定時(shí)間序列的特別組合可以呈現(xiàn)出穩(wěn)定性，從而可以得出正確的統(tǒng)計(jì)推理。他稱此是一種“共合體”現(xiàn)象，并提出了根據(jù)同趨勢(shì)進(jìn)行經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列分析的方式。瑞典皇家科學(xué)院稱格蘭杰的發(fā)現(xiàn)對(duì)研究財(cái)富與消費(fèi)、匯率與價(jià)格以及短期利率與長(zhǎng)期利率之間的關(guān)系具有非常重要的意義。 現(xiàn)在，經(jīng)濟(jì)學(xué)中所有的數(shù)學(xué)方法已經(jīng)是非常高深的。例如，馮·諾伊曼在1928年創(chuàng)立對(duì)策論的時(shí)候已經(jīng)注意到，對(duì)經(jīng)濟(jì)學(xué)來說，更重要的不是各自的最優(yōu)，而是相互間的對(duì)策。馮·諾伊曼為經(jīng)濟(jì)學(xué)準(zhǔn)備了一系列的新的數(shù)學(xué)工具，如凸集理論、不動(dòng)點(diǎn)理論等，形成了在經(jīng)濟(jì)學(xué)中一系列與微分學(xué)很不相同的數(shù)學(xué)方法，數(shù)學(xué)上常將其歸人非線性分析范疇。

再如，為了刻畫有大量經(jīng)濟(jì)活動(dòng)參與者而個(gè)別參與者作用不大的經(jīng)濟(jì)，運(yùn)用了“無(wú)原子的測(cè)度空間”概念，有人則使用“非標(biāo)準(zhǔn)無(wú)限大”的概念。

為了刻畫帶有不確定性的經(jīng)濟(jì)，由于每一步驟都有多種可能出現(xiàn)，以一個(gè)出發(fā)點(diǎn)為根部，可演變出一個(gè)能反映出所有可能的樹形圖，于是圖論的知識(shí)必不可少。在有無(wú)限種不確定情形時(shí)，例如，商品的種類就可看做有無(wú)窮多種，對(duì)應(yīng)的商品空間也變成無(wú)窮維的了，于是，泛畫分析成了必然的工具。

為了刻畫政策對(duì)經(jīng)濟(jì)的作用，作出一個(gè)最優(yōu)控制的模型是自然的；為了刻畫多層次的經(jīng)濟(jì)體中的信息流通，信息論的必要性很明顯。

甚至，獲得過菲爾茲獎(jiǎng)的數(shù)學(xué)家斯梅爾，這位以研究動(dòng)力系統(tǒng)著稱的拓?fù)鋵W(xué)家首先致力于把阿羅和德布羅的研究“動(dòng)力系統(tǒng)化”，回到微分方程的形式上來，接著又與德布羅一起把經(jīng)濟(jì)學(xué)“光滑化”，提出了“正則經(jīng)濟(jì)學(xué)”。在這種經(jīng)濟(jì)學(xué)中，所涉及的函數(shù)、映射等都是正則的，從而經(jīng)典的數(shù)學(xué)分析工具都能加以運(yùn)用，微分拓?fù)洹⒋鷶?shù)拓?fù)涞榷寄苡蒙狭?，這使得在經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域所使用的數(shù)學(xué)可與物理學(xué)相提并論。這種狀況表明，理解今天如此復(fù)雜的經(jīng)濟(jì)活動(dòng)已不是一件容易的事了。13.2

數(shù)理語(yǔ)言學(xué)

運(yùn)用數(shù)學(xué)方法研究語(yǔ)言包括對(duì)字頻、詞頻的研究，對(duì)語(yǔ)音、方言的研究，對(duì)寫作風(fēng)格的研究等。另一方面，可從所運(yùn)用的數(shù)學(xué)方法門類的不同而分別稱之為代數(shù)語(yǔ)言學(xué)、統(tǒng)計(jì)語(yǔ)言學(xué)、應(yīng)用數(shù)理語(yǔ)言學(xué)等。在我國(guó)，首先將數(shù)理語(yǔ)言學(xué)作為一門課程來開設(shè)的是北京大學(xué)。

我們先來看看如何運(yùn)用統(tǒng)計(jì)方法研究字頻。東漢時(shí)代許慎編著《說文解字》，收集單字9353個(gè)。晉朝，呂沈編著的《字林》，收集單字12824個(gè)。南北朝，顧野王編著的《玉篇》，收字16917個(gè)。宋朝，陳彭年編著的《廣韻》，收字26194個(gè)。明朝，梅鷹祚編著的《字匯》，收字33179個(gè)。清朝，陳廷敬等編著的《康熙字典》，收字47035個(gè)。1971年，張其昀主編《中文大辭典》，收字49888個(gè)。最新分冊(cè)出版的《漢語(yǔ)大字典》，收字54678個(gè)。13.2.1關(guān)于語(yǔ)言文字的統(tǒng)計(jì)研究

我們看到，隨著時(shí)代推移，字典所收漢字越來越多，形成了龐大的字符集合。面對(duì)如此龐大的字符集合，哪些字是最基本的、常用的、通用的?識(shí)字量的大小與閱讀能力的關(guān)系如何?這對(duì)于語(yǔ)言教學(xué)有什么啟示? 回答以上問題的基礎(chǔ)工作是進(jìn)行漢字頻率(簡(jiǎn)稱字頻)統(tǒng)計(jì)。我國(guó)最早進(jìn)行的字頻統(tǒng)計(jì)是由著名教育家陳鶴琴主持的。1920年出版的《語(yǔ)體文應(yīng)用字匯》中反映了陳鶴琴的成果。他的第一次統(tǒng)計(jì)包括了554468個(gè)漢字的語(yǔ)料，其不同的漢字共4261個(gè)。陳鶴琴所用語(yǔ)料包含了以下6類：1.兒童用書，127293個(gè)字；2.報(bào)刊(以通俗報(bào)刊為主)，153334個(gè)字；3.婦女雜志，90142個(gè)字；4.小學(xué)生課外作品，51807個(gè)字；5.古今小說，71267個(gè)字；6.雜類，60625個(gè)字。

在《語(yǔ)體文應(yīng)用字匯》書末附有“字?jǐn)?shù)次數(shù)對(duì)照表”，即按各漢字出現(xiàn)的絕對(duì)頻率排列的表。這種頻率大小之不同就表明在數(shù)以萬(wàn)計(jì)的漢字中，各個(gè)字用途大小的不同，頻率越高的字表明其通用性越強(qiáng)。晏陽(yáng)初則根據(jù)這一研究成果編制了《平民千字課》。

1946年，四川省教育科學(xué)院根據(jù)陳鶴琴的研究和杜佑周、蔣成望的《兒童與成人常用宇匯之調(diào)查與比較》，選出最常用的字2000個(gè)，編成《常用字選》。

1974年8月，中國(guó)科學(xué)院、新華通訊社、原四機(jī)部（原電子工業(yè)部）、原一機(jī)部（原機(jī)械工業(yè)部）等聯(lián)名申請(qǐng)“漢字信息處理系統(tǒng)工程”，原國(guó)家計(jì)劃委員會(huì)批準(zhǔn)了這一被稱為“748工程”的項(xiàng)目。該工程的成果之一是用兩年時(shí)間，把從各單位收集來的共3億多字的出版物，分成科學(xué)技術(shù)、文學(xué)藝術(shù)、政治理論、新聞通訊四類，并從中選出86本著作、104本期刊、7075篇論文，合計(jì)21657039個(gè)字，作為統(tǒng)計(jì)研究的樣本，對(duì)四類語(yǔ)料分別進(jìn)行頻率統(tǒng)計(jì)，匯總成一份綜合資料，從這21657039個(gè)漢字樣本中，統(tǒng)計(jì)不同的漢字6347個(gè)，編成《漢字頻度表》。

我國(guó)用電子計(jì)算機(jī)開始進(jìn)行語(yǔ)言研究，首先是從原北京航空學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)工程系開始的。他們根據(jù)1977年至1982年出版的社會(huì)科學(xué)和自然科學(xué)文獻(xiàn)共138000000個(gè)字的語(yǔ)料，抽樣10688059個(gè)字進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，語(yǔ)料來源包括報(bào)紙、期刊、教材、專著、通俗讀物等。抽樣語(yǔ)料分為社會(huì)科學(xué)、自然科學(xué)兩大類，每大類又各分為五個(gè)科目。

其中，社會(huì)科學(xué)的五個(gè)科目分別為：①社會(huì)生活，包括服裝、食譜、旅游、集郵等，所抽取語(yǔ)料的含宇量為577024個(gè)漢字，其中不同漢字為4210個(gè)；②人文科學(xué)，包括歷史、哲學(xué)、心理學(xué)、教育學(xué)、美學(xué)、社會(huì)學(xué)等，所抽取語(yǔ)料的含宇量為131694個(gè)漢字，其中不同漢字為5402個(gè)；③政治經(jīng)濟(jì)，包括財(cái)貿(mào)、統(tǒng)計(jì)、管理等，所抽取語(yǔ)料含宇1644659個(gè)，不同漢字為4889個(gè)；④新聞報(bào)道，包括報(bào)紙、雜志上的各種新聞，所取語(yǔ)料含字1798467個(gè)，不同漢字為4913個(gè)：⑤文學(xué)藝術(shù)，包括小說、散文、戲劇、說唱文學(xué)等，所取語(yǔ)料含字2953903個(gè)，不同漢字為6501個(gè)。

自然科學(xué)的五個(gè)科目分別為：①建筑運(yùn)輸郵電，所取語(yǔ)料含字264408個(gè)，不同漢字為3010個(gè)：②農(nóng)林牧副泡，所抽取之語(yǔ)料共含字552761個(gè)，不同漢字為3688個(gè)；③輕工業(yè)，包括電子、日用化工、塑料、食品、紡織等，所取語(yǔ)料共含宇901003個(gè)，其中不同漢字4502個(gè)；④重工業(yè)，包括礦山、冶金、機(jī)械、能源等，所抽取之語(yǔ)料共含宇684376個(gè)，不同漢字3916個(gè)；⑤基礎(chǔ)科學(xué)，包括數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、生物、地理、天文等，所抽取之語(yǔ)料共含字1179764個(gè)，其中不同漢字4426個(gè)。

以上研究于1985年完成。這一研究工作不僅為現(xiàn)代漢字的定量分析提供了有用的數(shù)據(jù)，而且對(duì)于漢語(yǔ)言文學(xué)教學(xué)、漢字的機(jī)械處理和信息處理的研究也有重要參考價(jià)值。

原北京語(yǔ)言學(xué)院曾對(duì)十年制語(yǔ)文課本作了字頻統(tǒng)計(jì)研究，并在此基礎(chǔ)上制定了《按出現(xiàn)次數(shù)多少排列的常用漢字表》。語(yǔ)料總數(shù)為520934個(gè)字，按出現(xiàn)頻度由高至低排列，排前100個(gè)字出現(xiàn)230946次，占總語(yǔ)料量44.33%；前1000個(gè)字出現(xiàn)409305次，占總語(yǔ)料量的78.57%。這樣，在語(yǔ)文教學(xué)中，最先應(yīng)讓學(xué)生學(xué)的100個(gè)字是哪些、1000個(gè)字是哪些，就比較好確定了。這也就有利于加快識(shí)字速度，提高閱讀能力，提高教學(xué)質(zhì)量。

實(shí)際編制常用漢字表時(shí)考慮以下四方面的因素：①根據(jù)其出現(xiàn)頻率，優(yōu)先選取出現(xiàn)頻率較高的字；②在出現(xiàn)頻率相同的情況下，選取學(xué)科分布廣的（即多學(xué)科中出現(xiàn)的）和使用度高的宇（關(guān)于使用度，另有計(jì)算方法）；③根據(jù)漢字的構(gòu)詞和構(gòu)宇能力，選取構(gòu)詞、構(gòu)字能力較強(qiáng)的字；④根據(jù)漢字的其他使用情況進(jìn)一步斟酌取舍（例如有的漢字在書面語(yǔ)言中較少出現(xiàn)，卻在日常用語(yǔ)中出現(xiàn)較多，對(duì)于這樣的字也需適當(dāng)選取）。 根據(jù)統(tǒng)計(jì)研究以及以上四個(gè)方面的綜合考慮，編制出了《現(xiàn)代漢語(yǔ)常用字表》（以下簡(jiǎn)稱《字表》），總共3500個(gè)字，其中常用字2500個(gè)，次常用字1000個(gè)。山西大學(xué)計(jì)算科學(xué)系又抽樣2011076個(gè)字的語(yǔ)料，對(duì)常用字表進(jìn)行檢驗(yàn)。其結(jié)果如下：①在2011076個(gè)字的語(yǔ)料中，不同漢字為5141個(gè)。在5141個(gè)字中含《字表》中3500個(gè)字的3464個(gè)，覆蓋率高達(dá)99.48%；②在3464個(gè)不同漢字中，含《字表》中2500個(gè)常用字的2499個(gè)，覆蓋率達(dá)99.96%；③在3464個(gè)不同漢字中，含《字表》中1000個(gè)次常用字的965個(gè)，覆蓋率達(dá)96.5%。這一檢驗(yàn)結(jié)果進(jìn)一步表明《現(xiàn)代漢語(yǔ)常用字表》的收字是合理、實(shí)用的。

1988年，國(guó)家語(yǔ)言文字工作委員會(huì)和新聞出版署聯(lián)合發(fā)布了《現(xiàn)代漢語(yǔ)通用字表》，共收漢字7000個(gè)。以上的研究及有關(guān)的工作可以回答認(rèn)識(shí)多少漢字可達(dá)到何等程度的閱讀能力？反之的問題是：要達(dá)到某種程度的閱讀能力，需要至少識(shí)多少字？對(duì)于后一問題，我國(guó)學(xué)者也進(jìn)行過研究。

首先按字出現(xiàn)的頻率大小排號(hào)（稱之為序號(hào)）序號(hào)為的字的頻率依次記為顯然有

實(shí)際上，從某個(gè)n之后，或者說，前n個(gè)序號(hào)的頻率累計(jì)和為1，即

如果要求讀某一類（如政治類）的作品時(shí)，90%的字能認(rèn)識(shí)，那么可求n，使

研究結(jié)果表明，就政治類作品而言，n=650；就文藝類而言，n=860。若要能認(rèn)識(shí)99%的字，那么，對(duì)于政治類，n=1790；對(duì)于文藝類，n=2180，如表13-5所示。由表13-5可以看出，閱讀綜合類書刊所需認(rèn)識(shí)的字最多，其次是科技類的。

此外還可看出，大約掌握了1000個(gè)常用漢字后，能看懂一般作品的90%（只在識(shí)字的意義上）；大約掌握了2500個(gè)常用漢字之后，能看懂一般作品的99%。而掌握了約6000個(gè)漢字的人則可稱之為“活字典”了。

語(yǔ)體風(fēng)格是人們?cè)谡Z(yǔ)言表達(dá)活動(dòng)中的個(gè)人言語(yǔ)特征，是人格在語(yǔ)言活動(dòng)中的某種體現(xiàn)。這種風(fēng)格可在一定程度上通過數(shù)量特征來刻畫。例如，句長(zhǎng)和詞長(zhǎng)可以代表人們?cè)煸~句的風(fēng)格。句長(zhǎng)是句子中的單詞數(shù)，詞長(zhǎng)是詞中的音節(jié)數(shù)。反映作者風(fēng)格的不是單個(gè)詞的詞長(zhǎng)和單個(gè)句子的句長(zhǎng)，而是以一定數(shù)量的語(yǔ)料為基礎(chǔ)的平均句長(zhǎng)和平均詞長(zhǎng)。平均句長(zhǎng)即語(yǔ)料中單詞總數(shù)與句子總數(shù)之比，平均詞長(zhǎng)即語(yǔ)料中音節(jié)總數(shù)與單詞總數(shù)之比。13.2.2關(guān)于計(jì)算風(fēng)格學(xué)它們的公式為式中，

分別表示平均詞長(zhǎng)與平均句長(zhǎng)；

代表語(yǔ)料中音節(jié)總數(shù)；

代表語(yǔ)料中單詞總數(shù)；

代表語(yǔ)料中句子總數(shù)。從而有或者

曾有人對(duì)20位德語(yǔ)作者的22部著作計(jì)算過平均詞長(zhǎng)和平均句長(zhǎng)。表13-6中列出了20位作者的作品的平均詞長(zhǎng)和平均句長(zhǎng)，其中19位作者均以一部著作為基礎(chǔ)進(jìn)行計(jì)算，唯有對(duì)歌德取了三部著作，因此歌德的名字出現(xiàn)三次，并按平均句長(zhǎng)從小到大排列。其中，馬克思是取其著作《資本論》，黑格爾則是取其著作《邏輯學(xué)》，但在表中不再列出這些著作的名稱。

表中，后面的一些作者，大部分是出現(xiàn)在18、19世紀(jì)的，如歌德、埃森多夫、黑格爾、馬克思、施里曼等。前面的大部分是出現(xiàn)在20世紀(jì)的，如凱斯特奈、法拉達(dá)、托馬斯·曼、里爾克、海斯、愛因斯坦等。從材料中可見，德語(yǔ)書面語(yǔ)言的句子有變短的趨勢(shì)。

此外，從20位作者的情況看，人文科學(xué)和社會(huì)科學(xué)家的句子比小說家長(zhǎng)，例如，黑格爾、馬克思和考古學(xué)家施里曼的平均句長(zhǎng)是小說家法拉達(dá)、文學(xué)家凱斯特奈平均句長(zhǎng)的35倍。我們還可看到，平均句長(zhǎng)對(duì)平均詞長(zhǎng)影響不大。運(yùn)用上述寫作風(fēng)格特征數(shù)字方法研究語(yǔ)言學(xué)的，我們稱之為“計(jì)算風(fēng)格學(xué)”，它可以被應(yīng)用來解決“作者考證”的問題。我們看幾個(gè)例子。 1964年，美國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家摩斯泰勒和瓦萊斯考證了12篇署名“聯(lián)邦主義者”的文章的作者，可能的作者是兩個(gè)人，一個(gè)是美國(guó)開國(guó)政治家漢密爾頓，另一位是美國(guó)第四任總統(tǒng)麥迪遜。究竟是哪一位呢？統(tǒng)計(jì)學(xué)家在進(jìn)行分析時(shí)發(fā)現(xiàn)漢密爾頓和麥迪遜在已有著作中的平均句長(zhǎng)幾乎完全相同。這使得這一能反映寫作風(fēng)格特征的數(shù)據(jù)此時(shí)失效了。于是，統(tǒng)計(jì)學(xué)家轉(zhuǎn)而從用詞習(xí)慣上來找出這兩位作者的有區(qū)別性的風(fēng)格特征，而且終于找到了兩位作者在虛詞的使用上有明顯的不同。 漢密爾頓在他已有的18篇文章中，有14篇使用了“enough”一詞；而麥迪遜在他的14篇文章中根本未使用“enough”一詞：漢密爾頓喜歡用“while”，而麥迪遜總是用“whilst”；漢密爾頓喜歡用“upon”，而麥迪遜很少用。然后，再把兩位可能的作者的上述風(fēng)格特征指標(biāo)，與未知的12篇署名“聯(lián)邦主義者”的文章中表現(xiàn)出來的相應(yīng)的風(fēng)格特征進(jìn)行比較。結(jié)果發(fā)現(xiàn)那位署名“聯(lián)邦主義者”的作者就是美國(guó)第四任總統(tǒng)麥迪遜。這樣就了結(jié)了這一考據(jù)學(xué)上長(zhǎng)期懸而未決的公案。兩位統(tǒng)計(jì)學(xué)家所使用的數(shù)學(xué)方法也得到了學(xué)術(shù)界的好評(píng)。

另一大公案是關(guān)于《靜靜的頓河》的作者的考證?！鹅o靜的頓河》出版時(shí)署名作者為著名作家肖洛霍夫。出版后即有人說這本書是肖洛霍夫從一位名不見經(jīng)傳的哥薩克作家克留柯夫那里抄襲來的。數(shù)十年之后的1974年，一匿名作者在法國(guó)巴黎發(fā)表文章，斷言克留柯夫才是《靜靜的頓河》的真正作者，肖洛霍夫充其量是合作者罷了。

為了弄清楚誰(shuí)是《靜靜的頓河》的真正作者，捷澤等學(xué)者采用計(jì)算風(fēng)格學(xué)的方法進(jìn)行考證。具體辦法是把《靜靜的頓河》四卷本同肖洛霍夫、克留柯夫這兩人的其他在作者問題上沒有疑義的作品都用計(jì)算機(jī)進(jìn)行分析，獲得可靠的數(shù)據(jù)，并加以比較，以期澄清疑問。捷澤等學(xué)者從《靜靜的頓河》中隨機(jī)地挑選出2000個(gè)句子，再?gòu)男ぢ寤舴颉⒖肆艨路虻母饕黄≌f中隨機(jī)地挑選500個(gè)句子，總共3組樣本、3000個(gè)句子，輸人計(jì)算機(jī)進(jìn)行處理。處理的步驟如下：（1）首先計(jì)算句子的平均長(zhǎng)度（Ms），結(jié)果3組樣本十分接近。于是再按不同的長(zhǎng)度細(xì)分成若干組，對(duì)3組樣本中對(duì)應(yīng)的句子組進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)肖洛霍夫的小說與《靜靜的頓河》比較吻合，而克留柯夫的小說與《靜靜的頓凋》相距甚遠(yuǎn)。（2）進(jìn)行詞類統(tǒng)計(jì)分析。從3組樣本中各取出10000個(gè)單詞，用卡方分布的方法，求出詞類在3個(gè)樣本中的分布。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，除了代詞以外，有6類詞肖洛霍夫的小說都與《靜靜的頓河》相等，而克留柯夫的小說則與之不相符。（3）考察處在句子中的不同位置的詞類狀況。有人曾經(jīng)研究過，對(duì)于俄語(yǔ)這樣的詞序相當(dāng)自由的語(yǔ)言，詞類在句子中的不同位置可以很好地表現(xiàn)文體的風(fēng)格特點(diǎn)，特別是句子開頭的兩個(gè)詞和句子結(jié)尾的3個(gè)詞往往可以起到區(qū)分文體風(fēng)格的作用。捷澤等學(xué)者統(tǒng)計(jì)了3組樣本中句子開頭的詞類和句子結(jié)尾的詞類，發(fā)現(xiàn)肖洛霍夫的小說與《靜靜的頓河》十分接近，而克留柯夫的小說則與之有相當(dāng)大的距離。（4）進(jìn)行句子結(jié)構(gòu)的分析，統(tǒng)計(jì)3組樣本中句子的最常用格式。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，肖洛霍夫的小說與《靜靜的頓河》的最常見句式都是“介詞＋體詞”起始的句子，而克留柯夫的小說的最常見句式是以“主詞＋動(dòng)詞”起始的句子。（5）統(tǒng)計(jì)3組樣本中頻率最高的15種開始句子的結(jié)構(gòu)，發(fā)現(xiàn)肖洛霍夫小說中有14種結(jié)構(gòu)與《靜靜的頓河》相符，而克留柯夫小說中只有5種結(jié)構(gòu)出現(xiàn)在《靜靜的頓河》中。（6）統(tǒng)計(jì)3組樣本中頻率最高的15種結(jié)尾句子的結(jié)構(gòu)，發(fā)現(xiàn)肖洛霍夫小說中15種結(jié)構(gòu)與《靜靜的頓河》完全相符，而克留柯夫小說中結(jié)尾句子的結(jié)構(gòu)與《靜靜的頓河》完全不符。

根據(jù)以上幾個(gè)方面的統(tǒng)計(jì)結(jié)果與分析，捷澤等人己可以下結(jié)論：《靜靜的頓河》的真正作者是肖洛霍夫。然而，捷澤等人對(duì)于這樣一部世界名著，這樣一個(gè)世界文學(xué)界的重大疑案，采取了十分謹(jǐn)慎的態(tài)度，為了精益求精，他們?cè)诟笠?guī)?；A(chǔ)上進(jìn)行研究。

至1977年，他們已分析了取自3組樣本中的140000個(gè)單詞。直至此時(shí)，捷澤等學(xué)者才下了一個(gè)穩(wěn)健的結(jié)論：《靜靜的頓河》確是肖洛霍夫的作品，他在寫作時(shí)或許參考過克留柯夫的手稿。后來，前蘇聯(lián)文學(xué)研究者從另外一些方面又進(jìn)一步證實(shí)了肖洛霍夫是《靜靜的頓河》的真正作者。

我國(guó)學(xué)者對(duì)《紅樓夢(mèng)》的作者也有所爭(zhēng)議。因此，從“數(shù)學(xué)語(yǔ)言學(xué)”的角度來研究這個(gè)問題幾乎是不可避免的了。用“語(yǔ)言統(tǒng)計(jì)法”研究《虹樓夢(mèng)》作者的有以下幾位：（1）高本漢1954年，瑞典漢學(xué)家高本漢參考了38個(gè)虛字在《紅樓夢(mèng)》前80回和后40回出現(xiàn)的情況，認(rèn)為前后作者為同一人。 （2）趙剛、陳忠毅趙剛、陳忠毅夫婦用“了”“的”“若”“在”“兒”五個(gè)字出現(xiàn)的頻率分別作均值的t檢驗(yàn)，認(rèn)為前80回和后40回明顯不同。（3）陳炳藻1981年，首屆國(guó)際《紅樓夢(mèng)》研討會(huì)在美國(guó)召開，美國(guó)威斯康星大學(xué)講師陳炳藻獨(dú)樹一幟，宣讀了題為《從詞匯上的統(tǒng)計(jì)論（紅樓夢(mèng)）作者的問題》的論文，首次借助計(jì)算機(jī)進(jìn)行《紅樓夢(mèng)》的研究，轟動(dòng)了國(guó)際“紅學(xué)界”。陳炳藻從字、詞出現(xiàn)頻率入手，通過計(jì)算機(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)、處理、分析，對(duì)《紅樓夢(mèng)》后40回為高鵲所作這一流行看法提出了異議，認(rèn)為這120回均系曹雪芹所作。（4）陳大康1983年，華東師范大學(xué)的陳大康開始對(duì)《紅樓夢(mèng)》全書的字、詞、句作全面的統(tǒng)計(jì)分析，并發(fā)現(xiàn)了一些專用詞如“端的”“越性”“索性”在各回中出現(xiàn)的情況，得出前80回為曹雪芹一人所寫，后40回為另外的人所寫，但后40回的前半部分含曹雪芹的殘稿。（5）李賢平值得人們關(guān)注的是1987年復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)系李賢平教授的工作。李賢平用陳大康對(duì)每個(gè)回目所用的47個(gè)虛字出現(xiàn)的次數(shù)（頻率），作為《紅樓夢(mèng)》各個(gè)回目的數(shù)字標(biāo)志，輸入計(jì)算機(jī)，然后將其使用頻率繪成圖形，從中看出不同作者的創(chuàng)作風(fēng)格。據(jù)此，他提出了《紅樓夢(mèng)》成書新說：是軼名作者作《石頭記》，曹雪芹批閱十載，增刪五次，將自己早年所作《風(fēng)月寶鑒》插入《石頭記》，定名為《紅樓夢(mèng)》，成為前80回書。后40回是曹雪芹的親友將曹的草稿整理而成，其中寶黛故事為一人所寫。而程偉元、高鶚為整理全書的功臣。 武漢大學(xué)語(yǔ)言自動(dòng)處理研究組也曾利用計(jì)算機(jī)對(duì)6位現(xiàn)代作家（巴金、茅盾、郭沫若、趙樹理、老舍、夏衍）的12部作品進(jìn)行過統(tǒng)計(jì)分析，研究他們的語(yǔ)體風(fēng)格。13.3數(shù)學(xué)與西方政治

從前面各章我們已經(jīng)看到了數(shù)學(xué)在自然科學(xué)以及部分人文社會(huì)科學(xué)中的作用。自然界的運(yùn)行有其自身規(guī)律性和可預(yù)見性，而數(shù)學(xué)就是揭示這些規(guī)律的最好工具或語(yǔ)言，即使有些規(guī)律目前我們還沒掌握，但科學(xué)家相信，經(jīng)過努力，我們總能發(fā)現(xiàn)藏在事物背后的規(guī)律。

人類不也是自然界的一部分嗎？在社會(huì)運(yùn)行中人起了很大的作用，有時(shí)候甚至是關(guān)鍵性的作用。社會(huì)運(yùn)行有其規(guī)律可言嗎？數(shù)學(xué)在政治科學(xué)中能與在自然科學(xué)中一樣起作用嗎？唯物主義告訴我們，意識(shí)起源于物質(zhì)，所以我們有理由相信社會(huì)運(yùn)行同樣也應(yīng)當(dāng)存在規(guī)律，也可以用類似的數(shù)學(xué)方法來刻畫。而我們一旦發(fā)現(xiàn)了這些規(guī)律，并使社會(huì)運(yùn)行遵循這些規(guī)律，人類社會(huì)將會(huì)變得更加美好，社會(huì)運(yùn)行將更加穩(wěn)定而公正。因此需要有這樣一門人文科學(xué)，去探索人類社會(huì)的自然規(guī)律。

可以說是在自然科學(xué)成功的鼓舞下，社會(huì)科學(xué)家們從18世紀(jì)開始以空前的熱情投人了這項(xiàng)研究。盧梭指出，社會(huì)科學(xué)不能通過實(shí)驗(yàn)來研究。我們可以找出其運(yùn)行的主要的原理，例如社會(huì)運(yùn)行的基本公理，然后用演繹的方法推導(dǎo)出真理?？档抡f，發(fā)現(xiàn)人類文明的定律，應(yīng)該有開普勒和牛頓才行。社會(huì)科學(xué)家們希望，在這一領(lǐng)域內(nèi)數(shù)學(xué)取得在其他純科學(xué)領(lǐng)域內(nèi)同樣輝煌的成就。

假定存在社會(huì)規(guī)律，社會(huì)科學(xué)家們?nèi)绾伟l(fā)現(xiàn)它們呢？我們從歐幾里得的公理化方法中得到啟示。首先，我們必須發(fā)現(xiàn)一些基本公理，然后通過嚴(yán)密的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，從這些公理中得出人類行為的定理。公理如何產(chǎn)生呢？借助經(jīng)驗(yàn)和思考，其自身應(yīng)該有足夠的證據(jù)說明它們合乎人性，這樣人們才會(huì)接受。于是社會(huì)科學(xué)家們紛紛探索人類行為科學(xué)的公理。18、19世紀(jì)這方面著作有洛克的《人類理智論》、貝克萊的《人類知識(shí)原理》、休漠的《人性論》和《人類理解研究》、邊沁的《道德與立法原理引論》以及穆勒的《人性分析》等。

在這些著作中，有些關(guān)于人類行為的公理很值得重視。這些公理的一部分已融合于人類的社會(huì)意識(shí)中，成為推動(dòng)社會(huì)前進(jìn)的力量。其中邊沁提出的如下公理，產(chǎn)生了較大的影響。（1）人生而平等。（2）知識(shí)和信仰來自感覺經(jīng)驗(yàn)。（3）人人都趨利避害。（4）人人都根據(jù)個(gè)人利益行動(dòng)。（5）最大多數(shù)人的最大利益是衡量是非的標(biāo)準(zhǔn)。

注意，這里的第（3）、（4）兩條與第（5）條。一個(gè)特殊的行為可能對(duì)一些人有利，而對(duì)另一些人有害，所以邊沁又加上第（5）條，以實(shí)現(xiàn)社會(huì)的平衡與穩(wěn)定。

以邊沁為代表的社會(huì)科學(xué)家們勇敢地把理性的旗幟插到了以前由風(fēng)俗和權(quán)威統(tǒng)治的領(lǐng)域。他們的倫理學(xué)不是建立在宗教教義上，而是建立在人文科學(xué)的基礎(chǔ)上。他們利用人性的規(guī)律和人與人之間相互關(guān)系的公理創(chuàng)建了富于邏輯性的倫理學(xué)體系。

政治學(xué)家們也開始效仿他們。休漠滿懷信心地說：“政治可以簡(jiǎn)化為一門科學(xué)。”在各種政治學(xué)理論中，由洛克提出的學(xué)說影響甚遠(yuǎn)。

洛克對(duì)政府的起源和政府存在的理由及目的進(jìn)行了探討。在封建社會(huì)，統(tǒng)治者為樹立自己權(quán)利的“天然合理性”，大都采用了“君權(quán)神授”的理論，例如在中國(guó)皇帝被稱為“真龍?zhí)熳印本褪沁@種理論的體現(xiàn)。這種理論還強(qiáng)調(diào)世襲制。以洛克為代表的社會(huì)學(xué)家提出了“社會(huì)契約”理論。 他在1689年至1690年寫的《政府兩論》的論文中闡述了這一理論。在第一篇論文中他駁斥了君權(quán)神授的理論，在第二篇中他提出了著名的“天賦人權(quán)論”。洛克認(rèn)為：所有的人在生下來時(shí)頭腦都是一片空白，人的知識(shí)和性格都是在后天所受的教育中形成的；人生來都是平等的，人與人的區(qū)別主要是環(huán)境所致。所以所有的人都擁有天生的、不可剝奪的權(quán)利，如“自由”“平等”等。另一方面，為了獲得生命、自由和財(cái)產(chǎn)的保障，人們制定“社會(huì)契約”，并把管理社會(huì)的權(quán)利賦予政府。

人們一旦接受這一契約，就應(yīng)按照大多數(shù)人的意愿行事；而政府也應(yīng)該按律執(zhí)法。同時(shí)，如果統(tǒng)治者違背了選民的意愿或不能保護(hù)人民的利益，那么選民的反叛就是理所當(dāng)然的了。對(duì)政府本質(zhì)所作的探討回答了下面的問題：政府為什么存在？它從哪里獲得了權(quán)力？它在什么時(shí)候超出了這一權(quán)力？如何對(duì)待暴政？...... 運(yùn)用洛克理論的典型范例當(dāng)屬美國(guó)的《獨(dú)立宣言》。美國(guó)第三任總統(tǒng)杰弗遜(1743-1826）是這個(gè)宣言的主要起草人，他引用了不少洛克的話，并試圖使人們對(duì)美國(guó)獨(dú)立的公正性和合理性深信不疑?！拔覀冋J(rèn)為這些真理是不證自明的”，不僅所有的直角都相等，而是“所有的人生來都平等”。這些自明的真理包括，如果任何一屆政府不服從這些先決條件，那么“人民就有權(quán)更換或廢除它”。英國(guó)國(guó)王喬治的政府沒有滿足上述條件，“因此，……這些聯(lián)合起來的殖民地是，而且按正當(dāng)權(quán)力應(yīng)該是，自由的和獨(dú)立的國(guó)家?！?/p>

這篇重要文獻(xiàn)的開頭說：

在人類歷史事件的進(jìn)程中，當(dāng)一個(gè)民族必須解除它與另一個(gè)民族之間迄今所存在的政治聯(lián)系，并在世界列國(guó)中取得“自然法則”和“自然神明”所規(guī)定給他們的拙立與平等的地位時(shí)，就有一種真誠(chéng)的尊重人類公意的心理，要求他們一定要把那些他們不得己而獨(dú)立的原因宣布出來。

這里的關(guān)鍵詞是“自然法則”，它清晰地表明了18、19世紀(jì)人們的信念：整個(gè)世界，包括人類，都受自然規(guī)律的支配。自不待言，這一信念是建立在由牛頓時(shí)期的數(shù)學(xué)家和科學(xué)家們發(fā)現(xiàn)的有關(guān)世界結(jié)構(gòu)的證據(jù)之上的。這些規(guī)律給人類的理想、行為和風(fēng)俗習(xí)慣帶來決定性的影響。因此，政府的有效法律必須符合自然規(guī)律。真正促成美國(guó)革命的是這一被廣泛接受的政治哲學(xué)。

理論家們?cè)趯?duì)政府的研究中取得了成就，并對(duì)人類社會(huì)產(chǎn)生了深遠(yuǎn)影響。邊沁的“為絕大多數(shù)人的最大幸?！焙吐蹇说摹疤熨x人權(quán)論”以及“社會(huì)契約論”共同鑄造了美國(guó)的民主制度。此外，在歐氏幾何有一個(gè)著名的定理：三角形的任意兩邊之和大于第三邊。這個(gè)定理也成了美國(guó)的三權(quán)分立中權(quán)利分配的理論基礎(chǔ)。13.4數(shù)學(xué)在創(chuàng)新教育中的功能分析

如何發(fā)揮數(shù)學(xué)在創(chuàng)新教育中的作用，這是數(shù)學(xué)教青應(yīng)該認(rèn)真思考的問題。我們建立一個(gè)融數(shù)學(xué)理論、數(shù)學(xué)建模與應(yīng)用、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)于一體的數(shù)學(xué)創(chuàng)新教育模式，利用數(shù)學(xué)教育在創(chuàng)新意識(shí)、創(chuàng)新素質(zhì)與創(chuàng)新能力等方面的教育功能，切實(shí)提高學(xué)生的思維能力、應(yīng)用數(shù)學(xué)解決問題等創(chuàng)新能力。

一般來說，創(chuàng)新能力由創(chuàng)新意識(shí)、素質(zhì)、能力組成一個(gè)多維的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)。創(chuàng)新意識(shí)的構(gòu)成要素主要包括人格品質(zhì)與意識(shí)品質(zhì)。創(chuàng)新人格主要由與創(chuàng)新有關(guān)的情感、理想、心理、意志等方面構(gòu)成，當(dāng)然也包括個(gè)人的天賦；創(chuàng)新意識(shí)品質(zhì)主要指有強(qiáng)烈的創(chuàng)新欲望，包括對(duì)知識(shí)的渴求、好奇心、探索意識(shí)、批判意識(shí)、思想觀點(diǎn)等。13.4.1創(chuàng)新能力的意義

創(chuàng)新素質(zhì)的構(gòu)成要素主要包括人文素養(yǎng)與知識(shí)素養(yǎng)。人文素養(yǎng)包括個(gè)人的人生觀、價(jià)值觀、審美能力、道德水平等方面；知識(shí)素養(yǎng)主要指受教育者的各種知識(shí)背景及構(gòu)成，當(dāng)然也包括其學(xué)習(xí)的能力，特別是自主學(xué)習(xí)的能力。

創(chuàng)新能力的構(gòu)成要素主要有觀察能力、注意能力、想象能力、記憶能力、思維能力、創(chuàng)造能力等。其中，創(chuàng)造能力又主要由方法能力與應(yīng)用能力、解決問題能力等構(gòu)成。

數(shù)學(xué)教育在創(chuàng)新教育中具有重要的功能，主要表現(xiàn)在數(shù)學(xué)教育具有重要的人格品質(zhì)教育價(jià)值、思想方法教育價(jià)值、科技語(yǔ)言教育價(jià)值、美育價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值和文化價(jià)值。

數(shù)學(xué)教育的人格品質(zhì)教育價(jià)值主要體現(xiàn)在數(shù)學(xué)的批判精神和心理意志培養(yǎng)等方面。由于在數(shù)學(xué)中我們只相信“證明”了的東西，而不相信“直觀”或“權(quán)威”，所以在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)與研究中就為建立人類的理性“批判精神”提供了最為直接的訓(xùn)練，使人相信科學(xué)，相信理性。13.4.2數(shù)學(xué)教青的價(jià)值與創(chuàng)新能力培養(yǎng)

在數(shù)學(xué)訓(xùn)練中，由于許多命題的證明、計(jì)算除了需要科學(xué)的方法等以外，還需要耐心、認(rèn)真與堅(jiān)持的精神，有時(shí)即使是一個(gè)一般的問題，也需要在堅(jiān)持中才能完成，所以數(shù)學(xué)教育同樣也提供了人類心理意志方面的訓(xùn)練，培養(yǎng)人類的堅(jiān)韌、耐心、認(rèn)真等非智力素養(yǎng)。數(shù)學(xué)教育的思想教育價(jià)值體現(xiàn)在數(shù)學(xué)的“定量化的思想與研究方法”“抽象化的思想與研究方法”“批判的精神與開放的思維”等“數(shù)學(xué)理性”對(duì)人類的影響。定量分析的方法或從定性到定量的研究思想是科學(xué)研究的重要方法。

中國(guó)科學(xué)院數(shù)學(xué)物理學(xué)部中國(guó)科學(xué)院數(shù)學(xué)物理學(xué)部在其咨詢報(bào)告“今日數(shù)學(xué)及其應(yīng)用”中曾指出，“所謂定量思維是指人們從實(shí)際中提煉數(shù)學(xué)問題，抽象化為數(shù)學(xué)模型，用數(shù)學(xué)計(jì)算求出此模型的解或近似解，然后回到現(xiàn)實(shí)中進(jìn)行檢驗(yàn)。”

創(chuàng)新，除了知?jiǎng)?chuàng)新意識(shí)與創(chuàng)新精神起著很重要的作用，而數(shù)學(xué)的批判意識(shí)、求實(shí)精神和創(chuàng)新精神，對(duì)人的創(chuàng)新意識(shí)起著潛移默化的教育作用。數(shù)學(xué)的理性精神除了上面所說的以外，還表現(xiàn)在以下方面：

①嚴(yán)密的邏輯推理和證明。數(shù)學(xué)中的每個(gè)定理、公式、結(jié)論，都給出了符合邏輯的證明，每步推理都有切實(shí)的根據(jù)。 ②嚴(yán)謹(jǐn)、簡(jiǎn)明的數(shù)學(xué)語(yǔ)言。數(shù)學(xué)語(yǔ)言（符號(hào)）是科學(xué)語(yǔ)言，它所表達(dá)的數(shù)學(xué)概念、命題、推理和證明，符合邏輯規(guī)則，其意義明確無(wú)誤，不允許模棱兩可。③把握事物本質(zhì)，揭示規(guī)律性。數(shù)學(xué)是脫離具體事物的抽象理論，它只研究事物的數(shù)量關(guān)系和空間形式，從量的角度把握事物的本質(zhì)，揭示客觀世界的基本規(guī)律。而這正是理性精神的核心。

數(shù)學(xué)的這種理性精神，代表著人類思想的最高境界，是培養(yǎng)學(xué)生和一般人理性精神的源泉。人有了這種理性精神，就能夠在遇到｜引題時(shí)“數(shù)學(xué)地思考”，實(shí)事求是，抓住問題的本質(zhì)科學(xué)地解決。 特別是在人們通過這些訓(xùn)練后，能夠養(yǎng)成一種“理性精神”：待人接物時(shí)，能心平氣和，沉著冷靜，以理服人；說話辦事時(shí)，能條理分明，簡(jiǎn)明扼要，能從全局考慮，分清輕重緩急，按程序辦事；解決問題時(shí)，能抓住本質(zhì)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，如果條件不成熟，則努力創(chuàng)造條件，達(dá)到事半功倍的效果；遇到困難時(shí)，能堅(jiān)忍不拔，想盡一切辦法克服困難。

實(shí)事求是，求實(shí)求真，勇于創(chuàng)新，勇于面對(duì)困難，堅(jiān)韌執(zhí)著，數(shù)學(xué)教育中的這些學(xué)習(xí)過程對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的非智力因素具有非常重要的作用，也就是我們常說的素質(zhì)教育，這是其他學(xué)科教育所無(wú)法比擬的，它不可避免地影響到每一個(gè)受教育者的思想和品格。

數(shù)學(xué)研究發(fā)明了抽象化、形式化、公理化的研究方法，這些是人類最重要的科學(xué)研究方法。所謂“數(shù)學(xué)化”，主要指如何運(yùn)用數(shù)學(xué)的概念、符號(hào)等去表現(xiàn)事物對(duì)象及其關(guān)系，即我們應(yīng)當(dāng)善于從數(shù)學(xué)的角度去觀察世界，分析研究各種事物和現(xiàn)象，解決問題。著名教育家佛賴登指出，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，不如說是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)化。

數(shù)學(xué)教育的科技語(yǔ)言教育價(jià)值體現(xiàn)在數(shù)學(xué)的語(yǔ)言觀，即認(rèn)為數(shù)學(xué)事實(shí)上是為科學(xué)的認(rèn)識(shí)活動(dòng)提供了必要的語(yǔ)言，也即必要的概念框架。愛因斯坦曾指出，“人們總想以最適當(dāng)?shù)姆绞絹懋嫵鲆环?jiǎn)化的和易領(lǐng)悟的世界圖像，于是他就試圖用他的這種世界體系來代替經(jīng)驗(yàn)的世界，并來征服它。理論物理學(xué)家的世界圖像在所有這些可能的圖像中占有什么地位呢？它在描述各種關(guān)系時(shí)要求盡可能達(dá)到最高標(biāo)準(zhǔn)的嚴(yán)格精確性，這樣的標(biāo)準(zhǔn)只有用數(shù)學(xué)語(yǔ)言才能達(dá)到。

數(shù)學(xué)不僅揭示了客觀世界的量性規(guī)律，而且由于數(shù)學(xué)的語(yǔ)言功能，從而對(duì)于人類的認(rèn)識(shí)活動(dòng)和實(shí)踐活動(dòng)具有重要意義。正如龐加萊所指出的，“沒有這種語(yǔ)言，事物的大多數(shù)密切的類似對(duì)我們來說將會(huì)是永遠(yuǎn)的未知。而且，我們將永遠(yuǎn)不了解世界內(nèi)部的和諧。”從而，從這樣的角度分析，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)也就可以被看成是一種語(yǔ)言的學(xué)習(xí)，而數(shù)學(xué)教學(xué)也就如斯托尼亞爾指出的——“就是數(shù)學(xué)語(yǔ)言的教學(xué)”。

數(shù)學(xué)教育具有重要的科學(xué)美育功能。數(shù)學(xué)的對(duì)稱美、簡(jiǎn)潔美、統(tǒng)一美、奇異美等都體現(xiàn)了科學(xué)的抽象美。科學(xué)研究的一個(gè)重要標(biāo)準(zhǔn)是美學(xué)的標(biāo)準(zhǔn)。例如，對(duì)于相對(duì)論的普遍承認(rèn)，一個(gè)重要原因就在于它所具有的數(shù)學(xué)美。在數(shù)學(xué)教青過程中，我們應(yīng)注意做到數(shù)學(xué)美育與知識(shí)教育的最佳結(jié)合。 數(shù)學(xué)教育具有的方法論價(jià)值首先體現(xiàn)在“問題解決”上?！皢栴}解決”是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)研究活動(dòng)的一個(gè)基本形式。因此，這也就為人們學(xué)習(xí)解題策略和解題思想方法提供了一條有放的途徑。其次，由于現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展的特點(diǎn)已經(jīng)由具有明顯直觀背景的量化模式擴(kuò)展到了可能的量化模式，從而數(shù)學(xué)為人類的創(chuàng)造性的充分發(fā)揮提供了最為理想的場(chǎng)所。事實(shí)上，由于現(xiàn)代數(shù)學(xué)包括了對(duì)研究對(duì)象的重新“建構(gòu)”，“一般化”、“特殊化”、“公理化”等數(shù)學(xué)方法為創(chuàng)造新的數(shù)學(xué)模式提供了最為重要的方法。

而所有這一切都說明，由于數(shù)學(xué)研究方法的特殊性，就對(duì)人類創(chuàng)造性才能的訓(xùn)練和發(fā)揮具有特別重要的意義。日本著名數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家米山國(guó)藏先生曾指出，人類具有發(fā)明發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)意創(chuàng)新的能力，而要啟發(fā)人類獨(dú)有的這種最高貴的性能，莫過于妥善利用數(shù)學(xué)教育。

我們常說到智慧或靈感，而數(shù)學(xué)智慧或靈感，是指在數(shù)學(xué)活動(dòng)——實(shí)際問題的數(shù)學(xué)解決中表現(xiàn)出來的智慧與靈感。由于數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)，是人們特別是青少年思維的“體操”，所以數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，是提高人們思維能力，激發(fā)靈感思維，培養(yǎng)智慧的重要途徑。一般來說，在解決數(shù)學(xué)難題時(shí)，要綜合運(yùn)用多方面的知識(shí)，采用各種方法和手段，探索解決問題的多種途徑，進(jìn)行艱苦的、長(zhǎng)期的、緊張的思維和動(dòng)手試驗(yàn)過程。這樣才有可能出現(xiàn)靈感，產(chǎn)生創(chuàng)造性的智慧。

前面我們講過晗密爾頓在解決四元數(shù)問題、懷爾斯在解決費(fèi)馬大定理時(shí)經(jīng)過長(zhǎng)期的艱苦探索，最終突然豁然開朗，獲得解決問題的靈感或智慧。所以靈感不是天生的，而是在經(jīng)過長(zhǎng)期的訓(xùn)練與對(duì)問題的深入思考中產(chǎn)生的智慧火花。

再如：中國(guó)古代數(shù)學(xué)家祖沖之巧測(cè)冬至點(diǎn)，劉徽的牟合方蓋創(chuàng)造；古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德解決數(shù)學(xué)問題的力學(xué)方法，歐幾里得的公理化方法；近代數(shù)學(xué)家歐拉“圖”解哥尼斯堡的“七橋問題”；晗代用統(tǒng)計(jì)方法解決困惑人們的“色盲遺傳”難題；等等。

歷史是一面鏡子。數(shù)學(xué)智慧的這些精彩事例，雖然不能重復(fù)，不能模仿，但是，卻可以給后人以極大的啟示。我們?cè)趯W(xué)習(xí)過程中，要借鑒古人和前人的經(jīng)驗(yàn)。對(duì)于科學(xué)史上運(yùn)用智慧解決難題的成功之例，我們要仔細(xì)思考，悉心體會(huì)這些偉大的數(shù)學(xué)家解決問題的思想和方法、活用知識(shí)的竅門，學(xué)習(xí)他們模而不舍的精神，攻克難關(guān)的勇氣和實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度，以及他們不圄于前人成法、獨(dú)辟蹊徑的創(chuàng)造精神，從而激發(fā)和提高我們創(chuàng)新思維的意識(shí)和能力，增長(zhǎng)解決問題的勇氣和能力。這對(duì)于我們都有重要的啟智作用。

與其他學(xué)科中的問題相比，數(shù)學(xué)中的難題最多，所以最具有吸引力。正因?yàn)槿绱耍跀?shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究中激發(fā)人們靈感思維的機(jī)會(huì)也就最多。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，運(yùn)用數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法來解決問題，特別是那些困難問題的數(shù)學(xué)解決，是人們?cè)鲩L(zhǎng)智慧的最好、最為簡(jiǎn)便、最為有效的方法。

數(shù)學(xué)教育的應(yīng)用價(jià)值不僅僅是指數(shù)學(xué)具有重要的應(yīng)用性，更重要的是如上所指的數(shù)學(xué)對(duì)于人的發(fā)展具有的重要意義。而且，也如下所述，數(shù)學(xué)的文化價(jià)值突出地表現(xiàn)在它對(duì)人類理性精神的發(fā)展有著十分重要的影響，它使人們相信世界是有規(guī)律的（合乎理性的），并可（借助于數(shù)學(xué)工具）得到認(rèn)識(shí)。進(jìn)一步地，數(shù)學(xué)理性還表現(xiàn)在對(duì)于感性經(jīng)驗(yàn)的超脫，而借助于理論思維達(dá)到對(duì)于事物本質(zhì)更為深刻的認(rèn)識(shí)。

上面我們所說的“問題解決”，除了純粹數(shù)學(xué)問題求解以外，更重要的是指實(shí)際問題一一社會(huì)生產(chǎn)和生活中現(xiàn)實(shí)問題的解決。這些實(shí)際問題原本不是數(shù)學(xué)問題，要用數(shù)學(xué)觀點(diǎn)和數(shù)學(xué)方法來解決它們，首先就要將其數(shù)學(xué)化，使之轉(zhuǎn)化為一個(gè)數(shù)學(xué)問題。這就是人們常說的“數(shù)學(xué)建?！?。

從結(jié)繩記事到數(shù)的位值制，從經(jīng)驗(yàn)數(shù)學(xué)到演繹數(shù)學(xué)，從歐氏幾何到各種非歐幾何，從普通幾何到解析幾何，從微積分的創(chuàng)立到分析數(shù)學(xué)理論的嚴(yán)密化，從賭博問題的提出到概率論的建立，從集合論的誕生到電子計(jì)算機(jī)的發(fā)明，如此等等，無(wú)不體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的創(chuàng)新。而重溫這些創(chuàng)新過程，無(wú)不對(duì)我們的創(chuàng)新思維產(chǎn)生極大的啟迪。

下面我們不妨再以數(shù)學(xué)中“幾何”概念的發(fā)展來說明一下數(shù)學(xué)創(chuàng)新與對(duì)我們的啟迪。眾所周知，在歐幾里得《幾何原本》寫出之后，人們都認(rèn)為其所描寫的幾何理論與現(xiàn)實(shí)空間是那樣地吻合，因此，在兩千多年中大家都一直把歐幾里得幾何看做是絕對(duì)真理，以至于人們把現(xiàn)實(shí)空間直呼為“歐幾里得空間”。但是，高斯、鮑耶、羅巴切夫斯基等提出了“非歐幾何”；之后，黎曼又提出一種“橢圓幾何”；

再后，高斯與黎曼提出“曲面幾何”的概念：任何一張曲面都對(duì)應(yīng)一種幾何，而歐氏幾何與非歐幾何，都不過是曲面幾何的特例，它們所對(duì)應(yīng)的曲面的曲率都是常數(shù)。歐氏幾何所對(duì)應(yīng)的是平面（曲率是1），羅氏幾何所對(duì)應(yīng)的曲面的曲率為小于1的常數(shù)，黎曼幾何所對(duì)應(yīng)的曲面的曲率為大于1的常數(shù)。于是，歐氏幾何和非歐幾何在曲面幾何的意義下又統(tǒng)一起來了。

1899年，德國(guó)數(shù)學(xué)家希爾伯特的《幾何基礎(chǔ)》出版。他從修改歐幾里得幾何的公理體系人手，提出由五組20個(gè)公理組成的公理體系，使歐幾里得幾何的公理體系達(dá)到了非常完善的地步。原來，一組公理就對(duì)應(yīng)一種幾何學(xué)，歐幾里得幾何和非歐幾何不同，就是因?yàn)樗鼈儗?duì)應(yīng)的公理體系不同。幾何中的基本元素一一點(diǎn)、線、面，不再需要對(duì)應(yīng)現(xiàn)實(shí)世界中的實(shí)體，它們是抽象的，可以是任何一個(gè)集合中的元素；公理，則是關(guān)于集合的元素之間的某些關(guān)系的規(guī)定；公理組之間，則要符合相容性和獨(dú)立性原則就可以了。于是，可以這樣來構(gòu)建幾何學(xué)：先選定一個(gè)非空集合V，在其元素之間規(guī)定一組符合要求的公理，也可以定義一些運(yùn)算，并由此推導(dǎo)出來一些命題，合起來就構(gòu)建出一種幾何學(xué)。而這種構(gòu)建了元素關(guān)系的集合，就可以稱之為“空間”------抽象空間。這樣一來，人們關(guān)于“空間”的觀念就大大地?cái)U(kuò)展了，從現(xiàn)實(shí)空間擴(kuò)展到抽象空間，倒底打破了人們幾千年來關(guān)于“空間”的傳統(tǒng)觀念，使人們的眼界大為擴(kuò)展，極大地促進(jìn)了人們的思維轉(zhuǎn)化。 鑒于以上認(rèn)識(shí)，我們?cè)跀?shù)學(xué)教青上積極探索“融數(shù)學(xué)理論、數(shù)學(xué)建模與應(yīng)用、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)、數(shù)學(xué)文化教育于一體的創(chuàng)新教育課程模式”取得了比較好的教學(xué)效果。主要做法是：

1.數(shù)學(xué)課程教學(xué)模式

傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教育重理論輕應(yīng)用、重計(jì)算技巧輕科學(xué)計(jì)算、重模仿輕創(chuàng)造、重知識(shí)輕素質(zhì)，使得數(shù)學(xué)教育不盡如人意。我們?cè)趯W(xué)習(xí)與借鑒國(guó)內(nèi)外數(shù)學(xué)教青成功經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，把數(shù)學(xué)理論、數(shù)學(xué)建模與應(yīng)用、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)、數(shù)學(xué)文化教青融為一個(gè)有機(jī)的整體，并在教學(xué)中互相滲透、互為支撐，取得了較好的效果。13.4.3數(shù)學(xué)創(chuàng)新教學(xué)模式的實(shí)踐探索

問題是數(shù)學(xué)的靈魂?？上У氖墙?jīng)過多年的“精心”選編，多數(shù)數(shù)學(xué)教材成為一個(gè)“概念、定理、例題、習(xí)題”的知識(shí)集合，而很難看到知識(shí)來源背景，即使有一些應(yīng)用問題，也是數(shù)學(xué)知識(shí)的簡(jiǎn)單模仿。

教學(xué)中，我們首先以問題為龍頭并結(jié)合數(shù)學(xué)建模進(jìn)行教學(xué)內(nèi)容的重組。我們采用問題情景發(fā)現(xiàn)式教學(xué)法，在教學(xué)過程中首先提出問題，分析解決問題可能應(yīng)用的數(shù)學(xué)方法，然后與學(xué)生一起重復(fù)知識(shí)的發(fā)現(xiàn)過程，建立相應(yīng)的模型或探討處理問題的方法。

其次，對(duì)于數(shù)學(xué)定理的證明，凡是涉及比較重要方法理論的，我們一定要花力氣把它講清楚，讓學(xué)生明白其中的道理，掌握其方法。對(duì)于一般的定理，我們經(jīng)常采用證明提要的方法進(jìn)行教學(xué)，并當(dāng)做作業(yè)要求學(xué)生把證明補(bǔ)充完整，以提高學(xué)生的能力。

隨著現(xiàn)代科學(xué)計(jì)算軟件的大量使用，傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教育中的許多計(jì)算技巧失去了教育意義，代之而起的是數(shù)學(xué)的科學(xué)計(jì)算方法與實(shí)驗(yàn)。所以，我們?cè)诮虒W(xué)中增加了科學(xué)計(jì)算的內(nèi)容與相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)，取得了積極的教學(xué)效果。

教學(xué)中，我們結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)穿插介紹數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)家的經(jīng)歷、數(shù)學(xué)的創(chuàng)造與發(fā)現(xiàn)過程、數(shù)學(xué)的方法意義、中西方數(shù)學(xué)文化的對(duì)比等，起到了很好的文化教育作用。

2.數(shù)學(xué)教學(xué)方法

首先，采用問題情景發(fā)現(xiàn)式教學(xué)法。所謂問題情景發(fā)現(xiàn)式教學(xué)法，就是在重復(fù)知識(shí)的發(fā)現(xiàn)過程中重溫?cái)?shù)學(xué)的創(chuàng)造與發(fā)現(xiàn)過程，并從中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維。創(chuàng)新思維包括的形式很多，結(jié)合數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容，我們?cè)诮虒W(xué)中主要注意了以下幾個(gè)方面：

①歸納思維訓(xùn)練。數(shù)學(xué)中許多重要的概念及推理過程都用到了歸納思維。教學(xué)中我們?cè)谝鲋匾拍钪?，都要列舉大量實(shí)際問題，最后再與學(xué)生一起歸納抽象出相關(guān)的概念，給出數(shù)學(xué)上嚴(yán)格的定義。這對(duì)學(xué)生正確理解這些基本概念，認(rèn)識(shí)它的內(nèi)涵和外延，提高能力非常有效。

②類比思維訓(xùn)練。我們?cè)诮虒W(xué)中注意引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行類比，例如，把空間解析幾何有關(guān)問題與平面解析幾何有關(guān)問題類比，把多元函數(shù)的積分與定積分類比，把格林公式、高斯公式、斯托克斯公式與牛頓萊布尼茨公式類比，把復(fù)變量函數(shù)與實(shí)變量函數(shù)類比等，不僅復(fù)習(xí)了原有的知識(shí)，而且教會(huì)學(xué)生運(yùn)用類比去編織一條發(fā)現(xiàn)新知識(shí)的路子，同時(shí)強(qiáng)調(diào)新舊知識(shí)的不同點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生善于聯(lián)想與類比、由此及彼的創(chuàng)新能力。

③發(fā)散思維訓(xùn)練。教學(xué)中我們經(jīng)常使用“一題多解”“一題多變”等方式引導(dǎo)學(xué)生發(fā)散式地思考問題，并要求學(xué)生運(yùn)用這種方法解決一些課后習(xí)題。這樣不僅倡導(dǎo)了學(xué)生養(yǎng)成發(fā)散思維的習(xí)慣，而且也使他們的發(fā)散思維能力得到培養(yǎng)和訓(xùn)練。

④逆向思維。在教學(xué)中，我們經(jīng)常預(yù)先設(shè)計(jì)一些問題對(duì)學(xué)生進(jìn)行逆向思維的訓(xùn)練，這樣不僅有助于對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握，而且從中培養(yǎng)了學(xué)生思維的批判性。

其次，采用討論式習(xí)題課教學(xué)法。對(duì)理論性比較強(qiáng)，需要深刻理解的內(nèi)容，單純依靠課堂教學(xué)、課后作業(yè)及習(xí)題課難以達(dá)到教學(xué)要求。因此，有針對(duì)性地安排一定學(xué)時(shí)的討論課，把教學(xué)中的部分問題交給學(xué)生自己研究，并在習(xí)題課中討論與交流。每次討論課教師都要精心設(shè)計(jì)，其中包括：提前選擇適當(dāng)?shù)挠懻搩?nèi)容；擬定有分量、具有啟發(fā)性和代表性、有一定難度的討論題目：學(xué)生認(rèn)真準(zhǔn)備并分組討論以及課堂討論、教師總結(jié)。通過討論，學(xué)生不僅加深了對(duì)抽象數(shù)學(xué)理論的理解，同時(shí)極大地激發(fā)起他們的求知、創(chuàng)新欲望。

第三，單元小結(jié)復(fù)習(xí)教學(xué)法，堅(jiān)持在每一章教學(xué)之后讓學(xué)生就知識(shí)、方法、問題進(jìn)行歸納與總結(jié)，并寫出學(xué)習(xí)體會(huì)。這樣，既及時(shí)復(fù)習(xí)了知識(shí)，又使學(xué)生對(duì)提出問題與解決問題的方法進(jìn)行了系統(tǒng)的整理，提高了其數(shù)學(xué)能力，還提高了學(xué)生的自學(xué)能力。

第四，增設(shè)數(shù)學(xué)建模的“大作業(yè)”，給學(xué)生布置一些涉及知識(shí)面廣，需要查閱大量資料并深入鉆研才能解決的題目，或者由學(xué)生自己提出一些問題進(jìn)行研究、討論，建立模型、上機(jī)實(shí)驗(yàn)解決問題，寫出小論文等，提高學(xué)生解決問題的能力和創(chuàng)新能力。

第五，現(xiàn)代應(yīng)用數(shù)學(xué)軟件的學(xué)習(xí)與使用，讓學(xué)生在實(shí)驗(yàn)中進(jìn)行討論、分析。這不僅讓學(xué)生學(xué)到了應(yīng)用現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)解決數(shù)學(xué)問題的方法，而且在實(shí)驗(yàn)中同學(xué)們團(tuán)結(jié)互助、互相學(xué)習(xí)，提高了興趣，克服了部分同學(xué)對(duì)數(shù)學(xué)的畏懼情緒。

實(shí)踐證明，創(chuàng)新教育是可行的，能夠極大地提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，發(fā)展學(xué)生的智力，提高他們分析與解決問題的能力。

對(duì)于今天的生物學(xué)者，數(shù)學(xué)的價(jià)值應(yīng)該體現(xiàn)在“模型化”方面。通過模型的構(gòu)建，那些看上去雜亂無(wú)章的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)將被整理成有序可循的數(shù)學(xué)問題，所要研究的問題的本質(zhì)將被清晰地揭示出來。研究者的實(shí)驗(yàn)不再是一種隨意探索，而是通過“假設(shè)驅(qū)動(dòng)”的理性實(shí)驗(yàn)。13.5.1理解生命的新工具——數(shù)學(xué)模型13.5

數(shù)學(xué)與生物科學(xué) 以人類發(fā)現(xiàn)的第一個(gè)腫瘤抑制基因P53來說，直接與P53相互作用的蛋白質(zhì)就已多達(dá)數(shù)十種，新的相互作用的蛋白質(zhì)還在不斷發(fā)現(xiàn)中，現(xiàn)在人們看到的P53已經(jīng)是一個(gè)相當(dāng)復(fù)雜的調(diào)控網(wǎng)絡(luò)。顯然，如果沒有數(shù)學(xué)模型的幫助，要理解和分析P53的功能將不是一件容易的事。如今，發(fā)現(xiàn)P53的生物學(xué)家之一萊文爾和數(shù)學(xué)家一起，已建立了一個(gè)解釋P53的調(diào)控線路的數(shù)學(xué)模型。

其實(shí)，數(shù)學(xué)不僅能幫助人們從已有的生物實(shí)驗(yàn)和數(shù)據(jù)中抽象出模型和進(jìn)行解釋，它還可以用于設(shè)計(jì)和構(gòu)建生物學(xué)模型，也許這些生物學(xué)模型在自然狀態(tài)下是根本不存在的。在21世紀(jì)初，美國(guó)普林斯頓大學(xué)的科學(xué)家設(shè)計(jì)了一個(gè)自然界不存在的控制基因的表達(dá)網(wǎng)絡(luò)。與此同時(shí)，波士頓大學(xué)的生物學(xué)家也進(jìn)行著類似的工作。這兩項(xiàng)工作共同的特點(diǎn)是應(yīng)用了某種微分方程進(jìn)行推導(dǎo)和設(shè)計(jì)，然后再根據(jù)其設(shè)計(jì)去進(jìn)行生物學(xué)實(shí)驗(yàn)。這種網(wǎng)絡(luò)的理性設(shè)計(jì)，可以導(dǎo)致新型的細(xì)胞工程和促進(jìn)人們對(duì)自然界存在的調(diào)控網(wǎng)絡(luò)的理解。

DNA和蛋白質(zhì)是兩類最重要的生物大分子，它們通常都是由眾多的基本元件（堿基、氨基酸）相互連接而成的長(zhǎng)鏈分子。但是，它們的空間形狀并非是一條平直的線條，而是一個(gè)規(guī)則的“螺旋管”。盡管在20世紀(jì)中葉，人們就發(fā)現(xiàn)了DNA雙螺旋和蛋白質(zhì)X螺旋結(jié)構(gòu)，但為什么大自然要選擇螺旋作為這些生物分子的結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)呢？當(dāng)美國(guó)和意大利的一組科學(xué)家利用離散幾何的方法，研究了致密線條的“最大包裝”問題后，得到答案：“在一個(gè)體積一定的容器里，能夠容納的最長(zhǎng)線條的形狀是螺旋形，而天然形成的蛋白質(zhì)正是這樣的幾何形狀?！?3.5.2DNA螺旋的數(shù)學(xué)解釋

顯然，由此能夠窺見生命選擇螺旋作為空間結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)原因：在最小空間內(nèi)容納最長(zhǎng)的分子。生物大分子的包裝是生命的一個(gè)必要過程。由于作為遺傳物質(zhì)載體的DNA，其線性長(zhǎng)度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于容納它的細(xì)胞核的直徑。因此，通常都要對(duì)DNA鏈進(jìn)行多次的折疊和包扎，使長(zhǎng)約5厘米的DNA雙螺旋鏈變成大約5微米的致密的染色體。由此可以認(rèn)為，生命遵循“最大包裝”的數(shù)學(xué)原理來構(gòu)造自己的生物大分子。細(xì)胞是生命的基本組成單元和功能單元，而細(xì)胞分裂是細(xì)胞最基本和最重要的活動(dòng)，完成一次細(xì)胞分裂稱為一個(gè)細(xì)胞周期。不同的細(xì)胞周期的長(zhǎng)短是不一樣的，有著嚴(yán)格的調(diào)控，而這個(gè)調(diào)控是通過數(shù)量控制實(shí)現(xiàn)