黑龍江省普通高等學校2024屆高二數(shù)學第一學期期末達標檢測模擬試題含解析

黑龍江省普通高等學校2024屆高二數(shù)學第一學期期末達標檢測模擬試題

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再

選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.命題“若。=0,則"=0”的逆命題、否命題、逆否命題中是真命題的個數(shù)為（）

A.0個B.1個

C.2個D.3個

22

2.已知圓G:（無一a）?+（y—op=8（?！?）與圓C2:x+y-2x-2y=0沒有公共點，則實數(shù)a的取值范圍為（）

A.（O,2）B.（0,2）O（4,4W）

C.(4,-K?)D.（O,1）U（1,2）O（4,

3.已知｛4｝為等差數(shù)列，且q=l,a3+a4+a5=15,則%=()

A.12B.9

C.6D.3

4.若函數(shù)/（x）=E—在區(qū)間［gs］內(nèi)有極值點，則實數(shù)。的取值范圍是（）

32U）

5.已知等比數(shù)列｛4｝中，出=2,a5=16,則該數(shù)列的公比為（）

A.-3B.-2

C.2D.3

6.焦點為-0,3）的拋物線標準方程是。

A.y2=12xB.y2=-6x

C.x2=-6yD.x2=12y

7.復數(shù)*3-0的共軻復數(shù)是

A.l+3zB.1-3/

C.—1+3，D.—1—3Z

8.已知向量a=（—1,2,1）,/?=（1,1,-1）,則以下說法不正確的是（）

A.alZ?B.|a|〉W

C.cos（a+b,a）=~~D.|a+&|=|a-Z?|

22,序

9.已知6、B分別為雙曲線工—二=l（a〉0,6〉0）的左、右焦點，且閨凡仁竺，點尸為雙曲線右支一點，/

aba

為△尸客工的內(nèi)心，若SAIPF、=S△呼+lS成立,給出下列結(jié)論：

①點/的橫坐標為定值”；

②離心率e=￥電；

2

③八史」

2

④當軸時，NP耳心=30。

上述結(jié)論正確的是（)

A.①②B.②③

C.①②③D.②③④

10.由小到大排列的一組數(shù)據(jù)：%、%、退、5、%5,其中每個數(shù)據(jù)都小于一2,另一組數(shù)據(jù)2、-玉、%、退、-工4、

的中位數(shù)可以表示為（)

A1+%3B一―只

,2.2

Q2+%5口冗3-Z

,2,2

11.若某群體中成員只用現(xiàn)金支付的概率為0.2,既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付的概率為0.4,則不用現(xiàn)金支付的

概率為O

A.0.4B.0.5

C.0.6D.0.7

12.函數(shù),=2好-那在［—2,2］的圖象大致為（）

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知球的半徑為3,則該球的體積為.

14.已知62分別是橢圓G和雙曲線。2的離心率，耳，心是它們的公共焦點，M是它們的一個公共點，且

/用明=60°,則上+工的最大值為

e\e2

4

15.如圖，將一個正方體沿相鄰三個面的對角線截出一個棱錐，若該棱錐的體積為一，則該正方體的體對角線長為

3

16.在ABC中，ab=6,S,c=歲，"EC的外接圓半徑為血，則邊c的長為.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）已知數(shù)列｛4｝滿足q=L4+i=3%（〃eN*）,數(shù)列也｝為等差數(shù)列，b3=5,前4項和S4=16.

（1）求數(shù)列｛4｝,｛〃｝的通項公式;

(2)求和：。瓦+〃%+43++%〃?

18.(12分)已知數(shù)列｛q｝滿足q=1,"a“+i=3("+l)a,

⑴設(shè)2=子,求證:數(shù)列也｝是等比數(shù)列；

(2)求數(shù)列｛%｝的前〃項和S“

19.(12分)已知數(shù)列｛%｝滿足，%=1,。,什1=2a“+l(〃eN*)

(1)記b“=a“+l,證明：數(shù)列｛b,.｝為等比數(shù)列，并求數(shù)列｛瓦｝的通項公式;

b,“b,,1

<

(2)記數(shù)列｛瓦｝前"項和為T”，證明：淳+而r+TT2

20.(12分)某校在全體同學中隨機抽取了100名同學，進行體育鍛煉時間的專項調(diào)查.將調(diào)查數(shù)據(jù)按平均每天鍛煉

時間的多少(單位:分鐘)分成五組：[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80],得到如圖所示的頻率分

布直方圖.將平均每天體育鍛煉時間不少于60分鐘的同學定義為鍛煉達標，平均每天體育鍛煉時間少于60分鐘的同

學定義為鍛煉不達標

(1)求。的值，并估計該校同學平均每天體育鍛煉時間的中位數(shù)；

(2)在樣本中，對平均每天體育鍛煉時間不達標的同學，按分層抽樣的方法抽取6名同學了解不達標的原因，再從這

6名同學中隨機抽取2名進行調(diào)研，求這2名同學中至少有一名每天體育鍛煉時間(單位：分鐘)在[50,60)內(nèi)的概率

21.(12分)已知點耳(—1,0),圓月：(％-1丫+丁2=8,點。在圓B上運動，爽的垂直平分線交Q&于點P.

(1)求動點尸的軌跡的方程C;

(2)過點的動直線/交曲線C于A、B兩點,在y軸上是否存在定點T,使以為直徑的圓恒過這個點？

若存在，求出點T的坐標，若不存在，請說明理由.

22.(10分)已知數(shù)列｛飆｝的前"項和為S“=l,2Sn=(n+l)an.

(1)求數(shù)列｛麗｝通項公式；

f1、

(2)求數(shù)列｛-—;~-｝的前"項和Tn,求使不等式20227；,>m成立的最大整數(shù)m的值.

an+an+l-1

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、B

【解題分析】先判斷出原命題和逆命題的真假，進而根據(jù)互為逆否的兩個命題同真或同假最終得到答案.

【題目詳解】“若的0,則而=0"，命題為真，則其逆否命題也為真；

逆命題為："若曲=0,則”=0",顯然4=1,5=0時滿足ab=0,但a#0,即逆命題為假，則否命題也為假.

故選：B.

2、B

【解題分析】求出圓G、c2的圓心和半徑，再由兩圓沒有公共點列不等式求解作答.

【題目詳解】圓G：(九一a?+(y—a)2=8(a>0)的圓心G(a，。)，半徑4=2萬,

圓。2：(%T)2+(yT)2=2的圓心CJLl),半徑馬=夜，|℃|=)3-1)?+(a-l)2=&|a-1|,

因圓G、沒有公共點，51!]有|CCI<l4-2閾GGI>4+G，

即或0|。-1|〉30,又a>0,解得0<a<2或a>4,

所以實數(shù)〃的取值范圍為(0,2)u(4,”).

故選：B

3、B

【解題分析】由已知條件求出等差數(shù)列的公差，從而可求出%

【題目詳解】設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為2,

由％=1,[3+44+45=15,得

4

l+2d+l+3d+l+4d=15,解得d=—,

3

4

所以%=1+6d=1+6＞耳=9,

故選：B

4、C

【解題分析】若兀r)=［-?|x2+x+l在區(qū)間內(nèi)有極值點,

則/?)=/?依+1在區(qū)間內(nèi)有零點，且零點不是r(“)的圖象頂點的橫坐標.

由“2犯+1=0,得a=x+J■.因為［；,3］,產(chǎn)葉，的值域是2,51,

當a=2時/(x)=x2.2x+l=(x?l)2,不合題意.

所以實數(shù)a的取值范圍是［2,故選C.

5、C

【解題分析】設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為夕，可得出q=￡,即可得解.

【題目詳解】設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為彘可得出4=后=2.

故選：C.

6、D

【解題分析】設(shè)拋物線的方程為/=2外(0>0),根據(jù)題意，得到］=3,即可求解.

【題目詳解】由題意，設(shè)拋物線的方程為f=2py(p>0),

因為拋物線的焦點為E(0,3),可得言=3,解得p=6,

所以拋物線的方程為好=12〉.

故選：D.

7、B

【解題分析】因z(3-z)=1-,故其共朝復數(shù)：”應選B.

考點：復數(shù)的概念及運算.

8、C

【解題分析】可根據(jù)已知的〃和。的坐標，通過計算向量數(shù)量積、向量的模，即可做出判斷.

【題目詳解】因為向量a=(—1,2,1),Z?=(l,l,-1),所以a.0=—lxl+2xl+lx(—1)=0,故「_15，所以選項A

正確；口=J(_l)2+22+F=#,^|=712+12+(-1)2=^,所以同〉W，故選項B正確；a+》=(0,3,0),所

,,、(a+b)?a6>J6y/3iiII

以3〈1+6,4=；+耳,廣式"不-二5,故選項C錯誤；47-/7=(-2,1,2),所以|a+4=3,卜―4=3,

故卜+.=,一囚，所以選項D正確.

故選：C.

9、C

【解題分析】利用雙曲線的定義、幾何性質(zhì)以及題意對選項逐個分析判斷即可

【題目詳解】對于①，設(shè)內(nèi)切圓與尸耳,「馬,耳巴的切點分別為",N,T,則由切線長定理可得

|四|=|叩,|耳閭=卬1，|取巾怛刀，

因為|「耳|一|尸圖=1瓊0H耳明=閨川|—叵刀=2,|耳用=閨刀+優(yōu)1=2,

所以優(yōu)T|=c-a,所以點T的坐標為3,0),

所以點/的橫坐標為定值。，所以①正確，

對于②，因為閨閭="，所以2c="=至二

aaa

i±V|

化簡得砒―4=0,即-1=0,解得e

2

因為e>l,所以e=5叵，所以②正確,

2

對于③，設(shè)△尸片石的內(nèi)切圓半徑為乙由雙曲線的定義可得|/當|—歸4|=2。，閨6|=2/

因為S呼=g|3|"，S帙=^\PF2\-r,SIF^=^--2c-r,=5&穌+1S^IF^,

所以用"=3歸園"+九?2。*，

所以匹=q=工=避二1,所以③正確，

2cce2

A2i1

對于④，當尸軸時，可得pE|=L=c=L閨q，此時tan/P耳&=—,所以NP/花片30。，所以④錯誤,

a22

故選：C

【解題分析】先根據(jù)題意對數(shù)據(jù)進行排列，然后由中位數(shù)的定義求解即可

【題目詳解】因為由小到大排列的一組數(shù)據(jù)：%、々、毛、%、匕，其中每個數(shù)據(jù)都小于-2,

所以另一組數(shù)據(jù)2、-%、%、退、-匕、天從小到大的排列為

所以這一組數(shù)的中位數(shù)為二

2

故選：C

11、A

【解題分析】利用對立事件的概率公式可求得所求事件的概率.

【題目詳解】由對立事件概率公式可知，該群體中的成員不用現(xiàn)金支付的概率為1-0.2-04=0.4.

故選：A.

12、D

【解題分析】函數(shù)/(x)=2/—/在［-2,2］上是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于V軸對稱,

因為〃2)=8—e2,0<8—e?<1,

所以排除A,3選項;

當XG［0,2］時，y=4x—e'有一零點，設(shè)為七,當xe(0,x0)時，為減函數(shù),

當xe(%,2)時，/(X)為增函數(shù)

故選：D.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、36%

【解題分析】根據(jù)球的體積公式計算可得；

44

【題目詳解】解：因為球的半徑H=3,所以球的體積V=—萬R3=—〃x33=36

33

故答案為：36〃

14、遞

3

【解題分析】利用橢圓、雙曲線的定義以及余弦定理找到02的關(guān)系，然后利用三角換元求最值即可.

【題目詳解】解析：設(shè)橢圓的長半軸為。，雙曲線的實半軸為％(。>4)，半焦距為c,設(shè)|5|=加，|明|=",

山聞=2c,因為/印明=0，所以由余弦定理可得4c2=蘇+“2—2]7mcos(①

3mn11

在橢圓中,m+n=2at①化簡為4c2=4?2—3mH，=-~l>②

q

在雙曲線中，|加一"二2q,①化簡為4c=4q+加〃，即0~二1一百，③

13)I31

聯(lián)立②③得，“*4,即逋+逋=1，

記J=coso,=sina9aefo,—1,則，+L=2coso+^^sino=^^sin[o+2]w^^,當且僅當

2耳2與I2)q%33<3J3

a=%,即G=*，e2=G時取等號

故答案為：拽.

3

15、2瓜

【解題分析】先根據(jù)棱錐的體積求出正方體的棱長，進而求出正方體的體對角線長.

1114

【題目詳解】如圖，連接A。，設(shè)正方體棱長為。，則匕Y4G=§XS4BCX3片=3乂]]><4=3=>4=2.

D\Ci

2

所以，體對角線|A。1=JAC+cc；—J/+〃2+〃2=y/3a=2G?

故答案為：2百.

16、瓜

【解題分析】由面積公式求得sinC=@,結(jié)合外接圓半徑，利用正弦定理得到邊c的長.

2

13J3J3---=-7^=2^2

【題目詳解】S板=上。6511。=3511。='，從而sinC=Y^，由正弦定理得：sinC0，解得：c="

由222—

2

故答案為：V6

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)a“=3"T,bn=2/7-1；

【解題分析】(1)根據(jù)等比數(shù)列的定義，結(jié)合等差數(shù)列的基本量，即可容易求得數(shù)列｛4｝,｛〃｝的通項公式;

(2)根據(jù)(1)中所求，構(gòu)造數(shù)列g(shù)=%],證明其為等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的前〃項和即可求得結(jié)果.

【小問1詳解】

因為數(shù)列｛an｝滿足q=1,an+｝=3aneN*),

故可得數(shù)列｛4｝為等比數(shù)列，且公比4=3,則a“=3"T；

數(shù)列也｝為等差數(shù)列，2=5,前4項和S4=16,設(shè)其公差為d,

故可得4+2d=5,4々+6d=16,解得偽=l,d=2,則2=2〃-1；

綜上所述，凡=3"、bn=2n-l.

【小問2詳解】

221

由（1）可知：??=3"T,bn=2n-\,故c〃=%=3"-=9"-,

9〃

又上c吐==9,又。=1,則｛1｝是首項1,公比為9的等比數(shù)列；

Cn,

l-9n9n-1

則%+%+%++%=。1+。2+。3++C"=q^=-^一.

18、（1）證明見解析；（2）s=*?T）3"+L

"44

【解題分析】⑴將啊,+1=35+1）區(qū),變形為、=也，得到也｝為等比數(shù)列,

（2）由（1）得到｛%｝的通項公式，用錯位相減法求得S.

a

【題目詳解】（1）由q=l,"4+I=35+1）4,可得&L=4,

n+1n

因為2=?則加1=3〃，4=1,可得也｝是首項為1，公比為3的等比數(shù)列，

（2）由⑴4=3"-1由2=3"T,可得4=〃-3"T,

n

=l-3°+2-31+3-32++〃?3"T,

3S?=l-31+2-32+3-33++n-3n,

上面兩式相減可得：

12n

-2Sn=3°+3+3++3"-'-n-3

“44

【題目點撥】數(shù)列求和的方法技巧：

⑴倒序相加：用于等差數(shù)列、與二項式系數(shù)、對稱性相關(guān)聯(lián)的數(shù)列的求和

⑵錯位相減：用于等差數(shù)列與等比數(shù)列的積數(shù)列的求和

⑶分組求和：用于若干個等差或等比數(shù)列和或差數(shù)列的求和

（4）裂項相消法：用于通項能變成兩個式子相減，求和時能前后相消的數(shù)列求和.

19、（1）證明見解析；bn=2"

（2）證明見解析

【解題分析】（1）由遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列即可求解；

（2）由（1）求出q=2（2"-1）,再用裂項相消法求和后就可以證明不等式.

【小問1詳解】

由dn+i=2“"+1可得%+［+1=2（a“+1）

所以｛瓦｝是以首項4+1=2,公比為2的等比數(shù)列

所以—"+1=2”.

【小問2詳解】

2(1-2")(、

易得小/一=2(2"-1)

1—Z

因為3>°'所以京+慶++b,,+l<-

TnTn+l2-

4

20、（1）a=0.05,中位數(shù)為64；（2）二.

【解題分析】（1）由頻率和為1求參數(shù)a,根據(jù)中位數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合頻率直方圖求中位數(shù).

（2）首先由分層抽樣求6名同學的分布情況，再應用列舉法求概率.

【題目詳解】(1)由題設(shè)，(0.005+0.010+0.015+0.020+4)x10=1,可得。=0.05,

中位數(shù)應在［60,70）之間,令中位數(shù)為x,則0.05x（70—尤）+0.02x10=0.5,解得％=64.

.?.該校同學平均每天體育鍛煉時間的中位數(shù)為64.

（2）由題設(shè)，抽取6名同學中1名在［30,40）,2名在［40,50）,3名在［50,60）,

若1名在［30,40）為A，2名在［40,50）為呂應，3名在［50,60）為為。2，。3,

...隨機抽取2名的可能情況有

A4,4坊,4坊,AG，AG，AG,gG’4。2‘4c3,B2cB2c2,B2c3,GG，℃3,c2c3,共15種,

其中至少有一名在［50,60)內(nèi)的A。2，AG，4Ci，3C，4c3,打6,32c2，魚。3,eg,eg,c2c3,共這種，

.?.這2名同學中至少有一名每天體育鍛煉時間(單位：分鐘)在［50,60)內(nèi)的概率為g.

丫2

21>(1)---Fy2=1;

2

(2)存在，T(0,1).

【解題分析】⑴根據(jù)橢圓的定義，結(jié)合|P耳|+儼閶=|PQ|+歸閶=\QF.\=2y/2>2忻閶=2即可求P的軌跡方程;

⑵假設(shè)存在7(0,。，設(shè)A5方程為丁=依-；，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，代入口1.7?=。即可求出定點7.

【小問1詳解】

由題可知，|尸制=|尸。，

則歸耳|+尸0|+|尸閭=|Q閭=2垃>2閨閶=2,

由橢圓定義知P的軌跡是以丹、B為焦點，且長軸長為2a的橢圓，

a=s/2,c=1?*,?b~=—c~=1>

的軌跡方程為C：—+/=1;

2

【小問2詳解】

假設(shè)存在7(0,f)滿足題意，易得45的斜率一定存在，否則不會存在7滿足題意，設(shè)直線45的方程為

y=kx-^,A(xl,y1),B(<x2,y2),

y=kx——

聯(lián)立《23，化為(1+2左36—3=0,易知△>()恒成立,

—+/=139

〔2■

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