任意角與弧度制講義-高三數(shù)學一輪復習

專題：任意角和弧度制

知識點一任意角

1.角的定義：角可以看成平面內的一條射線繞著端點從一個位置旋轉到另一個位置所成的圖形.

2.角的表示：如圖，0/是角a的始邊，03是角a的終邊，。是角a的頂點.

角a可記為“角a"或"Na"或簡記為"a”.

按旋轉方向不同分為正角、負角、零角.

3.角的分類

按終邊位置不同分為象限角和軸線角.

4.終邊相同的角：所有與角a終邊相同的角，連同角a在內，可構成一個集合$={臼［3=。+上360。，14

eZ}.a終邊相同的角，都可以表示成角a與整數(shù)個周角的和.

知識點二弧度制的定義和公式

1.角度制：⑴定義：用度作為單位來度量角的單位制.（2）1度的角：周角的哈.

2.弧度制：（1）定義：以弧度作為單位來度量角的單位制.（2）1弧度的角：長度等于半徑長的圓弧所

對的圓心角.

3.弧度數(shù)的計算

4.角度與弧度的互化

角度化弧度弧度化角度

360°=271rad2兀rad=360°

180°=兀rad7irad=180°

JT1rad=（5T）0^57.30°

1°=-rad^O.01745rad

180

度數(shù)義工=弧度數(shù)

180弧度數(shù)xlic］。=度數(shù)

5.弧度制下的弧長與扇形面積公式

設扇形的半徑為R,弧長為1,a（Ova<2口）為其圓心角，貝1J⑴弧長公式：1=\a|T.

(2)扇形面積公式：5=lr=\a\r

名師點津：

1.對終邊相同的角的理解

(1)終邊相同的角的前提條件是：角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合.

(2)a是任意角且A為整數(shù).

(3)h360。與a之間用“+”號連接.

(4)終邊相同的角的表示形式不唯一，如任比=如360。-90。，ACZ}與任區(qū)=如360。+270。，左WZ}均表

示終邊在y軸的非正半軸上的角的集合.

2.各象限角的集合

象限角象限角a的集合表示

第一象限角{a依360。＜々＜小360。+90。，《GZ}

第二象限角{?|A-360°+90°<a<A-360°+180°,AGZ}

第三象限角{a|*-360°+180°<a<A-360°+270°,ASZ}

第四象限角{a|*-360°+270°<a<A-360°+360°,AGZ}

3.終邊相同角常用的三個結論

(1)終邊相同的角之間相差360。的整數(shù)倍.

(2)終邊在同一直線上的角之間相差180。的整數(shù)倍.

(3)終邊在相互垂直的兩直線上的角之間相差90。的整數(shù)倍

4.用弧度為單位表示角的大小時，“弧度”或“rad”可以略去不寫，只寫這個角對應的弧度數(shù)即可，

如角a=-3.5rad可寫成”=一3.5.而用角度為單位表示角的大小時，“度”或“。”不可以省略.

5.在應用扇形面積公式S=；|a|/時，要注意a的單位是“弧度”

題型一：任意角的概念

［例1］下列結論：

①三角形的內角必是第一、二象限角；

②始邊相同而終邊不同的角一定不相等；

③小于90。的角是第一象限角；

④鈍角比第三象限角??；

⑤小于180。的角是鈍角、直角或銳角.

其中正確的結論為(填序號).

【跟蹤訓練】1.射線OA繞端點O逆時針旋轉120。到達OB位置，由OB位置順時針旋轉270。到

達OC位置，則/AOC=()

A.150°B.-150°

C.390°D.-390°

2.若手表時針走過4小時，則時針轉過的角度為()

A.120°B.-120°

C.-60°D.60°

題型二：終邊相同的角的表示

【例2】(鏈接教材P170例1)已知a=-315。.

⑴把a改寫成上360。+伙1<^2,0。印<360。)的形式；

(2)求。,使0與a終邊相同，且一1080。<0<—360。.

【跟蹤訓練】1.若角2a與240。角的終邊相同，貝卜=()

A.120°+k-360°,k￡ZB.120°+k-180°,kGZ

C.240°+k-360°,k￡ZD.240°+k-180°,keZ

2.如圖，終邊落在陰影部分的角的集合是()

A.{a|-450<a<120°}

B.{a|120°<a<315°}

C.{a|k-360°-45°<a<k-360°+120°,kez}

D.{a|k-360°+120o<a<k-360o+315°,kez}

3.在直角坐標系中寫出下列角的集合：

⑴終邊在x軸的非負半軸上；

(2)終邊在y=x(x>0)±.

題型三：象限角的判斷

【例3】⑴已知a是第二象限角，則180。-01是()

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

a

⑵已知a是第二象限角，求角2所在的象限.

【母題探究］】

1.(變設問)在本例⑵的條件下，求角2a的終邊的位置.

2.(變條件)若將本例(2)中的“第二象限”改為“第一象限”，如何求解?

【題型四：角度與弧度的換算

【例4】(鏈接教材P173例4)將下列角度與弧度進行互化:

5117萬

(1)6兀；(2)-12；(3)10°；(4)-855°.

【跟蹤訓練】1.把下列弧度化為角度:

23萬

(1)6=；

137r

(2)-6=.

2.把下列角度化為弧度:

(1)-1500°=；

(2)67°30r=.

題型五：用弧度制表示終邊相同的角

【例五】已知。=-800。.

(1)把a改寫成B+2k兀(k￡Z,0鄒＜2兀)的形式，并指出a是第幾象限角；

(2)求上使丫與a的終邊相同，且產

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【跟蹤訓練】若角a的終邊與3角的終邊關于直線y=x對稱，且ae(—2兀，2%)，求角a的值.

題型六：扇形的弧長及面積公式

【例6】已知扇形的圓心角所對的弦長為2,圓心角為3.求：

(1)這個圓心角所對的弧長；

(2)這個扇形的面積.

【跟蹤訓練】1.弧長為3兀，圓心角為135。的扇形的半徑為,面積為.

2.已知一扇形的周長為40cm,當它的半徑和圓心角取什么值時，才能使扇形的面積最大？最大面

積是多少？

達標檢測

1.下列命題中正確的是（）

A.第一象限角一定不是負角B.小于90。的角一定是銳角

C.鈍角一定是第二象限的角D.終邊相同的角一定相等

2.把-375。表示成6+2E,左eZ的形式，則。的值可以是（）

7171_5兀c5兀

A.—B.-----C.—D?下

121212

3.考生你好，本場考試需要2小時，在本場考試中，鐘表的時針轉過的弧度數(shù)為（)

7171~7171

A.-B.----C.一D.——

3366

4.若角a=3rad,則角a是（）

A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角

5.圓弧長度等于圓內接正三角形的邊長，則其圓心角弧度數(shù)為（)

兀2兀…L

A.—B.-C.73D.2

已知扇形的弧長/為期，圓心角為則該扇形的面積$為（

6.09,)

n「2萬-4%n

A.-B.--C.—D.-

6333

7.將315°化為弧度為

4萬5n_7?_7乃

A.—B.-C.—D

336-T

8.若a是第一象限角，則下列各角中屬于第四象限角的是

A.900-aB.90°+aC.3600-aD.180°+a

9.（多選）下列命題正確的是（）

A.終邊落在x軸的非負半軸的角的集合為心性=2左匹后eZ}

B.終邊落在y軸上的角的集合為［a\a=90°+kn,keZ}

C.第三象限角的集合為［aI7+2kn<a<^-+2k兀,Arezj

D.在-720°?0。范圍內所有與45。角終邊相同的角為-675°和-315。

10.如圖，A,8是單位圓上的兩個質點，點8的坐標為（1,0）,NBOA

=60。，質點/以1rad/s的角速度按逆時針方向在單位圓上運動，質點

B以2rad/s的角速度按順時針方向在單位圓上運動，則（）

A.經(jīng)過Is后，N3CM的弧度數(shù)為§+3

B.經(jīng)過專s后，扇形水用的弧長為意

7TTT

C.經(jīng)過7s后，扇形/O3的面積為；

63

577"

D.經(jīng)過后，A,3在單位圓上第一次相遇

II.走時精確的鐘表，中午12時，分針與時針重合于表面上12的位置，則當下一次分針與時針重合

時，時針轉過的弧度數(shù)的絕對值等于.

12.已知扇形的中心角為2弧度，扇形的半徑為3,則此扇形的弧長為.

13.一個面積為1的扇形，所對弧長也為1,則該扇形的圓心角是_______弧度

14.已知e終邊在第四象限，貝IJ20終邊所在的象