第12講 遞推數(shù)列問題 講義-2022屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題

第12講遞推數(shù)列問題一、學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.理解蛛網(wǎng)圖，能用蛛網(wǎng)圖分析數(shù)列的單調(diào)性與有界性；2.了解常見的遞推關(guān)系的變形，熟悉差分結(jié)構(gòu)與商分結(jié)構(gòu)；3.掌握基本的數(shù)列放縮.二、典例分析：例1.（1）已知數(shù)列滿足，，試分析的單調(diào)性與有界性，并證明.（2）已知數(shù)列滿足，，若單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____________.【答案】（1），用蛛網(wǎng)圖分析、數(shù)學(xué)歸納法證明；（2）.變式：1.在數(shù)列中，，，證明：.【答案】用蛛網(wǎng)圖分析、數(shù)學(xué)歸納法證明.2.在正項(xiàng)數(shù)列中，，是否存在常數(shù)，使得成立？并說明理由.【答案】存在常數(shù)符合題意.例2.（1）數(shù)列滿足，，則的整數(shù)部分是（）A．1B．2C．3 D．4（2）數(shù)列滿足：，，則的值所在區(qū)間為（）A． B． C． D．【答案】（1）B；（2）A.變式：1．已知數(shù)列滿足，，，則（

）A．當(dāng)時(shí)， B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，【答案】C2.已知數(shù)列滿足，若，，則（）A．B．C． D．【答案】C例3．已知數(shù)列滿足，且（1）證明：；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：【答案】（1）略；（2）關(guān)鍵得到.變式：1．已知公差不為0的等差數(shù)列滿足：，，，成等比數(shù)列，數(shù)列滿足：，，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記數(shù)列，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，證明：.【答案】（1）；（2）∵，∴單調(diào)遞增，，∴，，又得：,即，又，.故.∴．2.在數(shù)列中，已知，其中.（1）求的值，并證明：；（2）證明：；（3）設(shè)，求證：.【答案】（1），，所以.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，但，∴，故.（2）由（1）知得，于是.又，故.（3）由（2）知，令，則，當(dāng)時(shí)，成立；當(dāng)時(shí)，，即.綜上可知，.例4.在數(shù)列中，，求證：；求證：【答案】（1）略；（2），，變式：1.設(shè)數(shù)列滿足，求證：；設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：【答案】（1）略；（2）關(guān)鍵.例5．已知數(shù)列滿足=且=-（）.（1）證明：1（）；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明（）.【答案】（1）由題意得，，即，，由，得，由得，，即；（2）由題意得，∴①，由和，得，∴，因此②，由①②得.三、課外作業(yè)：1．設(shè)，數(shù)列滿足，，，則（）A.當(dāng)時(shí)，B.當(dāng)時(shí)，C.當(dāng)時(shí)，D.當(dāng)時(shí)，【答案】B2．在正實(shí)數(shù)數(shù)列中，，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D3．已知數(shù)列滿足：，.則下列說法正確的是（

）A．B．C． D．【答案】B4．?dāng)?shù)列滿足，，則（

）A．B．C．時(shí)， D．時(shí)，【答案】C5．設(shè)數(shù)列滿足，，記，則使成立的最小正整數(shù)是（

）A．2020 B．2021 C．2022 D．2023【答案】D6．已知數(shù)列滿足，且，下列說法正確的是（）A.若，則B.若，則C.若D.【答案】D7．已知數(shù)列滿足：，，若對任意的正整數(shù)均有，則實(shí)數(shù)的最大值是_____.【答案】28．已知數(shù)列滿足,，若對任意，都有,則實(shí)數(shù)的取值范圍是______________.【答案】9．已知數(shù)列滿足，（1）證明：；（2）令，．證明:【答案】（1）略；（2）關(guān)鍵分析出.10．已知數(shù)列滿足，，，記，分別是數(shù)列，的前項(xiàng)和，證明：當(dāng)時(shí)，（1）；（2）；（3）.【答案】（1），故，∴，；（2），從而，又∵，∴，；（3）由（2）知，，由，得，∴當(dāng)時(shí)，，由此，又∵，∴，另一方面，由，得，綜上，.17．已知數(shù)列滿足：，證明：當(dāng)時(shí)，（1）；（2）；（3）.【答案】（1）用數(shù)學(xué)歸納法證明