直線與圓錐曲線的位置關(guān)系(1)教學(xué)設(shè)計(jì)-高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

課題第39課時(shí)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系1課型新授課一、教材內(nèi)容及其解析1.內(nèi)容類(lèi)比直線與圓的關(guān)系，探究直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，圓錐曲線的弦長(zhǎng)問(wèn)題，與雙曲線有關(guān)的中點(diǎn)弦問(wèn)題，與拋物線有關(guān)的最值問(wèn)題.2.內(nèi)容解析直線與圓錐曲線的位置關(guān)系是圓錐曲線知識(shí)應(yīng)用的重點(diǎn)內(nèi)容，本節(jié)課是學(xué)生在學(xué)習(xí)了直線與圓的位置關(guān)系，圓錐曲線的方程和簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，讓學(xué)生感悟數(shù)形結(jié)合及方程思想的運(yùn)用.學(xué)生可以類(lèi)比直線與圓的三種位置關(guān)系的探究過(guò)程，學(xué)習(xí)從代數(shù)的角度歸納直線與圓錐曲線位置關(guān)系.弦長(zhǎng)公式的推導(dǎo)使用了兩點(diǎn)間距離公式，從公式本身可以發(fā)現(xiàn)弦長(zhǎng)與交點(diǎn)的確定坐標(biāo)無(wú)關(guān)，因此可以大大簡(jiǎn)化計(jì)算.中點(diǎn)弦問(wèn)題考查的內(nèi)容較為綜合，點(diǎn)差法是學(xué)生需重點(diǎn)掌握的方法.與弦長(zhǎng)有關(guān)的問(wèn)題，從不同的角度體現(xiàn)了根的判別式、根與系數(shù)關(guān)系、點(diǎn)差法等知識(shí)在判斷位置關(guān)系中的作用.坐標(biāo)法作為連接“形”與“數(shù)”的橋梁，集中地體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，這種思想貫穿了整個(gè)“圓錐曲線的方程”一章，是學(xué)生應(yīng)重點(diǎn)掌握的基本數(shù)學(xué)方法.通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí)，學(xué)生可以鞏固前面所學(xué)的圓錐曲線的性質(zhì)以及直線的基本知識(shí)，從而培養(yǎng)邏輯思維能力、運(yùn)算能力、分析和解決問(wèn)題的能力等.知識(shí)的上下位關(guān)系：育人價(jià)值：類(lèi)比直線與圓的位置關(guān)系，學(xué)習(xí)直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判斷方法，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律、尋求方法、總結(jié)結(jié)論的思維路線，增強(qiáng)學(xué)生的概括能力.經(jīng)歷弦長(zhǎng)公式，中點(diǎn)弦問(wèn)題的研究過(guò)程，進(jìn)一步體會(huì)坐標(biāo)法的基本步驟，數(shù)形結(jié)合思想，方程思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想的運(yùn)用，發(fā)展學(xué)生直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).教學(xué)重點(diǎn)：直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判斷，弦長(zhǎng)公式，中點(diǎn)弦問(wèn)題中利用點(diǎn)差法求直線斜率.二、教學(xué)目標(biāo)及其解析目標(biāo)目標(biāo)解析掌握直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判斷方法，掌握求弦長(zhǎng)的兩種方法，理解弦長(zhǎng)公式的推導(dǎo)過(guò)程會(huì)聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，根據(jù)判別式的情況求交點(diǎn)個(gè)數(shù)，判斷位置關(guān)系；會(huì)比較雙曲線漸近線的斜率和直線斜率，判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)及交點(diǎn)位置.能解方程求出交點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間距離公式求弦長(zhǎng)；能利用根與系數(shù)關(guān)系求出兩根之和，兩根之積，直接使用弦長(zhǎng)公式掌握利用“點(diǎn)差法”解決中點(diǎn)弦問(wèn)題的步驟能聯(lián)立直線與圓錐曲線，利用根與系數(shù)關(guān)系和中點(diǎn)坐標(biāo)求直線斜率；學(xué)會(huì)使用“點(diǎn)差法”，利用交點(diǎn)在曲線上，滿足曲線方程，作差構(gòu)造出中點(diǎn)坐標(biāo)與斜率的關(guān)系，進(jìn)一步體會(huì)“坐標(biāo)法”研究平面解析幾何問(wèn)題掌握直線與拋物線相離時(shí)的最值問(wèn)題會(huì)平移已知直線到與拋物線相切的位置，轉(zhuǎn)化為求兩直線間距離三、教學(xué)問(wèn)題診斷分析1.學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)從學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)看，學(xué)生已學(xué)過(guò)直線和圓的方程，掌握了位置關(guān)系的判斷方法，學(xué)習(xí)了圓錐曲線的方程及簡(jiǎn)單性質(zhì)，并且對(duì)它們的圖像特征也有所了解，但還不能做到熟練綜合運(yùn)用圓錐曲線方程的性質(zhì)解決相關(guān)問(wèn)題.已經(jīng)學(xué)習(xí)了使用“坐標(biāo)法”解決平面解析幾何的步驟，兩點(diǎn)間距離公式，也反復(fù)使用了根與系數(shù)的關(guān)系解決一些綜合性問(wèn)題，積累了一些研究問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)，在一定程度上具備了抽象、概括能力和語(yǔ)言轉(zhuǎn)換能力.2.教學(xué)存在問(wèn)題雙曲線和拋物線由于圖形不是封閉的，學(xué)生容易完全借鑒直線與圓的位置關(guān)系，認(rèn)為有一個(gè)交點(diǎn)就是相切.直線斜率與雙曲線漸近線斜率的關(guān)系對(duì)交點(diǎn)個(gè)數(shù)的影響，學(xué)生容易討論不完全或斜率范圍取錯(cuò).中點(diǎn)弦問(wèn)題中，學(xué)生在已知信息中只能發(fā)現(xiàn)中點(diǎn)坐標(biāo)與斜率的一部分關(guān)系，難以建立它們之間的聯(lián)系.3.問(wèn)題解決策略通過(guò)改變直線斜率，直觀感受它對(duì)直線與雙曲線位置關(guān)系的影響；中點(diǎn)弦的問(wèn)題中，設(shè)置層層遞進(jìn)的問(wèn)題串，帶領(lǐng)學(xué)生挖掘題目中的隱含信息，發(fā)現(xiàn)交點(diǎn)、中點(diǎn)、斜率彼此之間的關(guān)系.4.教學(xué)難點(diǎn)點(diǎn)差法求中點(diǎn)弦問(wèn)題，體會(huì)直線斜率和中點(diǎn)坐標(biāo)的內(nèi)在聯(lián)系.四、教學(xué)支持條件分析使用GGB軟件作圖，展示直線斜率對(duì)交點(diǎn)個(gè)數(shù)的影響五、課堂活動(dòng)設(shè)計(jì)【本課時(shí)教學(xué)流程圖】類(lèi)比直線與圓的位置關(guān)系從數(shù)類(lèi)比直線與圓的位置關(guān)系從數(shù)和形的角度探究直線與雙曲線的位置關(guān)系探究求弦長(zhǎng)的兩種方法探究中點(diǎn)弦問(wèn)題，體會(huì)“點(diǎn)差法”探究拋物線的最值問(wèn)題【一】復(fù)習(xí)回顧【引言】前面我們學(xué)習(xí)了直線的方程、圓的方程，并且探討直線與直線、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系的問(wèn)題，那么判斷直線與圓的位置關(guān)系的方法有什么？【教師引導(dǎo)，學(xué)生回憶】生：幾何法，利用圓心到直線的距離d與圓的半徑r之間的關(guān)系.生：代數(shù)法，將直線方程與圓方程聯(lián)立，通過(guò)判別式化為方程組的解的問(wèn)題.生：利用幾何性質(zhì)，當(dāng)直線過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)在圓的內(nèi)部，此時(shí)直線與圓一定相交.請(qǐng)你回憶并補(bǔ)充下表：位置關(guān)系公共點(diǎn)個(gè)數(shù)圖形判斷方法（幾何）判斷方法（代數(shù)）相交2相切1相離0師：在初中，我們判斷直線與圓的位置關(guān)系是看公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)，這種判定是直觀地定性描述，當(dāng)直線與圓無(wú)限接近時(shí)，從圖形上我們無(wú)法判斷，因此我們無(wú)法做到嚴(yán)格地定量刻畫(huà).現(xiàn)在我們應(yīng)用了方程思想和數(shù)形結(jié)合的思想通過(guò)判別式的情況來(lái)判斷直線與圓的位置關(guān)系，它們是否可以推廣應(yīng)用到直線與圓錐曲線的位置關(guān)系中，我們繼續(xù)來(lái)研究下面的例題.設(shè)計(jì)意圖：設(shè)計(jì)意圖：復(fù)習(xí)判斷直線與圓的位置關(guān)系的方法，再一次明確位置關(guān)系可以從幾何和代數(shù)兩個(gè)角度判斷，提出直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判定問(wèn)題.直線與圓錐曲線也有相應(yīng)的位置關(guān)系，是不是一樣可以從數(shù)和形的角度來(lái)判斷呢？來(lái)看下面的例題.【二】例題導(dǎo)學(xué)任務(wù)一：探究直線與圓錐曲線的位置關(guān)系【例1】判斷雙曲線與過(guò)其右焦點(diǎn)，傾斜角為的直線的位置關(guān)系.問(wèn)題1：如何判斷二者的位置關(guān)系，說(shuō)說(shuō)你的想法.師：如果此時(shí)直線的斜率是，你有什么發(fā)現(xiàn)？生：直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn).師：前面我們知道了，與雙曲線漸近線平行的直線和雙曲線只交與一點(diǎn).若此時(shí)直線的傾斜角變?yōu)椋甭蕿?，你能從圖形上說(shuō)說(shuō)這一變化嗎？生：直線傾斜角變小，又經(jīng)過(guò)右焦點(diǎn)，所以與雙曲線左右兩支各交于1點(diǎn).追問(wèn)1：當(dāng)直線仍過(guò)右焦點(diǎn)，請(qǐng)你結(jié)合圖像，討論直線斜率與交點(diǎn)個(gè)數(shù)的關(guān)系？（GGB演示）2個(gè)交點(diǎn)：當(dāng)時(shí)，與右支雙曲線有2交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，與兩支各有1交點(diǎn)；②1個(gè)交點(diǎn)：當(dāng)時(shí)；追問(wèn)2：除了圖形這一角度，從代數(shù)上你能驗(yàn)證這樣的位置關(guān)系嗎？生：類(lèi)似與直線與圓，將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，轉(zhuǎn)化為通過(guò)判別式的情況來(lái)判斷方程組解的個(gè)數(shù).【學(xué)生自主解題，教師巡視】解：由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可知，雙曲線的焦點(diǎn)分別為，因?yàn)橹本€的傾斜角是，且直線經(jīng)過(guò)右焦點(diǎn)，所以直線的方程為由消去，得.判別式，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，可知原方程組有兩組不同的實(shí)數(shù)解，此時(shí)，直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn).思考：可以發(fā)現(xiàn)，所以與雙曲線左右兩支各交于一點(diǎn)，我們?cè)僖淮螐摹皵?shù)”的角度驗(yàn)證了這一位置關(guān)系.請(qǐng)你結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，總結(jié)交點(diǎn)位置的判斷方法.（預(yù)設(shè)）①，則與左右兩支各交于1點(diǎn)；②若，則與右支交于2點(diǎn)；③，則與左支交于2點(diǎn).設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生通過(guò)方程組的解與曲線交點(diǎn)的位置關(guān)系，加深對(duì)“點(diǎn)在曲線上”的充要條件是“點(diǎn)的坐標(biāo)滿足對(duì)應(yīng)的方程”這一認(rèn)識(shí)設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生通過(guò)方程組的解與曲線交點(diǎn)的位置關(guān)系，加深對(duì)“點(diǎn)在曲線上”的充要條件是“點(diǎn)的坐標(biāo)滿足對(duì)應(yīng)的方程”這一認(rèn)識(shí).基本步驟是聯(lián)立方程組，把直線方程帶入曲線方程，通過(guò)消元得到關(guān)于x或y的一元二次方程，將交點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化成判斷方程解的個(gè)數(shù).用具體的例子讓學(xué)生體會(huì)判斷直線與雙曲線有無(wú)公共點(diǎn)的一般方法.問(wèn)題2：若聯(lián)立消元后得到的方程中二次項(xiàng)系數(shù)為零，此時(shí)直線與雙曲線的位置關(guān)系如何？【學(xué)生根據(jù)一般方程，聯(lián)立整理】追問(wèn)1：當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)為零時(shí)，能得出什么結(jié)論？生：設(shè)直線方程為，雙曲線方程為，聯(lián)立消元得.當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)為0時(shí)，此時(shí).追問(wèn)2：這時(shí)直線的斜率會(huì)對(duì)位置關(guān)系產(chǎn)生什么影響？生：直線斜率與雙曲線漸近線的斜率相等，因此直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn).師：需要注意，直線與圓，直線與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)是相切的位置關(guān)系.當(dāng)直線與雙曲線漸近線平行時(shí)，有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)我們叫做直線與雙曲線相交.追問(wèn)3：你能說(shuō)說(shuō)判斷直線與圓錐曲線的位置關(guān)系一般方法嗎？需要特別注意什么？師生共同總結(jié)：判斷位置關(guān)系，既可以從代數(shù)角度：聯(lián)立方程組→判斷Δ與0的關(guān)系→公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)→直線與圓錐曲線的位置關(guān)系.特別需要注意，當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)為0時(shí)，直線與雙曲線的漸近線平行，直線與雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn).還可以數(shù)形結(jié)合，當(dāng)直線過(guò)定點(diǎn)時(shí)，根據(jù)定點(diǎn)位置和直線斜率和雙曲線漸近線斜率的大小關(guān)系確定其位置關(guān)系.課下思考題：探究直線與拋物線的位置關(guān)系.當(dāng)直線和圓錐曲線相交于兩點(diǎn)時(shí)，就有了弦，那么如何來(lái)求弦長(zhǎng)呢？任務(wù)二：探究弦長(zhǎng)公式,體會(huì)“設(shè)而不求”【例2】如圖，過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)，傾斜角為的直線交雙曲線兩點(diǎn)，求.問(wèn)題3：當(dāng)直線與雙曲線相交時(shí)，如何求兩點(diǎn)間的弦長(zhǎng)？【教師引導(dǎo)學(xué)生思考、交流，學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐】生：直接求出交點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間距離公式進(jìn)行求解.方法一：由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可知，雙曲線的焦點(diǎn)分別為，因?yàn)橹本€的傾斜角是，且直線經(jīng)過(guò)右焦點(diǎn)，所以直線的方程為由消去，得.解方程，得將的值分別帶入直線方程，得于是兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為所以設(shè)計(jì)意圖：設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)具體點(diǎn)的坐標(biāo)運(yùn)算，讓學(xué)生體會(huì)弦長(zhǎng)的本質(zhì)就是兩點(diǎn)間距離公式的變形.追問(wèn)：若設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)，觀察距離公式，你認(rèn)為求弦長(zhǎng)一定要求出交點(diǎn)確定的坐標(biāo)嗎？（預(yù)設(shè)）不一定非要求出交點(diǎn)坐標(biāo).根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，結(jié)果只與有關(guān)，而與交點(diǎn)確切的坐標(biāo)無(wú)關(guān).師：是方程根的關(guān)系，可以用根與系數(shù)關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化.而直線方程則給出了的關(guān)系.因此我們有弦長(zhǎng)公式（課下嘗試推導(dǎo)），請(qǐng)利用弦長(zhǎng)公式再次解決這個(gè)問(wèn)題.【教師引導(dǎo)學(xué)生思考，學(xué)生獨(dú)立做題，教師巡視給予個(gè)別指導(dǎo)】方法二：設(shè)，由消去，得.由韋達(dá)定理可知，根據(jù)弦長(zhǎng)公式，因此.師：方法二中我們?cè)O(shè)了兩點(diǎn)的坐標(biāo)，但是解題過(guò)程中并沒(méi)有實(shí)際求出，這種方法通常成為“設(shè)而不求”.當(dāng)兩交點(diǎn)坐標(biāo)不便求出時(shí)，可以使用弦長(zhǎng)公式，可以簡(jiǎn)化很多計(jì)算量.所以在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，希望同學(xué)們多注意觀察和思考，用最簡(jiǎn)便的方式解決問(wèn)題.與弦長(zhǎng)有關(guān)的還有這樣一種特殊形式，弦被某一點(diǎn)平分，這樣的弦一定存在嗎？我們來(lái)看看下面的例題.任務(wù)三：中點(diǎn)弦問(wèn)題，體會(huì)“點(diǎn)差法”【例3】已知雙曲線，求過(guò)點(diǎn)且被點(diǎn)平分的弦所在的直線方程.問(wèn)題4：分析題目，你能發(fā)現(xiàn)已知信息中隱含了哪些關(guān)系？（學(xué)生思考交流討論，教師引導(dǎo)）生：弦被點(diǎn)平分，可以用中點(diǎn)坐標(biāo)公式,生：弦所在的直線與雙曲線交于2點(diǎn).生：點(diǎn)在弦上，三點(diǎn)共線，直線的斜率可用點(diǎn)的坐標(biāo)表示.師：因此，①若設(shè)，則而是根與系數(shù)的關(guān)系.②直線與雙曲線聯(lián)立，.因而我們其實(shí)有了中點(diǎn)坐標(biāo)和交點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，根據(jù)這些關(guān)系請(qǐng)你試著從根于系數(shù)的角度去解決這道題目.（學(xué)生獨(dú)立完成，教師巡視指導(dǎo),之后請(qǐng)學(xué)生匯報(bào)解題步驟，教師板演）解法一（利用根與系數(shù)的關(guān)系）：由題意知直線的斜率存在，故可設(shè)直線方程為，即.由消去，整理得設(shè)，.為MN的中點(diǎn)，.當(dāng)時(shí)，滿足,符合題意.故所求直線方程為師：（若學(xué)生沒(méi)想到，教師適當(dāng)引導(dǎo)）③弦MN被點(diǎn)平分，所以三點(diǎn)共線，直線的斜率可用我們發(fā)現(xiàn)交點(diǎn)的坐標(biāo)既與中點(diǎn)坐標(biāo)有關(guān)，又與斜率有關(guān)，因此我們?cè)谥悬c(diǎn)坐標(biāo)和斜率之間找到了聯(lián)系.追問(wèn)：若設(shè)交點(diǎn)，能得出什么？將兩式作差，請(qǐng)你整理出與有關(guān)的式子，并說(shuō)說(shuō)你的發(fā)現(xiàn).生：，再次驗(yàn)證了斜率只與交點(diǎn)對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的和有關(guān)，即與中點(diǎn)坐標(biāo)有關(guān).請(qǐng)你試著從這一角度再次解決這道題.（學(xué)生小組合作解決，之后教師板演點(diǎn)差法的步驟）解法二（點(diǎn)差法）：設(shè)，均在雙曲線上，，兩式相減，得，經(jīng)驗(yàn)證，該直線存在.故所求直線方程為師：我們又一次發(fā)現(xiàn)，雖然設(shè)了交點(diǎn)坐標(biāo)，但并沒(méi)有解出它們，而是在它們與我們需要的直線斜率之間搭了一個(gè)橋梁，“設(shè)而不求”解決中點(diǎn)弦問(wèn)題.像這樣設(shè)直線與圓錐曲線的交點(diǎn)（弦的端點(diǎn)）坐標(biāo)，將這兩點(diǎn)帶入圓錐曲線方程并對(duì)所得兩式作差，得到一個(gè)與弦AB的中點(diǎn)和斜率有關(guān)的式子，可以大大減少運(yùn)算量，我們稱這種代點(diǎn)作差的方法為“點(diǎn)差法”.設(shè)計(jì)意圖：本題主要考查了直線與雙曲線的綜合問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是充分運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、方程和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想來(lái)解決較為復(fù)雜的綜合問(wèn)題.，在學(xué)生相互交流討論，師生的互動(dòng)交流中，感受點(diǎn)差法“設(shè)而不求”的巧妙，將弦所在直線的斜率，弦的中點(diǎn)坐標(biāo)聯(lián)系起來(lái)相互轉(zhuǎn)化，體會(huì)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，使學(xué)生綜合問(wèn)題的解決能力得到訓(xùn)練.設(shè)計(jì)意圖：本題主要考查了直線與雙曲線的綜合問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是充分運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、方程和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想來(lái)解決較為復(fù)雜的綜合問(wèn)題.，在學(xué)生相互交流討論，師生的互動(dòng)交流中，感受點(diǎn)差法“設(shè)而不求”的巧妙，將弦所在直線的斜率，弦的中點(diǎn)坐標(biāo)聯(lián)系起來(lái)相互轉(zhuǎn)化，體會(huì)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，使學(xué)生綜合問(wèn)題的解決能力得到訓(xùn)練.存在中點(diǎn)弦的區(qū)域：事實(shí)上，如圖，雙曲線和漸近線將平面直角坐標(biāo)系分成如下3個(gè)區(qū)域，若點(diǎn)M在區(qū)域①內(nèi)，不存在以該點(diǎn)為中點(diǎn)的弦；若點(diǎn)M在區(qū)域②或③，存在以該點(diǎn)為中點(diǎn)的弦.因此對(duì)本題而言，如圖，當(dāng)時(shí)，漸近線上，雙曲線上，因此點(diǎn)在雙曲線右支內(nèi)部，存在以M為中點(diǎn)的弦.思考題.已知雙曲線過(guò)點(diǎn)的直線l與雙曲線相交于A，B兩點(diǎn)，P能否是線段AB的中點(diǎn)？為什么？解:假設(shè)存在過(guò)點(diǎn)的直線l與雙曲線相交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn).設(shè)過(guò)的直線方程為，A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則①②得.由P為AB的中點(diǎn)，則則，即直線AB的方程為，即，代入雙曲線，可得檢驗(yàn)判別式，方程無(wú)解.故不存在過(guò)點(diǎn)的直線l與雙曲線相交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn).設(shè)計(jì)意圖：點(diǎn)差法來(lái)解決中點(diǎn)弦問(wèn)題時(shí)計(jì)算量較少，但有一個(gè)弊端，不能保證直線與圓錐曲線一定有兩個(gè)交點(diǎn)，因此需要用判別式加以檢驗(yàn).設(shè)計(jì)意圖：點(diǎn)差法來(lái)解決中點(diǎn)弦問(wèn)題時(shí)計(jì)算量較少，但有一個(gè)弊端，不能保證直線與圓錐曲線一定有兩個(gè)交點(diǎn)，因此需要用判別式加以檢驗(yàn).拓展：（1）證明在橢圓中，以為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率,（P不是坐標(biāo)原點(diǎn)）.（2）證明在雙曲線中，以為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率.（3）證明在拋物線中，以為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率.直線與圓錐曲線相交時(shí)，可以求與弦有關(guān)的問(wèn)題，直線與圓錐曲線相切時(shí)，可以求切線方程，當(dāng)直線與圓錐曲線相離時(shí)，有這樣一類(lèi)的問(wèn)題。任務(wù)四：與拋物線有關(guān)的最值問(wèn)題【例4】在拋物線上求一點(diǎn)，使得點(diǎn)到直線的距離最短，并求最短距離.師：點(diǎn)P在拋物線上，可以得出什么？點(diǎn)P到直線的距離如何表示？問(wèn)題如何轉(zhuǎn)化？（學(xué)生嘗試解決，應(yīng)該可以想到用點(diǎn)到直線距離公式求解.教師帶領(lǐng)學(xué)生分析，點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)的坐標(biāo)滿足曲線方程）解法一：設(shè)為拋物線上的點(diǎn)，則，點(diǎn)到直線的距離當(dāng)時(shí)，取最小值，此時(shí)點(diǎn).問(wèn)題6：該直線與拋物線有怎樣的位置關(guān)系？什么時(shí)候拋物線上的點(diǎn)到直線距離最短？生：相離.當(dāng)直線平移后與拋物線相切時(shí)，切點(diǎn)到直線的距離即為拋物線上點(diǎn)到直線的最短距離.師：那么問(wèn)題可以如何轉(zhuǎn)化？生：可轉(zhuǎn)化為求一條平行于的直線與拋物線相切，可以求出切點(diǎn)，利用點(diǎn)到直線距離公式求解.或利用兩平行直線間的距離公式.（學(xué)生嘗試自己解決）解法二：與平行且與拋物線相切的直線可設(shè)為，聯(lián)立方程，得，令故，所以.最短距離為.設(shè)計(jì)意圖：從設(shè)計(jì)意圖：從兩種解法中，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)解決最值問(wèn)題主要有兩種思路：一是利用拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)行消元代換，得到含參量的代數(shù)式，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值；二是借助圖形的直觀性，數(shù)形結(jié)合進(jìn)行距離的轉(zhuǎn)化.【三】梳理歸納基礎(chǔ)知識(shí)層面問(wèn)題1：判斷直線與圓錐曲線位置關(guān)系的一般方法是什么？在這個(gè)過(guò)程中特別需要注意的是什么？問(wèn)題2：如何通過(guò)直線斜率得到直線與雙曲線的位置關(guān)系？問(wèn)題3：弦長(zhǎng)公式什么？使用弦長(zhǎng)公式必須有哪些量？問(wèn)題4：在中點(diǎn)弦問(wèn)題中要特別注意哪些量之間的聯(lián)系，分別可以使用什么方法解決問(wèn)題？問(wèn)題5：當(dāng)直線與