新人版九年級數(shù)學上-圓的概念及垂徑定理

...wd......wd......wd...圓的概念與垂徑定理圓的概念與垂徑定理知識點一、圓的定義1、圓的第一定義：在一個平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點A所形成的圖形叫做圓．這個固定的端點O叫做圓心，線段OA叫做半徑．以O點為圓心的圓記作：⊙O，讀作圓O．2．戰(zhàn)國時期的《墨經(jīng)》中對圓的定義是：圓，一中同長也．3．圓的第二定義：由圓的定義可知：(1)圓上的各點到圓心的距離都等于定長〔即半徑r)；在一個平面內(nèi)，到圓心的距離等于半徑長的點都在圓上．因此，圓是在一個平面內(nèi)，所有到一個定點的距離等于定長的點組成的圖形．(2)要確定一個圓，需要兩個基本條件：一個是圓心，另一個是半徑，其中，圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大?。⒁猓河蓤A的概念可知：EQ\o\ac(○,1)“圓〞指的是“圓周〞，即一條封閉的曲線，而不是圓面。EQ\o\ac(○,2)確定一個圓取決于兩個因素：圓心和半徑。例題1：以下說法錯誤的有〔〕EQ\o\ac(○,1)經(jīng)過P點的圓有無數(shù)個；EQ\o\ac(○,2)以P為圓心的圓有無數(shù)個；EQ\o\ac(○,3)半徑為3cm且經(jīng)過P點的圓有無數(shù)個；EQ\o\ac(○,4)以p為圓心，以3cm為半徑的圓有無數(shù)個。A、1個B、2個C、3個D、4個知識點二、圓的有關(guān)概念弦：連結(jié)圓上任意兩點間的線段叫做弦．經(jīng)過圓心的弦叫做直徑．并且直徑是同一圓中最長的弦．2.?。簣A上任意兩點間的局部叫做圓弧，簡稱弧，以A，C為端點的弧記作，讀作圓弧AC或弧AC．3．圓的直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓．4．在一個圓中大于半圓的弧叫做優(yōu)弧；〔如以以下圖叫做優(yōu)弧〕小于半圓的弧叫做劣弧．〔如以以下圖〕或叫做劣?。?．半徑相等的兩個圓叫做等圓．反過來，等圓的半徑相等；在同圓或等圓中，能夠完全重合的弧叫做等弧。例題2：以下命題中，正確的個數(shù)是〔〕。EQ\o\ac(○,1)直徑是圓中最長的弦；EQ\o\ac(○,2)弧是半圓；EQ\o\ac(○,3)過圓心的直線是直徑；EQ\o\ac(○,4)半圓不是弧。A、1個B、2個C、3個D、4個例題3：以下幾個命題中，正確的選項是〔〕A．兩條弧的長度相等，那么他們是等弧B.等弧只有在同圓中存在C.度數(shù)相等的弧的長度相等D.等弧的長度相等穩(wěn)固練習．如以以以下圖，(1)假設點O為⊙O的圓心，則線段__________是圓O的半徑；線段________是圓O的弦，其中最長的弦是______；______是劣弧；______是半圓．(2)假設∠A=40°，則∠ABO=______，∠C=______，∠ABC=______．綜合講練．講練1：如圖，在同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C，D兩點．(1)求證：∠AOC=∠BOD；(2)試確定AC與BD兩線段之間的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論．講練2：如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，AB，CD的延長線交于E，假設AB=2DE，∠E=18°，求∠C及∠AOC的度數(shù)．知識點三、垂直于弦的直徑〔垂徑定理〕1．圓是軸對稱圖形，其對稱軸是任意一條過圓心的直線．說明：①圓的對稱軸是直徑所在的直線，而不是直徑本身．②圓有無數(shù)條對稱軸．2．垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧．用符號語言描述：∵⊙O中CD是直徑、AB是弦，且CD⊥AB于M，∴AM＝BM，，．你能試著證明嗎說明：①垂徑定理中的直徑可以是過圓心的的直線或線段；②在有關(guān)計算直徑或半徑、弦長以及圓心到弦的距離等問題中，垂徑定理常常和勾股定理結(jié)合使用，即：〔弦的一半〕2＋〔圓心到弦的距離〕2＝〔半徑〕2．例1如圖，直線與兩個同心圓分別交于圖示的各點，則正確的選項是A．MP與RN的大小關(guān)系不定B.MP=RNC.MP＜RND.MP＞RN例2如圖，AB是⊙O的弦，半徑OC⊥AB于D點，且AB＝6cm，OD＝4cm，求DC的長【課堂操練】1．如圖，⊙O的直徑CD⊥AB，∠AOC=50°，則∠CDB大小為〔〕 A、25° B、30°C、40° D、50°·ABCDOM第2題圖2．如圖，在直徑AB＝12的⊙O中，弦C·ABCDOM第2題圖3．如圖，⊙O的直徑CD＝10cm，AB是⊙O的弦，ABCD，垂足為M，OM：OC＝3：5，求AB的長知識點四、垂徑定理的推論推論1：平分弦〔不是直徑〕的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。普?：平分弦所對的一條弧的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的另一條弧。推論3：弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧。問：你能分別用符號語言描述嗎請試著表示！概念理解：1．下面四個命題中正確的一個是〔〕A．平分一條直徑的弦必垂直于這條直徑B．平分一條弧的直線垂直于這條弧所對的弦C．弦的垂線必過這條弦所在圓的圓心D．在一個圓內(nèi)平分一條弧和它所對弦的直線必過這個圓的圓心2．以下命題中，正確的選項是〔〕．A．過弦的中點的直線平分弦所對的弧B．過弦的中點的直線必過圓心C．弦所對的兩條弧的中點連線垂直平分弦，且過圓心D．弦的垂線平分弦所對的弧跟蹤練習：1、．如圖，CD為⊙O的直徑，AB⊥CD于E，DE=8cm，CE=2cm，則AB=______cm．1題圖2．如圖，⊙O的半徑OC為6cm，弦AB垂直平分OC，則AB=______cm，∠AOB=______．2題圖3．如圖，AB為⊙O的弦，∠AOB=90°，AB=a，則OA=______，O點到AB的距離=______．3題圖4．如圖，⊙O的弦AB垂直于CD，E為垂足，AE=3，BE=7，且AB=CD，則圓心O到CD的距離是______．4題圖5．如圖，P為⊙O的弦AB上的點，PA=6，PB=2，⊙O的半徑為5，則OP=______．5題圖6．如圖，⊙O的弦AB垂直于AC，AB=6cm，AC=4cm，則⊙O的半徑等于______cm．6題圖綜合講練：講練1．：如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD交AB于E點，BE=1，AE=5，∠AEC=30°，求CD的長．講練2．：如圖，試用尺規(guī)將它四等分．講練3．：⊙O的半徑為25cm，弦AB=40cm，弦CD=48cm，AB∥CD．求這兩條平行弦AB，CD之間的距離．講練4．：如圖，A，B是半圓O上的兩點，CD是⊙O的直徑，∠AOD=80°，B是的中點．(1)在CD上求作一點P，使得AP＋PB最短；(2)假設CD=4cm，求AP＋PB的最小值．隨堂練習：1．如以以下圖，⊙O的直徑AB和弦CD交于E，AE=6cm，EB=2cm，∠CEA=30°，求CD的長．2、如圖，AB、AC為⊙O的兩條弦，D、E分別為、中點，求證：AM=AN.CABDE3、如以以下圖，在Rt△ABC中，CABDE4、如圖，：在⊙中，是直徑，是弦，交于，交于．求證：．OAPBC5、如以以下圖，P為弦AB上一點，CPOAPBC6．如以以下圖，破殘的圓