2025屆北京市朝陽區(qū)陳經(jīng)倫中學數(shù)學高一下期末考試試題含解析

2025屆北京市朝陽區(qū)陳經(jīng)倫中學數(shù)學高一下期末考試試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，Sn=2aA．145 B．114 C．82．在ΔABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，若c=2bsinC，B≤πA．π6 B．π4 C．π3．函數(shù)定義域是（）A． B． C． D．4．已知變量和滿足關(guān)系，變量與正相關(guān)．下列結(jié)論中正確的是（）A．與負相關(guān)，與負相關(guān)B．與正相關(guān)，與正相關(guān)C．與正相關(guān)，與負相關(guān)D．與負相關(guān)，與正相關(guān)5．生活中有這樣一個實際問題：如果一杯糖水不夠甜，可以選擇加糖的方式，使得糖水變得更甜．若，則下列數(shù)學模型中最能刻畫“糖水變得更甜”的是（）A． B．C． D．6．設(shè)是等差數(shù)列的前項和,若,則A． B． C． D．7．已知圓與直線切于點，則直線的方程為（）A． B． C． D．8．已知函數(shù)，且此函數(shù)的圖象如圖所示，由點的坐標是（）A． B． C． D．9．在△ABC中,,則△ABC為()A．等腰三角形 B．等邊三角形C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形10．甲、乙兩名籃球運動員最近五場比賽的得分如莖葉圖所示，則（）A．甲的中位數(shù)和平均數(shù)都比乙高B．甲的中位數(shù)和平均數(shù)都比乙低C．甲的中位數(shù)比乙的中位數(shù)高，但平均數(shù)比乙的平均數(shù)低D．甲的中位數(shù)比乙的中位數(shù)低，但平均數(shù)比乙的平均數(shù)高二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若點在冪函數(shù)的圖像上，則函數(shù)的反函數(shù)=________.12．適合條件的角的取值范圍是______.13．若點到直線的距離是，則實數(shù)=______．14．為了研究問題方便,有時將余弦定理寫成:,利用這個結(jié)構(gòu)解決如下問題:若三個正實數(shù)，滿足,，，則_______.15．已知,，與的夾角為鈍角，則的取值范圍是_____;16．在平面直角坐標系中，點，，若直線上存在點使得，則實數(shù)的取值范圍是_____．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知向量.（1）若，求的值；（2）記函數(shù)，求的最大值及單調(diào)遞增區(qū)間.18．某大學藝術(shù)專業(yè)400名學生參加某次測評，根據(jù)男女學生人數(shù)比例，使用分層抽樣的方法從中隨機抽取了100名學生，記錄他們的分數(shù)，將數(shù)據(jù)分成7組：[20，30），[30，40），┄，[80，90]，并整理得到如下頻率分布直方圖：（Ⅰ）從總體的400名學生中隨機抽取一人，估計其分數(shù)小于70的概率；（Ⅱ）已知樣本中分數(shù)小于40的學生有5人，試估計總體中分數(shù)在區(qū)間[40，50）內(nèi)的人數(shù)；19．在中，角對應的邊分別是，且.（1）求角；（2）若，求的取值范圍.20．已知關(guān)于直線對稱，且圓心在軸上.（1）求的標準方程；（2）已知動點在直線上，過點引的兩條切線、，切點分別為.①記四邊形的面積為，求的最小值；②證明直線恒過定點.21．已知圓，為坐標原點，動點在圓外，過點作圓的切線，設(shè)切點為.（1）若點運動到處，求此時切線的方程；（2）求滿足的點的軌跡方程.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解析】

由Sn=2an-2，可得Sn-1=2an-1-2兩式相減可得公比的值，由S1=2a1-2=【詳解】因為Sn=2a兩式相減化簡可得an公比q=a由S1=2a∵a則4×2m+n-2=64∴1當且僅當nm=9mn時取等號，此時∵m,n取整數(shù)，∴均值不等式等號條件取不到，則1m驗證可得，當m=2,n=4時，1m+9【點睛】本題主要考查等比數(shù)列的定義與通項公式的應用以及利用基本不等式求最值，屬于難題.利用基本不等式求最值時，一定要正確理解和掌握“一正，二定，三相等”的內(nèi)涵：一正是，首先要判斷參數(shù)是否為正；二定是，其次要看和或積是否為定值（和定積最大，積定和最?。蝗嗟仁?，最后一定要驗證等號能否成立（主要注意兩點，一是相等時參數(shù)是否在定義域內(nèi)，二是多次用≥或≤時等號能否同時成立）.2、A【解析】

利用正弦定理可求得sinB=12【詳解】因為c=2bsinC，所以sinC=2sinBsinC，所以sinB=1【點睛】本題主要考查正弦定理的運用，難度較小.3、A【解析】

若函數(shù)有意義,則需滿足,進而求解即可【詳解】由題,則,解得,故選:A【點睛】本題考查具體函數(shù)的定義域,屬于基礎(chǔ)題4、A【解析】

因為變量和滿足關(guān)系，一次項系數(shù)為，所以與負相關(guān)；變量與正相關(guān)，設(shè)，所以，得到，一次項系數(shù)小于零，所以與負相關(guān)，故選A.5、B【解析】

由題意可得糖水甜可用濃度體現(xiàn)，設(shè)糖的量為，糖水的量設(shè)為，添加糖的量為，對照選項，即可得到結(jié)論．【詳解】由題意，若，設(shè)糖的量為，糖水的量設(shè)為，添加糖的量為，選項A，C不能說明糖水變得更甜，糖水甜可用濃度體現(xiàn)，而，能體現(xiàn)糖水變甜；選項D等價于，不成立，故選：B．【點睛】本題主要考查了不等式在實際生活中的運用，考查不等式的等價變形，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題．6、A【解析】，，選A.7、A【解析】

利用點與圓心連線的直線與所求直線垂直，求出斜率，即可求過點與圓C相切的直線方程；【詳解】圓可化為：，顯然過點的直線不與圓相切，則點與圓心連線的直線斜率為，則所求直線斜率為，代入點斜式可得，整理得。故選A.【點睛】本題考查直線方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．8、B【解析】

先由函數(shù)圖象與軸的相鄰兩個交點確定該函數(shù)的最小正周期，并利用周期公式求出的值，再將點代入函數(shù)解析式，并結(jié)合函數(shù)在該點附近的單調(diào)性求出的值，即可得出答案。【詳解】解：由圖象可得函數(shù)的周期∴，得，將代入可得，∴（注意此點位于函數(shù)減區(qū)間上）∴由可得，∴點的坐標是，故選：B．【點睛】本題考查利用圖象求三角函數(shù)的解析式，其步驟如下：①求、：，；②求：利用一些關(guān)鍵點求出最小正周期，再由公式求出；③求：代入關(guān)鍵點求出初相，如果代對稱中心點要注意附近的單調(diào)性。9、C【解析】

直接利用正弦定理余弦定理化簡得到，即得解.【詳解】由已知得，由正、余弦定理得，即，即，故是直角三角形.故答案為：C【點睛】本題主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理水平.10、B【解析】

分別計算出兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)即可得出選項.【詳解】根據(jù)題意：甲的平均數(shù)為：，中位數(shù)為29，乙的平均數(shù)為：，中位數(shù)為30，所以甲的中位數(shù)和平均數(shù)都比乙低.故選：B【點睛】此題考查根據(jù)莖葉圖表示的數(shù)據(jù)分別辨析平均數(shù)和中位數(shù)的大小關(guān)系，分別計算求解即可得出答案.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

根據(jù)函數(shù)經(jīng)過點求出冪函數(shù)的解析式，利用反函數(shù)的求法，即可求解．【詳解】因為點在冪函數(shù)的圖象上，所以，解得，所以冪函數(shù)的解析式為，則，所以原函數(shù)的反函數(shù)為．故答案為：【點睛】本題主要考查了冪函數(shù)的解析式的求法，以及反函數(shù)的求法，其中熟記反函數(shù)的求法是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題．12、【解析】

根據(jù)三角函數(shù)的符號法則，得，從而求出的取值范圍.【詳解】，的取值范圍的解集為.故答案為：【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)符號法則的應用問題，是基礎(chǔ)題.13、或1【解析】

由點到直線的距離公式進行解答，即可求出實數(shù)a的值．【詳解】點（1，a）到直線x﹣y+1＝0的距離是，∴；即|a﹣2|＝3，解得a＝﹣1，或a＝1，∴實數(shù)a的值為﹣1或1．故答案為：﹣1或1．【點睛】本題考查了點到直線的距離公式的應用問題，解題時應熟記點到直線的距離公式，是基礎(chǔ)題．14、【解析】

設(shè)的角、、的對邊分別為、、，在內(nèi)取點，使得，設(shè)，，，利用余弦定理得出的三邊長，由此計算出的面積，再利用可得出的值.【詳解】設(shè)的角、、的對邊分別為、、，在內(nèi)取點，使得，設(shè)，，，由余弦定理得，，同理可得，，，則，的面積為，另一方面，解得，故答案為.【點睛】本題考查余弦定理的應用，問題的關(guān)鍵在于將題中的等式轉(zhuǎn)化為余弦定理，并轉(zhuǎn)化為三角形的面積來進行計算，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想以及數(shù)形結(jié)合思想，屬于中等題.15、【解析】

與的夾角為鈍角，即數(shù)量積小于0.【詳解】因為與的夾角為鈍角，所以與的數(shù)量積小于0且不平行.且所以【點睛】本題考查兩向量的夾角為鈍角的坐標表示，一定注意數(shù)量積小于0包括平角．16、.【解析】

設(shè)由，求出點軌跡方程，可判斷其軌跡為圓，點又在直線，轉(zhuǎn)化為直線與圓有公共點，只需圓心到直線的距離小于半徑，得到關(guān)于的不等式，求解，即可得出結(jié)論.【詳解】設(shè)，，，，整理得，又點在直線，直線與圓共公共點，圓心到直線的距離，即.故答案為:.【點睛】本題考查求曲線的軌跡方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）或，（2），增區(qū)間為：【解析】

（1）根據(jù)得到，再根據(jù)的范圍解方程即可.（2）首先根據(jù)題意得到，再根據(jù)的范圍即可得到函數(shù)的最大值和單調(diào)增區(qū)間.【詳解】因為，所以，即.因為，.所以或，即或.（2）.因為，所以.所以，.因為，所以.令，得.因為，所以增區(qū)間為：.【點睛】本題第一問考查根據(jù)三角函數(shù)值求角，同時考查了平面向量平行的坐標運算，第二問考查了三角函數(shù)的最值和單調(diào)區(qū)間，屬于中檔題.18、（Ⅰ）0.4；（Ⅱ）20.【解析】

（1）首先可以根據(jù)頻率分布直方圖得出樣本中分數(shù)不小于的頻率，然后算出樣本中分數(shù)小于的頻率，最后計算出分數(shù)小于的概率；（2）首先計算出樣本中分數(shù)不小于的頻率，然后計算出分數(shù)在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)，最后計算出總體中分數(shù)在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)?！驹斀狻浚?）根據(jù)頻率分布直方圖可知，樣本中分數(shù)不小于的頻率為，所以樣本中分數(shù)小于的頻率為．所以從總體的名學生中隨機抽取一人，其分數(shù)小于的概率估計為。（2）根據(jù)題意，樣本中分數(shù)不小于的頻率為，分數(shù)在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)為，所以總體中分數(shù)在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)估計為?！军c睛】遇到頻率分布直方圖問題時需要注意：在頻率分布直方圖中，小矩形的高表示頻率/組距，而不是頻率；利用頻率分布直方圖求眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)時，應注意三點：①最高的小長方形底邊中點的橫坐標即是眾數(shù)；②中位數(shù)左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的；③平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個小長方形的面積乘以小長方形底邊中點的橫坐標之和。19、（1）；（2）.【解析】

（1）依照條件形式，使用正弦定理化角為邊，再用余弦定理求出，從而得出角的值；（2）先利用余弦定理找出的關(guān)系，再利用基本不等式放縮，求出的取值范圍．【詳解】（1）由及正弦定理得，，由余弦定理得，又，所以（2）由及，得，即所以，所以，當且僅當時，等號成立，又，所以.【點睛】本題主要考查利用正余弦定理解三角形，以及利用基本不等式求等式條件下的取值范圍問題，第二問也可以采用正弦定理化邊為角，利用“同一法”求出的取值范圍．20、（1）（2）①②證明見解析【解析】

（1）根據(jù)圓的一般式，可得圓心坐標，將圓心坐標代入直線方程，結(jié)合圓心在軸上，即可求得圓C的標準方程．（2）①根據(jù)切線性質(zhì)及切線長定理，表示出的長，根據(jù)圓的性質(zhì)可知當最小時，即可求得面積的最小值；②設(shè)出M點坐標，根據(jù)兩條切線可知M、A、C、B四點共圓，可得圓心坐標及半徑，進而求得的方程，根據(jù)兩個圓公共弦所在直線方程求法即可得直線方程，進而求得過的定點坐標．【詳解】（1）由題意知，圓心在直線上，即，又因為圓心在軸上，所以，由以上兩式得：，，所以.故的標準方程為.（2）①如圖，的圓心為，半徑，因為、是的兩條切線，所以，，故又因為，根據(jù)平面幾何知識，要使最小，只要最小即可.易知，當點坐標為時，.此時.②設(shè)點的坐標為，因為，所以、、、四點共圓.其圓心為線段的中點，，設(shè)所在的圓為，所以的方程為：，化簡得：，因為是和的公共弦，所以，兩式相減得，故方程為：，當時，，所以直線恒過定點.【點睛】本題考查了圓的一般方程與標準方程的應用，圓中三角形面積問題的應用，直線過定點問題，綜合性強，屬于難題．21、（1）或；（2）.【解析】

解:把圓C的方程化為標準方程為（x＋1）2＋（y－2）2＝4，∴圓心為C（－1,2），半徑r＝2.（1）當l的斜