2024年浙江省杭州市拱墅區(qū)中考數學一模試卷（A卷）

第1頁（共1頁）2024年浙江省杭州市拱墅區(qū)中考數學一模試卷（A卷）一.選擇題：本大題有10個小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（3分）在0，，，3這四個數中，最小的數是A．0 B． C． D．32．（3分）第19屆亞洲運動會于2023年10月8日在杭州圓滿閉幕，據統(tǒng)計，杭州亞運會的票務收入超過610000000元，數據610000000用科學記數法可以表示為A． B． C． D．3．（3分）下面四個算式的計算結果為負數的是A． B． C． D．4．（3分）在平面直角坐標系中，點與點關于軸對稱，則A．， B．， C．， D．，5．（3分）對某班學生進行最喜歡的球類體育項目的問卷調查，統(tǒng)計后得到如圖所示的扇形統(tǒng)計圖，下列說法正確的是A．該班最喜歡足球的學生數最多 B．該班最喜歡排球的學生數和最喜歡籃球的學生數一樣多 C．若該班有12人最喜歡羽毛球，則該班總有36名學生 D．該班最喜歡乒乓球的學生數是最喜歡排球的學生數的2倍6．（3分）我國古代數學專著《九章算術》中記載了一個“盈不足”的問題：“今有共買豕，人出一百，盈一百；人出九十，適足．”大概意思是說：現(xiàn)有幾個人共同買豬，若每人出100錢，則多出100錢；若每人出90錢，則錢剛剛好．設人數為人，則A． B． C． D．7．（3分）如圖，點，點，點在上，連接，．若的半徑為2，，則的長為．8．（3分）如圖，在中，，點在邊上（不與點，點重合），點在線段的延長線上，且．設，，則A． B． C． D．9．（3分）如圖是一張矩形紙片，點，點分別在邊，邊上，把沿直線折疊，使點落在對角線上的中點處．若，，則A． B．4 C．5 D．10．（3分）設二次函數，為實數，的圖象過點，，，，A．若，，則 B．若，，則 C．若，，則 D．若，，則二.填空題：本大題有6個小題，每小題3分，共18分．11．（3分）計算：．12．（3分）一個僅裝有球的不透明布袋里共有12個球，（只有顏色不同）．若從中任意摸出一個球是紅球的概率為，則這個布袋里紅球的個數是．13．（3分）如圖，的切線交半徑的延長線于點，為切點．若，，則．14．（3分）如圖，．以點為圓心，適當長為半徑作弧，分別交，于點，點；再分別以點，點為圓心，大于為半徑作弧，兩圓弧交于點；連接并延長交于點，若，則．15．（3分）小真用100元錢去購買筆記本和鋼筆共20件．已知每本筆記本3元，每支鋼筆8元．則小真最多能買支鋼筆．16．（3分）如圖，在中，，是斜邊上的高線，是邊上的中線，過點作于點，與相交于點．若，，則．三.解答題：本大題有8個小題，共72分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（6分）以下是小李同學的數學錯題整理本的一道錯題，請你在訂正區(qū)域給出正確解答過程．題目：先化簡，再求值：，其中．錯解摘錄：解：去分母得原式當時原式訂正：錯題反思：分式加減運算時不能“去分母”．可化為同分母后再進行運算．18．（6分）在矩形中，取的中點，連接并延長，交的延長線于點．（1）求證：．（2）已知，，求的長．19．（8分）設函數，是實數，都經過點．（1）求的值，并求出函數的圖象與軸的交點的坐標；（2）將點先向右平移個單位，再向上平移2個單位后，恰好落在的圖象上，求的值．20．（8分）女生小雅打算在立定跳遠與跳繩兩個項目中選擇一項作為體育中考項目，學校共組織了5次測試，小雅的成績見表1、表2．某市體育中考女生跳躍類評分標準（部分）如表所示，（考試成績未達上限，均按下限評分）立定跳遠第1次第2次第3次第4次第5次距離（米1.781.881.901.982.00成績（分6.589.510表1跳繩第1次第2次第3次第4次第5次次數（次172178173174172成績（分8.598.58.5表2項目成績（分立定跳遠（米跳繩（次分）102.001859.51.9718091.941758.51.9117081.881657.51.8416071.801556.51.7615061.72145（1）寫出，的值，并分別求出小雅立定跳遠成績的平均數和跳繩成績的眾數．（2）若你是小雅，你會選擇哪個項目作為中考項目？請結合小雅的測試成績，給出你的建議，并簡述理由．21．（10分）圖1是放置在寫字臺上的一盞折疊式臺燈，其主視圖如圖2，座桿與水平桌面垂直，臂桿可繞點旋轉調節(jié)，燈體可繞點旋轉調節(jié)．若，，在同一平面上，厘米，厘米，厘米，臂桿與座桿的夾角即，臂桿與燈體的夾角即．燈體上點到水平桌面的高度為．（1）求的度數．（2）求的長．（結果精確到0.1厘米．參考數據：，，22．（10分）如圖1是一款固定在地面處的高度可調的羽毛球發(fā)球機，是其彈射出口，能將羽毛球以固定的方向和速度大小彈出羽毛球．在不計空氣阻力的情況下，球的運動路徑呈拋物線狀（如圖2所示）．設飛行過程中羽毛球與發(fā)球機的水平距離為（米，與地面的高度為（米，與的部分對應數據如表所示．（米1.822.22.42.6（米2.242.252.242.212.16（1）求關于的函數表達式，并求出羽毛球的落地點到發(fā)球機點的水平距離．（2）為了訓練學員的后場應對能力，需要改變球的落地點，可以通過調整彈射出口的高度來實現(xiàn)．此過程中拋物線的形狀和對稱軸位置都不變，要使發(fā)射出的羽毛球落地點到點的水平距離增加0.5米，則發(fā)球機的彈射口高度應調整為多少米？23．（12分）綜合與實踐：如圖1，在菱形中，點為對角線的中點，將對角線繞點逆時針旋轉到，且旋轉角滿足，構造出四邊形，連結，．（1）探究發(fā)現(xiàn)四邊形是哪種特殊的四邊形？請寫出你的猜想，并證明．（2）性質應用若，，設的面積為，的面積為，當時，求的值．（3）延伸思考如圖2，若四邊形是正方形，當經過中點時，探究，，三條邊存在的等量關系．請給出結論，并說明理由．24．（12分）如圖，在中，，．作，交邊于點．以為直徑作圓，交于點，連結交于點．（1）求證：．（2）若，，求的長？（3）設為常數），求的值（用含的代數式表示）．

2024年浙江省杭州市拱墅區(qū)中考數學一模試卷（A卷）參考答案與試題解析一.選擇題：本大題有10個小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（3分）在0，，，3這四個數中，最小的數是A．0 B． C． D．3【分析】根據正數大于0，負數小于0，兩個負數比較大小，絕對值大的反而小即可得出答案．【解答】解：，，，最小的數是．故選：．【點評】本題考查了有理數的大小比較，掌握正數大于0，負數小于0，兩個負數比較大小，絕對值大的反而小是解題的關鍵．2．（3分）第19屆亞洲運動會于2023年10月8日在杭州圓滿閉幕，據統(tǒng)計，杭州亞運會的票務收入超過610000000元，數據610000000用科學記數法可以表示為A． B． C． D．【分析】將一個數表示成的形式，其中，為整數，這種記數方法叫做科學記數法，據此即可求得答案．【解答】解：，故選：．【點評】本題考查科學記數法，熟練掌握其定義是解題的關鍵．3．（3分）下面四個算式的計算結果為負數的是A． B． C． D．【分析】原式各項利用加減乘除法則計算得到結果，即可作出判斷．【解答】解：、原式，不合題意；、原式，不合題意；、原式，符合題意；、原式，不合題意，故選：．【點評】此題考查了有理數的混合運算，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．4．（3分）在平面直角坐標系中，點與點關于軸對稱，則A．， B．， C．， D．，【分析】根據“關于軸對稱的點，縱坐標相同，橫坐標互為相反數”即可求出、的值．【解答】解：在平面直角坐標系中，點與點關于軸對稱，則，．故選：．【點評】本題考查了關于軸對稱的點的坐標，解決本題的關鍵是掌握好對稱點的坐標規(guī)律：關于軸對稱的點，縱坐標相同，橫坐標互為相反數．5．（3分）對某班學生進行最喜歡的球類體育項目的問卷調查，統(tǒng)計后得到如圖所示的扇形統(tǒng)計圖，下列說法正確的是A．該班最喜歡足球的學生數最多 B．該班最喜歡排球的學生數和最喜歡籃球的學生數一樣多 C．若該班有12人最喜歡羽毛球，則該班總有36名學生 D．該班最喜歡乒乓球的學生數是最喜歡排球的學生數的2倍【分析】根據喜歡足球的人數占比和喜歡羽毛球的學生占比，即可判斷選項；用單位“1”減籃球、羽毛球、乒乓球和足球的學生占比，可得到排球的人數占比，再比較喜歡排球和喜歡籃球的學生占比，即可判斷選項；根據羽毛球的占比和給定的喜歡羽毛球人數，求出該班學生數量，再和給定的班級總數比較，即可判斷選項；根據喜歡乒乓球和喜歡排球人數的占比，求出二者的倍數關系，即可判斷選項．【解答】解：選項，通過扇形圖可知喜歡足球的學生占比為，而羽毛球的占比為，，所以選項錯誤選項，通過扇形圖可知，喜歡排球的學生占比為：，而喜歡籃球的學生占比為，，所以選項錯誤；選項，根據給定條件可求出該班學生數量為：人，，所以選項錯誤；選項，根據喜歡乒乓球和喜歡排球人數的占比可知，所以最喜歡乒乓球的學生數是最喜歡排球的學生數的2倍，故選項正確．故答案為：．【點評】本題考查扇形統(tǒng)計圖，解答本題的關鍵是明確題意，利用數形結合的思想解答．6．（3分）我國古代數學專著《九章算術》中記載了一個“盈不足”的問題：“今有共買豕，人出一百，盈一百；人出九十，適足．”大概意思是說：現(xiàn)有幾個人共同買豬，若每人出100錢，則多出100錢；若每人出90錢，則錢剛剛好．設人數為人，則A． B． C． D．【分析】先根據每人出90錢，恰好合適，用表示出豬價，再根據“每人出100錢，則會多出100錢”，即可得出關于的一元一次方程，即可得出結論．【解答】解：每人出90錢，恰好合適，豬價為錢，根據題意，可列方程為．故選：．【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元一次方程，找準等量關系，正確列出一元一次方程是解題的關鍵．7．（3分）如圖，點，點，點在上，連接，．若的半徑為2，，則的長為．【分析】根據圓周角定理求出，再根據弧長公式即可求解．【解答】解：，，的長為．故答案為：．【點評】本題考查了圓周角定理和弧長的計算，關鍵是熟練掌握圓周角定理和弧長的計算公式．8．（3分）如圖，在中，，點在邊上（不與點，點重合），點在線段的延長線上，且．設，，則A． B． C． D．【分析】過點作，證明，得出，再證明，根據對應邊成比例即可解答．【解答】解：過點作，，，，，，，，，，，，，，，．故選：．【點評】本題考查全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，平行線的性質，熟練掌握相似三角形的性質是解題關鍵．9．（3分）如圖是一張矩形紙片，點，點分別在邊，邊上，把沿直線折疊，使點落在對角線上的中點處．若，，則A． B．4 C．5 D．【分析】連接交于點，由矩形的性質得，則，而是的中點，所以，因為垂直平分，所以，，由，求得，于是得到問題的答案．【解答】解：連接交于點，四邊形是矩形，，，，，把沿直線折疊，點落在的中點處，點與點關于直線對稱，，垂直平分，，，，，，故選：．【點評】此題重點考查矩形的性質、勾股定理、軸對稱的性質、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、等腰三角形的性質、銳角三角函數與解直角三角形等知識，正確地作出輔助線是解題的關鍵．10．（3分）設二次函數，為實數，的圖象過點，，，，A．若，，則 B．若，，則 C．若，，則 D．若，，則【分析】將三個點的坐標代入解析式，根據每個選項解不等式即可解答．【解答】解：由題意知：．，，，，，則，即，或，故選項錯誤；．，則，，故選項錯誤；．，則，即，，故選項正確；．，則，，故選項錯誤；故選：．【點評】本題考查二次函數的圖象與性質，單項式乘多項式，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．二.填空題：本大題有6個小題，每小題3分，共18分．11．（3分）計算：．【分析】原式利用單項式乘以多項式法則計算即可得到結果．【解答】解：原式．故答案為：．【點評】此題考查了單項式乘多項式，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．12．（3分）一個僅裝有球的不透明布袋里共有12個球，（只有顏色不同）．若從中任意摸出一個球是紅球的概率為，則這個布袋里紅球的個數是4個．【分析】將摸出一個球是紅球的概率乘以球的總數即可求出個布袋里紅球的個數．【解答】解：（個，故答案為：4個．【點評】本題考查概率公式，理解題意，掌握概率公式是解題的關鍵．13．（3分）如圖，的切線交半徑的延長線于點，為切點．若，，則2．【分析】根據切線的性質得到，再利用含30度角的直角三角形三邊的關系得到，然后計算即可．【解答】解：為的切線，，，，，．故答案為：2．【點評】本題考查了切線的性質：圓的切線垂直于經過切點的半徑．14．（3分）如圖，．以點為圓心，適當長為半徑作弧，分別交，于點，點；再分別以點，點為圓心，大于為半徑作弧，兩圓弧交于點；連接并延長交于點，若，則50．【分析】由作圖過程可知，為的平分線，則，根據平行線的性質可得，再由三角形的外角性質可得．【解答】解：由作圖過程可知，為的平分線，，，，，，．故答案為：50．【點評】本題考查作圖—基本作圖、平行線的性質，熟練掌握平行線的性質、角平分線的作圖方法是解答本題的關鍵．15．（3分）小真用100元錢去購買筆記本和鋼筆共20件．已知每本筆記本3元，每支鋼筆8元．則小真最多能買8支鋼筆．【分析】設小真購買支鋼筆，則購買本筆記本，利用總價單價數量，結合總價不超過100元，可列出關于的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出結論．【解答】解：設小真購買支鋼筆，則購買本筆記本，根據題意得：，解得：，的最大值為8，即小真最多能買8支鋼筆．故答案為：8．【點評】本題考查了一元一次不等式的應用，找準等量關系，正確列出一元一次不等式是解題的關鍵．16．（3分）如圖，在中，，是斜邊上的高線，是邊上的中線，過點作于點，與相交于點．若，，則．【分析】連接，過點作的垂線，垂足為，利用相似三角形的性質，可求出及的長，最后根據與相似，即可求出的長．【解答】解：連接，過點作的垂線，垂足為，是斜邊上的高線，，又是邊上的中線，為的中點，．，．，．令，，，，．，，．同理可得，，，，則，解得，，．在中，．，，，即，．故答案為：．【點評】本題考查直角三角形的性質及三角形的角平分線，中線和高，通過作的垂線，構造出相似三角形是解題的關鍵．三.解答題：本大題有8個小題，共72分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（6分）以下是小李同學的數學錯題整理本的一道錯題，請你在訂正區(qū)域給出正確解答過程．題目：先化簡，再求值：，其中．錯解摘錄：解：去分母得原式當時原式訂正：錯題反思：分式加減運算時不能“去分母”．可化為同分母后再進行運算．【分析】化為同分母后再進行運算即可．【解答】解：正確解法：原式，當時，原式．【點評】本題考查分式的化簡求值，解題的關鍵是掌握分式的混合運算法則．18．（6分）在矩形中，取的中點，連接并延長，交的延長線于點．（1）求證：．（2）已知，，求的長．【分析】（1）根據矩形的性質，得出，，又因為為中點，得出，利用證明，得出結論；（2）由（1），得出，因為，得出，利用勾股定理求出，則進一步可推理出答案．【解答】（1）證明：矩形，，為中點，，在和中，，．（2）解：由（1），得出，，，在中，，．【點評】本題考查矩形的性質，解題的關鍵是掌握相關知識的靈活運用．19．（8分）設函數，是實數，都經過點．（1）求的值，并求出函數的圖象與軸的交點的坐標；（2）將點先向右平移個單位，再向上平移2個單位后，恰好落在的圖象上，求的值．【分析】（1）將點坐標代入反比例函數解析式求出值，再將已知的點坐標代入一次函數解析式求出值，令，求出值，即可得到點坐標；（2）根據題意得到平移后點的坐標，將坐標代入反比例函數解析式求出值即可．【解答】解：（1）點在反比例函數圖象上，，，在直線圖象上，，解得，一次函數解析式為：，令，則，．（2）根據題意，點先向右平移個單位，再向上平移2個單位后得到點的坐標為，在反比例函數圖象上，，解得，經檢驗是分式方程的解，．【點評】本題考查了一次函數與反比例函數的交點問題，熟練掌握交點坐標滿足兩個函數解析式是解答本題的關鍵．20．（8分）女生小雅打算在立定跳遠與跳繩兩個項目中選擇一項作為體育中考項目，學校共組織了5次測試，小雅的成績見表1、表2．某市體育中考女生跳躍類評分標準（部分）如表所示，（考試成績未達上限，均按下限評分）立定跳遠第1次第2次第3次第4次第5次距離（米1.781.881.901.982.00成績（分6.589.510表1跳繩第1次第2次第3次第4次第5次次數（次172178173174172成績（分8.598.58.5表2項目成績（分立定跳遠（米跳繩（次分）102.001859.51.9718091.941758.51.9117081.881657.51.8416071.801556.51.7615061.72145（1）寫出，的值，并分別求出小雅立定跳遠成績的平均數和跳繩成績的眾數．（2）若你是小雅，你會選擇哪個項目作為中考項目？請結合小雅的測試成績，給出你的建議，并簡述理由．【分析】（1）根據表格，將小雅立定跳遠的距離和跳繩的次數與評分標準進行對比，即可求出、的值；再根據平均數和眾數的概念，即可解答．（2）結合數據，合理分析即可．【解答】解：（1）根據考試成績未達上限，均按下限評分的原則，可知立定跳遠為1.90米時，她的成績?yōu)椋?分）；當跳繩成績?yōu)?73次時，她的成績?yōu)?．（5分）；（分，所以跳遠成績的平均分為8.4；將跳繩成績從小到大排序為：8.5、8.5、8.5、8.5、9，成績?yōu)?．（5分）出現(xiàn)的次數最多，所以跳繩成績的眾數為8.5．（2）若我是小雅，你會選擇跳繩作為中考項目，這是因為跳繩成績平均分大于跳遠成績，且跳繩成績的數據比跳遠成績的數據波動小，更穩(wěn)定（答案不唯一）．【點評】此題考查了平均數，中位數，眾數，解答本題的關鍵是明確題意，利用數形結合的思想解答．21．（10分）圖1是放置在寫字臺上的一盞折疊式臺燈，其主視圖如圖2，座桿與水平桌面垂直，臂桿可繞點旋轉調節(jié)，燈體可繞點旋轉調節(jié)．若，，在同一平面上，厘米，厘米，厘米，臂桿與座桿的夾角即，臂桿與燈體的夾角即．燈體上點到水平桌面的高度為．（1）求的度數．（2）求的長．（結果精確到0.1厘米．參考數據：，，【分析】（1）過點作，垂足為，延長交于點，根據題意可得：，從而根據垂直定義可得，再利用平角定義可得，然后利用直角三角形的兩個銳角互余可得，從而可得，最后利用直角三角形的兩個銳角互余進行計算，即可解答；（2）根據題意可得：，然后分別在和中，利用銳角三角函數的定義求出和的長，從而利用線段的和差關系進行計算，即可解答．【解答】解：（1）過點作，垂足為，延長交于點，由題意得：，，，，，，，，的度數為；（2）由題意得：，在中，厘米，，（厘米），在中，，厘米，（厘米），厘米，（厘米），的長約為61.5厘米．【點評】本題考查了解直角三角形的應用，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題的關鍵．22．（10分）如圖1是一款固定在地面處的高度可調的羽毛球發(fā)球機，是其彈射出口，能將羽毛球以固定的方向和速度大小彈出羽毛球．在不計空氣阻力的情況下，球的運動路徑呈拋物線狀（如圖2所示）．設飛行過程中羽毛球與發(fā)球機的水平距離為（米，與地面的高度為（米，與的部分對應數據如表所示．（米1.822.22.42.6（米2.242.252.242.212.16（1）求關于的函數表達式，并求出羽毛球的落地點到發(fā)球機點的水平距離．（2）為了訓練學員的后場應對能力，需要改變球的落地點，可以通過調整彈射出口的高度來實現(xiàn)．此過程中拋物線的形狀和對稱軸位置都不變，要使發(fā)射出的羽毛球落地點到點的水平距離增加0.5米，則發(fā)球機的彈射口高度應調整為多少米？【分析】（1）由與的部分對應數據中的表格信息，利用待定系數法即可求出關于的函數表達式；由求出的解析式令，求出的值即可得到羽毛球的落地點到發(fā)球機點的水平距離；（2）設新拋物線的解析式，再令，米，列方程求出函數解析式，再令，求出值即可求出發(fā)球機的彈射口高度應調整為多少米．【解答】解：（1）由表格信息可知，拋物線的頂點為，可設拋物線的解析式為：，其圖象過點，，解得，關于的函數表達式為：，當時，，解得，（舍去），故羽毛球的落