湖南省三湘創(chuàng)新發(fā)展聯合體2023-2024學年高三下學期開學考試數學試題

2024屆高三2月入學統(tǒng)一考試試題數學注意事項：1．答題前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．4．本試卷主要考試內容：高考全部內容．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知，若為純虛數，則（）A． B．2 C． D．12．已知集合，，則（）A． B． C． D．3．若直線與圓只有一個公共點，則（）A．0 B．1 C．1 D．24．已知向量，，則“”是“向量與的夾角為銳角”的（）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件5．有一組樣本數據由5個連續(xù)的正整數組成，其中是最小值，是最大值，若在原數據的基礎上增加兩個數據，，組成一組新的樣本數據，則（）A．新樣本數據的平均數小于原樣本數據的平均數B．新樣本數據的平均數大于原樣本數據的平均數C．新樣本數據的方差等于原樣本數據的方差D．新樣本數據的方差大于原樣本數據的方差6．大西洋鮭魚每年都要逆游而上，游回產地產卵．研究鮭魚的科學家發(fā)現鮭魚的游速（單位：）可以表示為，其中表示鮭魚的耗氧量的單位數．若一條鮭魚游速為時耗氧量的單位數為300，則一條鮭魚游速為時耗氧量的單位數為（）A．100 B．900 C．1200 D．81007．現準備給一半徑為的實心球體玩具制作一個圓臺型帶蓋的紙質包裝盒，要使制成的包裝盒能裝下該球體玩具，且該包裝盒的下底面是半徑為的圓，則制成的包裝盒的容積最小為（）A． B． C． D．8．已知函數的定義域為，若是單調函數，且有零點，則的取值范圍是（）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．已知數列的前項和為，，，下列結論正確的是（）A． B．C．若，則 D．若，則10．已知函數，則下列結論正確的是（）A．的圖象關于直線對稱B．的圖象關于點中心對稱C．的最小正周期是D．在上有最大值，且最大值為11．已知為坐標原點，，為拋物線上兩點，為的焦點，若到準線的距離為2，則下列結論正確的是（）A．若，則周長的最小值為B．若直線過點，則直線，的斜率之積為C．若，則的取值范圍是D．若的外接圓與準線相切，則該外接圓的面積為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．甲、乙等7名同學隨機站成一排，則甲、乙相鄰且甲不站兩端的不同排列方式有______種．13．已知雙曲線的右支上有一點，點關于坐標原點對稱的點為，為雙曲線的左焦點，且滿足，當時，雙曲線的離心率為______．14．如圖，在三棱錐中，平面平面，，，，為棱上靠近點的三等分點，且為的角平分線，則二面角的平面角的正切值的最小值為______．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）已知公差不為0的等差數列滿足，且成等比數列．（1）求的通項公式；（2）記的前項和為，，求數列的前項和．16．（15分）已知橢圓的右頂點為，離心率為．（1）求橢圓的方程；（2）過點的直線與橢圓交于另一點，若，求直線的方程．17．（15分）如圖，在三棱錐中，是邊長為2的等邊三角形，，直線與平面所成的角為30°．（1）證明：平面．（2）求與平面所成角的正弦值．18．（17分）某學校食堂每天中午為師生提供了冰糖雪梨湯和蘋果百合湯，其均有止咳潤肺的功效．某同學每天中午都會在兩種湯中選擇一種，已知他第一天選擇冰糖雪梨湯的概率為，若前一天選擇冰糖雪梨湯，后一天繼續(xù)選擇冰糖雪梨湯的概率為，而前一天選擇蘋果百合湯，后一天繼續(xù)選擇蘋果百合湯的概率為，如此往復．（1）求該同學第二天中午選擇冰糖雪梨湯的概率．（2）記該同學第天中午選擇冰糖雪梨湯的概率為，證明：為等比數列．（3）求從第1天到第10天中，該同學中午選擇冰糖雪梨湯的概率大于蘋果百合湯概率的天數．19．（17分）已知函數．（1）討論的單調性；（2）若方程有兩個不相等的根，且，的導函數為，證明：．2024屆高三2月入學統(tǒng)一考試試題數學參考答案1．C因為，所以解得．2．B，，則．3．A由題意可得直線與圓相切，又因為直線過定點，點在圓上，所以直線與直線垂直，因為直線的斜率不存在，所以．4．C若，則，解得．若向量與的夾角為銳角，則且，所以且，解得．故“”是“向量與的夾角為銳角”的必要不充分條件．5．D新樣本數據的平均數等于原樣本數據的平均數，A，B錯誤．數據的波動越大，方差越大，C錯誤，D正確．6．D由題意可得，解得，所以．令，解得．7．A要使制成的包裝盒的容積最小，則該球體玩具與包裝盒的上、下底面及側面都相切．作該圓臺型包裝盒的軸截面，且，．易知，．因為，所以，解得．此時該包裝盒的容積．8．B因為有零點，所以方程有解，即在上有解，所以．．因為是單調函數，所以函數在上恒成立或在上恒成立．因為，所以在上不可能恒成立．函數在上恒成立，即在上恒成立．因為（當且僅當時，等號成立），所以，解得．綜上，的取值范圍是．9．ACD令，則，解得．令，則，所以，，A正確，B錯誤．若，則，若，則，C，D均正確．10．BCD由，解得，所以的定義域為．令，則，令函數．當時，，且函數在上單調遞增，在上單調遞減．又因為在上單調遞增，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以的圖象不關于直線對稱，A錯誤．在上有最大值，且最大值為，D正確．，，所以的圖象關于點中心對稱，B正確．由對稱性可得在上單調遞減，在上單調遞增，所以在上不具有周期性．又因為，所以的最小正周期為，C正確．11．BCD由題意可知，，所以，．作，垂足為，的周長為，A錯誤．若直線過點，可設直線的方程為，由得．設，，則，，則，所以直線，的斜率之積為，B正確．若，則，令，，所以，可得，C正確．若的外接圓與準線相切，設的圓心為，則，所以圓心的縱坐標，則其半徑，面積為，D正確．12．1200先確定甲的位置，再確定乙的位置及其他同學的位置，則有種不同的排列方式．13．如圖，設為雙曲線的右焦點，連接，．由及雙曲線的對稱性得四邊形是矩形，，則，，由雙曲線定義得，即，所以離心率．14．如圖1，過點作，垂足為，過點作，垂足為，連接．因為平面平面，所以平面，，．因為，所以平面，，所以為二面角的平面角．在中，，所以，則，．在中，，所以．如圖2，在平面內，過點作交直線于點，所以點在以為直徑的圓上運動．設的中點為，連接．因為，，所以．因為，所以，所以，即，解得，．當直線與圓相切時，最大，因此最?。?，．故二面角的平面角的正切值的最小值為．注：①在求點的軌跡時，也可在平面內建立平面直角坐標系，用解析幾何的方法求解．②在求的最大值時，也可用如下方法：由題意可得，，，所以．15．解：（1）設等差數列的公差為，由題意可得解得或（舍去），，所以．（2）根據等差數列的前項和公式可得，所以，所以．16．解：（1）由題意可得，．因為，所以，．故橢圓的方程為．（2）由題意可知，直線的斜率存在，設直線的方程為．聯立得，易知．設，則，所以，．因為，所以，即，解得，所以直線的方程為，即．17．（1）證明：取的中點，連接，，過點作，垂足為點．因為是等邊三角形，，所以，．因為，所以平面，所以．因為，所以平面，所以為直線與平面所成的角，則，則，，．在中，，即，解得．因為，，所以，．因為，所以平面．（2）解：以為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，所以，，．設平面的法向量為，所以．設與平面所成的角為，則，所以與平面所成角的正弦值為．18．（1）解：設表示第一天中午選擇冰糖雪梨湯，表示第二天中午選擇冰糖雪梨湯，則表示第一天中午選擇蘋果百合湯．根據題意得，，，．．（2）證明：設表示第天中午選擇冰糖雪梨湯，則，，根據題意得，．由全概率公式得，即．不妨設，即，所以，解得，則，又，所以是以為首項，為公比的等比數列．（3）解：由（2）得，．由題意，只需，即，則，即．顯然必為奇數，偶數不成立．當時，有．當時，顯然成立．當時，，所以當時不成立．因為單調遞減，所以也不成立．綜上，該同學只有1天中午選擇冰糖雪梨湯的概率大于蘋果百合湯的概率．19．（1）解：．當時