對(duì)函數(shù)概念的再認(rèn)識(shí) 教案 高中數(shù)學(xué)新湘教版必修第一冊(cè)（2022-2023學(xué)年）

3.1函數(shù)

3.1.1對(duì)函數(shù)概念的再認(rèn)識(shí)

最新課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)科核心素養(yǎng)

1.在初中用變量之間的依賴關(guān)系描述函數(shù)的

基礎(chǔ)上，用集合語言和對(duì)應(yīng)關(guān)系刻畫函數(shù)，

1.了解函數(shù)的有關(guān)概念.(數(shù)學(xué)抽象)

建立完整的函數(shù)概念.

2.會(huì)求函數(shù)的定義域和簡(jiǎn)單的值域.(數(shù)學(xué)運(yùn)

2.體會(huì)集合語言和對(duì)應(yīng)關(guān)系在刻畫函數(shù)概念

算)

中的作用.

3.會(huì)判斷函數(shù)是否是同一個(gè)函數(shù).(數(shù)學(xué)運(yùn)算)

3了.解構(gòu)成函數(shù)的要素.

4.能求簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域.

新知初探

教材要點(diǎn)

要點(diǎn)一函數(shù)的概念

一般地，設(shè)A,B是兩個(gè)非空的________,如果按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)

概念系f,對(duì)于集合A中的任何一個(gè)數(shù)X,在集合B中都有________的數(shù)y

和它對(duì)應(yīng)，那么稱這樣的對(duì)應(yīng)f：A-B為定義于A取值于B的函數(shù).

對(duì)應(yīng)關(guān)系y=f(x),(xGA,yGB)

要定義域________的取值范圍

素f宜域與xGA對(duì)應(yīng)的函數(shù)值組成的集合{f(x)|xWA}

狀元隨筆對(duì)函數(shù)概念的4點(diǎn)說明：

(I)非空性：函數(shù)定義中的集合A,B必須是兩個(gè)非空實(shí)數(shù)集.

(2)任意性：即定義域中的每一個(gè)元素都有函數(shù)值.

(3)單值性：每一個(gè)自變量有唯一的函數(shù)值與之對(duì)應(yīng).

(4)方向性：函數(shù)是一個(gè)從定義域到值域的對(duì)應(yīng)關(guān)系，如果改變這個(gè)對(duì)應(yīng)方向，那么新的對(duì)

應(yīng)所確定的關(guān)系就不一定是函數(shù)關(guān)系.

要點(diǎn)二兩個(gè)函數(shù)相等

兩個(gè)函數(shù).穴x)和以x),當(dāng)且僅當(dāng)有相同的定義域U且對(duì)每個(gè)xGU都有/(x)=g(x)時(shí)，叫作相

等.

狀元隨筆由于值域是由定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系決定的，所以確定一個(gè)函數(shù)只需要兩個(gè)要素：定

義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系.即要檢驗(yàn)給定的兩個(gè)變量(變量均取數(shù)值)之間是否具有函數(shù)關(guān)系，只要檢驗(yàn):

(1)定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系是否給出；

(2)根據(jù)給出的對(duì)應(yīng)關(guān)系，自變量x在定義域中的每一個(gè)值是否都有唯一的函數(shù)值y和它對(duì)

應(yīng).

要點(diǎn)三常見函數(shù)的定義域和值域

1.一次函數(shù)_/(x)=ax+b(aWO)的定義域?yàn)?值域是.

2.二次函數(shù)式幻=加+法+以〃#0)的定義域是,當(dāng)?>0時(shí)，值域?yàn)?/p>

，當(dāng)“V0時(shí)、值域?yàn)?

基礎(chǔ)檢測(cè)

1.思考辨析(正確的畫“J”，錯(cuò)誤的畫“X”)

(1)函數(shù)的定義域和值域一定是無限集合.()

(2)任何兩個(gè)集合之間都可以建立函數(shù)關(guān)系.()

(3)函數(shù)的定義域必須是數(shù)集，值域可以為其他集合.()

(4)兩個(gè)函數(shù)的定義域和值域相同就表示同一函數(shù).()

2.下列可作為函數(shù)y=/(x)的圖象的是()

A.{x|x-l}B.{x|xWl}

C.{x|x>l}D.{x|x<l}

4.若於）=x-4TL則幽=.

題型探究

題型1函數(shù)關(guān)系的判斷

例1(1)下列從集合A到集合B的對(duì)應(yīng)關(guān)系/是函數(shù)的是()

A.A={-1,0,1},B={0,1},/：A中的數(shù)平方

B.A={0,1},B={-1,0,1},f：A中的數(shù)開方

C.A=Z,B=Q,ftA中的數(shù)取倒數(shù)

D.A={平行四邊形},B=R,f：求A中平行四邊形的面積

(2)設(shè)4={必)三》忘2},8={x|lWxW2},能表示從集合A到集合B的函數(shù)關(guān)系的是()

方法歸納

(1)判斷所給對(duì)應(yīng)是否為函數(shù)的方法

①首先觀察兩個(gè)數(shù)集A，B是否非空；

②其次驗(yàn)證對(duì)應(yīng)關(guān)系下，集合A中x的任意性，集合B中y的唯一性，既不能沒有數(shù)y對(duì)

應(yīng)數(shù)x,也不能有多于一個(gè)的數(shù)y對(duì)應(yīng)x.

(2)根據(jù)圖形判斷對(duì)應(yīng)是否為函數(shù)的方法步驟

①任取一條垂直于x軸的直線/；

②在定義域內(nèi)平行移動(dòng)直線/;

③若/與圖形有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則是函數(shù)；若在定義域內(nèi)沒有交點(diǎn)或有兩個(gè)或兩個(gè)以上的

交點(diǎn)，則不是函數(shù).

跟蹤訓(xùn)練1(1)(多選)已知集合例={-1,1,2,4},N={1,2,4},給出下列四個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)

系：①y=『，②y=x+l,③y=x-l,④y=|x|.其中不能構(gòu)成從M到N的函數(shù)的是()

A.①B.②

C.③D.④

(2)圖中所給圖象是函數(shù)圖象的個(gè)數(shù)為()

A.1B.2

C.3D.4

題型2求函數(shù)的定義域

例2(1)函數(shù)+2的定義域?yàn)?)

A.{x|-3<xW0}

B.{x|-3VxWl}

C.{x[x<-3或-3VxW0}

D.{x[x<-3或-3<xWl}

(2)函數(shù)41)=@一m°+7^方的定義域?yàn)?)

A.{x|x2-2且x制}

B.{x|x>-2}

C(x|x>-2且xH3

D.{x|x>-2}

方法歸納

求給出解析式的函數(shù)的定義域的基本步驟

常見函數(shù)的定義域

(1次x)為整式型函數(shù)時(shí)，定義域?yàn)镽；

(2)由于分式的分母不為0,所以當(dāng)兀0為分式型函數(shù)時(shí)，定義域?yàn)槭狗帜覆粸榱愕膶?shí)數(shù)的集

合；

(3)由于偶次根式的被開方數(shù)非負(fù)，所以當(dāng)兀0為偶次根式型函數(shù)時(shí)，定義域?yàn)槭贡婚_方數(shù)為

非負(fù)的實(shí)數(shù)的集合；

(4)函數(shù)y=x°中的x不為0；

(5)如果函數(shù)是由一些簡(jiǎn)單函數(shù)通過四則運(yùn)算構(gòu)成的，那么它的定義域是各個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)定義

域的交集.

跟蹤訓(xùn)練2(1)函數(shù)yu)=,②巧一,的定義域?yàn)?)

4XSXN

A.{x|xWO}

B{X|XW-9

C(x|xW0且x力一芬

D.{x|-l<x<0)

(2)函數(shù)y=等的定義域?yàn)?

題型3兩個(gè)函數(shù)是相等函數(shù)的判斷

例3(多選)下列各組函數(shù)是相等函數(shù)的是()

A：/U)=A/—2x3與8(%)=犬?y/—2x

8雙外=%與且(%)=瘍

C於)=x°與g(x)=9

D；/(x)=x2-x+1與8(。=57+1

方法歸納

判斷相等函數(shù)的三個(gè)步驟和兩個(gè)注意點(diǎn)

(1)判斷相等函數(shù)的三個(gè)步驟

(2)兩個(gè)注意點(diǎn)：

①在化簡(jiǎn)解析式時(shí)，必須是等價(jià)變形；

②與用哪個(gè)字母表示無關(guān).

跟蹤訓(xùn)練3下列函數(shù)中與函數(shù)y=f是相等函數(shù)的是()

\.U-\rB.y—x?|.r|

C.y=?D.y=(《)4

題型4函數(shù)值與函數(shù)的值域

例4⑴設(shè)危)=*+2,g(x)=《p求:

①/⑵,尬+3),g(a)+g(0)(aW-2)；

②g"2)),4g(2)).

(2)求下列函數(shù)的值域.

①y=3-4x,%€(-1>3］；

③y=x-“一2x.

方法歸納

1.函數(shù)求值的方法

(1)己知兀r)的表達(dá)式時(shí)，只需用a替換表達(dá)式中的x即得式a)的值.

(2)求人g(a))的值應(yīng)遵循由里往外的原則.

2.求函數(shù)值域的常用方法

(1)觀察法：對(duì)于一些比較簡(jiǎn)單的函數(shù)，其值域可通過觀察法得到.

(2)配方法：是求“二次函數(shù)”類值域的基本方法.

(3)換元法：運(yùn)用新元代換，將所給函數(shù)化成值域易確定的函數(shù)，從而求得原函數(shù)的值域.對(duì)

于Kt)=ar+6土，ex+d(其中a,b,c,d為常數(shù)，且acWO)型的函數(shù)常用換元法.

(4)分離常數(shù)法：此方法主要是針對(duì)有理分式，即將有理分式轉(zhuǎn)化為“反比例函數(shù)類”的形

式，便于求值域.

跟蹤訓(xùn)練4(1)下列函數(shù)中，值域?yàn)?0,+8)的是()

A.y=《B.y=t

C.y=[D.y=/+l

(2)已知函數(shù)大的=霆.

求火2)；歡1)).

易錯(cuò)辨析忽略參數(shù)取值范圍致誤

例5若函數(shù)*x)=—=不的定義域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)巾的取值范圍是________.

八Vmx2-mx+2

解析：函數(shù)1的定義域?yàn)镽，

八Vmx2-mx+2

即/nx2-"tr+2>0恒成立.

當(dāng)初=0時(shí)，易知成立，

當(dāng)機(jī)#0時(shí)，需滿足1m>0,

（A=m2—8m<0,

：.0<m<8,

綜上所述，0Wm<8.

答案：0Wm<8

易錯(cuò)警示

易錯(cuò)原因糾錯(cuò)心得

由函數(shù)的定義域求參數(shù)時(shí)，若二項(xiàng)系數(shù)含有

漏掉了，”=0的情況致誤，

參數(shù)，一定要分情況討論，否則容易發(fā)生錯(cuò)

錯(cuò)誤答案：0<巾<8.

誤.

課堂練習(xí)

1.下列各圖中，一定不是函數(shù)圖象的是（）

2.函數(shù)yu）=q至的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

A.{X|X<|)B.[X|X<|)

C.^x|o<x<1}D.{X|X〈：且X.O}

3.下列各組函數(shù)中，表示相等函數(shù)的是（）

A./(x)=Vx7,g(x)=(?)2

B.4用=疹，g(x)=|x|

C鞏r)=l,g(x)=x°

口次工尸含，雙犬尸土

4.已知函數(shù)式x)=上,又知犬。=6,則f=.

5.已知函數(shù)式x)=W+5x+2.

(1)求7U)的定義域；

⑵若a>0,求加-1)的值.

參考答案

新知初探

要點(diǎn)一

實(shí)數(shù)集唯一確定x

要點(diǎn)三

l.RR

個(gè)2RF4ac-b2-+.8)\(-8,4-ac-b2l］

［基礎(chǔ)檢測(cè)］

1.答案：⑴X(2)X(3)X(4)X

2.解析：由函數(shù)的定義可知D正確.

答案：D

3.解析：要使函數(shù))，=看有意義，

則必須卜二.31,

彳0.

故選C.

答案：c

4.解析：式3)=3-VSn=3-2=l.

答案：1

題型探究

例1解析：(1)對(duì)B,集合A中的元素1對(duì)應(yīng)集合B中的元素±1,不符合函數(shù)的定義：對(duì)

C,集合A中的元素0取倒數(shù)沒有意義，在集合B中沒有元素與之對(duì)應(yīng),不符合函數(shù)的定義；

對(duì)D,A集合不是數(shù)集，故不符合函數(shù)的定義.綜上，選A.

(2)A中，函數(shù)的值域?yàn)閧y|0WyW2},不滿足條件；B中，函數(shù)的值域?yàn)閧y|0WyW2},不滿

足條件；C中，在0Wx<2內(nèi)，一個(gè)x有兩個(gè)y與之對(duì)應(yīng)，不滿足條件；D中，每個(gè)x都有

唯一確定的y與之對(duì)應(yīng)，是函數(shù)關(guān)系.故選D.

答案：(1)A(2)D

跟蹤訓(xùn)練1解析：⑴①中，當(dāng)x=4時(shí)，y=42=164N,故不能構(gòu)成函數(shù).②中，當(dāng)x=T

時(shí)、y=-l+l=(MN,故不能構(gòu)成函數(shù)；③中，當(dāng)x=T時(shí)，y=-lT=-2&N,故不能構(gòu)

成函數(shù)；④中，當(dāng)尢=±1時(shí)，y=W|=ieN,當(dāng)x=2時(shí)，y=|x|=2GN,當(dāng)x=4時(shí)，y=|M

=4CN,故構(gòu)成函數(shù).故選ABC.

(2)根據(jù)函數(shù)的概念可知③④是函數(shù)的圖象.故選B.

答案：(l)ABC(2)B

例2解析：(I)要使函數(shù)(r)有意義，

則[1-XN"解得xwi且存-3,

(X+3H0,

所以函數(shù)於)的定義域?yàn)閧x|xWl且x#-3},即{小<-3或-3<xWl}.故選D.

(2)要使函數(shù)兀0有意義，

Xh工

則2解得x2-2且xW；,故選A.

,x+2>0,2

答案：⑴D(2)A

跟蹤訓(xùn)練2解析：(1)要使函數(shù)/U)有意義，

-x>0,

則解得xWO且xW-點(diǎn)故選C.

2x2—3x—2H0

(2)：函數(shù)解析式為丫=粵,

...x+320且xW2,

；.x）一3且x#2.

答案：⑴C(2){x|x2-3且xW2}

例3解析：A中，定義域都是(-8,0],但解析式不相同；B中，g(x)=>/記=僅|與人》)=尤

解析式不同；C、D是相等函數(shù).

答案：CD

跟蹤訓(xùn)練3解析：函數(shù)y=『的定義域?yàn)镽,對(duì)于A項(xiàng)，〃=/的定義域?yàn)镽,對(duì)應(yīng)法則與

y=f一致，則A正確；對(duì)于B項(xiàng)，y=x?|x|的對(duì)應(yīng)法則與y=/不一致，則B錯(cuò)誤；對(duì)于

C項(xiàng)，y=?的定義域?yàn)?xW0},則C錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，y=(4)4的定義域?yàn)閧.很20},則

D錯(cuò)誤：故選A.

答案：A

例4解析：⑴①^2)=2X22+2=10；

1”+3)=2(a+3)2+2=2a2+12a+20；

g(a)+g(O)=++/

②g(A2))=g(10)=康=*

M2))=X9=2xG)+2=T

(2)①因?yàn)閄G(-1,3］,所以-12W-4x<4,所以-9W3-4XV7,

所以函數(shù)y=3-4x,xC（-l,3］的值域是［-9,7）.

②因?yàn)椋?含=寫詈=2-2W2,

x+1

所以函數(shù))，=含的值域?yàn)閧)，僅42}.

③設(shè)、1—2x=r,則r20,

所以y=~Y'■—/=：(一/—2r+1)=—［(，+1)2+1,

因?yàn)閒20,所以yW手

所以函數(shù)y=x——2x的值域?yàn)?―8,Aj.

跟蹤訓(xùn)練4解析：(1)A中，由x20得y=420,...〉=4。20)的值域?yàn)椋?,+°°),A不

符合；B中，設(shè)?=f,由x>0得f=4>0,由y=5(f>0)的圖象知其值域?yàn)?0，+8),B符

合；C中，由y=［(xWO)的圖象知，y=:的值域?yàn)?-8,0)U(0,+8),C不符合；D中，y

=f+l2l,值域?yàn)椋?,+°°),不符合.

(2)須2)=翳(

②匕

八71+23

,欣)尸尼)宅力

3

答案：(1)B(2)見解析

［課堂練習(xí)］

1.解析：對(duì)于A選項(xiàng)，由圖象可知，存在x同時(shí)對(duì)應(yīng)兩個(gè)函數(shù)值y,A選項(xiàng)中的圖象不