吉林市普通高中2025屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末考試試題含解析

吉林市普通高中2025屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末考試試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．sin480°等于（）A． B． C． D．2．圓與圓的位置關(guān)系為（）A．內(nèi)切 B．相交 C．外切 D．相離3．我國古代著名的周髀算經(jīng)中提到：凡八節(jié)二十四氣，氣損益九寸九分六分分之一；冬至晷長一丈三尺五寸，夏至晷長一尺六寸意思是：一年有二十四個(gè)節(jié)氣，每相鄰兩個(gè)節(jié)氣之間的日影長度差為分；且“冬至”時(shí)日影長度最大，為1350分；“夏至”時(shí)日影長度最小，為160分則“立春”時(shí)日影長度為A．分 B．分 C．分 D．分4．直線的傾斜角的取值范圍是（）A． B． C． D．5．我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈：A．281盞 B．9盞 C．6盞 D．3盞6．若某扇形的弧長為，圓心角為，則該扇形的半徑是（）A． B． C． D．7．已知是圓上的三點(diǎn)，（）A． B． C． D．8．設(shè)為直線，是兩個(gè)不同的平面，下列命題中正確的是()A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則9．中，角所對的邊分別為，已知向量，，且共線，則的形狀是（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形10．如圖，在下列四個(gè)正方體中，，，，，，，為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個(gè)正方體中，陰影平面與所在平面平行的是()A． B．C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．某校高一、高二、高三分別有學(xué)生1600名、1200名、800名，為了解該校高中學(xué)生的牙齒健康狀況，按各年級的學(xué)生數(shù)進(jìn)行分層抽樣，若高三抽取20名學(xué)生，則高一、高二共抽取的學(xué)生數(shù)為.12．函數(shù)y=tan13．若直線：與直線的交點(diǎn)位于第一象限，則直線的傾斜角的取值范圍是___________.14．在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，.若，，成等比數(shù)列，且，則________.15．已知兩點(diǎn)A（2，1）、B（1，1+）滿足＝（sinα，cosβ），α，β∈（﹣，），則α+β＝_______________16．如圖，在等腰直角三角形ABC中，，，以AB為直徑在外作半圓O，P是半圓弧AB上的動點(diǎn)，點(diǎn)Q在斜邊BC上，若，則的取值范圍是________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知直線截圓所得的弦長為．直線的方程為．（1）求圓的方程；（2）若直線過定點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，且，為線段的中點(diǎn)，求點(diǎn)的軌跡方程.18．在直角坐標(biāo)系中，，，點(diǎn)在直線上.（1）若三點(diǎn)共線，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若，求點(diǎn)的坐標(biāo).19．已知向量，且（1）當(dāng)時(shí)，求及的值；（2）若函數(shù)的最小值是，求實(shí)數(shù)的值.20．(1)計(jì)算(2)已知,求的值21．已知直線：在軸上的截距為，在軸上的截距為.（1）求實(shí)數(shù)，的值；（2）求點(diǎn)到直線的距離.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解析】試題分析：因?yàn)椋赃xD.考點(diǎn)：誘導(dǎo)公式，特殊角的三角函數(shù)值.2、B【解析】試題分析：兩圓的圓心距為，半徑分別為，，所以兩圓相交．故選C．考點(diǎn)：圓與圓的位置關(guān)系．3、B【解析】

首先“冬至”時(shí)日影長度最大，為1350分，“夏至”時(shí)日影長度最小，為160分，即可求出,進(jìn)而求出立春”時(shí)日影長度為.【詳解】解：一年有二十四個(gè)節(jié)氣，每相鄰兩個(gè)節(jié)氣之間的日影長度差為分，且“冬至”時(shí)日影長度最大，為1350分；“夏至”時(shí)日影長度最小，為160分．，解得，“立春”時(shí)日影長度為：分．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，利用等差數(shù)列的性質(zhì)直接求解．4、B【解析】

由直線的方程可確定直線的斜率，可得其范圍，進(jìn)而可求傾斜角的取值范圍．【詳解】解：直線的斜率為，，根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)可得傾斜角的取值范圍是故選：．【點(diǎn)睛】本題考查直線的斜率與傾斜角的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．5、D【解析】

設(shè)塔的頂層共有盞燈，得到數(shù)列的公比為2的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)公式，即可求解．【詳解】設(shè)塔的頂層共有盞燈，則數(shù)列的公比為2的等比數(shù)列，所以，解得，即塔的頂層共有3盞燈，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式的應(yīng)用，著重考查了推理與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．6、D【解析】

由扇形的弧長公式列方程得解.【詳解】設(shè)扇形的半徑是，由扇形的弧長公式得：，解得：故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查了扇形的弧長公式，考查了方程思想，屬于基礎(chǔ)題．7、C【解析】

先由等式，得出，并計(jì)算出，以及與的夾角為，然后利用平面向量數(shù)量積的定義可計(jì)算出的值．【詳解】由于是圓上的三點(diǎn)，，則，，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的數(shù)量積的計(jì)算，解題的關(guān)鍵就是要確定向量的模和夾角，考查計(jì)算能力，屬于中等題．8、B【解析】A中，也可能相交；B中，垂直與同一條直線的兩個(gè)平面平行，故正確；C中，也可能相交；D中，也可能在平面內(nèi).【考點(diǎn)定位】點(diǎn)線面的位置關(guān)系9、D【解析】

由向量共線的坐標(biāo)表示得一等式，然后由正弦定理化邊為角，利用誘導(dǎo)公式得展開后代入原式化簡得，分類討論得解．【詳解】∵共線，∴，即，，，整理得，所以或，或或（舍去）．∴三角形為直角三角形或等腰三角形．故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查三角形形狀的判斷，考查向量共線的坐標(biāo)表示，考查正弦定理，兩角和的正弦公式，考查三角函數(shù)性質(zhì)．解題時(shí)不能隨便約分漏解．10、A【解析】

根據(jù)線面平行判定定理以及作截面逐個(gè)分析判斷選擇.【詳解】A中，因?yàn)?所以可得平面,又，可得平面，從而平面平面B中，作截面可得平面平面（H為C1D1中點(diǎn)）,如圖：C中，作截面可得平面平面（H為C1D1中點(diǎn)）,如圖：D中，作截面可得為兩相交直線，因此平面與平面不平行,如圖：【點(diǎn)睛】本題考查線面平行判定定理以及截面，考查空間想象能力與基本判斷論證能力，屬中檔題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、70【解析】設(shè)高一、高二抽取的人數(shù)分別為，則，解得.【考點(diǎn)】分層抽樣.12、{【解析】

解方程12【詳解】由題得12x+故答案為{x|x≠2kπ+【點(diǎn)睛】本題主要考查正切型函數(shù)的定義域的求法，意在考查學(xué)生對該知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.13、【解析】若直線與直線的交點(diǎn)位于第一象限，如圖所示：則兩直線的交點(diǎn)應(yīng)在線段上（不包含點(diǎn)）,當(dāng)交點(diǎn)為時(shí)，直線的傾斜角為，當(dāng)交點(diǎn)為時(shí)，斜率，直線的傾斜角為∴直線的傾斜角的取值范圍是．故答案為14、【解析】

A,B,C是三角形內(nèi)角，那么，代入等式中，進(jìn)行化簡可得角A,C的關(guān)系，再由，，成等比數(shù)列，根據(jù)正弦定理，將邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，兩式相減可得關(guān)于的方程，解方程即得．【詳解】因?yàn)椋?，所?因?yàn)椋?，成等比?shù)列，所以，所以，則，整理得，解得.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理和等比數(shù)列運(yùn)用，有一定的綜合性．15、或0【解析】

運(yùn)用向量的加減運(yùn)算和特殊角的三角函數(shù)值，可得所求和．【詳解】兩點(diǎn)A（2，1）、B（1，1）滿足（sinα，cosβ），可得（﹣1，）＝（，）＝（sinα，cosβ），即為sinα，cosβ，α，β∈（），可得α，β＝±，則α+β＝0或．故答案為0或．【點(diǎn)睛】本題考查向量的加減運(yùn)算和三角方程的解法，考查運(yùn)能力，屬于基礎(chǔ)題．16、【解析】

建立直角坐標(biāo)系，得出的坐標(biāo)，利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示得出，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性得出的取值范圍.【詳解】取中點(diǎn)為，建立如下圖所示的直角坐標(biāo)系則，設(shè)，，則，則設(shè)點(diǎn)，則，則當(dāng)，即時(shí)，取最大值當(dāng)，即時(shí)，取最小值則的取值范圍是故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用數(shù)量積求參數(shù)以及求正弦型函數(shù)的最值，屬于較難題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】

（1）利用點(diǎn)到直線的距離公式得到圓心到直線的距離，利用直線截圓得到的弦長公式可得半徑r，從而得到圓的方程；（2）由已知可得直線l1恒過定點(diǎn)P（1,1），設(shè)MN的中點(diǎn)Q（x，y），由已知可得，利用兩點(diǎn)間的距離公式化簡可得答案.【詳解】（1）根據(jù)題意，圓的圓心為（0，0），半徑為r，則圓心到直線l的距離，若直線截圓所得的弦長為，則有，解可得，則圓的方程為；（2）直線l1的方程為，即，則有，解得，即P的坐標(biāo)為（1，1），點(diǎn)在圓上，且，為線段的中點(diǎn)，則，設(shè)MN的中點(diǎn)為Q（x，y），則，即，化簡可得：即為點(diǎn)Q的軌跡方程.【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查直線被圓截得的弦長公式的應(yīng)用，考查直線恒過定點(diǎn)問題和軌跡問題，屬于中檔題.18、（1）；（2）.【解析】

（1）三點(diǎn)共線，則有與共線，由向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算可得點(diǎn)坐標(biāo)；（2），則，由向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得【詳解】設(shè)，則，（1）因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以與共線，所以，，點(diǎn)的坐標(biāo)為.（2）因?yàn)?，所以，即，，點(diǎn)的坐標(biāo)為.【點(diǎn)睛】本題考查向量共線和向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．19、（1），（2）.【解析】

（1）以向量為載體求解向量數(shù)量積、模長，我們只需要把向量坐標(biāo)表示出來，最后用公式就能輕松完成；（2）由（1）可以把表達(dá)式求出，最終化成二次復(fù)合型函數(shù)模式，考慮軸與區(qū)間的位置關(guān)系，我們就能對函數(shù)進(jìn)行進(jìn)一步的研究.【詳解】（1）因?yàn)?，所以又因?yàn)?，所以?），當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，不滿足.當(dāng)時(shí)，，，不滿足.綜上，實(shí)數(shù)的值為.【點(diǎn)睛】在研究三角函數(shù)相關(guān)的性質(zhì)（值域、對稱中心、對稱軸、單調(diào)性……）我們都是將其化為（或者余弦、正切相對應(yīng)）的形式，利用整體思想，我們能比較方便的去研究他們相關(guān)性質(zhì).第二問中我們其實(shí)就是求最小值問題，當(dāng)然摻雜了二次函數(shù)的“軸變區(qū)間定”的考點(diǎn).，綜合性較強(qiáng).20、(1)1+；（2）.【解析】

（1）利用對數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算得解；（2）先化簡已知得,再把它代入化簡的式子即得解.【詳解】（1）原式=1+；（2）由題得，所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查對數(shù)的運(yùn)算，考查誘導(dǎo)公式化簡求值和同角的三角函數(shù)關(guān)系，意在考