2024年廣東省東莞市中考二模數(shù)學(xué)試題（解析版）

廣東省初中學(xué)業(yè)水平考試第二次模擬測(cè)試卷

皿「、、九

數(shù)學(xué)

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）

1.-3的相反數(shù)是（）

A.—B.—C.—3D.3

33

【答案】D

【解析】

【分析】相反數(shù)的定義是：如果兩個(gè)數(shù)只有符號(hào)不同，我們稱其中一個(gè)數(shù)為另一個(gè)數(shù)的相反數(shù)，特別地,

0的相反數(shù)還是0.

【詳解】根據(jù)相反數(shù)的定義可得：一3的相反數(shù)是3,

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查相反數(shù)，題目簡(jiǎn)單，熟記定義是關(guān)鍵.

2.如圖是由4個(gè)大小相同的小立方塊搭成的幾何體，這個(gè)幾何體的左視圖是（）

D干

【答案】A

【解析】

【分析】本題主要考查了幾何體的三種視圖和學(xué)生的空間想象能力，視圖中每一個(gè)閉合的線框都表示物體

上的一個(gè)平面，而相連的兩個(gè)閉合線框常不在一個(gè)平面上，根據(jù)左視圖的作法求解即可.

【詳解】解：這個(gè)幾何體的左視圖有2行，第一行有1個(gè)正方形，第二行有2個(gè)正方形，第1列有2個(gè)正方

形，第2列有1個(gè)正方形

故選：A.

3.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)尸（-5,-2）關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）

A.（-5,2）B.（-2,5）C.（2,-5）D.（5,-2）

【答案】D

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【解析】

【分析】本題主要考查了平面直角坐標(biāo)系中對(duì)稱點(diǎn)的規(guī)律，解決本題的關(guān)鍵是掌握好對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律：

（1）關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；（2）關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)

互為相反數(shù)；（3）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都互為相反數(shù).

【詳解】解：點(diǎn)尸（-5,-2）關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（5,-2）,

故選：D.

4.若一個(gè)凸多邊形的內(nèi)角和為720。，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】C

【解析】

【分析】設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為〃，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理得到（〃-2>180。=720。，然后解方程即可.

【詳解】設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為〃，由多邊形的內(nèi)角和是720。，

根據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理得（”一2）180°=720°.

解得n=6.

故選C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查多邊形的內(nèi)角和定理，熟練掌握多邊形的內(nèi)角和定理是解答本題的關(guān)鍵.

5.已知點(diǎn)P（m-2,2m-1）在第二象限，且m為整數(shù)，則m的值是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)第二象限內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)特征：橫坐標(biāo)小于0,縱坐標(biāo)大于0列不等式組可求出m的取值范圍，

根據(jù)m為整數(shù)即可確定m的值.

【詳解】：點(diǎn)P（m-2,2m-1）在第二象限，

m-2<0

2m-1>0；

解得：—<m<2,

2

：ni為整數(shù)，

m=l,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面直角坐標(biāo)系中各個(gè)象限的點(diǎn)的坐標(biāo)的符號(hào)特點(diǎn).四個(gè)象限的符號(hào)特點(diǎn)分別

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是：第一象限（+,+）;第二象限（-,+）;第三象限第四象限（+,-）.

6.如圖，O48C是等腰直角三角形，a//b.若Nl=125°,則/2的度數(shù)是（）

A.30°B.35°C.40°D,45°

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查的是角的和差運(yùn)算，平行線的性質(zhì)，先證明N1=NA3C+N2,從而可得答案.

【詳解】解：

Z1=ZABC+Z2,

VZ1=125°,ZABC=90°,

：.Z2=Z1-ZABC=35°,

故選B

7.某小組在一次“在線測(cè)試”中做對(duì)的題數(shù)分別是10,8,6,9,8,7,8,對(duì)于這組數(shù)據(jù)，下列判斷錯(cuò)誤的是

（）

A.眾數(shù)是8B.中位數(shù)是8C.平均數(shù)是8D.方差是8

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)平均數(shù)，眾數(shù)，中位數(shù)，方差的定義求解判斷即可.

【詳解】解：把這組數(shù)據(jù)從小到大排列為6,7,8,8,8,9,10,處在最中間的數(shù)是8,

這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為8,故B不符合題意；

???這組數(shù)據(jù)中8出現(xiàn)了3次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，

這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為8,故A不符合題意；

這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10+8+6+9+8+7+8=8,故c不符合題意;

7

這組數(shù)據(jù)的方差為（6-8,+（7—8）2+8義（8-8（+（9-8）2+（10-8）2="彳&,故口符合題意；

77

故選D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了求平均數(shù)，眾數(shù)，中位數(shù)，方差，熟知平均數(shù)，眾數(shù)，中位數(shù)，方差的定義是解

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題的關(guān)鍵.

8.已知X=1是關(guān)于X的方程（l-k）x2+k2x-l=0的根,則常數(shù)k的值為（）

A.0B.1C.0或1D.0或-1

【答案】C

【解析】

【詳解】解：當(dāng)左=1時(shí)，方程（I-左）X2+--1=0為一元一次方程，解為41;

時(shí)1時(shí)，方程（1-左）x^+lcx-1=0為一元二次方程，把x=l代入方程（1-左）％2+/尤-1=0可得：

1-k+lc-1=0,即-k+lc=0,可得k（%-1）=0,即k=Q或1（舍去）；

故選C.

點(diǎn)睛：該題應(yīng)注意方程與一元二次方程的區(qū)別，此題1-4可為0,同時(shí)此題也考查了因式分解.

9.如圖，已知矩形460）的邊A3=百，BC=3,E為邊CD上一點(diǎn).將口沿BE所在的直線翻

折，點(diǎn)。恰好落在邊上的點(diǎn)尸處，過(guò)點(diǎn)歹作垂足為點(diǎn)M,取AF的中點(diǎn)N,連接

MN,則MN的長(zhǎng)為（）

A.3B.V2C.V6-1D.V3

【答案】D

【解析】

【分析】連接AC,FC,由折疊的性質(zhì)得出CELBE,由勾股定理求出AC,利用三角形的中位線定理

解決問(wèn)題即可.

【詳解】解：如圖所示連接AC,FC.

由翻折的性質(zhì)可知，BE垂直平分線段CF,

CF1BE,

又；FM工BE,

:.F,M,C共線，

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FM=MC,

???四邊形ABC。是矩形,

:.ZABC=90°,

AC=siAB2+BC2=V3+9=2。，

,.,N是A/的中點(diǎn)，M是CE的中點(diǎn)，

.?.盛是44。尸的中位線，

MN=—AC=>/3.

2

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換，矩形的性質(zhì)，勾股定理，三角形的中位線定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添

加常用輔助線，構(gòu)造三角形中位線解決問(wèn)題.

10.如圖1,在中，點(diǎn)。為AC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)。出發(fā)，沿著。一>4->8的路徑以每秒1

個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B,在此過(guò)程中線段CP的長(zhǎng)度y隨著運(yùn)動(dòng)時(shí)間尤的函數(shù)關(guān)系如圖2所示，則

的長(zhǎng)為（）

3

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查了動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象、解直角三角形、勾股定理，當(dāng)x=0時(shí)，點(diǎn)P在點(diǎn)。處，此時(shí)

y=PC=PA=3,則AC=6,當(dāng)x=3+26時(shí)，求出4尸=26，由勾股定理得出

77

CP=^,求出tanA=工9，再由5C=AC-tanA計(jì)算即可得解.

5

【詳解】解：當(dāng)x=0時(shí)，點(diǎn)尸在點(diǎn)。處，此時(shí)y=PC=P4=3,則AC=6,

當(dāng)尤=3+2君時(shí)，PCLAB,

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則4尸=%一4。=3+26一3=2君，

:.CP=7AC2-AP2=,_(2有j=4，

4CP42A/5

tanA=---=—產(chǎn)=-----

AP2755

5C=AC-tanA=6x—=

55

故選：C.

二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）

11.國(guó)家統(tǒng)計(jì)局公布了2023年的人口數(shù)據(jù)：2023年末全國(guó)人口140967萬(wàn)人，比上年末減少208萬(wàn)人，其

中208萬(wàn)用科學(xué)記數(shù)法表示為

【答案】2.08xlO6

【解析】

【分析】本題主要考查了科學(xué)記數(shù)法的表示方法，熟練掌握科學(xué)記數(shù)法的表示方法是解題的關(guān)鍵.

科學(xué)記數(shù)法的表現(xiàn)形式為oxiO"的形式，其中1。a|<10,”為整數(shù)，確定〃的值時(shí)，要看把原數(shù)變成。時(shí)，

小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，"的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同，當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值大于等于10時(shí)，〃是正整數(shù)，

當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值小于1時(shí)，"是負(fù)整數(shù)；由此進(jìn)行求解即可得到答案.

【詳解】解：：208萬(wàn)=2080000,

208萬(wàn)用科學(xué)記數(shù)法表示為2.08x106.

故答案為：2.08xlO6.

12.因式分解：3/—12=.

【答案】3（x+2）（x-2）

【解析】

【分析】此題主要考查了提取公因式法與公式法的綜合運(yùn)用，正確運(yùn)用平方差公式是解題關(guān)鍵.首先提取公

因式3,再利用平方差公式分解因式即可.

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【詳解】解：原式=312-4)

=3(x+2)(x-2).

故答案為：3(x+2)(x-2).

13.如圖，將DABC放在每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，點(diǎn)A,B,C均在格點(diǎn)上，則tanA的值是

【答案】-##0.5

2

【解析】

【分析】根據(jù)題意，作3。，AC于點(diǎn)。，可以求得3D、的長(zhǎng)，從而可以求出tanA的值.

【詳解】作BOLAC于點(diǎn)O,如圖所示：

■-BC=2,AC=A/32+32=3A/2>點(diǎn)A到BC的距離為3,

AB=A/32+12=屈，

ACxBDBCx3372xBD2x3

=,即—=,

2-----2------------2........2

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BD=C，

AD=y/AB2-BD-=^(V10)2-(V2)2=2日

.,tanA=^=4=i

AD2V22

故答案是：

【點(diǎn)睛】本題考查銳角三角函數(shù)的定義及運(yùn)用：在直角三角形中，銳角的正弦為對(duì)邊比斜邊，余弦為鄰邊

比斜邊，正切為對(duì)邊比鄰邊，構(gòu)造直角三角形是本題的關(guān)鍵.

14.如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為4cm,ZA=60°,弧2。是以點(diǎn)A為圓心，長(zhǎng)為半徑的弧，弧CD是

以點(diǎn)B為圓心，BC長(zhǎng)為半徑的弧，則陰影部分的面積為

【答案】4百cn?

【解析】

【分析】連接BD,判斷出AABD是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得NABD=60。，再求出

ZCBD=60°,然后求出陰影部分的面積=SAABD,計(jì)算即可得解.

【詳解】解：如圖，連接BD,

,/四邊形ABCD是菱形,

AB二AD,

???ZA=60°,

.?.△ABD是等邊三角形，

ZABD=60°,

又???菱形的對(duì)邊AD〃BC,

.,.ZABC=180°-60o=120°,

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???ZCBD=120°-60°=60°,

?',S陰影二S扇形BDC-（S扇形ABD-S^ABD）,

TAB=CD,NCBD=NA=60。，

??S扇形BDC-S扇形ABD，

故答案為4百cn?.

【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，扇形的面積的計(jì)算，熟記性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出等邊三角形是解題的關(guān)

鍵.

15.如圖，是半圓。的直徑，點(diǎn)C在半圓上，AB=5,AC=4,D是臥。上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AD過(guò)點(diǎn)

C作CE_LAD于E,連接BE,則BE的最小值是.

【答案】V13-2

【解析】

【分析】取AC的中點(diǎn)O',^BO',BC,EO',先利用圓周角定理判斷出點(diǎn)E在以4c為直徑的一段弧

上運(yùn)動(dòng)，從而可得O'E=O'C=2,再利用圓周角定理、勾股定理可得。'3=屈，然后根據(jù)兩點(diǎn)之間線

段最短即可求得最小值.

【詳解】解：如圖，取AC的中點(diǎn)。'，連接5。,5。,石。，則O'C=2AC=2,

CE1AD,

:.ZAEC=90°,

，在點(diǎn)。移動(dòng)的過(guò)程中，點(diǎn)E在以AC為直徑的一段弧上運(yùn)動(dòng)，即口。'上運(yùn)動(dòng),

O'E=01=2,

A3是直徑，

ZACB=90°,

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在RtDABC中，?.?AC=4,AB=5,

BC=yjAB2-AC2=3>

在RtOBCO'中,o'B=^BC2+O'C2=J13>

由兩點(diǎn)之間線段最短可知，當(dāng)點(diǎn)O',E,5共線時(shí)，O'E+BE取得最小值，最小值為0'3=巫，

所以BE的最小值為（XB—0E=屈一2，

故答案為：V13-2.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理、勾股定理、兩點(diǎn)之間線段最短等知識(shí)點(diǎn)，正確判斷出點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡是

解題關(guān)鍵.

三、解答題（一）（本大題共2小題，每小題5分，共10分）

16.計(jì)算："―（石—3）°+\]-4sin30°

【答案】3

【解析】

【分析】根據(jù)零指數(shù)募，負(fù)整數(shù)指數(shù)累和特殊的三角函數(shù)值計(jì)算即可.

【詳解】解：原式=2—1+4—4x^=3.

2

【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握零指數(shù)幕，負(fù)整數(shù)指數(shù)幕和特殊的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵.

17.如圖，在RtUABC中，=90°,為4c的平分線.

（1）尺規(guī)作圖：過(guò)點(diǎn)。作AC的垂線DE,交AC于點(diǎn)E.（不寫作法，保留作圖痕跡）

（2）若NC=30°,AB=3,則UACD的面積是.

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）373

【解析】

【分析】本題考查了作垂線，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理；

（1）根據(jù)題意，過(guò)點(diǎn)O,作AC的垂線。E,交AC于點(diǎn)E；

（2）根據(jù)題意得出ZBAC=60°,根據(jù)AD為ABAC的平分線，得出ABAD=30°,進(jìn)而勾股定理求得BD,

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即可得出。C,根據(jù)三角形的面積公式，即可求解.

【小問(wèn)1詳解】

解：如圖所示，OE即為所求;

【小問(wèn)2詳解】

解：?.?在RtUABC中，ZB=90°,ZC=30°,

,**NBAC=60°,AB=—AC,則_gC=-JAC2—AB2=y/3AB=3y[3>

：為NB4c的平分線,

/BAD=30°,

BD=-AD,

2

?**AB=yjAD--BD-=43BD，

AB=3,

BD=5

???CD=BC-BD=363=25

.-.uACD的面積是』XCDXAB=!><2GX3=3K.

22

四、解答題(二)(本大題共3小題，每小題7分，共21分)

(2\x?—6x+9_

18.先化簡(jiǎn)，再求值：1--------+—----------,其中x=6+3.

(x-1)X-X

【答案】1+V3

x—3

【解析】

【分析】本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，分母有理化；先根據(jù)分式的加減計(jì)算括號(hào)內(nèi)的,同時(shí)將除法轉(zhuǎn)化為

乘法，再根據(jù)分式的性質(zhì)化簡(jiǎn)，最后將字母的值代入求解.

.(2)%2—6x+9

【詳解】解：1------7+——2--------

IX—1JX—X

%—1—2x(x—1)

x-l(x-3)2

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九一3x(x-1)

x-l(x-3)2

X

x-3

當(dāng)x=6+3時(shí)，原式=夕+3=1+百.

V3+3-3

19.如圖，用兩個(gè)邊長(zhǎng)為JRcm的小正方形紙片沿中間對(duì)角線剪開(kāi)，拼成一個(gè)大正方形.

(2)麗麗同學(xué)想用這塊大正方形紙片裁剪出一塊面積為12cm,且長(zhǎng)和寬之比為3:2的長(zhǎng)方形紙片，她能

裁出來(lái)嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)4(2)不能裁出，理由見(jiàn)解析

【解析】

【分析】(1)已知兩個(gè)正方形的面積之和就是大正方形的面積，根據(jù)面積公式即可求出大正方形的邊長(zhǎng)；

(2)先設(shè)長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)為3x(nn),寬為：2x(cm),根據(jù)面積公式列方程，求出長(zhǎng)方形的邊長(zhǎng)，將長(zhǎng)方

形的長(zhǎng)與正方形邊長(zhǎng)進(jìn)行比較即可判斷.

【小問(wèn)1詳解】

解：兩個(gè)正方形的面積之和為：2義(次)=16??),

二拼成的大正方形的面積為：

.二大正方形的邊長(zhǎng)為：4cm,

故答案為：4；

【小問(wèn)2詳解】

解：設(shè)長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)為3x(cm),寬為：2x(cm),

A3x-2x=12,解得％=血，

?*-3x=3亞>4，

，不能使裁下的長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)寬之比為：3:2,且面積為12(cn?).

【點(diǎn)睛】本題考查算術(shù)平方根的實(shí)際應(yīng)用，能根據(jù)題意列出算式是解題的關(guān)鍵.

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20.為了解中考體育科目訓(xùn)練的效果，九年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行了以此中考體育科目測(cè)試

(把測(cè)試結(jié)果分為四個(gè)等級(jí)，A等：優(yōu)秀；B等：良好；C等：及格；。等：不及格)，并將結(jié)果匯成了如

圖1、2所示兩幅不同統(tǒng)計(jì)圖，請(qǐng)根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖中的信息解答下列問(wèn)題：

慘■測(cè)試8■竄級(jí)學(xué)生人數(shù)*后統(tǒng)計(jì)用體育iiiC各書(shū)級(jí)學(xué)生人數(shù)條杉統(tǒng)計(jì)圖

(1)本次抽樣測(cè)試的學(xué)生人數(shù)是人；

(2)圖1扇形圖中。等所在的扇形的圓心角的度數(shù)是,并把圖2條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；

(3)已知得A等的同學(xué)有一位男生，體育老師想從4名同學(xué)中隨機(jī)選擇兩位同學(xué)向其他同學(xué)介紹經(jīng)驗(yàn)，

請(qǐng)用列表法或畫樹(shù)狀圖的方法求出選中的兩人剛好是一男一女的概率.

【答案】(1)25(2)43.2°,條形圖見(jiàn)解析

⑶3

【解析】

【分析】本題考查了列表法與樹(shù)狀圖法求概率，條形統(tǒng)計(jì)圖與扇形統(tǒng)計(jì)圖信息關(guān)聯(lián)，求扇形統(tǒng)計(jì)圖圓心角，

畫條形統(tǒng)計(jì)圖.

(1)用B等級(jí)的人數(shù)除以它所占的百分比即可得到調(diào)查的總?cè)藬?shù)；

(2)用總?cè)藬?shù)分別減去A、B、C等級(jí)的人數(shù)得到。等級(jí)人數(shù)，然后用360。乘以D等級(jí)所占的百分比得。

等所在的扇形的圓心角的度數(shù)，再補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；

(3)畫樹(shù)狀圖展示所有12種等可能的結(jié)果數(shù)，再找出選中的兩人剛好是一男一女的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率

公式求解.

【小問(wèn)1詳解】

解：抽取B等成績(jī)的人數(shù)為10人，所占比例為40%,

???本次抽樣測(cè)試的學(xué)生人數(shù)是衛(wèi)=25(人)，

40%

故答案為：25；

【小問(wèn)2詳解】

。等級(jí)的人數(shù)為25-4-10-8=3(人)，

所以。等所在的扇形的圓心角的度數(shù)上3x360。=43.2。,

第13頁(yè)/共26頁(yè)

條形圖如下圖:

2

0

8

6【小問(wèn)3詳解】

4

2

0

開(kāi)始

共有12種等可能的結(jié)果數(shù)，其中選中的兩人剛好是一男一女的結(jié)果數(shù)為6,

所以選中的兩人剛好是一男一女的概率為2=1.

122

五、解答題（三）（本大題共3小題，每小題8分，共24分）

21.某學(xué)校準(zhǔn)備購(gòu)進(jìn)一批足球和籃球，從體育商城了解到：足球單價(jià)比籃球單價(jià)少25元，用250元購(gòu)買足

球與用375元購(gòu)買籃球的數(shù)量相等.

（1）求足球和籃球的單價(jià)各是多少元；

（2）若該學(xué)校準(zhǔn)備同時(shí)購(gòu)進(jìn)這兩種足球和籃球共80個(gè)，并且足球的數(shù)量不多于籃球數(shù)量的3倍，求本次

購(gòu)買最少花費(fèi)多少錢.

【答案】（1）足球的單價(jià)是50元，籃球的單價(jià)是75元

（2）本次購(gòu)買最少花費(fèi)4500元

【解析】

【分析】本題考查了分式方程以及一元一次不等式，一次函數(shù)的應(yīng)用，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)

鍵.

250375

（1）先設(shè)足球的單價(jià)是X元，則籃球的單價(jià)是（X+25）元，根據(jù)題意列式上==」，進(jìn)行作答即可.

xx+25

（2）先列不等式得出根W60,再設(shè)總費(fèi)用w,依題意得出w=50加+75（80-根），結(jié)合一剎那函數(shù)的性質(zhì)

進(jìn)行作答.

【小問(wèn)1詳解】

第14頁(yè)/共26頁(yè)

解：設(shè)足球的單價(jià)是X元，則籃球的單價(jià)是（X+25）元，

根據(jù)題意得：上250=」3」75，

xx+25

解得：x=50,

經(jīng)檢驗(yàn)x=50是所列方程的解，且符合題意，

二x+25=50+25=75（元）.

答：足球的單價(jià)是50元，籃球的單價(jià)是75元；

【小問(wèn)2詳解】

設(shè)購(gòu)買足球機(jī)個(gè)，則購(gòu)買籃球（80-m）個(gè)，

根據(jù)題意得：相43（80-加），

解得：nzW60,

設(shè)學(xué)校購(gòu)買足球和籃球的總費(fèi)用為W元，則w=50根+75（80-加），

即w=-25m+6000,

,?-25<0,

；.卬隨相的增大而減小，

...當(dāng)加=60時(shí)，w取得最小值，為4500元

本次購(gòu)買最少花費(fèi)4500元.

22.獨(dú)輪車（圖1）俗稱“手推車”，又名輦、鹿車等，西漢時(shí)已在一些田間隘道上出現(xiàn).北宋時(shí)正式出

現(xiàn)獨(dú)輪車名稱，在北方，幾乎與毛驢起同樣的運(yùn)輸作用.如圖2所示為從獨(dú)輪車中抽象出來(lái)的幾何模

型.在口ABC中，AB=BC,以口ABC的邊AB為直徑作□。，交4C于點(diǎn)P,且尸垂足為

點(diǎn)D

（1）求證：PD是口。的切線；

（2）若tanC=」,3D=2,求口。的半徑.

2

【答案】（1）見(jiàn)詳解（2）5

【解析】

第15頁(yè)/共26頁(yè)

【分析】(1)連接OP,由等腰三角形的性質(zhì)可得OP〃3C,繼而可證明是口。的切線;

(2)連接PB,可證NC=ZBPD，則由tanNBPD=tanC=—可求PD,再運(yùn)用勾股定理求得BP=2也

2

最后由即可求解.

【小問(wèn)1詳解】

證明：連接OP,

邂

?e,AB=BC,

NA=NC,

OA=OP,

：.ZOPA=ZA,

：.ZOPA=ZC,

：.OP//BC

：.ZPDC=ZOPD,

又：PDLBC,

ZPDC=90°,

ZOPD=90°,

即PDLOP,

??.P。是□。的切線;

【小問(wèn)2詳解】

解：連接尸3,如圖，

,/AB為直徑，

：.ZAPB=9Q°,

第16頁(yè)/共26頁(yè)

ZC+ZPBC=90°,

又?:ZBPD+ZPBC=90°,

：.ZC=ZBPD,

在Rt△尸8。中,

tanNBPD=tanC=

PDPD2

PD=4,

BP=V22+42=275-

ZBDP=ZBPC,ZDBP=ZPBC,

ABDPs4BPC,

BPBD

BC—BP

2V52

解得：BC=10,

：.BA=BC=10,

...口。的半徑為5.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓的切線的判定，等腰三角形性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性

質(zhì)，等角的三角函數(shù)值相等，正確添加輔助線，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

23.如圖，DAB。中，A（0,4）,3（—3,0）,AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)與重合，點(diǎn)C在x軸上，連接

（1）求直線4c和反比例函數(shù)y=—的解析式；

（2）把AACB沿直線AC翻折到口4。。，AO與反比例函數(shù)交于點(diǎn)尸，求□尸的面積.

【答案】（1）直線AC解析式為y=-2尤+4,反比例函數(shù)解析式為y=2

第17頁(yè)/共26頁(yè)

(2)9

【解析】

【分析】（1）先利用勾股定理求出48=5,進(jìn)而利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到5C=A5=5,則C（2,0）,再利用

待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，聯(lián)立直線AC的解析式和反比例函數(shù)解析式得到的一元二次方程只有

一個(gè)實(shí)數(shù)根，據(jù)此求解即可；

（2）先由折疊的性質(zhì)證明四邊形ABC。是菱形，得到AO〃3C,求出得到。/=|,則

19

-X-X4-9

SL/A\rFCDiJ~2—DF-OA22

【小問(wèn)1詳解】

解：?；A(0,4),3(-3,0),

OA=4,OB=3,

?*-AB=7<9A2+OB2=5,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得5C=A5=5,

又：點(diǎn)C在x軸上，

OC=2,

AC(2,0),

設(shè)直線AC解析式為y=kx+b,

'2k+b=0

Z?=4

k=一2

[b=4

???直線AC解析式為y=—2x+4,

y=-2x+4

m

聯(lián)立<m得一=-2x+4,即2/一4x+加=0，

y=——x

、x

rrj

..?反比例函數(shù)y=—與直線AC僅有一個(gè)公共點(diǎn)E,

x

；?方程2/-4x+m=0只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，

第18頁(yè)/共26頁(yè)

A=（-4）2-8/W=0,

:.m=2,

反比例函數(shù)解析式為y=2；

x

【小問(wèn)2詳解】

解：由折疊的性質(zhì)可得A3=A￡>,CB=CD,

又：BC=AB=5,

：.AB=AD=CB=CD=5,

.??四邊形ABC。是菱形，

AD//BC,

21

在丁=一中，當(dāng)，=4時(shí)，x=一,

x2

9

DF=AD-AF=-,

2

119

5AFrn=—DF-OA=—x—x4=9.

△FCD222

【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合，菱形的性質(zhì)與判定，折疊的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾

股定理等等，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

六、解答題（四）（本大題共2小題，每小題10分，共20分）

24.在邊長(zhǎng)為1的正方形4BCD中，點(diǎn)E為線段上一動(dòng)點(diǎn)，連接AE.

第19頁(yè)/共26頁(yè)

（1）如圖①，過(guò)點(diǎn)B作8ELAE于點(diǎn)G,交直線CD于點(diǎn)以點(diǎn)歹為直角頂點(diǎn)在正方形ABC。的外

部作等腰RtZXCTH,連接AH,EH.求證：△AEH是等腰直角三角形；

（2）如圖②，在（1）的條件下，記AH、EH分別交CD于點(diǎn)尸、Q,連接PE.

①試探究PE、BE、DP之間的數(shù)量關(guān)系;

②設(shè)BE=m,中邊PE上的高為/?,請(qǐng)用含〃?的代數(shù)式表示〃.并求〃的最大值.

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）①PE=3E+PD；②/?=—（加—工］+!，〃最大值為工

I2J44

【解析】

【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)得出AE=BRBE=CF,進(jìn)而利用平行四

邊形的判定和性質(zhì)解答即可；

（2）①將△AD尸繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到口487，則C,B,T共線，利用全等三角形的性質(zhì)證明

PE=ET,即可得出結(jié)論；②利用相似三角形的性質(zhì)構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

【小問(wèn)1詳解】

證明：???四邊形ABC。是正方形，

Z.AB=BC,/ABE=/BCF=90°,

"BF1AE,

：.ZAGB=90°,

ZBAE+ZABG=90°,

?：ZABG+ZCBF=90°,

：.ZBAE=ZCBF,

.-.□ABE^DBCF（ASA）,

AE=BF,BE=CF,

?：CF=FH,

BE=FH,

?：BC//FH,

第20頁(yè)/共26頁(yè)

.??四邊形BEHF為平行四邊形，

：.BF=EH,

：.AE=EH,

：.BF//EH,BFLAE,

，AELEH,

：.ZAEH=90°,

△AEH是等腰直角三角形；

【小問(wèn)2詳解】

解：①結(jié)論：PE=BE+PD.

理由：如圖②中，將△AD尸繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到口437，則C,B,T共線.

圖②

?..四邊形A6CQ是正方形，

ZBAD=90°,

口E4H是等腰直角三角形，

ZEAH=45°,

NEAT=ZBAT+ZBAE=ZDAP+ZBAE=45°,

ZEAT=NEAP,

AE=AE,AT=AP,

.?iDEAT^D￡AP（SAS）,

PE=ET,

'：ET=BT+BE=PD+BE,

PE=BE+PD.

@'：HEAT^JEAP,

ZAET=ZAEP,

NAEH=90°,

第21頁(yè)/共26頁(yè)

ZAET+ZCEQ=90°,ZAEP+ZPEQ=90°,

ZCEQ=ZPEQ,

點(diǎn)Q到PE的距離的長(zhǎng)=CQ=肌

-：ZAEB+ZBAE=90°,

：.ZBAE=ZCEQ,

：^BAE^OCEQ,

AB_BE

,由一

1m

??一,

1-mh

.,2(if1

??n=-m"+m=-\m—+—

I24

-1<O,

機(jī)=工時(shí)，〃的值最大，最大值為-.

24

【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和

性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)構(gòu)建

二次函數(shù)解決最值問(wèn)題.

25.已知拋物線丁=/+法+。經(jīng)過(guò)點(diǎn)4-1,0)和點(diǎn)。(0,-3),與尤軸交于另一點(diǎn)乩

圖1

(1)求拋物線的解析式；

(2)點(diǎn)尸為第四象限內(nèi)拋物線上的點(diǎn)，連接CP、AP.AC,如圖1,若△ACP的面積為1,求P點(diǎn)坐

標(biāo)；

(3)設(shè)點(diǎn)M為拋物線上的一點(diǎn)，若=時(shí)，求M點(diǎn)坐標(biāo).

第22頁(yè)/共26頁(yè)

【答案】(1)y=x2-2x-3

(2)尸(1,一4)

9391557

(3)M的坐標(biāo)為-或

1416T'16

【解析】

【分析】(1)用待定系數(shù)法即可求解;

(2)過(guò)點(diǎn)尸作PQ〃丁軸交直線AC于點(diǎn)。，先求出PQ=2,再求出直線A