2024屆云南省曲靖市宜良縣第六中學(xué)高三3月份第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析_第1頁(yè)
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2024屆云南省曲靖市宜良縣第六中學(xué)高三3月份第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類(lèi)型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑;如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動(dòng),先劃掉原來(lái)的答案,然后再寫(xiě)上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知函數(shù),,若對(duì)任意,總存在,使得成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍為()A. B.C. D.2.設(shè)全集U=R,集合,則()A.{x|-1<x<4} B.{x|-4<x<1} C.{x|-1≤x≤4} D.{x|-4≤x≤1}3.復(fù)數(shù)的虛部為()A.—1 B.—3 C.1 D.24.在中,,則()A. B. C. D.5.平行四邊形中,已知,,點(diǎn)、分別滿足,,且,則向量在上的投影為()A.2 B. C. D.6.已知正四面體的內(nèi)切球體積為v,外接球的體積為V,則()A.4 B.8 C.9 D.277.已知實(shí)數(shù)x,y滿足,則的最小值等于()A. B. C. D.8.復(fù)數(shù)為純虛數(shù),則()A.i B.﹣2i C.2i D.﹣i9.tan570°=()A. B.- C. D.10.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,則等差數(shù)列公差()A.2 B. C.3 D.411.以,為直徑的圓的方程是A. B.C. D.12.函數(shù)在上單調(diào)遞減的充要條件是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知在△ABC中,(2sin32°,2cos32°),(cos77°,﹣cos13°),則?_____,△ABC的面積為_(kāi)____.14.曲線在點(diǎn)處的切線方程為_(kāi)_______.15.已知,則的值為_(kāi)_____.16.設(shè),滿足約束條件,則的最大值為_(kāi)_____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)設(shè)函數(shù).(1)若恒成立,求整數(shù)的最大值;(2)求證:.18.(12分)已知函數(shù)(1)若恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)若方程有兩個(gè)不同實(shí)根,,證明:.19.(12分)已知圓上有一動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)的坐標(biāo)為,四邊形為平行四邊形,線段的垂直平分線交于點(diǎn).(Ⅰ)求點(diǎn)的軌跡的方程;(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)作直線與曲線交于兩點(diǎn),點(diǎn)的坐標(biāo)為,直線與軸分別交于兩點(diǎn),求證:線段的中點(diǎn)為定點(diǎn),并求出面積的最大值.20.(12分)如圖所示,在四棱錐中,平面,底面ABCD滿足AD∥BC,,,E為AD的中點(diǎn),AC與BE的交點(diǎn)為O.(1)設(shè)H是線段BE上的動(dòng)點(diǎn),證明:三棱錐的體積是定值;(2)求四棱錐的體積;(3)求直線BC與平面PBD所成角的余弦值.21.(12分)如圖,已知在三棱錐中,平面,分別為的中點(diǎn),且.(1)求證:;(2)設(shè)平面與交于點(diǎn),求證:為的中點(diǎn).22.(10分)在如圖所示的四棱錐中,四邊形是等腰梯形,,,平面,,.(1)求證:平面;(2)已知二面角的余弦值為,求直線與平面所成角的正弦值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

將函數(shù)解析式化簡(jiǎn),并求得,根據(jù)當(dāng)時(shí)可得的值域;由函數(shù)在上單調(diào)遞減可得的值域,結(jié)合存在性成立問(wèn)題滿足的集合關(guān)系,即可求得的取值范圍.【詳解】依題意,則,當(dāng)時(shí),,故函數(shù)在上單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),;而函數(shù)在上單調(diào)遞減,故,則只需,故,解得,故實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)在判斷函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用,恒成立與存在性成立問(wèn)題的綜合應(yīng)用,屬于中檔題.2、C【解析】

解一元二次不等式求得集合,由此求得【詳解】由,解得或.因?yàn)榛?,所?故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查一元二次不等式的解法,考查集合補(bǔ)集的概念和運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】

對(duì)復(fù)數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)計(jì)算,得到答案.【詳解】所以的虛部為故選B項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的計(jì)算,虛部的概念,屬于簡(jiǎn)單題.4、A【解析】

先根據(jù)得到為的重心,從而,故可得,利用可得,故可計(jì)算的值.【詳解】因?yàn)樗詾榈闹匦?,所?所以,所以,因?yàn)?,所以,故選A.【點(diǎn)睛】對(duì)于,一般地,如果為的重心,那么,反之,如果為平面上一點(diǎn),且滿足,那么為的重心.5、C【解析】

將用向量和表示,代入可求出,再利用投影公式可得答案.【詳解】解:,得,則向量在上的投影為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查向量的幾何意義,考查向量的線性運(yùn)算,將用向量和表示是關(guān)鍵,是基礎(chǔ)題.6、D【解析】

設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為,取的中點(diǎn)為,連接,作正四面體的高為,首先求出正四面體的體積,再利用等體法求出內(nèi)切球的半徑,在中,根據(jù)勾股定理求出外接球的半徑,利用球的體積公式即可求解.【詳解】設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為,取的中點(diǎn)為,連接,作正四面體的高為,則,,,設(shè)內(nèi)切球的半徑為,內(nèi)切球的球心為,則,解得:;設(shè)外接球的半徑為,外接球的球心為,則或,,在中,由勾股定理得:,,解得,,故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查了多面體的內(nèi)切球、外接球問(wèn)題,考查了椎體的體積公式以及球的體積公式,需熟記幾何體的體積公式,屬于基礎(chǔ)題.7、D【解析】

設(shè),,去絕對(duì)值,根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)即可求出.【詳解】因?yàn)閷?shí)數(shù),滿足,設(shè),,,恒成立,,故則的最小值等于.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的參數(shù)方程、三角函數(shù)的圖象和性質(zhì),考查了運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.8、B【解析】

復(fù)數(shù)為純虛數(shù),則實(shí)部為0,虛部不為0,求出,即得.【詳解】∵為純虛數(shù),∴,解得..故選:.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的分類(lèi),屬于基礎(chǔ)題.9、A【解析】

直接利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求解即可.【詳解】tan570°=tan(360°+210°)=tan210°=tan(180°+30°)=tan30°=.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡(jiǎn)求值,主要考查誘導(dǎo)公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】

根據(jù)等差數(shù)列的求和公式即可得出.【詳解】∵a1=12,S5=90,∴5×12+d=90,解得d=1.故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的求和公式,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.11、A【解析】

設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,利用待定系數(shù)法一一求出,從而求出圓的方程.【詳解】設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,由題意得圓心為,的中點(diǎn),根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得,,又,所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:,化簡(jiǎn)整理得,所以本題答案為A.【點(diǎn)睛】本題考查待定系數(shù)法求圓的方程,解題的關(guān)鍵是假設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,建立方程組,屬于基礎(chǔ)題.12、C【解析】

先求導(dǎo)函數(shù),函數(shù)在上單調(diào)遞減則恒成立,對(duì)導(dǎo)函數(shù)不等式換元成二次函數(shù),結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)和圖象,列不等式組求解可得.【詳解】依題意,,令,則,故在上恒成立;結(jié)合圖象可知,,解得故.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查求三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間.求三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的兩種方法:(1)代換法:就是將比較復(fù)雜的三角函數(shù)含自變量的代數(shù)式整體當(dāng)作一個(gè)角(或),利用基本三角函數(shù)的單調(diào)性列不等式求解;(2)圖象法:畫(huà)出三角函數(shù)的正、余弦曲線,結(jié)合圖象求它的單調(diào)區(qū)間.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

①根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示結(jié)合兩角差的正弦公式的逆用即可得解;②結(jié)合①求出,根據(jù)面積公式即可得解.【詳解】①2(sin32°?cos77°﹣cos32°?sin77°),②,,∴,∴.故答案為:.【點(diǎn)睛】此題考查平面向量與三角函數(shù)解三角形綜合應(yīng)用,涉及平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示,三角恒等變換,根據(jù)三角形面積公式求解三角形面積,綜合性強(qiáng).14、【解析】

求導(dǎo),得到和,利用點(diǎn)斜式即可求得結(jié)果.【詳解】由于,,所以,由點(diǎn)斜式可得切線方程為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程,屬基礎(chǔ)題.15、【解析】

先求,再根據(jù)的范圍求出即可.【詳解】由題可知,故.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)函數(shù)值的求解,涉及對(duì)數(shù)的運(yùn)算,屬基礎(chǔ)題.16、29【解析】

由約束條件作出可行域,化目標(biāo)函數(shù)為以原點(diǎn)為圓心的圓,數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解,聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標(biāo),代入目標(biāo)函數(shù)得答案.【詳解】由約束條件作出可行域如圖:聯(lián)立,解得,目標(biāo)函數(shù)是以原點(diǎn)為圓心,以為半徑的圓,由圖可知,此圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí),半徑最大,此時(shí)也最大,最大值為.所以本題答案為29.【點(diǎn)睛】線性規(guī)劃問(wèn)題,首先明確可行域?qū)?yīng)的是封閉區(qū)域還是開(kāi)放區(qū)域、分界線是實(shí)線還是虛線,其次確定目標(biāo)函數(shù)的幾何意義,是求直線的截距、兩點(diǎn)間距離的平方、直線的斜率、還是點(diǎn)到直線的距離等等,最后結(jié)合圖形確定目標(biāo)函數(shù)最值取法、值域范圍.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)整數(shù)的最大值為;(2)見(jiàn)解析.【解析】

(1)將不等式變形為,構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性并確定其最值,從而得到正整數(shù)的最大值;(2)根據(jù)(1)的結(jié)論得到,利用不等式的基本性質(zhì)可證得結(jié)論.【詳解】(1)由得,令,,令,對(duì)恒成立,所以,函數(shù)在上單調(diào)遞增,,,,,故存在使得,即,從而當(dāng)時(shí),有,,所以,函數(shù)在上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),有,,所以,函數(shù)在上單調(diào)遞減.所以,,,因此,整數(shù)的最大值為;(2)由(1)知恒成立,,令則,,,,,上述等式全部相加得,所以,,因此,【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性、最值中的應(yīng)用,以及放縮法證明不等式的技巧,屬于難題.18、(1)(2)詳見(jiàn)解析【解析】

(1)將原不等式轉(zhuǎn)化為,構(gòu)造函數(shù),求得的最大值即可;

(2)首先通過(guò)求導(dǎo)判斷的單調(diào)區(qū)間,考查兩根的取值范圍,再構(gòu)造函數(shù),將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明,探究在區(qū)間內(nèi)的最大值即可得證.【詳解】解:(1)由,即,即,令,則只需,,令,得,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,,的取值范圍是;(2)證明:不妨設(shè),當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減,,當(dāng)時(shí),,,要證,即證,由在上單調(diào)遞增,只需證明,由,只需證明,令,,只需證明,易知,由,故,,從而在上單調(diào)遞增,由,故當(dāng)時(shí),,故,證畢.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性,最值等,關(guān)鍵是要對(duì)問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化,比如把恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題,把根的個(gè)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù),進(jìn)而轉(zhuǎn)化為證明不等式的問(wèn)題,屬難題.19、(Ⅰ);(Ⅱ)4.【解析】

(Ⅰ)先畫(huà)出圖形,結(jié)合垂直平分線和平行四邊形性質(zhì)可得為一定值,,故可確定點(diǎn)軌跡為橢圓(),進(jìn)而求解;(Ⅱ)設(shè)直線方程為,點(diǎn)坐標(biāo)分別為,聯(lián)立直線與橢圓方程得,,分別由點(diǎn)斜式求得直線KA的方程為,令得,同理得,由結(jié)合韋達(dá)定理即可求解,而,當(dāng)重合交于點(diǎn)時(shí),可求最值;【詳解】(Ⅰ),所以點(diǎn)的軌跡是一個(gè)橢圓,且長(zhǎng)軸長(zhǎng),半焦距,所以,軌跡的方程為.(Ⅱ)當(dāng)直線的斜率為0時(shí),與曲線無(wú)交點(diǎn).當(dāng)直線的斜率不為0時(shí),設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線方程為,點(diǎn)坐標(biāo)分別為.直線與橢圓方程聯(lián)立得消去,得.則,.直線KA的方程為.令得.同理可得.所以.所以的中點(diǎn)為.不妨設(shè)點(diǎn)在點(diǎn)的上方,則.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)橢圓的定義求橢圓的方程,橢圓中的定點(diǎn)定值問(wèn)題,屬于中檔題20、(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)【解析】

(1)因?yàn)榈酌鍭BCD為梯形,且,所以四邊形BCDE為平行四邊形,則BE∥CD,又平面,平面,所以平面,又因?yàn)镠為線段BE上的動(dòng)點(diǎn),的面積是定值,從而三棱錐的體積是定值.(2)因?yàn)槠矫妫?,結(jié)合BE∥CD,所以,又因?yàn)椋?,且E為AD的中點(diǎn),所以四邊形ABCE為正方形,所以,結(jié)合,則平面,連接,則,因?yàn)槠矫?,所以,因?yàn)?,所以是等腰直角三角形,O為斜邊AC上的中點(diǎn),所以,且,所以平面,所以PO是四棱錐的高,又因?yàn)樘菪蜛BCD的面積為,在中,,所以.(3)以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示,則B(,0,0),C(0,,0),D(,,0),P(0,0,),則,設(shè)平面PBD的法向量為,則即則,令,得到,設(shè)BC與平面PBD所成的角為,則,所以,所以直線BC與平面PBD所成角的余弦值為.21、(1)證明見(jiàn)解析;(2)證明見(jiàn)解析.【解析】

(1)要做證明,只需證明平面即可;(2)易得∥平面,平面,利用線面平行的性質(zhì)定理即可得到∥,從而獲得證明【詳解】證明:(1)因?yàn)槠矫?,平面,所?因?yàn)?,所?又因?yàn)椋矫?,平面,所以平?又因?yàn)槠矫?,所?(2)因?yàn)槠矫媾c交于點(diǎn),所以平面.因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn),所以∥.又因?yàn)槠矫妫矫?,所以∥平?又因?yàn)槠矫?,平面平面,所以∥,又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn),所以為的中點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直的判定定理以及線面平行的性質(zhì)定理,考查學(xué)生的邏輯推理能力,是一道容易題.22、(1)證明見(jiàn)解析;(2).【解析】

(1)由已知可得,結(jié)合,由直線與平面垂直的判定可得平面;(2)由(1)知,,則,,兩兩互相垂直,以為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以,,所在直線為,,軸建立空間

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