備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精講精練函數(shù)的概念及其表示知識(shí)+真題+5類(lèi)高頻考點(diǎn) 精講（解析版）

第01講函數(shù)的概念及其表示目錄TOC\o"1-3"\h\u第一部分：基礎(chǔ)知識(shí) 1第二部分：高考真題回顧 3第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過(guò) 4高頻考點(diǎn)一：函數(shù)的概念 4高頻考點(diǎn)二：函數(shù)定義域 6角度1：具體函數(shù)的定義域 6角度2：抽象函數(shù)定義域 6角度3：已知定義域求參數(shù) 7高頻考點(diǎn)三：函數(shù)解析式 9角度1：湊配法求解析式（注意定義域） 9角度2：換元法求解析式（換元必?fù)Q范圍） 10角度3：待定系數(shù)法 11角度4：方程組消去法 12高頻考點(diǎn)四：分段函數(shù) 15角度1：分段函數(shù)求值 15角度2：已知分段函數(shù)的值求參數(shù) 16角度3：分段函數(shù)求值域（最值） 17高頻考點(diǎn)五：函數(shù)的值域 20角度1：二次函數(shù)求值域 20角度2：分式型函數(shù)求值域 21角度3：根式型函數(shù)求值域 22角度4：根據(jù)值域求參數(shù) 23第四部分：典型易錯(cuò)題型 27備注：求函數(shù)解析式容易忽略定義域 27備注：抽象函數(shù)定義域問(wèn)題容易忽視了，單獨(dú)一個(gè)“”的取值范圍叫定義域 28第五部分：新定義題（解答題） 29第一部分：基礎(chǔ)知識(shí)1、函數(shù)的概念設(shè)、是兩個(gè)非空數(shù)集，如果按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系，使對(duì)于集合中的任意一個(gè)數(shù)，在集合中都有唯一確定的數(shù)和它對(duì)應(yīng)，那么稱(chēng)為從集合到集合的一個(gè)函數(shù)，記作，.其中：叫做自變量，的取值范圍叫做函數(shù)的定義域與的值相對(duì)應(yīng)的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域．2、同一（相等）函數(shù)函數(shù)的三要素：定義域、值域和對(duì)應(yīng)關(guān)系．同一（相等）函數(shù)：如果兩個(gè)函數(shù)的定義和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，則這兩個(gè)函數(shù)相等，這是判斷兩函數(shù)相等的依據(jù)．3、函數(shù)的表示函數(shù)的三種表示法解析法（最常用）圖象法（解題助手）列表法就是把變量，之間的關(guān)系用一個(gè)關(guān)系式來(lái)表示，通過(guò)關(guān)系式可以由的值求出的值.就是把，之間的關(guān)系繪制成圖象，圖象上每個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)就是相應(yīng)的變量，的值.就是將變量，的取值列成表格，由表格直接反映出兩者的關(guān)系.4、分段函數(shù)若函數(shù)在其定義域內(nèi)，對(duì)于定義域內(nèi)的不同取值區(qū)間，有著不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系，這樣的函數(shù)通常叫做分段函數(shù)．5、高頻考點(diǎn)結(jié)論5.1函數(shù)的定義域是使函數(shù)解析式有意義的自變量的取值范圍，常見(jiàn)基本初等函數(shù)定義域的要求為：(1)分式型函數(shù)：分母不等于零.(2)偶次根型函數(shù)：被開(kāi)方數(shù)大于或等于0.(3)一次函數(shù)、二次函數(shù)的定義域均為(4)的定義域是.(5)(且)，，的定義域均為.(6)(且)的定義域?yàn)?(7)的定義域?yàn)?5.2函數(shù)求值域（1）分離常數(shù)法：將形如()的函數(shù)分離常數(shù)，變形過(guò)程為：，再結(jié)合的取值范圍確定的取值范圍，從而確定函數(shù)的值域.（2）換元法：如：函數(shù)，可以令，得到，函數(shù)可以化為()，接下來(lái)求解關(guān)于t的二次函數(shù)的值域問(wèn)題，求解過(guò)程中要注意t的取值范圍的限制．（3）基本不等式法和對(duì)勾函數(shù)（4）單調(diào)性法（5）求導(dǎo)法第二部分：高考真題回顧1．（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)，則．【答案】1【分析】根據(jù)給定條件，把代入，利用指數(shù)、對(duì)數(shù)運(yùn)算計(jì)算作答.【詳解】函數(shù)，所以.故答案為：12．（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）設(shè)函數(shù)若存在最小值，則a的一個(gè)取值為；a的最大值為．【答案】0（答案不唯一）1【分析】根據(jù)分段函數(shù)中的函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行分類(lèi)討論，可知，符合條件，不符合條件，時(shí)函數(shù)沒(méi)有最小值，故的最小值只能取的最小值，根據(jù)定義域討論可知或，

解得.【詳解】解：若時(shí)，，∴；若時(shí)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，故沒(méi)有最小值，不符合題目要求；若時(shí)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，，當(dāng)時(shí)，∴或，解得，綜上可得；故答案為：0（答案不唯一），1第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過(guò)高頻考點(diǎn)一：函數(shù)的概念典型例題例題1．（2024上·福建福州·高一福建省福清第一中學(xué)校考階段練習(xí)）下列四個(gè)圖形中，不是以為自變量的函數(shù)的圖象是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)定義作出判斷.【詳解】根據(jù)函數(shù)定義，在定義域內(nèi)，對(duì)于任意的，只能有唯一確定的與其對(duì)應(yīng)，ABC滿(mǎn)足要求，D選項(xiàng)，在定義域內(nèi)對(duì)于，有兩個(gè)確定的與其對(duì)應(yīng)，D錯(cuò)誤.故選：D例題2．（2024上·四川瀘州·高一統(tǒng)考期末）托馬斯說(shuō)：“函數(shù)是近代數(shù)學(xué)思想之花”根據(jù)函數(shù)的概念判斷：下列對(duì)應(yīng)關(guān)系是集合到集合的函數(shù)的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用函數(shù)的定義，逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】對(duì)于A，集合中的元素按對(duì)應(yīng)關(guān)系，在集合中沒(méi)有元素與之對(duì)應(yīng)，A不是；對(duì)于B，集合中的元素按對(duì)應(yīng)關(guān)系，在集合中沒(méi)有元素與之對(duì)應(yīng)，B不是；對(duì)于C，集合中的每個(gè)元素按對(duì)應(yīng)關(guān)系，在集合中都有唯一元素與之對(duì)應(yīng)，C是；對(duì)于D，集合中的元素按對(duì)應(yīng)關(guān)系，在集合中沒(méi)有元素與之對(duì)應(yīng)，D不是.故選：C練透核心考點(diǎn)1．（2024上·海南省直轄縣級(jí)單位·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表所示，函數(shù)的圖象是如下圖所示，則的值為（

）12343A． B．0 C．3 D．4【答案】D【分析】觀察函數(shù)圖象得，再利用數(shù)表求解即得.【詳解】觀察函數(shù)的圖象，得，由數(shù)表得，所以.故選：D2．（多選）（2024上·陜西安康·高一?？计谀┫铝懈鲌D中，是函數(shù)圖象的是（

）A． B．

C．

D．

【答案】BD【分析】根據(jù)函數(shù)的定義判斷即可.【詳解】根據(jù)函數(shù)的定義，對(duì)于定義域內(nèi)的每一個(gè)值都有唯一的一個(gè)值與之對(duì)應(yīng)，可看出BD滿(mǎn)足.故選：BD高頻考點(diǎn)二：函數(shù)定義域角度1：具體函數(shù)的定義域典型例題例題1．（2024下·河南·高一信陽(yáng)高中校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A．且 B． C． D．【答案】C【分析】可直接求出函數(shù)的定義域進(jìn)行判斷.【詳解】由題得，解得，即函數(shù)的定義域?yàn)?故選：例題2．（2024上·北京東城·高三統(tǒng)考期末）函數(shù)的定義域?yàn)?【答案】【分析】根據(jù)分式的分母不為，對(duì)數(shù)的真數(shù)大于求解即可.【詳解】，解得且，函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：.角度2：抽象函數(shù)定義域典型例題例題1．（2024上·江蘇徐州·高三沛縣湖西中學(xué)學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)的定義域是，則的定義域是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)抽象函數(shù)的定義域可得滿(mǎn)足，結(jié)合根式的意義即可求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋詽M(mǎn)足，即，又，即，所以，解得.所以函數(shù)的定義域?yàn)?故選：D.例題2．（2024上·福建龍巖·高一福建省武平縣第一中學(xué)校聯(lián)考期末）若冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，則的定義域是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)，根據(jù)冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)求出的值，即可求出的定義域，再根據(jù)抽象函數(shù)的定義域計(jì)算規(guī)則得到，解得即可.【詳解】設(shè)，依題意可得，解得，所以，所以的定義域?yàn)椋涤驗(yàn)?，且，?duì)于函數(shù)，則，解得，即函數(shù)的定義域是.故選：B角度3：已知定義域求參數(shù)典型例題例題1．（2024上·吉林通化·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域是R，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，建立恒成立的不等式，再分類(lèi)討論求解作答.【詳解】依題意，，不等式恒成立，當(dāng)時(shí)，恒成立，則，當(dāng)時(shí)，有，解得，則，因此所以的取值范圍是例題2．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若函數(shù)的定義域?yàn)?，則的值為．【答案】【分析】由定義域得一元二次不等式的解，從而由二次不等式的性質(zhì)可得參數(shù)值．【詳解】由題意的解是，所以，解得，，所以．故答案為：．練透核心考點(diǎn)1．（2024上·山西太原·高一山西大附中?？计谥校┮阎瘮?shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意得到，再解不等式組即可.【詳解】根據(jù)題意可得，解得且．故選：C.故選：C2．（2024上·山西長(zhǎng)治·高一校聯(lián)考期末）函數(shù)的定義域?yàn)?【答案】【分析】根據(jù)根號(hào)下部分大于等于0建立不等式求解即可.【詳解】令，則或，解得或，所以函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：3．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若函數(shù)的定義域?yàn)?，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.【答案】【分析】根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為在恒成立，結(jié)合一元二次方程的性質(zhì)，列出不等式，即可求解.【詳解】由函數(shù)的定義域?yàn)?，即在恒成立，結(jié)合一元二次方程的性質(zhì)，則滿(mǎn)足，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：4．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的值為．【答案】【分析】函數(shù)定義域滿(mǎn)足，根據(jù)解集結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系解得答案.【詳解】的定義域滿(mǎn)足：，解集為，故且，解得.故答案為：高頻考點(diǎn)三：函數(shù)解析式角度1：湊配法求解析式（注意定義域）典型例題例題1．（2024·江蘇·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知，則函數(shù)，=．【答案】11【分析】利用換元法可求出，進(jìn)一步可得.【詳解】令，則，所以，所以，所以.故答案為：；.例題2．（2024上·重慶長(zhǎng)壽·高一重慶市長(zhǎng)壽中學(xué)校校聯(lián)考期末）已知（a，b均為常數(shù)），且．(1)求函數(shù)的解析式；【答案】(1)【分析】（1）由，代入函數(shù)解析式求出，得函數(shù)的解析式；【詳解】（1）由，得，即，由，可得解得所以角度2：換元法求解析式（換元必?fù)Q范圍）典型例題例題1．（2024·江蘇·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，則的解析式為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)換元法求函數(shù)解析式.【詳解】令，可得.所以，因此的解析式為.故選：D.例題2．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知，求的解析式.【答案】【分析】令，則，代入函數(shù)解析式可得解.【詳解】由，令，則，所以，所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查了已知的解析式求解析式的求解，解題的關(guān)鍵是換元法，但是需要主要定義域的變化，屬于基礎(chǔ)題角度3：待定系數(shù)法典型例題例題1．（2024·江蘇·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)是一次函數(shù)，且，則（

）A．11 B．9 C．7 D．5【答案】A【分析】設(shè)，根據(jù)恒成立可得a，b，然后可解.【詳解】設(shè)，則，整理得，所以，解，所以，所以.故選：A例題2．（2024·江蘇·高一專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)二次函數(shù)滿(mǎn)足，且，求的解析式.【答案】【分析】根據(jù)題意設(shè)，由求出c，由可求得，即可得答案.【詳解】設(shè)二次函數(shù)為，因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)?，即，所以，解得：，所以函?shù)解析式為.角度4：方程組消去法典型例題例題1．（2024·江蘇·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知滿(mǎn)足，則解析式為．【答案】【分析】用代得出一個(gè)式子，利用方程思想求解函數(shù)解析式.【詳解】由

①用代可得，

②由①②可得：故答案為：例題2．（2024·江蘇·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知，求函數(shù)的解析式．【答案】【分析】通過(guò)構(gòu)造方程組的方法來(lái)求得的解析式.【詳解】①，以替換，得②，得：，所以.練透核心考點(diǎn)1．（2024·江蘇·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，則的解析式為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)條件，通過(guò)配湊即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所?故選：D.2．（2024·江蘇·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用換元法直接求解即可.【詳解】令，，則，，所以，所以的解析式為：故選：B.3．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若函數(shù)滿(mǎn)足方程且，則：（1）；（2）．【答案】【分析】令可得；用替換，再解方程組可得答案.【詳解】令可得：，所以；由①得，②，聯(lián)立①②可得：.故答案為：①；②.4．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知定義域?yàn)镽的函數(shù)滿(mǎn)足，則.【答案】【解析】由題意利用方程思想求得函數(shù)的解析式即可.【詳解】因?yàn)?，所以，同除?得，兩式相加可得，即.故答案為：.【點(diǎn)睛】求函數(shù)解析式常用方法：(1)待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類(lèi)型(如一次函數(shù)、二次函數(shù))，可用待定系數(shù)法；(2)換元法：已知復(fù)合函數(shù)f(g(x))的解析式，可用換元法，此時(shí)要注意新元的取值范圍；(3)方程法：已知關(guān)于f(x)與或f(－x)的表達(dá)式，可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個(gè)等式組成方程組，通過(guò)解方程組求出f(x)．5．（2024·江蘇·高一專(zhuān)題練習(xí)）求下列函數(shù)的解析式(1)設(shè)函數(shù)是一次函數(shù)，且滿(mǎn)足，求的解析式(2)設(shè)滿(mǎn)足，求的解析式【答案】(1)或(2)【分析】（1）利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；（2）利用消元法求函數(shù)解析式.【詳解】（1）設(shè)一次函數(shù)的解析式為，則，所以，解得，或，所以或.（2）由①，得②，①②得，即.6．（2024·江蘇·高一專(zhuān)題練習(xí)）（1）已知是一次函數(shù)，且滿(mǎn)足，求的解析式；（2）已知，求的解析式；【答案】（1）；（2）【分析】（1）設(shè)出，根據(jù)題目條件得到方程組，求出，，得到函數(shù)解析式；（2）換元法求出函數(shù)解析式，注意自變量取值范圍.【詳解】（1）由題意，設(shè)函數(shù)為，，，即，由恒等式性質(zhì)，得，，，所求函數(shù)解析式為（2）令，則，，因?yàn)椋?，所?高頻考點(diǎn)四：分段函數(shù)角度1：分段函數(shù)求值典型例題例題1．（2024上·江西南昌·高一校聯(lián)考期末）已知函數(shù)，，則（

）A． B． C． D．0【答案】C【分析】由題意首先將代入得的值，進(jìn)一步將代入即可求解.【詳解】由題意，解得，所以.故選：C.例題2．（2024上·河北石家莊·高一石家莊市第二十四中學(xué)校考期末）已知函數(shù)，則．【答案】【分析】由，從而可求解.【詳解】由題意知當(dāng)，，則，所以.故答案為：.角度2：已知分段函數(shù)的值求參數(shù)典型例題例題1．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)且，則（

）A．-16 B．16 C．26 D．27【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)解析式，結(jié)合指數(shù)對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)分類(lèi)討論進(jìn)行求解即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，故選：C例題2．（2024上·江蘇常州·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)若，則實(shí)數(shù)的值為．【答案】【分析】利用分段函數(shù)求解即可.【詳解】，，．故答案為：角度3：分段函數(shù)求值域（最值）典型例題例題1．（2024上·河南南陽(yáng)·高一校聯(lián)考期末）函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】D【分析】法一，根據(jù)題意，分別求出當(dāng)時(shí)與當(dāng)時(shí)的最值，即可得到分段函數(shù)的值域；法二，畫(huà)出的草圖，數(shù)形結(jié)合可求出值域；【詳解】法一：因?yàn)榍遥援?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的最小值為，最大值為3，故函數(shù)的值域?yàn)?法二：畫(huà)出的草圖，如圖所示，由圖象可知函數(shù)的最小值為，最大值為3，故函數(shù)的值域?yàn)?

故選：D例題2．（2024上·四川達(dá)州·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，則的最大值是（

）A．60 B．58 C．56 D．52【答案】C【分析】分和兩種情況討論，結(jié)合二次函數(shù)和反比例函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，此時(shí)，綜上所述，.故選：C.練透核心考點(diǎn)1．（2024上·云南大理·高一統(tǒng)考期末）已知，，則函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先得到，再作出其圖象求解.【詳解】解：由題意得：，其圖象，如圖所示：

由圖象知：函數(shù)y的值域?yàn)?，故選：A2．（2024·陜西西安·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，則（

）A． B． C． D．2【答案】A【分析】根據(jù)給定的分段函數(shù)，依次代入計(jì)算即得.【詳解】函數(shù)，則，所以.故選：A3．（多選）（2024上·山東濟(jì)寧·高一統(tǒng)考期末）已知，若，則所有可能的值是（

）A．－1 B． C．1 D．【答案】BD【分析】利用函數(shù)的解析式，結(jié)合指數(shù)、對(duì)數(shù)運(yùn)算可求得結(jié)果.【詳解】由已知可得或或，解得，或.故選：BD4．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的值域?yàn)椋敬鸢浮俊痉治觥糠謩e計(jì)算出分段函數(shù)每段函數(shù)取值范圍后取并集即可得.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以的值域?yàn)椋蚀鸢笧椋?高頻考點(diǎn)五：函數(shù)的值域角度1：二次函數(shù)求值域典型例題例題1．（2024上·上?！じ咭恍？计谀┖瘮?shù)，的最小值是.【答案】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)榈膱D象開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為，又，所以的最小值是.故答案為：.例題2．（2024上·湖南衡陽(yáng)·高一統(tǒng)考期末）已知二次函數(shù)滿(mǎn)足．(1)求的解析式．(2)求在上的值域．【答案】(1)(2)【分析】（1）令，則，利用換元法代入可求得的解析式；（2）由（1）可得函數(shù)的解析式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)分析可得答案.【詳解】（1）令，則，，∴.（2）因?yàn)?，所以的圖象對(duì)稱(chēng)軸為，在上遞減，在上遞增，∴，，即的值域?yàn)?角度2：分式型函數(shù)求值域典型例題例題1．（2024上·山西太原·高一山西大附中?？计谥校┖瘮?shù)的值域是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先分離常數(shù)，再確定分式函數(shù)值域，最后確定整個(gè)函數(shù)的值域.【詳解】，而由函數(shù)向右平移3個(gè)單位得到，所以得值域和的值域相同，都為，所以得值域?yàn)?，故選：B例題2．（2024上·上?！じ咭簧虾Ｖ袑W(xué)?？计谀┖瘮?shù)的值域是．【答案】【分析】利用分離常數(shù)項(xiàng)整理化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)以及不等式性質(zhì)，可得答案.【詳解】由題意可知，函數(shù)，由，，或，則或，即函數(shù)值域?yàn)?故答案為：角度3：根式型函數(shù)求值域典型例題例題1．（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】C【分析】令，，可得，利用函數(shù)單調(diào)性求值域.【詳解】令，，則，所以函數(shù)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，時(shí)，有最小值，所以函數(shù)的值域?yàn)?故選：C例題2．（2024上·江西宜春·高一校考期末）已知函數(shù).(1)求的解析式；(2)求的值域.【答案】(1)(2).【分析】（1）換元法求解析式；（2）求復(fù)合函數(shù)的值域，先由內(nèi)層二次函數(shù)配方法求值域，再由冪函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)值域.【詳解】（1）令，則，所以，故.（2）由（1）知，設(shè)，圖象開(kāi)口向上，由，，的值域?yàn)?，令，則的值域即函數(shù)的值域，由函數(shù)在單調(diào)遞增，則，的值域?yàn)?故的值域?yàn)?角度4：根據(jù)值域求參數(shù)典型例題例題1．（2024·河南鄭州·鄭州市宇華實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考一模）已知函數(shù)，若的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】借助的值域?yàn)榭傻靡”樗械恼龜?shù)，對(duì)進(jìn)行分類(lèi)討論即可得.【詳解】若函數(shù)的值域?yàn)?，則要取遍所有的正數(shù)．所以或，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：A．例題2．（2024·上海·高一假期作業(yè)）已知，若函數(shù)的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【答案】【分析】分類(lèi)討論，在時(shí)由可得．【詳解】時(shí)，不合題意，因此且，∴，故答案為：．例題3．（2024上·廣東深圳·高一深圳市高級(jí)中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)的值域?yàn)椋瑒t實(shí)數(shù)的取值范圍為．【答案】【分析】先求解出時(shí)的值域，然后根據(jù)分類(lèi)討論時(shí)的值域，由此確定出的取值范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，當(dāng)且時(shí)，，此時(shí)，且，所以不滿(mǎn)足；當(dāng)且時(shí)，，由對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，此時(shí)，若要滿(mǎn)足的值域?yàn)?，只需要，解得；?dāng)且時(shí)，因?yàn)榫谏蠁握{(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，且時(shí)，，時(shí)，，所以此時(shí)，此時(shí)顯然能滿(mǎn)足的值域?yàn)椋痪C上可知，的取值范圍是，故答案為：.練透核心考點(diǎn)1．（2024上·廣東廣州·高二廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考期末）函數(shù)的最大值是（

）A． B． C． D．4【答案】B【分析】設(shè)，根據(jù)輔助角公式，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】由，解得，故的定義域?yàn)?設(shè)，則，其中，，∵，則，∴當(dāng)，即時(shí)，取最大值，即函數(shù)的最大值是.故選：B.2．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)若的值域?yàn)?則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分別畫(huà)出分段函數(shù)對(duì)應(yīng)的兩個(gè)函數(shù)圖象，再對(duì)實(shí)數(shù)的取值進(jìn)行分類(lèi)討論即可.【詳解】根據(jù)題意可得，在同一坐標(biāo)系下分別畫(huà)出函數(shù)和的圖象如下圖所示：由圖可知，當(dāng)或時(shí)，兩圖象相交，若的值域是，以實(shí)數(shù)為分界點(diǎn)，可進(jìn)行如下分類(lèi)討論：當(dāng)時(shí)，顯然兩圖象之間不連續(xù)，即值域不為；同理當(dāng),值域也不是；當(dāng)時(shí)，兩圖象相接或者有重合的部分，此時(shí)值域是；綜上可知，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：B3．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）世界公認(rèn)的三大著名數(shù)學(xué)家為阿基米德、牛頓、高斯，其中享有“數(shù)學(xué)王子”美譽(yù)的高斯提出了取整函數(shù)，表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，例如．已知，，則函數(shù)的值域?yàn)椋敬鸢浮俊痉治觥扛鶕?jù)題意，將變形，分析其取值范圍，結(jié)合取整函數(shù)定義，分析得到答案.【詳解】根據(jù)題意，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，所以，即，所以，此時(shí)的取值為1；當(dāng)時(shí)，，所以，即，所以，此時(shí)的取值為；綜上，的值域?yàn)椋蚀鸢笧椋?4．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)的值域是或，則此函數(shù)的定義域?yàn)?【答案】【分析】利用反函數(shù),可將原函數(shù)化為,(其中或),求出的值域即得的定義域.【詳解】，其中或，當(dāng)時(shí),是減函數(shù),此時(shí)，當(dāng)時(shí),是減函數(shù),此時(shí)，∴函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：.5．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）求函數(shù)的值域?yàn)?【答案】【分析】通過(guò)換元，配方，將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)頂點(diǎn)式的形式，要注意的是原函數(shù)是給定定義域的，要在定義域內(nèi)求值域.【詳解】令，則，容易看出，該函數(shù)轉(zhuǎn)化為一個(gè)開(kāi)口向下的二次函數(shù)，對(duì)稱(chēng)軸為，，所以該函數(shù)在時(shí)取到最大值，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，所以函數(shù)值域?yàn)?故答案為：6．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)的值域?yàn)椋瑒t常數(shù)．【答案】7或【詳解】因?yàn)?，所以，，即，因?yàn)楹瘮?shù)的值域?yàn)?，所以是方程的兩個(gè)根，所以，，解得或，所以7或.故答案為：7或.7．（2024·江蘇·高一假期作業(yè)）求下列函數(shù)的值域.(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）利用配方法結(jié)合單調(diào)性求二次函數(shù)的值域；（2）利用分式的性質(zhì)，結(jié)合基本不等式的應(yīng)用進(jìn)行求解．【詳解】（1）,函數(shù)的定義域?yàn)?在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，,又因?yàn)?所以.所以函數(shù)的值域?yàn)椋?）,當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào),函數(shù)的值域?yàn)?第四部分：典型易錯(cuò)題型備注：求函數(shù)解析式容易忽略定義域1．（2023上·廣東