高考數(shù)學(xué)數(shù)形思想學(xué)案

數(shù)形思想學(xué)案目錄Ⅰ、數(shù)形結(jié)合思想在函數(shù)問(wèn)題中的應(yīng)用（高三）Ⅱ、MACROBUTTONMTEditEquationSection2SEQMTEqn\r\hSEQMTSec\r1\hSEQMTChap\r1\h數(shù)形結(jié)合思想在解題中的應(yīng)用Ⅲ、數(shù)形結(jié)合思想在解題中的應(yīng)用（一）Ⅳ、數(shù)形結(jié)合思想在等差數(shù)列證明中的應(yīng)用Ⅴ、高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題講座數(shù)形結(jié)合思想Ⅰ、數(shù)形結(jié)合思想在函數(shù)問(wèn)題中的應(yīng)用（高三）教學(xué)目標(biāo)：1、知識(shí)目標(biāo)1）理解數(shù)形結(jié)合的本質(zhì)：幾何圖形的性質(zhì)反映了數(shù)量關(guān)系，數(shù)量關(guān)系決定了幾何圖像的性質(zhì)．2）了解數(shù)形結(jié)合在解決函數(shù)問(wèn)題中的作用，化抽象為直觀，化直觀為精確，從而使問(wèn)題得到簡(jiǎn)捷解決．2、能力目標(biāo)1）掌握用初等函數(shù)的圖像來(lái)處理函數(shù)問(wèn)題，培養(yǎng)用函數(shù)圖象解決問(wèn)題的意識(shí)．掌握運(yùn)用圖像將代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題的技巧．2）通過(guò)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合解題，培養(yǎng)學(xué)生的觀察力、分析歸納能力，領(lǐng)會(huì)數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化問(wèn)題的思想方法．3、情感目標(biāo)通過(guò)基礎(chǔ)訓(xùn)練題組和能力訓(xùn)練題組的練習(xí)，提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力．培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)探索、勇于發(fā)現(xiàn)的科學(xué)精神，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新精神．滲透理論聯(lián)系實(shí)際、從特殊到一般、把未知轉(zhuǎn)化為已知的辨證唯物主義思想．教學(xué)重點(diǎn)：利用基本初等函數(shù)的圖像將函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題．（以形助數(shù)）教學(xué)難點(diǎn)：利用圖像轉(zhuǎn)化函數(shù)問(wèn)題，在代數(shù)與幾何的結(jié)合上去找出解題思路．教學(xué)方法：?jiǎn)l(fā)式教學(xué)．教具：利用多媒體輔助教學(xué)，使學(xué)生更容易從直觀上理解“數(shù)”和“形”之間的關(guān)系。教學(xué)過(guò)程新課引入復(fù)習(xí)高中所學(xué)的幾種基本初等函數(shù)的圖像．yy1111x1OyxyOOxyOxx1OyxyOOxyOx提問(wèn)：上述四個(gè)函數(shù)圖像分別對(duì)應(yīng)于四個(gè)函數(shù)y=x2,y=2x,y=0.5x,y=log2x中的哪一個(gè)?說(shuō)明上述四種函數(shù)及圖像代表了幾類(lèi)常用函數(shù)的基本圖像．強(qiáng)調(diào)：作出簡(jiǎn)圖時(shí)要注意到函數(shù)的性質(zhì)在其圖像上的體現(xiàn)，比如特殊的點(diǎn)、線（對(duì)稱軸、漸進(jìn)線）。幾種常見(jiàn)的圖象變換（提問(wèn)）平移變換、伸縮變換、對(duì)稱變換．說(shuō)明函數(shù)圖像的作用：它直觀地體現(xiàn)了函數(shù)的變化狀況和函數(shù)的各種性質(zhì)（奇偶性、單調(diào)性和周期性等）．許多函數(shù)問(wèn)題大多可以從函數(shù)的圖象中得到直觀地解釋或形象地提示解決問(wèn)題的方法．基礎(chǔ)訓(xùn)練題組函數(shù)的反函數(shù)的圖像不經(jīng)過(guò)第______象限．A．一 B．二 C．三 D．四分析：正確作出函數(shù)的圖像是本題的關(guān)鍵所在．由于它不是基本初等函數(shù)，其圖像需要由初等函數(shù)的圖像作適當(dāng)?shù)淖儞Q得到．（提問(wèn)學(xué)生：如何作出圖像？本題有2種變換方法，可啟發(fā)學(xué)生思考．）方法一：先求出反函數(shù)，再作其圖像．y作關(guān)于直線y=x對(duì)稱向左平移1個(gè)單位Oyy–1–1O–1xxxO1y作關(guān)于直線y=x對(duì)稱向左平移1個(gè)單位Oyy–1–1O–1xxxO1方法二：利用函數(shù)圖像和其反函數(shù)圖形之間的對(duì)稱關(guān)系作圖．的反函數(shù)為。yOxyyOxyxOxO向下平移向下平移1個(gè)單位--1從中觀察出：函數(shù)圖像不經(jīng)過(guò)第二象限．選B.解題回顧：本題的關(guān)鍵是正確作出圖像，要注意常用的圖象變換方法．結(jié)論：運(yùn)用數(shù)形結(jié)合方法可確定圖像趨向．已知方程|x2–4x+3|=m有4個(gè)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是______．分析：此題并不涉及方程根的具體值，只是根的個(gè)數(shù)，而求方程的根的問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為求兩條曲線的交點(diǎn)．故利用函數(shù)圖像是解本題的一種簡(jiǎn)便方法．借助于多媒體，學(xué)生可以很直觀地求得．0<m<1.y=my=|x2–4x+3|xOyy=my=|x2–4x+3|xOy解題回顧：(1)本題給出問(wèn)題的結(jié)論，去探求滿足結(jié)論所需的條件．旨在深化能力立意，從不同角度考察學(xué)生的探索、反駁、否定能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)．(2)數(shù)形結(jié)合可用于解方程準(zhǔn)確合理地作出滿足題意的圖形是使用數(shù)形結(jié)合的前提．(3)變換題：將題中的4個(gè)根改成3個(gè)、2個(gè)、1個(gè)根、無(wú)實(shí)根，分別求出m的取值范圍．yO由函數(shù)與函數(shù)y=2的圖像圍成一個(gè)封閉圖形，yOy=2這個(gè)封閉圖形的面積是_______．y=2分析：本題不能直接求解（高中階段沒(méi)有此類(lèi)圖形的面積公式），初看x好像是偏題、怪題，但如果借助于圖形x的對(duì)稱性并利用割補(bǔ)法，則可將之轉(zhuǎn)化為一個(gè)等積矩形的面積問(wèn)題．學(xué)生可直接看出答案。解題回顧：本題利用了數(shù)形結(jié)合方法計(jì)算面積．結(jié)論：圖像的對(duì)稱性可以使棘手的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，轉(zhuǎn)化為常規(guī)的問(wèn)題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中把未知轉(zhuǎn)化為已知的思想方法．設(shè)x1為方程2x=4–x的根，x2為方程log2x=4–x的根，則x1+x2=________．分析：本題等式兩邊為不同類(lèi)型的函數(shù)組成的超越方程，直接求出x1，x2是很難的（對(duì)高中學(xué)生來(lái)說(shuō)是解不出的）．是否就沒(méi)辦法呢？再次審題，注意到兩個(gè)方程左邊的兩個(gè)函數(shù)互為反函數(shù)，其圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱，這時(shí)可啟發(fā)學(xué)生用圖像的對(duì)稱性來(lái)求解．y=xyy=2xy=y=xyy=2xy=log2xy=f1(x)=2x，y=f2(x)=log2x，將x1，x2分別看作函數(shù)f(x)與Af1(x)、f2(x)的交點(diǎn)，再利用對(duì)稱AC(2,2)性求解．C(2,2)By=4–xB解得C(2，2).y=xx1x2Ox所以xx1x2Ox解題回顧：（1）本題運(yùn)用了圖像的對(duì)稱性，將本來(lái)難以入手的問(wèn)題很簡(jiǎn)便的求出，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想方法直觀、清晰和快捷的優(yōu)點(diǎn)．利用數(shù)形結(jié)合可進(jìn)行數(shù)值估計(jì)．（2）變化題：設(shè)a>0，且a≠1，x1為方程ax=b–x的根，x2為方程logax=b–x的根，則x1+x2=________．(答案為b．同樣利用圖像的對(duì)稱性)y=axy=axyBC(b,b)AOxx1BC(b,b)AOxx1x2y=y=logax三、能力訓(xùn)練題組設(shè)函數(shù)，其中a>0．解不等式f(x)≤1題目分析：解帶參數(shù)的不等式，需要就參數(shù)的取值情況分類(lèi)討論．按常規(guī)解題方法此不等式等價(jià)于（一般來(lái)說(shuō)，學(xué)生都會(huì)想到此種方法）由a>0，轉(zhuǎn)化為(I)或(II)然后分別解(I)、(II)，此法運(yùn)算過(guò)程較繁，容易出現(xiàn)錯(cuò)誤．這時(shí)可以啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生借助于函數(shù)的圖像，對(duì)不等式的解集作出估計(jì)，從中找到解題的簡(jiǎn)便方法．原不等式等價(jià)于，把不等式的兩邊看成關(guān)于x的函數(shù)：原不等式的解集就是函數(shù)的圖像在函數(shù)的圖像下方部分的橫坐標(biāo)x的集合．的圖像為雙曲線的上支，表示過(guò)點(diǎn)(0,1)的一條直線．y=ax+1xyyy=ax+1xyyy=ax+1y=ax+1x0xOOx0xOO從圖像中可以觀察出：原不等式的解為當(dāng)a1時(shí)，x0；當(dāng)a<1時(shí)，為與圖像的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．解題過(guò)程由學(xué)生完成．（學(xué)生上黑板完成）解題回顧：利用函數(shù)圖像可以估計(jì)不等式的解的狀況，大大減少了運(yùn)算量，避免在解的過(guò)程中出現(xiàn)錯(cuò)誤，并且可以檢測(cè)結(jié)果正確與否．這種方法對(duì)于解帶參數(shù)的不等式更為有利．（輔助解不等式）本題有機(jī)地滲透著數(shù)形結(jié)合思想與分類(lèi)討論的思想（教育部考試中心對(duì)此題的分析報(bào)告），有效地檢測(cè)學(xué)生知識(shí)遷移的能力．四、課堂小結(jié)數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)中四種重要思想方法之一．它既具有數(shù)學(xué)學(xué)科的鮮明特點(diǎn)又是數(shù)學(xué)研究的常用方法．華羅庚先生曾指出：“數(shù)缺形時(shí)少直覺(jué)，形少數(shù)時(shí)難入微．”數(shù)形結(jié)合就是對(duì)題目中的條件和結(jié)論既分析其代數(shù)意義又分析起幾何含義．這是一個(gè)極富數(shù)學(xué)特色的信息轉(zhuǎn)換．對(duì)于選擇填空題型，數(shù)形結(jié)合可起到直接解題的作用，在解答題中，則可起到輔助解題作用。利用函數(shù)圖象處理問(wèn)題的關(guān)鍵在于轉(zhuǎn)化和構(gòu)造，轉(zhuǎn)化和構(gòu)造時(shí)要注意遵循可行性、簡(jiǎn)易性原則．一般地，可以把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)、二次函數(shù)、圓錐曲線或三角函數(shù)的圖像性質(zhì)問(wèn)題來(lái)加以解決．方程的解之類(lèi)的問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為曲線的交點(diǎn)問(wèn)題，從而把代數(shù)與幾何有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，使問(wèn)題的解決得到簡(jiǎn)化．?dāng)?shù)形結(jié)合數(shù)形結(jié)合代數(shù)問(wèn)題幾何問(wèn)題代數(shù)問(wèn)題幾何問(wèn)題五．課后鞏固1．不等式的解集是{x|0<x}，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____A.a<0B.a0C.a>0D.a0y(y(oC)前5分鐘溫度增加的速度越來(lái)越快；前5分鐘溫度增加的速度越來(lái)越快；5分鐘以后溫度保持勻速增加；5分鐘以后溫度保持不便．O5t(分)你認(rèn)為正確的說(shuō)法有______．O5t(分)A．(1)和(4)B．(2)和(4)C．(2)和(3)D．(1)和(3)3．對(duì)于時(shí)，不等式____．4．ABCD是四邊形，動(dòng)點(diǎn)P沿折線BCDA由B點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．P點(diǎn)移動(dòng)的路程為x，ΔABP的面積為S，SS函數(shù)S=f(x)的圖像如圖所示．SS20給出以下四個(gè)結(jié)論：20ABCD是等腰梯形；ABCD是平行四邊形；O5914xO5914x那么ΔABP的面積為10；當(dāng)9<x<14，函數(shù)S=f(x)的解析式是56–4x．其中正確命題的序號(hào)是_______．解關(guān)于x的不等式：．Ⅱ、MACROBUTTONMTEditEquationSection2SEQMTEqn\r\hSEQMTSec\r1\hSEQMTChap\r1\h數(shù)形結(jié)合思想在解題中的應(yīng)用高考要求數(shù)形結(jié)合思想在高考中占有非常重要的地位，其“數(shù)”與“形”結(jié)合，相互滲透，把代數(shù)式的精確刻劃與幾何圖形的直觀描述相結(jié)合，使代數(shù)問(wèn)題、幾何問(wèn)題相互轉(zhuǎn)化，使抽象思維和形象思維有機(jī)結(jié)合應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，就是充分考查數(shù)學(xué)問(wèn)題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，既分析其代數(shù)意義又揭示其幾何意義，將數(shù)量關(guān)系和空間形式巧妙結(jié)合，來(lái)尋找解題思路，使問(wèn)題得到解決運(yùn)用這一數(shù)學(xué)思想，要熟練掌握一些概念和運(yùn)算的幾何意義及常見(jiàn)曲線的代數(shù)特征數(shù)形結(jié)合的思想方法應(yīng)用廣泛，常見(jiàn)的如在解方程和解不等式問(wèn)題中，在求函數(shù)的值域，最值問(wèn)題中，在求復(fù)數(shù)和三角函數(shù)問(wèn)題中，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，不僅直觀易發(fā)現(xiàn)解題途徑，而且能避免復(fù)雜的計(jì)算與推理，大大簡(jiǎn)化了解題過(guò)程這在解選擇題、填空題中更顯其優(yōu)越，要注意培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用這種思想意識(shí)，要爭(zhēng)取胸中有圖，見(jiàn)數(shù)想圖，以開(kāi)拓自己的思維視野以形助數(shù)常用的有借助數(shù)軸；借助函數(shù)圖像；借助單位圓；借助數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征；借助于解析幾何方法以數(shù)助形常用的有借助于幾何軌跡所遵循的數(shù)量關(guān)系；借助于運(yùn)算結(jié)果與幾何定理的結(jié)合復(fù)習(xí)建議1．加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)概念的復(fù)習(xí)，深刻理解定義以及數(shù)、式的幾何意義，真正夯實(shí)雙基；2．加強(qiáng)作圖能力的訓(xùn)練，解題先想圖，以圖助解題，養(yǎng)成數(shù)形結(jié)合的習(xí)慣；3．注意知識(shí)間的聯(lián)系、綜合與交匯，提倡一題多問(wèn)，一題多解，多題一解，培養(yǎng)發(fā)散思維和歸納概括的習(xí)慣，重視數(shù)學(xué)思想方法在解綜合題中的指導(dǎo)作用課前檢測(cè)：1方程sin(x–)=x的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)是()A2B3C4D以上均不對(duì)1解析在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出y1=sin(x–)與y2=x的圖象如圖答案B2.解不等式3.（1987年高考題）在圓x＋y＝4上與直線4x＋3y－12=0距離最小的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A．（，）B．(，－)C．(－，)D．(－，－)通過(guò)課前檢測(cè)了解學(xué)生應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想解題的意識(shí)． 例題分析：例1.ABCD分析：“數(shù)”中思“形”解：設(shè)點(diǎn)在圓上，圓心為,半徑等于．如圖，則是點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率．當(dāng)與⊙相切，且切點(diǎn)落在第一象限時(shí)，有最大值，即有最大值．因?yàn)?，=，所以==，所以==．例2設(shè)A={x｜–2≤x≤a}，B={y｜y=2x+3，且x∈A}，C={z｜z=x2，且x∈A}，若CB，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．命題意圖本題借助數(shù)形結(jié)合，考查有關(guān)集合關(guān)系運(yùn)算的題目知識(shí)依托解決本題的關(guān)鍵是依靠一元二次函數(shù)在區(qū)間上的值域求法確定集合C進(jìn)而將CB用不等式這一數(shù)學(xué)語(yǔ)言加以轉(zhuǎn)化．錯(cuò)解分析考生在確定z=x2，x∈［–2,a］的值域是易出錯(cuò)，不能分類(lèi)而論巧妙觀察圖象將是上策不能漏掉a＜–2這一種特殊情形．技巧與方法解決集合問(wèn)題首先看清元素究竟是什么，然后再把集合語(yǔ)言“翻譯”為一般的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，進(jìn)而分析條件與結(jié)論特點(diǎn)，再將其轉(zhuǎn)化為圖形語(yǔ)言，利用數(shù)形結(jié)合的思想來(lái)解決解∵y=2x+3在［–2,a］上是增函數(shù)∴–1≤y≤2a+3，即B={y｜–1≤y≤2a+3}作出z=x2的圖象，該函數(shù)定義域右端點(diǎn)x=a有三種不同的位置情況如下①當(dāng)–2≤a≤0時(shí)，a2≤z≤4即C={z｜a2≤z≤4}要使CB,必須且只須2a+3≥4得a≥與–2≤a＜0矛盾②當(dāng)0≤a≤2時(shí)，0≤z≤4即C={z｜0≤z≤4}，要使CB，由圖可知必須且只需解得≤a≤2③當(dāng)a＞2時(shí)，0≤z≤a2，即C={z｜0≤z≤a2}，要使CB必須且只需解得2＜a≤3．④當(dāng)a＜–2時(shí)，A=此時(shí)B=C=，則CB成立綜上所述，a的取值范圍是(–∞,–2)∪［,3］例3.已知直線和雙曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，求k的不同取值個(gè)數(shù)．分析：作出雙曲線的圖象，并注意到直線是過(guò)定點(diǎn)（）的直線系，雙曲線的漸近線方程為．所以過(guò)點(diǎn)且和漸近線平行的直線與雙曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)取兩個(gè)不同值，此外，過(guò)點(diǎn)且和雙曲線相切的直線與雙曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)取兩個(gè)不同的值，故有四個(gè)不同取值．yx0yx0圖4分析：利用三角函數(shù)的圖像或三角函數(shù)線（如圖4）求解,先求出一個(gè)周期上的解再寫(xiě)出全部．解答：由圖得解集為：．點(diǎn)評(píng)：三角函數(shù)圖像和三角函數(shù)線，是處理三角函數(shù)值大小問(wèn)題的兩個(gè)有力武器，用好它會(huì)使解題簡(jiǎn)捷、高效．例5曲線y=1+(–2≤x≤2)與直線y=r(x–2)+4有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)r的取值范圍解析方程y=1+的曲線為半圓，y=r(x–2)+4為過(guò)（2，4）的直線答案（］例6設(shè)f(x)=x2–2ax+2,當(dāng)x∈［–1,+∞)時(shí)，f(x)＞a恒成立，求a的取值范圍解法一由f(x)＞a，在［–1,+∞)上恒成立x2–2ax+2–a＞0在［–1,+∞)上恒成立考查函數(shù)g(x)=x2–2ax+2–a的圖象在［–1,+∞］時(shí)位于x軸上方如圖兩種情況不等式的成立條件是(1)Δ=4a2–4(2–a)＜0a∈(–2,1)(2)a∈(–3,–2，綜上所述a∈(–3,1)．解法二由f(x)＞ax2+2＞a(2x+1)．令y1=x2+2,y2=a(2x+1),在同一坐標(biāo)系中作出兩個(gè)函數(shù)的圖象如圖滿足條件的直線l位于l1與l2之間，而直線l1、l2對(duì)應(yīng)的a值（即直線的斜率）分別為1，–3，故直線l對(duì)應(yīng)的a∈(–3,1)．例7．求函數(shù)的值域．分析：本題需要去絕對(duì)值化為分段函數(shù)，再按直線x=a相對(duì)于兩個(gè)拋物線的對(duì)稱軸的位置分類(lèi)討論，借助于圖象可有效幫助解題．解：_圖8_圖8Oyx_12_-12a（1）當(dāng)時(shí)，如圖8知a_a_-12_12xyO圖9（2）當(dāng)時(shí)，如圖9知_圖10Oy_圖10Oyx_12-12a知，綜上所述：當(dāng)時(shí)，值域?yàn)楫?dāng)時(shí)，值域?yàn)椋?dāng)時(shí)，值域?yàn)椋c(diǎn)評(píng)：分段去絕對(duì)值，數(shù)形結(jié)合，分類(lèi)討論．課堂練習(xí)：1.求方程的解的個(gè)數(shù)--------．分析：此方程解的個(gè)數(shù)為的圖象與的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．因?yàn)?所以在平面直角坐標(biāo)系中作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，如圖，形中覓數(shù)，可直觀地看出兩曲線有3個(gè)交點(diǎn)．2.已知直線和雙曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，求k的不同取值個(gè)數(shù)。分析：作出雙曲線的圖象，并注意到直線是過(guò)定點(diǎn)（）的直線系，雙曲線的漸近線方程為．所以過(guò)點(diǎn)且和漸近線平行的直線與雙曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)取兩個(gè)不同值，此外，過(guò)點(diǎn)且和雙曲線相切的直線與雙曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)取兩個(gè)不同的值，故有四個(gè)不同取值．3.A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.1個(gè)或2個(gè)或3個(gè)出兩個(gè)函數(shù)圖象，易知兩圖象只有兩個(gè)交點(diǎn)，故方程有2個(gè)實(shí)根，選（B）4．(2006湖南）若圓上至少有三個(gè)不同點(diǎn)到直線:的距離為,則直線的傾斜角的取值范圍是()A．[]B．[]C．[D．選B5.若關(guān)于x的方程有四個(gè)不相等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_(kāi)__________．畫(huà)出的圖象可知，有四個(gè)交點(diǎn)則；6.若對(duì)任意實(shí)數(shù)t，都有，則、由小到大依次為_(kāi)__________．作出的圖像即可得f(1)<f(4)<f(-3)． 課后作業(yè)：1.函數(shù)的圖象恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B.C. D..D提示：畫(huà)出的圖象情形1：情形2：2.解：3已知集合A={x｜5–x≥},B={x｜x2–ax≤x–a}，當(dāng)AB時(shí)，則a的取值范圍是解析解得A={x｜x≥9或x≤3}，B={x｜(x–a)(x–1)≤0}，畫(huà)數(shù)軸可得答案a＞34.．分析：以3為半徑的圓在x軸上方的部分，（如圖），而N則表示一條直線，其斜率k=1，縱截．5設(shè)關(guān)于x的方程sinx+cosx+a=0在（0,π）內(nèi)有相異解α、β（1）求a的取值范圍；（2）求tan(α+β)的值解①作出y=sin(x+)(x∈(0,π))及y=–的圖象，知當(dāng)｜–｜＜1且–≠時(shí)，曲線與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，故a∈(–2,–)∪(–,2)②把sinα+cosα=–a,sinβ+cosβ=–a相減得tan，故tan(α+β)=3．6.解法一（代數(shù)法）：，．解法二（幾何法）：．7設(shè)A={(x,y)｜y=,a＞0}，B={(x,y)｜(x–1)2+(y–)2=a2,a＞0},且A∩B≠，求a的最大值與最小值解∵集合A中的元素構(gòu)成的圖形是以原點(diǎn)O為圓心，a為半徑的半圓；集合B中的元素是以點(diǎn)O′(1,)為圓心，a為半徑的圓如圖所示：∵A∩B≠，∴半圓O和圓O′有公共點(diǎn)顯然當(dāng)半圓O和圓O′外切時(shí)，a最小a+a=｜OO′｜=2,∴amin=2–2當(dāng)半圓O與圓O′內(nèi)切時(shí)，半圓O的半徑最大，即a最大此時(shí)a–a=｜OO′｜=2,∴amax=2+2．8已知A（1，1）為橢圓=1內(nèi)一點(diǎn)，F(xiàn)1為橢圓左焦點(diǎn)，P為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)求｜PF1｜+｜PA｜的最大值和最小值．解由可知a=3,b=,c=2，左焦點(diǎn)F1(–2,0),右焦點(diǎn)F2(2,0)由橢圓定義，｜PF1｜=2a–｜PF2｜=6–｜PF2｜,∴｜PF1｜+｜PA｜=6–｜PF2｜+｜PA｜=6+｜PA｜–｜PF2｜如圖由｜｜PA｜–｜PF2｜｜≤｜AF2｜=知–≤｜PA｜–｜PF2｜≤當(dāng)P在AF2延長(zhǎng)線上的P2處時(shí)，取右“=”號(hào)；當(dāng)P在AF2的反向延長(zhǎng)線的P1處時(shí)，取左“=”號(hào)即｜PA｜–｜PF2｜的最大、最小值分別為，–于是｜PF1｜+｜PA｜的最大值是6+,最小值是6–9.設(shè)f(x)=x2–2ax+2,當(dāng)x∈［–1,+∞)時(shí)，f(x)＞a恒成立，求a的取值范圍解法一由f(x)＞a，在［–1,+∞)上恒成立x2–2ax+2–a＞0在［–1,+∞)上恒成立考查函數(shù)g(x)=x2–2ax+2–a的圖象在［–1,+∞］時(shí)位于x軸上方如圖兩種情況不等式的成立條件是(1)Δ=4a2–4(2–a)＜0a∈(–2,1)(2)a∈(–3,–2，綜上所述a∈(–3,1)．解法二由f(x)＞ax2+2＞a(2x+1)令y1=x2+2,y2=a(2x+1),在同一坐標(biāo)系中作出兩個(gè)函數(shù)的圖象如圖滿足條件的直線l位于l1與l2之間，而直線l1、l2對(duì)應(yīng)的a值（即直線的斜率）分別為1，–3，故直線l對(duì)應(yīng)的a∈(–3,1)．方法總結(jié)1．?dāng)?shù)形結(jié)合，數(shù)形轉(zhuǎn)化常從以下幾個(gè)方面：（1）集合的運(yùn)算及文氏圖；（2）函數(shù)圖象，導(dǎo)數(shù)的幾何意義；（3）解析幾何中方程的曲線；（4）數(shù)形轉(zhuǎn)化，以形助數(shù)的還有：數(shù)軸、函數(shù)圖象、單位圓、三角函數(shù)線或數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征等．2．取值范圍，最值問(wèn)題，方程不等式解的討論，有解與恒成立問(wèn)題等等，許多問(wèn)題還可以通過(guò)換元轉(zhuǎn)化為具有明顯幾何意義的問(wèn)題，借助圖形求解．3.數(shù)形結(jié)合的思想是很重要的數(shù)學(xué)思想，也是分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的有力工具．在今后的學(xué)習(xí)中，我們要逐步加深對(duì)它的理解，并且要學(xué)會(huì)這種解決問(wèn)題的方法．它的好處是直觀、形象、幫你找的解決問(wèn)題的捷徑．張素燕教師：楊如鋼2007-4-23Ⅲ、數(shù)形結(jié)合思想在解題中的應(yīng)用（一）教師：楊如鋼2007-4-23教學(xué)目標(biāo)：1．利用圖形來(lái)處理方程及函數(shù)問(wèn)題和不等式問(wèn)題，求函數(shù)的值域，最值等問(wèn)題時(shí)能運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，避免復(fù)雜的計(jì)算與推理，在解題時(shí)能提高效率。2．增養(yǎng)學(xué)生問(wèn)題轉(zhuǎn)化的意識(shí)。重點(diǎn)：“以形助數(shù)”，培養(yǎng)學(xué)生在解題過(guò)程中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的意識(shí)。難點(diǎn)：?jiǎn)栴}的轉(zhuǎn)化。利用多媒體形象地展示圖形在解題中的應(yīng)用，克服解題中的困難.數(shù)形結(jié)合作為一種重要的數(shù)學(xué)思想，歷年來(lái)一直是高考考查的重點(diǎn)之一.這種思想體現(xiàn)在解題中，就是指在處理數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，能夠?qū)⒊橄蟮臄?shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的幾何圖象有機(jī)結(jié)合起來(lái)思索，促使抽象思維和形象思維的和諧復(fù)合，通過(guò)對(duì)規(guī)范圖形或示意圖形的觀察分析，化抽象為直觀，化直觀為精確，從而使問(wèn)題得到簡(jiǎn)捷解決.本節(jié)課著重研究在函數(shù)與不等式問(wèn)題中，在求函數(shù)的值域、最值問(wèn)題時(shí)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，使某些問(wèn)題直觀化、生動(dòng)化、能夠變抽象思維為形象思維，達(dá)到發(fā)現(xiàn)解題途徑，避免復(fù)雜的計(jì)算和推理，簡(jiǎn)化解題過(guò)程的目的。一、基礎(chǔ)訓(xùn)練：1．方程lgx=sinx的實(shí)根的個(gè)數(shù)為 []A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)解：畫(huà)出y=lgx和y=sinx在同一坐標(biāo)系中的圖象，兩圖象有3個(gè)交點(diǎn)，選C.2．函數(shù)y=a|x|與y=x+a的圖象恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[]A．(1，+∞) B．(-1，1)C．(-∞，-1]∪[1，+∞) D．(-∞，-1)∪(1，+∞)解：畫(huà)出y=a|x|與y=x+a的圖象，兩圖象有兩個(gè)交點(diǎn)的情形如下：情形1：eq\b\lc\{(\a\al(a>0,a>1))=> a>1 情形2：eq\b\lc\{(\a\al(a<0,a<-1))=>a<-1 選D3．不等式eq\r(x+2)>x的解集是______________.解法一：（常規(guī)解法）原不等式等價(jià)于（Ⅰ）eq\b\lc\{(\a\al(x≥0,x+2≥0,x+2>x2))，或（Ⅱ）eq\b\lc\{(\a\al(x<0,x+2≥0))，解（Ⅰ）得0≤x<2；解（Ⅱ）得-2≤x<0.綜上可知，原不等式的解集為{x|-2≤x<0}∪{x|0≤x<2}={x|-2≤x<2}解法二：（數(shù)形結(jié)合解法） 令y1=eq\r(x+2)，y2=x，則不等式eq\r(x+2)>x的解就對(duì)應(yīng)于： 函數(shù)y1=eq\r(x+2)的圖象在y2=x上方的圖象的部分在x軸上的射影.如圖，不等式的解集為{x|xA<x<xB}，由eq\r(x+2)=x得xB=2，而xA=-2， ∴不等式的解集是{x|-2≤x<2}.變題：不等式eq\r(x+2)>kx的解集為M，且M{x|-2≤x<2}，則k∈____________.答案：[1，+∞）4．函數(shù)y=eq\f(sinx+2,cosx-2)的值域?yàn)開(kāi)______________.解法一：（代數(shù)法）由y=eq\f(sinx+2,cosx-2)得ycosx–2y=sinx+2，∴sinx–ycosx=-2y–2，∴eq\r(y2+1)sin(x+φ)=-2y–2， ∴sin(x+φ)=eq\f(-2y–2,eq\r(y2+1))，而|sin(x+φ)|≤1， ∴|eq\f(-2y–2,eq\r(y2+1))|≤1，解不等式得eq\f(-4-\r(7),3)≤y≤eq\f(-4+\r(7),3)， ∴函數(shù)的值域?yàn)閇eq\f(-4-\r(7),3)，eq\f(-4+\r(7),3)].解法二（幾何法）：y=eq\f(sinx+2,cosx-2)的形式類(lèi)似于斜率公式k=eq\f(y2-y1,x2-x1)，∴y=eq\f(sinx+2,cosx-2)表示過(guò)兩點(diǎn)P0(2，-2)及P(cosx，sinx)的直線的斜率，由于點(diǎn)P在單位圓x2+y2=1上（如圖），顯然≤y≤，設(shè)過(guò)P0的圓的切線方程為y+2=k(x–2)， 則有eq\f(|2k+2|,\r(k2+1))=1，解得k=eq\f(-4±\r(7),3)， 即=eq\f(-4-\r(7),3)，=eq\f(-4+\r(7),3)∴eq\f(-4-\r(7),3)≤y≤eq\f(-4+\r(7),3)，∴函數(shù)的值域?yàn)閇eq\f(-4-\r(7),3)，eq\f(-4+\r(7),3)]5．過(guò)圓M：(x-1)2＋(y-1)2=1外一點(diǎn)P向此圓作兩條切線，當(dāng)這兩切線互相垂直時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是_____________．解：如圖，設(shè)切點(diǎn)為A、B，連結(jié)MA、MB、PM，則MA⊥AP，MB⊥PB，又AP⊥PB，且|PA|=|PB|，那么MBPA是正方形，從而|PM|=eq\r(2)|MA|=eq\r(2).設(shè)動(dòng)點(diǎn)P(x，y)，則(x－1)2+(y-1)2=2，這就是所求的軌跡方程．二、例題：例1．若關(guān)于x的方程x2+2kx+3k=0的兩根都在-1和3之間，求k的取值范圍.解：解法一：令f(x)=x2+2kx+3k，其圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是方程f(x)=0的解，由y=f(x)的圖象可知，要使兩根都在-1和3之間，只需eq\b\lc\{(\a\al(f(-1)>0,f(3)>0,-1<-k<3,4k2-12k≥0))，∴k∈(-1，0]. 解法二：設(shè)函數(shù)f(x)=x2，g(x)=-2k(x+eq\f(3,2))，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)必須在-1和3之間. 畫(huà)出兩函數(shù)圖象（如圖），而PA、PB的斜率相等，都是2，∴0≤-2k<2，即k∈(-1，0]例2．定圓C：(x–3)2+(y–3)2=(eq\f(5,2))2上有動(dòng)點(diǎn)P，它關(guān)于定點(diǎn)A(7，0)的對(duì)稱點(diǎn)為Q，點(diǎn)P繞圓心C依逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)120°后到達(dá)點(diǎn)R，求線段RQ長(zhǎng)度的最大值和最小值．[分析]本題一般解法是，設(shè)點(diǎn)P(3+eq\f(5,2)cosα，2+eq\f(5,2)sinα)，然后求出點(diǎn)Q、R的坐標(biāo)，最后用兩點(diǎn)間距離公式，求出|RQ|的最值．但這種解法運(yùn)算量較大，還易出錯(cuò)．觀察圖，在△PRQ中，欲求|RQ|，因A是PQ的中點(diǎn)，易想起三角形的中位線.解：取PR的中點(diǎn)B，連結(jié)BA，則|RQ|=2|AB|．又B是弦RP的中點(diǎn)，連CB，則CB⊥RP，∠BCP=eq\f(1,2)∠PCR=60°，∴|BC|=eq\f(1,2)|CP|=eq\f(5,4).∴點(diǎn)B的軌跡是以C為圓心，eq\f(5,4)為半徑的圓.這時(shí)求|QR|的最值，轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)A與所作圓上點(diǎn)的距離的最值．過(guò)C、A作直線，交所作圓于B1、B2兩點(diǎn)，則由平面幾何知，|AB|的最大值為|AB2|=|AC|+|CB2|=eq\r((7-3)2+(0-3)2)+eq\f(5,4)=eq\f(25,4)，|AB|的最小值為|AB1|=|AC|-|CB1|=5-eq\f(5,4)=eq\f(15,4).故|QR|的最大值、最小值分別是eq\f(25,2)和eq\f(15,2).例3.求函數(shù)u=eq\r(2t+4)+eq\r(6-t)的最值.[分析]由于等式右端根號(hào)內(nèi)同為t的一次式，故作簡(jiǎn)單換元，設(shè)eq\r(2t+4)=m，無(wú)法轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)求最值；倘若對(duì)式子平方處理，將會(huì)把問(wèn)題復(fù)雜化，因此該題用常規(guī)解法顯得比較困難，考慮到式中有兩個(gè)根號(hào)，故可采用兩步換元。解：設(shè)x=eq\r(2t+4)，y=eq\r(6-t)，u=x=y，且x2+2y2=16(0≤x≤4，0≤y≤2eq\r(2))， 所給函數(shù)化為以u(píng)為參數(shù)的直線方程y=-x+u，它與橢圓x2+2y2=16在第一象限的部分(包括端點(diǎn))有公共點(diǎn)(如圖)時(shí)umin=2eq\r(2)； 當(dāng)直線與橢圓相切于第一象限時(shí)，u取最大值. 由eq\b\lc\{(\a\al(y=-x+u,x2+2y2=16))得3x2–4ux+2u2–16=0， 解△=0得u=±2eq\r(6)，取u=2eq\r(6)，即umax=2eq\r(6).三、小結(jié)：實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合，常與以下內(nèi)容有關(guān)：1、實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系；2、函數(shù)與圖象的對(duì)應(yīng)關(guān)系；3、曲線與方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系；4、以幾何元素和幾何條件為背景建立起來(lái)的概念，如向量、三角函數(shù)等5、所給的等式或代數(shù)式的結(jié)構(gòu)含有明顯的幾何意義。數(shù)形結(jié)合思想是解答數(shù)學(xué)試題的一種常用方法與技巧，特別是在解決選擇、填空題時(shí)發(fā)揮著奇特功效，復(fù)習(xí)中要以熟練技能、方法為目標(biāo)，加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練，以提高解題能力和速度。數(shù)形結(jié)合的另一個(gè)方面：“以數(shù)助形”將在下節(jié)課中研究。四、練習(xí)：1．已知0<a<1，則方程a|x|=|logax|的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)為 []A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.1個(gè)或2個(gè)或3個(gè)解：判斷方程的根的個(gè)數(shù)就是判斷函數(shù)y=a|x|與y=|logax|圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，畫(huà)出它們的圖象，易知兩圖象只有兩個(gè)交點(diǎn)，故方程有2個(gè)實(shí)根，選（B）。2．如果實(shí)數(shù)x、y滿足(x–2)2+y2=3，則eq\f(y,x)的最大值為[]A．eq\f(1,2) B．eq\f(\r(3),3) C．eq\f(\r(3),2) D．eq\r(3)解：等式(x–2)2+y2=3有明顯的幾何意義，它表示坐標(biāo)平面上的一個(gè)圓，圓心為(2，0)，半徑r=eq\r(3)（如圖），而eq\f(y,x)=eq\f(y-0,x-0)則表示圓上的點(diǎn)(x，y)與坐標(biāo)原點(diǎn)(0，0)連線的斜率. 問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：動(dòng)點(diǎn)A在以(2，0)為圓心，以eq\r(3)為半徑的圓上移動(dòng)，求直線OA斜率的最大值. 由圖可知，當(dāng)點(diǎn)A在第一象限，且OA與圓相切時(shí)，OA的斜率最大，這時(shí)|OM|=2，|AM|=eq\r(3)，|OA|=1，∴k=tan∠AOM=eq\r(3)，選D.3．函數(shù)y=eq\r(x2-2x+2)+eq\r(x2-6x+13)的最小值為_(kāi)__________.解：eq\r(x2-2x+2)=eq\r((x-1)2+1)=eq\r((x-1)2=(1-0)2)，聯(lián)想到兩點(diǎn)的距離公式，它表示點(diǎn)(x，1)到(1，0)的距離，eq\r(x2-6x+13)=eq\r((x-3)2+(1-3)2)表示點(diǎn)(x，1)到點(diǎn)(3，3)的距離，于是y=eq\r(x2-2x+2)+eq\r(x2-6x+13)表示動(dòng)點(diǎn)(x，1)到兩個(gè)定點(diǎn)(1，0)、(3，3)的距離之和，結(jié)合圖形，易得ymin=eq\r(13).課后作業(yè)：一、選擇題：1．若不等式eq\r(x+a)≥x(a>0)的解集為{x|m≤x≤n}，且|m–n|=2a，則a的值為[]A.1 B.2 C.3 D.4解：畫(huà)出y=eq\r(x+a)及y=x的圖象，依題意，m=-a，n=a，從而eq\r(x+a)=a=>a=0或a=2，選B.2．若x∈(1，2)時(shí)，不等式(x–1)2<logax恒成立，則a的取值范圍為[]A.（0，1） B.（1，2） C.（1，2] D.[1，2]解：令y1=(x–1)2，y2=logax，若a>1，兩函數(shù)圖象如圖所示，顯然當(dāng)x∈(1，2)時(shí)，要使y1<y2，只需使loga2≥(2–1)2，即a≤2，∴當(dāng)1<a≤2時(shí)，不等式(x–1)2<logax對(duì)x∈(1，2)恒成立。若0<a<1，兩函數(shù)圖象如下圖所示，顯然當(dāng)x∈(1，2)時(shí)，不等式(x–1)2<logax恒不成立，可見(jiàn)應(yīng)選C.3．定義在R上的函數(shù)y=f(x)在(-∞，2)上為增函數(shù)，且函數(shù)y=f(x+2)的圖象的對(duì)稱軸為x=0，則 []A．f(-1)<f(3) B．f(0)>f(3) C．f(-1)=f(-3) D．f(2)<f(3)解：f(x+2)的圖象是由f(x)的圖象向左平移2個(gè)單位而得到的，又知f(x+2)的圖象關(guān)于直線x=0（即y軸）對(duì)稱，故可推知，f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，由f(x)在(-∞，2)上為增函數(shù)，可知，f(x)在(2，+∞)上為減函數(shù)，依此易比較函數(shù)值的大小，選A.二、填空題：4．若f(x)=x2+bx+c對(duì)任意實(shí)數(shù)t，都有f(2+t)=f(2–t)，則f(1)、f(-3)、f(4)由小到大依次為_(kāi)__________。解：由f(2+t)=f(2–t)知，f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，又f(x)=x2+bx+c為二次函數(shù)，其圖象是開(kāi)口向上的拋物線，由f(x)的圖象，易知f(1)<f(4)<f(-3).5．若關(guān)于x的方程x2–4|x|+5=m有四個(gè)不相等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_(kāi)___.解：設(shè)y1=x2–4|x|+5，y2=m，畫(huà)出兩函數(shù)圖象示意圖，要使方程x2–4|x|+5=m有四個(gè)不相等實(shí)根，只需使1<m<5.6．若直線y=x–m與曲線y=eq\r(1-x2)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_____.解：y=x－m表示傾角為45°，縱截距為－m的直線方程，而則表示以（0，0）為圓心，以1為半徑的圓在x軸上方的部分（包括圓與x軸的交點(diǎn)），如下圖所示，顯然，欲使直線與半圓有兩個(gè)不同交點(diǎn)，只需直線的縱截距，即.7．若集合M={(x，y)|eq\b\lc\{(\a\al(x=3cosθ,y=3sinθ))(0<θ<π)}，集合N={(x，y)|y=x+b}，且M∩N≠，則b的取值范圍為_(kāi)_________.解：M={(x，y)|x2+y2=9，0<y≤1)}，顯然，M表示以(0，0)為圓心，以3為半徑的圓在x軸上方的部分(如圖)，而N則表示一條直線，其斜率k=1，縱截距為b，由圖形易知，欲使M∩N≠，即是使直線y=x+b與半圓有公共點(diǎn)，顯然b的最小值逼近值為-3，最大值為3eq\r(2)，即-3<b≤3eq\r(2).三、解答題：8．若方程lg(-x2+3x–m)=lg(3–x)在[0，3]上有唯一解，求m的取值范圍。解：原方程等價(jià)于：令f(x)=-x2+4x–3，g(x)=m，在同一坐標(biāo)系內(nèi)，畫(huà)出它們的圖象，其中注意，當(dāng)且僅當(dāng)兩函數(shù)的圖象在[0，3）上有唯一公共點(diǎn)時(shí)，原方程有唯一解，由圖可見(jiàn)，當(dāng)m=1，或-3≤m≤0時(shí)，原方程有唯一解，因此m的取值范圍為[－3，0]∪{1}。注：一般地，研究方程時(shí)，需先將其作等價(jià)變形，使之簡(jiǎn)化，再利用函數(shù)圖象的直觀性研究方程的解的情況。9．點(diǎn)A（3，2）為定點(diǎn)，點(diǎn)F是拋物線y2=4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)P在拋物線y2=4x上移動(dòng)，若|PA|+|PF|取得最小值，求點(diǎn)P的坐標(biāo).解：拋物線y2=4x的準(zhǔn)線方程是l：x=-1，過(guò)點(diǎn)A作l的垂線，垂足為B，交拋物線于點(diǎn)P1(如圖). 若P與P1不重合，過(guò)P作PQ⊥直線l，垂足為Q，|PA|+|PF|=|PA|+|PQ|>|AB|；當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)P1重合時(shí)，|PA|+|PF|=|P1A|+|P1F|=|P1A|+|P1B|=|AB|，∴當(dāng)點(diǎn)P位于點(diǎn)P1(1，2)時(shí)|PA|+|PF|取得最小值4，即點(diǎn)P坐標(biāo)為(1，2).10．設(shè)a>0且a≠1，試求下述方程有解時(shí)k的取值范圍。解：將原方程化為：，∴令f(x)=x-ak，它表示傾角為45°的直線系，f(x)>0令g(x)=eq\r(x2-a2)，它表示焦點(diǎn)在x軸上，頂點(diǎn)為（－a，0）（a，0）的等軸雙曲線在x軸上方的部分，g(x)>0∵原方程有解，∴兩個(gè)函數(shù)的圖象有交點(diǎn)，由下圖，知，∴∴k的取值范圍為Ⅳ、數(shù)形結(jié)合思想在等差數(shù)列證明中的應(yīng)用教學(xué)目標(biāo)：1．知識(shí)與技能目標(biāo)：掌握等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式。2．過(guò)程與方法目標(biāo)：經(jīng)歷公式的推導(dǎo)過(guò)程，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，體驗(yàn)從特殊到一般的研究方法，學(xué)會(huì)觀察、歸納、反思。3．情感、態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)：獲得發(fā)現(xiàn)的成就感，逐步養(yǎng)成科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度，提高代數(shù)推理的能力。教學(xué)重點(diǎn)：等差數(shù)列n項(xiàng)和公式的理解、推導(dǎo).教學(xué)難點(diǎn)：獲得等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式推導(dǎo)的思路.教學(xué)方法:講授法、發(fā)現(xiàn)法教學(xué)過(guò)程：?jiǎn)栴}呈現(xiàn):泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世紀(jì)莫臥兒帝國(guó)皇帝沙杰罕為紀(jì)念其愛(ài)妃所建，她宏偉壯觀，純白大理石砌建而成的主體建筑叫人心醉神迷，成為世界七大奇跡之一。陵寢以寶石鑲飾，圖案之細(xì)致令人叫絕。傳說(shuō)陵寢中有一個(gè)三角形圖案，以相同大小的圓寶石鑲飾而成，共有100層（見(jiàn)左圖），奢靡之程度，可見(jiàn)一斑。你知道這個(gè)圖案一共花了多少寶石嗎？探究發(fā)現(xiàn):學(xué)生對(duì)高斯的算法是熟悉的，知道采用首尾配對(duì)的方法來(lái)求和，但是他們對(duì)這種方法的認(rèn)識(shí)可能處于模仿、記憶的階段。為了促進(jìn)學(xué)生對(duì)這種算法的進(jìn)一步理解，設(shè)計(jì)了下面問(wèn)題。問(wèn)題1：圖案中，第1層到第21層一共有多少顆寶石？問(wèn)題2：如何求1到的正整數(shù)之和.公式應(yīng)用：?jiǎn)栴}3：你能證明這個(gè)公式嗎？公式推導(dǎo):我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休”．?dāng)?shù)學(xué)中，數(shù)和形是兩個(gè)最主要的研究對(duì)象，它們之間有著十分密切的聯(lián)系，在一定條件下，數(shù)和形之間可以相互轉(zhuǎn)化，相互滲透．?dāng)?shù)形結(jié)合的基本思想，就是在研究問(wèn)題的過(guò)程中，注意把數(shù)和形結(jié)合起來(lái)考察，斟酌問(wèn)題的具體情形，把圖形性質(zhì)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的問(wèn)題，或者把數(shù)量關(guān)系的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖形性質(zhì)的問(wèn)題，使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象問(wèn)題具體化，化難為易，獲得簡(jiǎn)便易行的成功方案．證明（講授）對(duì)于這個(gè)求和問(wèn)題，如果采用純代數(shù)的方法（首尾兩頭加），問(wèn)題雖然可以解決，但在求和過(guò)程中，需對(duì)n的奇偶性進(jìn)行討論．如果采用數(shù)形結(jié)合的方法，即用圖形的性質(zhì)來(lái)說(shuō)明數(shù)量關(guān)系的事實(shí)，那就非常的直觀．現(xiàn)利用圖形的性質(zhì)來(lái)求1＋2＋3＋4＋…＋n的值，方案如下：如圖，斜線左邊的三角形圖案是由上到下每層依次分別為1，2，3，…，n個(gè)小圓圈排列組成的．而組成整個(gè)三角形小圓圈的個(gè)數(shù)恰為所求式子1＋2＋3＋4＋…＋n的值．為求式子的值，現(xiàn)把左邊三角形倒放于斜線右邊，與原三角形組成一個(gè)平行四邊形．此時(shí)，組成平行四邊形的小圓圈共有n行，每行有（n＋1）個(gè)小圓圈，所以組成平行四邊形小圓圈的總個(gè)數(shù)為n（n＋1）個(gè)，因此，組成一個(gè)三角形小圓圈的個(gè)數(shù)為，即1＋2＋3＋4＋…＋n＝．小組活動(dòng)：仿照上述數(shù)形結(jié)合的思想方法，設(shè)計(jì)相關(guān)圖形，求1＋3＋5＋7＋…＋（2n－1）的值，其中n是正整數(shù)，你能找出幾種方法（要求：畫(huà)出圖形，并利用圖形做必要的推理說(shuō)明）簡(jiǎn)解：（1）因?yàn)榻M成此平行四邊形的小圓圈共有n行，每行有[（2n－1）＋1]個(gè)，即2n個(gè)，所以組成此平行四邊形的小圓圈共有（n×2n）個(gè)，即2n2個(gè)．∴1＋3＋5＋7＋…＋（2n－1）＝＝n2．（2）因?yàn)榻M成此正方形的小圓圈共有n行，每行有n個(gè)，所以共有（n×n）個(gè)，即n2個(gè)．∴1＋3＋5＋7＋…＋（2n－1）＝n×n＝n2．小組探究：利用數(shù)形結(jié)合的方法證明等差數(shù)列的求和公式（梯形法）知識(shí)回顧、小結(jié):1.推導(dǎo)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式的思路；2.數(shù)形結(jié)合的思想.Ⅴ、高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題講座數(shù)形結(jié)合思想高考要求數(shù)形結(jié)合思想在高考中占有非常重要的地位，其“數(shù)”與“形”結(jié)合，相互滲透，把代數(shù)式的精確刻劃與幾何圖形的直觀描述相結(jié)合，使代數(shù)問(wèn)題、幾何問(wèn)題相互轉(zhuǎn)化，使抽象思維和形象思維有機(jī)結(jié)合應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，就是充分考查數(shù)學(xué)問(wèn)題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，既分析其代數(shù)意義又揭示其幾何意義，將數(shù)量關(guān)系和空間形式巧妙結(jié)合，來(lái)尋找解題思路，使問(wèn)題得到解決運(yùn)用這一數(shù)學(xué)思想，要熟練掌握一些概念和運(yùn)算的幾何意義及常見(jiàn)曲線的代數(shù)特征重難點(diǎn)歸納應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想，應(yīng)注意以下數(shù)與形的轉(zhuǎn)化（1）集合的運(yùn)算及韋恩圖（2）函數(shù)及其圖像（3）數(shù)列通項(xiàng)及求和公式的函數(shù)特征及函數(shù)圖像（4）方程（多指二元方程）及方程的曲線以形助數(shù)常用的有借助數(shù)軸；借助函數(shù)圖像；借助單位圓；借助數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征；借助于解析幾何方法以數(shù)助形常用的有借助于幾何軌跡所遵循的數(shù)量關(guān)系；借助于運(yùn)算結(jié)果與幾何定理的結(jié)合典型題例示范講解例1設(shè)A={x｜–2≤x≤a}，B={y｜y=2x+3，且x∈A}，C={z｜z=x2，且x∈A}，若CB，求實(shí)數(shù)a的取值范圍命題意圖本題借助數(shù)形結(jié)合，考查有關(guān)集合關(guān)系運(yùn)算的題目知識(shí)依托解決本題的關(guān)鍵是依靠一元二次函數(shù)在區(qū)間上的值域求法確定集合C進(jìn)而將CB用不等式這一數(shù)學(xué)語(yǔ)言加以轉(zhuǎn)化錯(cuò)解分析考生在確定z=x2，x∈［–2,a］的值域是易出錯(cuò)，不能分類(lèi)而論巧妙觀察圖像將是上策不能漏掉a＜–2這一種特殊情形技巧與方法解決集合問(wèn)題首先看清元素究竟是什么，然后再把集合語(yǔ)言“翻譯”為一般的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，進(jìn)而分析條件與結(jié)論特點(diǎn)，再將其轉(zhuǎn)化為圖形語(yǔ)言，利用數(shù)形結(jié)合的思想來(lái)解決解∵y=2x+3在［–2,a］上是增函數(shù)∴–1≤y≤2a+3，即B={y｜–1≤y≤2a+3}作出z=x2的圖像，該函數(shù)定義域右端點(diǎn)x=a有三種不同的位置情況如下①當(dāng)–2≤a≤0時(shí)，a2≤z≤4即C={z｜a2≤z≤4}要使CB,必須且只須2a+3≥4得a≥與–2≤a＜0矛盾②當(dāng)0≤a≤2時(shí)，0≤z≤4即C={z｜0≤z≤4}，要使CB，由圖可知必須且只需解得≤a≤2③當(dāng)a＞2時(shí)，0≤z≤a2，即C={z｜0≤z≤a2}，要使CB必須且只需解得2＜a≤3④當(dāng)a＜–2時(shí)，A=此時(shí)B=C=，則CB成立綜上所述，a的取值范圍是(–∞,–2)∪［,3］例2已知acosα+bsinα=c,acosβ+bsinβ=c(ab≠0,α–β≠kπ,k∈Z)求證命題意圖本題主要考查數(shù)學(xué)代數(shù)式幾何意義的轉(zhuǎn)換能力知識(shí)依托解決此題的關(guān)鍵在于由條件式的結(jié)構(gòu)聯(lián)想到直線方程進(jìn)而由A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)特點(diǎn)知其在單位圓上錯(cuò)解分析考生不易聯(lián)想到條件式的幾何意義，是為瓶頸之一如何巧妙利用其幾何意義是為瓶頸之二技巧與方法善于發(fā)現(xiàn)條件的幾何意義，還要根據(jù)圖形的性質(zhì)分析清楚結(jié)論的幾何意義，這樣才能巧用數(shù)形結(jié)合方法完成解題證明:在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（cos