2023屆遼寧省高考數(shù)學(xué)二模試卷含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項(xiàng)

1.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.

2.答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置.

3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.

4.作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他

答案.作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效.

5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.命題“\/工>0,耳%+1)>(%-1)2”的否定為()

A.X/x>0,x(x+1)>(X-1)?B.X/x?0,x(x+1)>(x-1)2

C.3x>0,x(x+1)?(x-1)2D.0,x(x+1)>(x-1)2

1,x>0

2.已知符號(hào)函數(shù)sg”x=<0,x=0/(x)是定義在R上的減函數(shù)，g(x)—f(x)-f(ax)(a>l),貝!J()

-Lx〈0

A.sgra[g(x)]=sg”xB.sgn[g(x)]=-sgnx

C.sgn[g(x)]=sgn[f(x)]D.sgn[g(x)]=-sgn\f(x)]

22

3.已知雙曲線二-二=1(。〉人〉0)的右焦點(diǎn)為E,過(guò)歹的直線/交雙曲線的漸近線于4B兩點(diǎn),且直線/的傾斜

ab

角是漸近線。4傾斜角的2倍，若A方=2EB，則該雙曲線的離心率為()

A.3屈B.2GcD.立

4352

"x-y+420,

4.若x,y滿足約束條件卜-2<0,且z=ta+y的最大值為2a+6,則a的取值范圍是()

x+y-220,

A.[-l,+oo)B.(-oo,-l]C.(-1,+<?)D.(-oo,-l)

(X-1)7T

sin-------]W%V3

5.已知函數(shù)/(x)=2，——，若函數(shù)/(%)的極大值點(diǎn)從小到大依次記為4;4?%，并記相應(yīng)的極

2/(x-2),3<%<100

n

大值為伉也，?一么，則Z(4+2)的值為()

Z=1

A.25°+2449B.250+2549C.249+2449D.249+2549

6.如圖在直角坐標(biāo)系x，y中，過(guò)原點(diǎn)。作曲線y=f+l（x20）的切線，切點(diǎn)為尸，過(guò)點(diǎn)尸分別作x、y軸的垂線,

垂足分別為4、B,在矩形Q4PB中隨機(jī)選取一點(diǎn)，則它在陰影部分的概率為（）

7.已知某超市2018年12個(gè)月的收入與支出數(shù)據(jù)的折線圖如圖所示:

根據(jù)該折線圖可知，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

A.該超市2018年的12個(gè)月中的7月份的收益最高

B.該超市2018年的12個(gè)月中的4月份的收益最低

C.該超市2018年1-6月份的總收益低于2018年7-12月份的總收益

D.該超市2018年7-12月份的總收益比2018年1-6月份的總收益增長(zhǎng)了90萬(wàn)元

8.如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（）

俯視圖

A.273B.4石C.友D.迪

33

9.做拋擲一枚骰子的試驗(yàn)，當(dāng)出現(xiàn)1點(diǎn)或2點(diǎn)時(shí)，就說(shuō)這次試驗(yàn)成功，假設(shè)骰子是質(zhì)地均勻的.則在3次這樣的試驗(yàn)

中成功次數(shù)X的期望為（）

11

A.3B.2C.1D.2

10.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（4,9）,且P（XV2）=P（X2a）,則。=（）

A.3B.5C.6D.7

22

11.已知雙曲線c：二Y-多-v=i（a>o,6>o）的右焦點(diǎn)為r，若雙曲線c的一條漸近線的傾斜角7為T(mén)且點(diǎn)尸到該漸近

ab3

線的距離為G，則雙曲線c的實(shí)軸的長(zhǎng)為

A.1B.2

述

C.4D.

12.某單位去年的開(kāi)支分布的折線圖如圖1所示，在這一年中的水、電、交通開(kāi)支（單位：萬(wàn)元）如圖2所示，則該

單位去年的水費(fèi)開(kāi)支占總開(kāi)支的百分比為（）

A.6.25%B.7.5%C.10.25%D.31.25%

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

x-l<0

13.變量尤，丁滿足約束條件x+y+120,則目標(biāo)函數(shù)z=-2x+y的最大值是——.

x-y+3>0

2]

14.已知%6均為正數(shù)，S.a+b=l,幺掃-1的最小值為.

2ab

15.已知函數(shù)/(x)=e21則過(guò)原點(diǎn)且與曲線y=/(x)相切的直線方程為.

16.在三棱錐P-A5C中，ABLBC,三角形PAC為等邊三角形，二面角尸—AC—5的余弦值為-逅，當(dāng)三棱

3

錐P-ABC的體積最大值為工時(shí)，三棱錐P-ABC的外接球的表面積為.

3

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.(12分)設(shè)拋物線。：/=2/(夕>0)的焦點(diǎn)為廠，準(zhǔn)線為/,A3為拋物線C過(guò)焦點(diǎn)E的弦，已知以為直

徑的圓與/相切于點(diǎn)(—1,0).

(1)求夕的值及圓的方程；

(2)設(shè)M為/上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作C的切線，切點(diǎn)為N,證明：MFLNF.

18.(12分)已知凸九邊形A4&4的面積為1，邊長(zhǎng)4垢=4。=1，2,，〃-1),44=4,其內(nèi)部一點(diǎn)P到邊

A4+1=q(i=l,2,，〃-1)的距離分別為4，4，4，&.求證：

22

19.(12分)已知橢圓E：=+當(dāng)=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為耳和工，右頂點(diǎn)為A，且|前|=3,短軸

a~b

長(zhǎng)為2g.

(1)求橢圓E的方程；

(2)若過(guò)點(diǎn)A作垂直x軸的直線/,點(diǎn)T為直線/上縱坐標(biāo)不為零的任意一點(diǎn)，過(guò)工作的垂線交橢圓E于點(diǎn)?和

Q,當(dāng)里=速時(shí)，求此時(shí)四邊形7PGQ的面積.

\PQ\24

20.(12分)聯(lián)合國(guó)糧農(nóng)組織對(duì)某地區(qū)最近10年的糧食需求量部分統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表:

年份20102012201420162018

需求量(萬(wàn)噸)236246257276286

(1)由所給數(shù)據(jù)可知，年需求量與年份之間具有線性相關(guān)關(guān)系，我們以“年份―2014”為橫坐標(biāo)x,“需求量-257”為

縱坐標(biāo)V,請(qǐng)完成如下數(shù)據(jù)處理表格：

年份一20140

需求量一2570

(2)根據(jù)回歸直線方程夕=%+6分析，2020年聯(lián)合國(guó)糧農(nóng)組織計(jì)劃向該地區(qū)投放糧食300萬(wàn)噸，問(wèn)是否能夠滿足該

地區(qū)的糧食需求？

參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)(七,%),(%,%)，…，(%，%)，其回歸直線9=良+&的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分

_n___

Tj^-nxy__

別為：B=胃-------，a=y-bx.

￡x；-nx

i=\

sin尤

21.(12分)已知函數(shù)/(%)=----，0＜X＜TI.

x

(1)求函數(shù)f(x)在X處的切線方程；

(2)當(dāng)0＜相＜萬(wàn)時(shí)，證明：/(1)＜加1111+—對(duì)任意％6(0,萬(wàn))恒成立.

x

22.(10分)選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

%=2cosa

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線C的參數(shù)方程為｛(a為參數(shù)).以直角坐標(biāo)系原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的

y=sincu

正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線1的極坐標(biāo)方程為夕cos(9-?)=2近，點(diǎn)P為曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線1

距離的最大值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.C

【解析】

套用命題的否定形式即可.

【詳解】

2

命題“VxeM,p(x)”的否定為“玉eM,-1P(x)”，所以命題“X/x>0,x(x+1)>(%-1)”的否定為

"Hr>0,x(x+1)<(x-1)?

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題考查全稱(chēng)命題的否定，屬于基礎(chǔ)題.

2.A

【解析】

根據(jù)符號(hào)函數(shù)的解析式，結(jié)合/(x)的單調(diào)性分析即可得解.

【詳解】

根據(jù)題意，g(x)=/(x)-f(ax),而/(x)是R上的減函數(shù)，

當(dāng)x>0時(shí)，x<ax,則有/(x)>f(ax),則g(x)—f(x)-f(ax)>0,此時(shí)sg"[g(x)]=1,

當(dāng)x=0時(shí)，x=ax,則有/(x)=/(ax),則g(x)=f(x)-f(ax)=0,此時(shí)sg”[g(x)]=0,

當(dāng)x<0時(shí)，x>ax,則有f(x)<f(ax),則g(x)—f(x)-f(ax)<0,此時(shí)sgn[g(x)]=-1,

綜合有：sgn[g(x)]=sgn(x)；

故選：A.

【點(diǎn)睛】

此題考查函數(shù)新定義問(wèn)題，涉及函數(shù)單調(diào)性辨析，關(guān)鍵在于讀懂定義，根據(jù)自變量的取值范圍分類(lèi)討論.

3.B

【解析】

2cihh

先求出直線/的方程為y=(x-c),與y=±—x聯(lián)立，可得A,5的縱坐標(biāo)，利用=求出。，方的

礦-ba

關(guān)系，即可求出該雙曲線的離心率.

【詳解】

r2y2b

雙曲線A=1(?>&>0)的漸近線方程為y=±—x,

a一后a

?.?直線l的傾斜角是漸近線OA傾斜角的2倍,

.,_lab

.加廠爐，

二直線，的方程為產(chǎn)力(…)

blabclabc

與y=±—x聯(lián)立，可得y—%—T或—7

a3a-ba+b

'??AF=2FB，

labclabc

cr+b1-2,3a2-Z;2

:?a=\[3b,

'.c—2b,

a3

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查向量知識(shí)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題.

4.A

【解析】

畫(huà)出約束條件的可行域，利用目標(biāo)函數(shù)的最值，判斷。的范圍即可.

【詳解】

作出約束條件表示的可行域,如圖所示.因?yàn)閦=ax+y的最大值為2a+6,所以z=ax+y在點(diǎn)4(2,6)處取得最大值,

則一aWL即a2—1.

本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用z的幾何意義，通過(guò)數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵.

5.C

【解析】

對(duì)此分段函數(shù)的第一部分進(jìn)行求導(dǎo)分析可知，當(dāng)x=2時(shí)有極大值/(2)=1,而后一部分是前一部分的定義域的循環(huán),

而值域則是每一次前面兩個(gè)單位長(zhǎng)度定義域的值域的2倍，故此得到極大值點(diǎn)%的通項(xiàng)公式4=2〃，且相應(yīng)極大值

bn=2"-',分組求和即得

【詳解】

當(dāng)時(shí)，f\x)=^cos

顯然當(dāng)x=2時(shí)有，尸(%)=0,

.?.經(jīng)單調(diào)性分析知

尤=2為7Xx)的第一個(gè)極值點(diǎn)

又??,3<xW100時(shí)，/(x)=2/(x-2)

**?x=4,x=69%=8,…，均為其極值點(diǎn)

V函數(shù)不能在端點(diǎn)處取得極值

/.an=2n91<n<49,neZ

???對(duì)應(yīng)極值以=2〃"，1<n<499

之(q+Z)=(2+98)x49+lx(l-2*=249+

1=121-2

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題考查基本函數(shù)極值的求解，從函數(shù)表達(dá)式中抽離出相應(yīng)的等差數(shù)列和等比數(shù)列，最后分組求和，要求學(xué)生對(duì)數(shù)列

和函數(shù)的熟悉程度高，為中檔題

6.A

【解析】

y=kx(k>0)

設(shè)所求切線的方程為丫=依，聯(lián)立?/，消去y得出關(guān)于x的方程，可得出A=o,求出左的值，進(jìn)而求得

〔y=x+1

切點(diǎn)p的坐標(biāo)，利用定積分求出陰影部分區(qū)域的面積，然后利用幾何概型概率公式可求得所求事件的概率.

【詳解】

設(shè)所求切線的方程為y="，貝！I左>0,

聯(lián)立丫仕>°),消去y得尤2—京+1=0①，由A=左2—4=0,解得左=2,

〔y=x+1

方程①為2x+l=0,解得x=l,則點(diǎn)P(l,2),

所以，陰影部分區(qū)域的面積為5=j(x2+l-2x)4&=Qx3-x2+^|'=1,

V1

矩形Q4/有的面積為￡=1義2=2,因此，所求概率為P=R=[.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查定積分的計(jì)算以及幾何概型，同時(shí)也涉及了二次函數(shù)的切線方程的求解，考查計(jì)算能力，屬于中等題.

7.D

【解析】

用收入減去支出，求得每月收益，然后對(duì)選項(xiàng)逐一分析，由此判斷出說(shuō)法錯(cuò)誤的選項(xiàng).

【詳解】

用收入減去支出，求得每月收益（萬(wàn)元），如下表所示：

月份123456789101112

收益203020103030604030305030

所以7月收益最高，A選項(xiàng)說(shuō)法正確；4月收益最低，B選項(xiàng)說(shuō)法正確；1-6月總收益140萬(wàn)元，7-12月總收益240

萬(wàn)元，所以前6個(gè)月收益低于后六個(gè)月收益，C選項(xiàng)說(shuō)法正確，后6個(gè)月收益比前6個(gè)月收益增長(zhǎng)240-140=100萬(wàn)

元，所以D選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤.故選D.

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查圖表分析，考查收益的計(jì)算方法，屬于基礎(chǔ)題.

8.A

【解析】

根據(jù)三視圖可得幾何體為直三棱柱，根據(jù)三視圖中的數(shù)據(jù)直接利用公式可求體積.

【詳解】

由三視圖可知幾何體為直三棱柱，直觀圖如圖所示：

FE

I-

M.….

DC

其中，底面為直角三角形，AD=2,AE=6,高為AB=2.

，該幾何體的體積為V=LX2XG><2=28

2

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查三視圖及棱柱的體積，屬于基礎(chǔ)題.

9.C

【解析】

21

p=-=一

每一次成功的概率為63,X服從二項(xiàng)分布，計(jì)算得到答案.

【詳解】

p=—=~E㈤=-x3

每一次成功的概率為63,X服從二項(xiàng)分布，故3

故選：c

【點(diǎn)睛】

本題考查了二項(xiàng)分布求數(shù)學(xué)期望，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.

10.C

【解析】

根據(jù)在關(guān)于X=4對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上概率相等的性質(zhì)求解.

【詳解】

〃=4,cr=3,

P(X<2)=P(X<4-2)=P(X>4+2)=P(X>6)=P(X>a),,-.a=6.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查正態(tài)分布的應(yīng)用.掌握正態(tài)曲線的性質(zhì)是解題基礎(chǔ).隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布則

P(X<jU-m)=P(^X>ju+m).

11.B

【解析】

雙曲線C的漸近線方程為丫=±2苫，由題可知2=tan工=G.

aa3

設(shè)點(diǎn)尸(c,0),則點(diǎn)歹到直線>=氐的距離為=6,解得。=2,

所以，="+32=〃+3〃=4/=4,解得。=1,所以雙曲線C的實(shí)軸的長(zhǎng)為2。=2,故選B.

12.A

【解析】

由折線圖找出水、電、交通開(kāi)支占總開(kāi)支的比例，再計(jì)算出水費(fèi)開(kāi)支占水、電、交通開(kāi)支的比例，相乘即可求出水費(fèi)

開(kāi)支占總開(kāi)支的百分比.

【詳解】

250

水費(fèi)開(kāi)支占總開(kāi)支的百分比為......-------x20%=6.25%.

250+450+100

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查折線圖與柱形圖，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分,共20分。

13.5

【解析】

x+y+1=0x=-2

由＜可得＜

x-y+3=0C=1

可得A（—2,1）,

目標(biāo)函數(shù)z=-2x+y變形為y=2x+z,

平移直線y=2x+z,

當(dāng)直線y=2x+z經(jīng)過(guò)A(-2,l)時(shí)，

可得z=-2x+y有最大值4+1=5，

故答案為5.

點(diǎn)睛：本題主要考查線性規(guī)劃中利用可行域求目標(biāo)函數(shù)的最值，屬簡(jiǎn)單題.求目標(biāo)函數(shù)最值的一般步驟是“一畫(huà)、二移、

三求”：(1)作出可行域(一定要注意是實(shí)線還是虛線)；(2)找到目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的最優(yōu)解對(duì)應(yīng)點(diǎn)(在可行域內(nèi)平移變

形后的目標(biāo)函數(shù)，最先通過(guò)或最后通過(guò)的定點(diǎn)就是最優(yōu)解)；(3)將最優(yōu)解坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求出最值.

14.V2

【解析】

本題首先可以根據(jù)a+5=1將土里-1化簡(jiǎn)為9+2,然后根據(jù)基本不等式即可求出最小值.

2abb2a

【詳解】

因?yàn)閍+b=l,

所以小—1=片+("4—=

lab2abb2a\b2a

Z7b

當(dāng)且僅當(dāng)7=丁，即。=行一1、b=2—應(yīng)時(shí)取等號(hào)，

b2a

故答案為：V2.

【點(diǎn)睛】

本題考查根據(jù)基本不等式求最值，基本不等式公式為a+6?2而(a0,^>0)，在使用基本不等式的時(shí)候要注意“=”

成立的情況，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題.

15.2ex-y=0

【解析】

設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為利用導(dǎo)數(shù)求出曲線y=/(x)在切點(diǎn)”,e")的切線方程，將原點(diǎn)代入切線方程，求出t的值，

于此可得出所求的切線方程.

【詳解】

設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為Q/(x)=e2',.-./,(x)=2/\(⑺=2e”,

則曲線y=/(%)在點(diǎn)處的切線方程為y—e"=2e"(x—f),

由于該直線過(guò)原點(diǎn)，則—e2'=—2超”，得?=

2

因此，則過(guò)原點(diǎn)且與曲線y=/(x)相切的直線方程為y=2ex,故答案為2ex-y=0.

【點(diǎn)睛】

本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查過(guò)點(diǎn)作函數(shù)圖象的切線方程，求解思路是：

(1)先設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，并利用導(dǎo)數(shù)求出切線方程；

(2)將所過(guò)點(diǎn)的坐標(biāo)代入切線方程，求出參數(shù)的值，可得出切點(diǎn)的坐標(biāo)；

(3)將參數(shù)的值代入切線方程，可得出切線的方程.

16.8〃

【解析】

根據(jù)題意作出圖象,利用三垂線定理找出二面角P-AC-B的平面角,再設(shè)出AB,BC的長(zhǎng),

即可求出三棱錐P-ABC的高,然后利用利用基本不等式即可確定三棱錐P-A5C的體積最大值，從而得出各棱的長(zhǎng)

度，最后根據(jù)球的幾何性質(zhì)，利用球心距，半徑，底面半徑之間的關(guān)系即可求出三棱錐P-A3C的外接球的表面積.

【詳解】

如圖所示:

過(guò)點(diǎn)P作PEL面ABC,垂足為E,過(guò)點(diǎn)E作DE±AC交AC于點(diǎn)。，連接PD.

則NPDE為二面角尸—AC—5的平面角的補(bǔ)角，即有COS/PDE=?5.

3

?.?易證AC,面ACLPD,而三角形P4C為等邊三角形，二。為AC的中點(diǎn).

設(shè)A8=a,8C=%AC=y]a1+b-=c-

：,PE=PDsinZPDE=-xcx^-=-.

232

故三棱錐P-ABC的體積為

2

丫7117c1c],ca(?

V=—x—abx—=——ab7c=——xab<——x--------=——

322121212224

當(dāng)且僅當(dāng)a=6=1c時(shí)，匕ax=4=工，即a=6=0，c=2.

2243

二B,D,E三點(diǎn)共線.

設(shè)三棱錐P-ABC的外接球的球心為。，半徑為R.

過(guò)點(diǎn)。作，PE于尸,:.四邊形ODEF為矩形.

則OD=EF=JR--1，DE=OF=PDcosNPDE=幣x在=①,PE=1,

3

在RtP巳O中,尺2=2+(1—,“2—1)一,解得氏2=2.

三棱錐P—ABC的外接球的表面積為S=4〃R2=8%.

故答案為：8".

【點(diǎn)睛】

本題主要考查三棱錐的外接球的表面積的求法，涉及二面角的運(yùn)用，基本不等式的應(yīng)用，以及球的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，意在考

查學(xué)生的直觀想象能力，數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和邏輯推理能力,屬于較難題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.(1)2,(I?+/=4；(2)證明見(jiàn)解析.

【解析】

(1)由題意得/的方程為x=-孑，根據(jù)為拋物線。過(guò)焦點(diǎn)尸的弦，以為直徑的圓與/相切于點(diǎn)(—L0)..利

用拋物線和圓的對(duì)稱(chēng)性，可得=圓心為b(1,0),半徑為2.

(2)設(shè)/(—1,%)，"N的方程為y=M尤+1)+%，代入C的方程，得外2-4>+4(%+左)=0,根據(jù)直線與拋物線

122

相切，令A(yù)=16-16人(％+上)=0,得%+%=；,代入外2_分+4(%+k)=0,解得y=：.將y=：代入C的方程，

kkk

得x=J,得到點(diǎn)N的坐標(biāo)為:然后求解F".FN.

【詳解】

(1)解：由題意得/的方程為x=-

2

所以—4=—1,解得，=2.

又由拋物線和圓的對(duì)稱(chēng)性可知，所求圓的圓心為b(L0),半徑為2.

所以圓的方程為(x—lf+y2=4.

（2）證明：易知直線跖V的斜率存在且不為0,

設(shè)M（—1,%），的方程為了=人（》+1）+%，代入。的方程,

得外2_4y+4(%+%)=0.

令八=16_16左（%+左）=0,得%+左=：,

k

所以由2一4尸4（%+3上羋以=0,解得y".

kk

將＞=:代入C的方程，得x=*，即點(diǎn)N的坐標(biāo)為

所以式M=(-2,%)]N=

FM-FN=2-^+yQ

故MF工NF.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查拋物線的定義幾何性質(zhì)以及直線與拋物線的位置關(guān)系，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運(yùn)算求解的能力，屬

于中檔題.

18.證明見(jiàn)解析

【解析】

由已知，易得d+a2d2卜a/*=2,所以

2a2al2a小

L幺+&+3+&++"利用柯西不等式和基本不等式即

—+—+…+—^=2=(aldi+a2d2++andn)才+才

“d2dn4d24,,2

可證明.

【詳解】

因?yàn)橥埂ㄟ呅蔚拿娣e為1,所以+a2d2+…+a&=2,

所以一^二十…+—=2幺+毀+…+區(qū)

d

4d2dnM"2n)

=+a,d、++

d2d?

++歷『,宗）2（由柯西不等式得）

=(4+%+,,,+〃”)

..(做幾點(diǎn)—[)2(由均值不等式得)

【點(diǎn)睛】

本題考查利用柯西不等式、基本不等式證明不等式的問(wèn)題，考查學(xué)生對(duì)不等式靈活運(yùn)用的能力，是一道容易題.

19.(1)—+^-=1(2)生1

437

【解析】

a+c=3

(1)依題意可得卜=百，解方程組即可求出橢圓的方程；

a2=b2+c2

⑵設(shè)T(2,—m)(m/0),貝用國(guó)=而工，設(shè)直線PQ的方程為一“陽(yáng)+1,聯(lián)立直線與橢圓方程，消去x,設(shè)

P(%,yJ，。(孫％)，列出韋達(dá)定理，即可表示IPQI,再根據(jù)^^=當(dāng)求出參數(shù)相，從而得出“.，最后

由點(diǎn)可到直線PQ的距離得到S.PQ=SAF[PQ，由S四邊形7PGQ-SATPQ+SM陽(yáng)=2SA儂即可得解;

【詳解】

a+c=3a=2

解：（1）,：＜b=y[3...解得＜。=6,

a2=b2+c2C=1

22

???橢圓E的方程為L(zhǎng)+上=1.

43

（2）V4（2,0）,.?.可設(shè)T（2,-m）（m/0）,，|叫|=+1.V砧=—=-m,

.?.左p0=L,.?.設(shè)直線P。的方程為％=〃2、+1,

m

x=my+1

\x1y2_,/.（3m2+4）/+6my-9=0,顯然/＞0恒成立.

----1-----1

143

設(shè)P（%j）,Q?,%），則%+%=弁，%%=藐匕,

二IPQI=J（芯-々），（％一丁2）2=J[，心1-%）丁+（%-%『

=J"+l)[(X+%)2-4讓]=/(療+1)『六)+高12(源+1

3m2+4

.四=3療+4_3-+4_7點(diǎn)

"\PQ\12"+1)121△24，

，18根4—根2_]7=0,工解得冽2=1,解得加=±1,

???1%=后,\PQ\=,，；.s.pQ=g義拒義,=弩

?..此時(shí)直線PQ的方程為x土y—l=O,4(—1,0),

...點(diǎn)《到直線PQ的距離為d==夜,

血

?e=q,e=9e=3

**Q四邊形TP^Q一口ATPQ十^\FXPQ~乙口bTPQ~口

即此時(shí)四邊形"EQ的面積為芋

【點(diǎn)睛】

本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的綜合應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題.

20.(1)見(jiàn)解析；(2)能夠滿足.

【解析】

(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，結(jié)合以“年份一2014”為橫坐標(biāo)X,“需求量—257”為縱坐標(biāo)y的要求即可完成表格;

(2)根據(jù)表中及所給公式可求得線性回歸方程，由線性回歸方程預(yù)測(cè)2020年的糧食需求量，即可作出判斷.

【詳解】

(1)由所給數(shù)據(jù)和已知條件，對(duì)數(shù)據(jù)處理表格如下:

年份一2014-4-2024

需求量一257-21-1101929

(2)由題意可知，變量y與x之間具有線性相關(guān)關(guān)系,

由(1)中表格可得，7=0，7=3.2,

-—4x(—21)+(—2)x(—11)+0x0+2x19+4x29—5x0x32260__

b=-----------(—4)2+(—2)2+02+22+45x02-----------=4=6.5一內(nèi)-標(biāo)=3.2.由上述計(jì)算結(jié)果可

知，所求回歸直線方程為3=6.5%+3.2,

利用回歸直線方程，可