新教材人教A版5.4.2正弦函數(shù)余弦函數(shù)的性質(zhì)(二)課件（38張）

5.4.2正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)(二)【情境探究】生活中許多美好的事物都有對(duì)稱(chēng)性,如漂亮的蝴蝶,它停飛展翅就是一幅異常美麗的對(duì)稱(chēng)圖案.

必備知識(shí)生成數(shù)學(xué)中的對(duì)稱(chēng)美也比比皆是,如圓、等腰三角形、正方形、球、圓柱、正方體等.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象也很美,它們有怎樣的對(duì)稱(chēng)性?除此之外還有哪些性質(zhì)呢?繼續(xù)探究:問(wèn)題1.觀察正弦函數(shù)y=sinx,x∈R的圖象,回答問(wèn)題:(1)函數(shù)y=sinx,x∈的單調(diào)遞增區(qū)間是________,單調(diào)遞減區(qū)間是__________.

提示:

(2)結(jié)合正弦函數(shù)的周期性,它還有哪些單調(diào)區(qū)間?提示:在及的每一個(gè)端點(diǎn)上分別加上±2π,±4π,±6π…都是它的單調(diào)區(qū)間.問(wèn)題2.觀察余弦函數(shù)y=cosx,x∈R的圖象,回答問(wèn)題:

(1)函數(shù)y=cosx,x∈[-π,π]的單調(diào)遞增區(qū)間是________,單調(diào)遞減區(qū)間是________.

提示:[-π,0][0,π](2)類(lèi)比正弦函數(shù)的單調(diào)性,結(jié)合余弦函數(shù)的周期性,寫(xiě)出余弦函數(shù)的所有單調(diào)區(qū)間.提示:增區(qū)間[-π+2kπ,2kπ](k∈Z),減區(qū)間[2kπ,2kπ+π](k∈Z).問(wèn)題3.觀察正弦曲線、余弦曲線,回答下面的問(wèn)題:正弦曲線:余弦曲線:(1)觀察正弦曲線和余弦曲線,正、余弦函數(shù)是否存在最大值和最小值?若存在,其最大值和最小值分別為多少?提示:存在.正弦、余弦函數(shù)的最大值和最小值分別是1和-1.(2)在何處正(余)弦函數(shù)取得最大值和最小值?提示:過(guò)圖象上最高(低)點(diǎn)分別作x軸的垂線與x軸有無(wú)數(shù)個(gè)交點(diǎn),在每一個(gè)交點(diǎn)處函數(shù)分別取得最大(小)值.【知識(shí)生成】1.結(jié)論:正弦、余弦函數(shù)的單調(diào)性2.結(jié)論:正弦、余弦函數(shù)的最值(1)正弦函數(shù):①當(dāng)x=_______________時(shí),正弦函數(shù)取最大值1;②當(dāng)x=_______________時(shí),正弦函數(shù)取最小值-1.(2)余弦函數(shù):①當(dāng)x=___________時(shí),余弦函數(shù)取最大值1;②當(dāng)x=______________時(shí),余弦函數(shù)取最小值-1.-+2kπ(k∈Z)+2kπ(k∈Z)2kπ(k∈Z)π+2kπ(k∈Z)關(guān)鍵能力探究探究點(diǎn)一求正弦、余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【典例1】求函數(shù)y=cos的單調(diào)遞增區(qū)間.【思維導(dǎo)引】觀察式子中x的系數(shù)為負(fù)數(shù),可先利用誘導(dǎo)公式將x的系數(shù)變?yōu)檎龜?shù),再利用換元法求其單調(diào)區(qū)間.【解析】因?yàn)閥=cos=cos=cos,故要求函數(shù)y=cos的單調(diào)遞增區(qū)間,只要求函數(shù)y=cos的單調(diào)遞增區(qū)間即可.設(shè)θ=2x-,由于y=cosθ的單調(diào)遞增區(qū)間為{θ|2kπ-π≤θ≤2kπ(k∈Z)},所以2kπ-π≤2x-≤2kπ(k∈Z),解得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),故函數(shù)y=cos的單調(diào)遞增區(qū)間為(k∈Z).【類(lèi)題通法】求正、余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的方法(1)結(jié)合正弦、余弦函數(shù)的圖象,熟記它們的單調(diào)區(qū)間.(2)在求形如y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí),應(yīng)采用“換元法”整體代換,將“ωx+φ”看作一個(gè)整體“z”,即通過(guò)求y=Asinz的單調(diào)區(qū)間而求出原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.求形如y=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間方法同上.(3)在y=Asin(ωx+φ)中,若A<0或ω<0,則先利用誘導(dǎo)公式將A或ω轉(zhuǎn)為正值再求解.【定向訓(xùn)練】求函數(shù)y=2sin的單調(diào)遞增區(qū)間.【解析】y=2sin=-2sin,令z=x-,則y=-2sinz.因?yàn)閦是x的一次函數(shù),所以要求y=-2sinz的單調(diào)遞增區(qū)間,即求sinz的單調(diào)遞減區(qū)間,即2kπ+≤z≤2kπ+(k∈Z).所以2kπ+≤x-≤2kπ+(k∈Z),即2kπ+≤x≤2kπ+(k∈Z),所以函數(shù)y=2sin的單調(diào)遞增區(qū)間為(k∈Z).【補(bǔ)償訓(xùn)練】函數(shù)y=sin,x∈的單調(diào)遞減區(qū)間為_(kāi)_______.

【解析】由+2kπ≤3x+≤+2kπ(k∈Z),得≤x≤(k∈Z).又x∈,所以函數(shù)y=sin,x∈的單調(diào)遞減區(qū)間為答案:

探究點(diǎn)二利用正弦、余弦函數(shù)的單調(diào)性比較大小【典例2】比較下列各組數(shù)的大小:【思維導(dǎo)引】誘導(dǎo)到同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)比較大小.【解析】(1)由誘導(dǎo)公式可得因?yàn)檎液瘮?shù)y=sinx在上單調(diào)遞增,且0<所以即,所以(2)因?yàn)閥=sinx在上單調(diào)遞增,且,所以(3)

因?yàn)閥=cosx在(0,π)上單調(diào)遞減,所以即【類(lèi)題通法】比較三角函數(shù)值大小的方法步驟(1)利用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)值.(2)不同名的函數(shù)化為同名函數(shù).(3)自變量不在同一單調(diào)區(qū)間化至同一單調(diào)區(qū)間.【定向訓(xùn)練】(1)比較與的大小;(2)比較的大小;(3)已知α,β為銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角,比較cosα與sinβ的大小關(guān)系.【解析】(1)因?yàn)榍液瘮?shù)y=cosx在上單調(diào)遞減,所以(2)因?yàn)楹瘮?shù)y=cosx在上單調(diào)遞減,所以即(3)因?yàn)棣?β是銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角,故α+β>,所以所以cosα<cos=sinβ,即cosα<sinβ.【補(bǔ)償訓(xùn)練】cos1,cos2,cos3的大小關(guān)系是________.(用“>”連接)

【解析】由于0<1<2<3<π,而y=cosx在[0,π)上單調(diào)遞減,所以cos1>cos2>cos3.答案:cos1>cos2>cos3探究點(diǎn)三正弦、余弦函數(shù)的值域或最值【典例3】求函數(shù)f(x)=2sin2x+2sinx-,x∈的值域.【思維導(dǎo)引】將關(guān)于sinx的二次函數(shù)換元為關(guān)于t的一元二次函數(shù),利用配方法求一元二次函數(shù)的值域.【解析】令t=sinx,因?yàn)閤∈,所以t∈,則f(x)可化為y=2t2+2t-=2-1,t∈,所以當(dāng)t=時(shí),ymin=1,當(dāng)t=1時(shí),ymax=,故f(x)的值域是.【延伸探究】若將本例題條件變?yōu)椤皔=-3sin2x-4cosx+4,x∈”,結(jié)果如何?【解析】y=-3sin2x-4cosx+4=3cos2x-4cosx+1.設(shè)t=cosx,x∈,所以t∈.所以y=3t2-4t+1在t∈時(shí)單調(diào)遞減,所以當(dāng)t=-時(shí),ymax=,當(dāng)t=時(shí),ymin=-.所以y∈.【類(lèi)題通法】三角函數(shù)最值問(wèn)題的求解方法(1)形如y=asinx(或y=acosx)型,可利用正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的有界性,注意對(duì)a正負(fù)的討論.(2)形如y=Asin(ωx+φ)+b[或y=Acos(ωx+φ)+b]型,可先由定義域求得ωx+φ的范圍,然后求得sin(ωx+φ)[或cos(ωx+φ)]的范圍,最后求得最值.(3)形如y=asin2x+bsinx+c(a≠0)型,可利用換元法,設(shè)t=sinx,轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)y=at2+bt+c求最值,t的范圍需要根據(jù)定義域求得.【定向訓(xùn)練】求函數(shù)y=2cos(2x+),x∈()的值域.【解析】因?yàn)?<x<,所以0<2x+<,所以-<cos(2x+)<1,所以函數(shù)y=2cos(2x+),x∈()的值域?yàn)?-1,2).【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知函數(shù)f(x)=2asinx+b的定義域?yàn)?函數(shù)的最大值為1,最小值為-5,求a和b的值.【解析】因?yàn)?≤x≤,所以-≤sinx≤1.若a>0,則解得若a<0,則解得

正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)（二）核心知識(shí)方法總結(jié)易錯(cuò)提醒核心素養(yǎng)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，注意x的系數(shù)的正負(fù)邏輯推理：通過(guò)正、余弦函數(shù)性質(zhì)的運(yùn)用，培養(yǎng)邏輯推理的核心素養(yǎng)整體思想：利用正、余弦函數(shù)的性質(zhì)解題時(shí)，要注意整體代換法的應(yīng)用周期性奇偶性單調(diào)性最值課堂素養(yǎng)達(dá)標(biāo)1.函數(shù)f(x)=2sinx+的值域?yàn)開(kāi)_______.

【解析】函數(shù)f(x)=2sinx+,當(dāng)2kπ≤x≤2kπ+π,k∈Z時(shí),0≤sinx≤1,則f(x)=2sinx+sinx=3sinx,所以f(x)∈.當(dāng)2kπ+π<x≤2kπ+2π,k∈Z時(shí),-1≤sinx≤0,則f(x)=2sinx-sinx=sinx,所以f(x)∈,綜上可知f(x)=2sinx+的值域?yàn)閇-1,3].答案:[-1,3]2.函數(shù)y=3cos在x=________時(shí),y取最大值.

【解析】當(dāng)函數(shù)取最大值時(shí),=2kπ(k∈Z),x=4kπ+