2025優(yōu)化設(shè)計(jì)一輪素能培優(yōu)(十二) 破解基于問(wèn)題情境的數(shù)列問(wèn)題

素能培優(yōu)(十二)破解基于問(wèn)題情境的數(shù)列問(wèn)題高考總復(fù)習(xí)優(yōu)化設(shè)計(jì)GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2025基于問(wèn)題情境的數(shù)列問(wèn)題是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容,通過(guò)具體的問(wèn)題背景,考察數(shù)列的應(yīng)用,以此來(lái)檢驗(yàn)學(xué)生的核心價(jià)值、學(xué)科素養(yǎng)、關(guān)鍵能力、必備知識(shí).解決情境下的數(shù)列問(wèn)題,常用的解題思路是:審題、建立數(shù)列模型、研究模型、解決實(shí)際問(wèn)題.建立數(shù)列模型時(shí)需注意分析:問(wèn)題中有哪些量,這些量之間的關(guān)系和規(guī)律是什么,是否符合等差、等比數(shù)列的定義,它們之間的遞推關(guān)系是什么等,有時(shí)還需要從特殊到一般進(jìn)行歸納總結(jié).只要建立起恰當(dāng)?shù)臄?shù)列模型,就可運(yùn)用數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式以及相關(guān)的性質(zhì)、方法解決問(wèn)題.探究一數(shù)學(xué)文化中的數(shù)列問(wèn)題對(duì)于以數(shù)學(xué)文化為背景的數(shù)列問(wèn)題,解題時(shí)常常受困于背景陌生,閱讀受阻,無(wú)法獲得解題思路.解題時(shí)應(yīng)認(rèn)真審題,從問(wèn)題背景中提取相關(guān)信息并分析歸納,從中構(gòu)建等差數(shù)列或等比數(shù)列模型,再根據(jù)等差數(shù)列或等比數(shù)列的有關(guān)公式求解作答,必要時(shí)進(jìn)行檢驗(yàn).例1(2024·四川綿陽(yáng)模擬)《張丘建算經(jīng)》是我國(guó)南北朝時(shí)期的一部重要數(shù)學(xué)著作,書(shū)中系統(tǒng)地介紹了等差數(shù)列,卷中記載“今有女善織,日益功疾.初日織五尺,今一月織九匹三丈”,其意思為:現(xiàn)有一善于織布的女子,從第二天開(kāi)始,每天比前一天多織相同量的布,第一天織了5尺布,現(xiàn)在一個(gè)月(30天)共織390尺布.假如該女子1號(hào)開(kāi)始織布,則這個(gè)月中旬(第11天到第20天)的織布量為(

)B[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1](多選題)(2024·福建龍巖模擬)在《增刪算法統(tǒng)宗》中有如下問(wèn)題“三百七十八里關(guān),初行健步不為難.次日腳痛減一半,六朝才得到其關(guān)”,其意思是:某人到某地需走378里路,第一天健步行走,從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半,走了6天才到達(dá)目的地,則(

)A.此人第二天走的路程占全程的B.此人第三天走了48里路C.此人第一天走的路程比第四天走的路程多144里D.此人第五天和第六天共走了18里路BD探究二實(shí)際生活中的數(shù)列問(wèn)題實(shí)際生產(chǎn)生活中的許多問(wèn)題都與數(shù)列問(wèn)題緊密相關(guān),解決這些問(wèn)題的關(guān)鍵是弄清題意,分清條件和結(jié)論,理順數(shù)量關(guān)系,建立相應(yīng)的數(shù)列模型,抽象出通項(xiàng)公式或遞推關(guān)系式,然后利用數(shù)列知識(shí)解決問(wèn)題.例2(多選題)(2024·山東德州模擬)某企業(yè)為一個(gè)高科技項(xiàng)目注入了啟動(dòng)資金2000萬(wàn)元,已知每年可獲利20%,但由于競(jìng)爭(zhēng)激烈,每年年底需從利潤(rùn)中取出200萬(wàn)元資金進(jìn)行科研、技術(shù)改造與廣告投入,方能保持原有的利潤(rùn)增長(zhǎng)率.設(shè)經(jīng)過(guò)n年之后,該項(xiàng)目的資金為an萬(wàn)元(取lg2≈0.30,lg3≈0.48),則下列敘述正確的有(

)A.a1=2200B.數(shù)列{an}的遞推關(guān)系是an+1=an×(1+20%)C.數(shù)列{an-1000}為等比數(shù)列D.至少要經(jīng)過(guò)6年,該項(xiàng)目的資金才可以達(dá)到或超過(guò)翻一番(即為原來(lái)的2倍)的目標(biāo)ACD

[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2](2024·陜西渭南模擬)5G是第五代移動(dòng)通信技術(shù)的簡(jiǎn)稱,其意義在于萬(wàn)物互聯(lián),即所有人和物都將存在于有機(jī)的數(shù)字生態(tài)系統(tǒng)中,它把以人為中心的通信擴(kuò)展到同時(shí)以人與物為中心的通信,將會(huì)為社會(huì)生活與生產(chǎn)方式帶來(lái)巨大的變化.目前我國(guó)最高的5G基站海拔6500米.從全國(guó)范圍看,中國(guó)5G發(fā)展進(jìn)入了全面加速階段,基站建設(shè)進(jìn)度超過(guò)預(yù)期.現(xiàn)有8個(gè)工程隊(duì)共承建10萬(wàn)個(gè)基站,從第二個(gè)工程隊(duì)開(kāi)始,每個(gè)工程隊(duì)承建的基站數(shù)都比前一個(gè)工程隊(duì)少,則第一個(gè)工程隊(duì)承建的基站數(shù)(單位:萬(wàn)個(gè))為(

)B解析

設(shè)第一個(gè)工程隊(duì)承建的基站數(shù)為m萬(wàn)個(gè),依題意,每個(gè)工程隊(duì)承建的基站數(shù)由大到小依次排成一列構(gòu)成等比數(shù)列{an},n∈N*,n≤8,探究三數(shù)陣或圖表中的數(shù)列問(wèn)題從數(shù)列到數(shù)陣或圖表,盡管數(shù)的排列形式發(fā)生了變化,但問(wèn)題的本質(zhì)仍然是數(shù)列問(wèn)題,只要抓住每行(每列)的首項(xiàng),找準(zhǔn)每行(每列)的變化規(guī)律,從數(shù)陣中構(gòu)造出新數(shù)列(等差數(shù)列、等比數(shù)列、周期數(shù)列等),那么解決問(wèn)題的思想和方法仍然不變.例3(2024·浙江樂(lè)清模擬)“楊輝三角”是中國(guó)古代重要的數(shù)學(xué)成就,如圖是由“楊輝三角”拓展而成的三角形數(shù)陣,記an為圖中虛線上的數(shù)1,3,6,10,…構(gòu)成的數(shù)列{an}的第n項(xiàng),則a50的值為(

)

A.1275

B.1276 C.1270

D.1280A解析

由題意可得a1=1,a2-a1=2,a3-a2=3,a4-a3=4,…,即an-an-1=n,n≥2,所以a50=a1+(a2-a1)+…+(a49-a48)+(a50-a49)=1+2+…+49+50=

=1

275.

[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3](2024·江西五市九校第二次聯(lián)考)如圖為“楊輝三角”示意圖,已知每一行的數(shù)字之和構(gòu)成的數(shù)列為等比數(shù)列且記該數(shù)列前n項(xiàng)和為Sn,設(shè)

,將數(shù)列{bn}中的整數(shù)項(xiàng)依次取出組成新的數(shù)列記為{cn},則c2023的值為(

)A.5052

B.5057 C.5058

D.5063B所以{cn}的奇數(shù)項(xiàng)是以2為首項(xiàng),5為公差的等差數(shù)列,則c2n-1=2+