經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)微積分 第4版 課件 5-5 差分方程的求解

一、常系數(shù)線性差分方程解的結(jié)構(gòu)5.5差分方程的求解四、小結(jié)二、一階常系數(shù)線性差分方程求解經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)——微積分三、二階常系數(shù)線性差分方程求解一、常系數(shù)線性差分方程解的結(jié)構(gòu)n階常系數(shù)齊次線性差分方程的一般形式n階常系數(shù)非齊次線性差分方程的一般形式1.n階常系數(shù)齊次線性差分方程解的結(jié)構(gòu)問題:定理1

（是任意常數(shù)）

例如線性無關(guān)線性相關(guān)由此可見，要求出n階常系數(shù)齊次線性差分方程（1）的通解，只需求出其n個(gè)線性無關(guān)的特解.定理2

2.n階常系數(shù)非齊次線性差分方程解的結(jié)構(gòu)

由此可見，要求出n階常系數(shù)非齊次線性差分方程（2）的通解，只需求出（1）的通解和（2）的一個(gè)特解即可.定理3定理4

證明例1一階常系數(shù)齊次線性差分方程的一般形式一階常系數(shù)非齊次線性差分方程的一般形式二、一階常系數(shù)線性差分方程求解（一）一階常系數(shù)齊次線性差分方程的求解解解（二）一階常系數(shù)非齊次線性差分方程的求解1.(1)(2)綜上討論解對(duì)應(yīng)齊次方程通解代入方程,得原方程通解為解對(duì)應(yīng)齊次方程通解代入方程,得解代入方程，得對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為2.結(jié)合類型1的結(jié)論，可得解對(duì)應(yīng)齊次方程通解解對(duì)應(yīng)齊次方程通解例9（等額本息貸款模型）某人貸款m元，月利率為r%，n個(gè)月還清，以等額本息的還款方式，每月需還款多少元？解：設(shè)每月需還款a元，每月剩余貸款為St，則St=（1+r%）St-1-aS0=mSn=0一階線性非齊次差分方程初值問題解此方程并根據(jù)兩個(gè)條件求出例10（等額本金貸款模型）某人貸款m元，月利率為r%，n個(gè)月還清，以等額本金的還款方式，各月需還款多少元？解：設(shè)第t個(gè)月需還款at元，月還本金為m/n，則如貸42萬元，5年還清，月利率0.5%，第2個(gè)月的還款額為該方程可化為故有特征方程三、二階常系數(shù)線性齊次差分方程求解1)有兩個(gè)不相等的實(shí)根兩個(gè)線性無關(guān)的特解得齊次方程的通解為特征根為r1，r22)有兩個(gè)相等的實(shí)根一特解為得齊次方程的通解為特征根為3)有一對(duì)共軛復(fù)根重新組合得齊次方程的通解為的通解情況特征方程解特征方程為解得故所求通解為例11解特征方程為解得故所求通解為例13如何求特解？方法：設(shè)試解函數(shù)，待定系數(shù)法.自由項(xiàng)的兩種類型：四、二階常系數(shù)非齊次線性差分方程求解問題的特解設(shè)法解對(duì)應(yīng)齊次方程特征方程為解得對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為例14由于1是特征根，設(shè)代入方程故所求通解為得故所求特解為解對(duì)應(yīng)齊次方程特征方程為解得對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為例15由于3是特征重根,設(shè)代入方程故所求通解為得故所求特解為2.一階常系數(shù)齊次線性差分方程求通解（1）將方程化為一般形式，判斷出a的大??；（2）寫出通解.3.一階常系數(shù)非齊次線性差分方程求通解分別考慮a=1和a≠1（a=μ和a≠μ）兩種情況五、小結(jié)1.常系數(shù)線性差分方程解的結(jié)構(gòu)4.二階常系數(shù)齊次線性差分方程解的結(jié)構(gòu).5.二階常系數(shù)齊次線性差分方程的求解.解的結(jié)構(gòu)，通解的結(jié)構(gòu)特征方程根的三種情況對(duì)應(yīng)