2025屆甘肅省蘭州市一中高一下數(shù)學期末考試試題含解析

2025屆甘肅省蘭州市一中高一下數(shù)學期末考試試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知函數(shù)，在中，內角的對邊分別是，內角滿足，若，則的周長的取值范圍為（）A． B． C． D．2．設a＞0，b＞0，若是和的等比中項，則的最小值為（）A．6 B． C．8 D．93．已知不等式的解集為，則不等式的解集為()A． B．C． D．4．設l是直線，，是兩個不同的平面，下列命題正確的是（）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則5．在等比數(shù)列中，，，則（）A． B．C． D．6．已知，，當時，不等式恒成立，則的取值范圍是A． B． C． D．7．已知圓，設平面區(qū)域，若圓心,且圓與軸相切，則的最大值為（）A．5 B．29 C．37 D．498．已知圓柱的上、下底面的中心分別為，，過直線的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為A． B． C． D．9．某市新上了一批便民公共自行車，有綠色和橙黃色兩種顏色，且綠色公共自行車和橙黃色公共自行車的數(shù)量比為2∶1，現(xiàn)在按照分層抽樣的方法抽取36輛這樣的公共自行車放在某校門口，則其中綠色公共自行車的輛數(shù)是()A．8 B．12 C．16 D．2410．直線（，）過點(-1,-1),則的最小值為()A．9 B．1 C．4 D．10二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知關于實數(shù)x，y的不等式組構成的平面區(qū)域為，若，使得恒成立，則實數(shù)m的最小值是______．12．數(shù)列滿足，，則___________．13．設（）則數(shù)列的各項和為________14．若等差數(shù)列和等比數(shù)列滿足，，則_______.15．若一組樣本數(shù)據(jù)，，，，的平均數(shù)為，則該組樣本數(shù)據(jù)的方差為16．如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為1，M為B1C1中點，連接A1B，D1M，則異面直線A1B和D1M所成角的余弦值為________________________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數(shù)f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx（ω>0）的最小正周期為π.（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求f（x）的單調遞增區(qū)間.18．求過三點的圓的方程，并求這個圓的半徑和圓心坐標．19．在中，內角對邊分別為，，,已知.(1)求的值；(2)若，，求的面積．20．的內角，，的對邊分別為，，，為邊上一點，為的角平分線，，．（1）求的值：（2）求面積的最大值．21．在平面直角坐標系中，點，點P在x軸上（1）若，求點P的坐標：（2）若的面積為10，求點P的坐標．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解析】

首先根據(jù)降冪公式以及輔助角公式化簡，把帶入利用余弦定理以及基本不等式即可．【詳解】由題意得，為三角形內角所以，所以，因為，所以，，當且僅當時取等號，因為，所以，所以選擇B【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的化簡，以及余弦定理和基本不等式．在化簡的過程中常用到的公式有輔助角、二倍角、兩角和與差的正弦、余弦等．屬于中等題．2、D【解析】

試題分析：由題意a＞0，b＞0，且是和的等比中項，即，則，當且僅當時，即時取等號．考點：重要不等式，等比中項3、B【解析】

首先根據(jù)題意得到，為方程的根，再解出的值帶入不等式即可.【詳解】有題知：，為方程的根.所以，解得.所以，解得：或.故選：B【點睛】本題主要考查二次不等式的求法，同時考查了學生的計算能力，屬于簡單題.4、D【解析】

利用空間線線、線面、面面的位置關系對選項進行逐一判斷，即可得到答案.【詳解】A.若，，則與可能平行，也可能相交，所以不正確.B.若，，則與可能的位置關系有相交、平行或,所以不正確.C.若，，則可能，所以不正確.D.若，，由線面平行的性質過的平面與相交于，則，又.

所以，所以有，所以正確.故選：D【點睛】本題考查面面平行、垂直的判斷，線面平行和垂直的判斷,屬于基礎題.5、B【解析】

設等比數(shù)列的公比為，由等比數(shù)列的定義知與同號，再利用等比中項的性質可求出的值.【詳解】設等比數(shù)列的公比為，則，，.由等比中項的性質可得，因此，，故選：B.【點睛】本題考查等比中項性質的應用，同時也要利用等比數(shù)列的定義判斷出項的符號，考查運算求解能力，屬于中等題.6、B【解析】

根據(jù)為定值，那么乘以后值不變，由基本不等式可消去x，y后，對得到的不等式因式分解，即可解得m的值．【詳解】因為，，，所以.因為不等式恒成立，所以，整理得，解得，即.【點睛】本題考查基本不等式，由為定值和已知不等式相乘來構造基本不等式，最后含有根式的因式分解也是解題關鍵．7、C【解析】試題分析：作出可行域如圖，圓C：（x－a）2＋（y－b）2＝1的圓心為，半徑的圓，因為圓心C∈Ω，且圓C與x軸相切，可得，所以所以要使a2＋b2取得的最大值，只需取得最大值，由圖像可知當圓心C位于B點時，取得最大值，B點的坐標為，即時是最大值.考點：線性規(guī)劃綜合問題.8、B【解析】分析：首先根據(jù)正方形的面積求得正方形的邊長，從而進一步確定圓柱的底面圓半徑與圓柱的高，從而利用相關公式求得圓柱的表面積.詳解：根據(jù)題意，可得截面是邊長為的正方形，結合圓柱的特征，可知該圓柱的底面為半徑是的圓，且高為，所以其表面積為，故選B.點睛：該題考查的是有關圓柱的表面積的求解問題，在解題的過程中，需要利用題的條件確定圓柱的相關量，即圓柱的底面圓的半徑以及圓柱的高，在求圓柱的表面積的時候，一定要注意是兩個底面圓與側面積的和.9、D【解析】設放在該校門口的綠色公共自行車的輛數(shù)是x，則，解得x＝1．故選D10、A【解析】

將點的坐標代入直線方程：，再利用乘1法求最值【詳解】將點的坐標代入直線方程：，，當且僅當時取等號【點睛】已知和為定值，求倒數(shù)和的最小值，利用乘1法求最值。二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

由，使得恒成立可知，只需求出的最大值即可，再由表示平面區(qū)域內的點與定點距離的平方，因此結合平面區(qū)域即可求出結果.【詳解】作出約束條件所表示的可行域如下：由，使得恒成立可知，只需求出的最大值即可；令目標函數(shù)，則目標函數(shù)表示平面區(qū)域內的點與定點距離的平方，由圖像易知，點到的距離最大.由得，所以.因此，即的最小值為37.故答案為37【點睛】本題主要考查簡單的線性規(guī)劃問題，只需分析清楚目標函數(shù)的幾何意義，即可結合可行域來求解，屬于?？碱}型.12、2【解析】

利用遞推公式求解即可.【詳解】由題得.故答案為2【點睛】本題主要考查利用遞推公式求數(shù)列中的項，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎題.13、【解析】

根據(jù)無窮等比數(shù)列的各項和的計算方法，即可求解，得到答案.【詳解】由題意，數(shù)列的通項公式為，且，所以數(shù)列的各項和為.故答案為：.【點睛】本題主要考查了無窮等比數(shù)列的各項和的求解，其中解答中熟記無窮等比數(shù)列的各項和的計算方法是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.14、【解析】

設等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，根據(jù)題中條件求出、的值，進而求出和的值，由此可得出的值.【詳解】設等差數(shù)列的公差和等比數(shù)列的公比分別為和，則，求得，，那么，故答案為.【考點】等差數(shù)列和等比數(shù)列【點睛】等差、等比數(shù)列各有五個基本量，兩組基本公式，而這兩組公式可看作多元方程，利用這些方程可將等差、等比數(shù)列中的運算問題轉化為解關于基本量的方程（組）問題，因此可以說數(shù)列中的絕大部分運算題可看作方程應用題，所以用方程思想解決數(shù)列問題是一種行之有效的方法.15、【解析】因為該組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為2017，所以，解得，則該組樣本數(shù)據(jù)的方差為.16、.【解析】

連接、，取的中點，連接，可知，且是以為腰的等腰三角形，然后利用銳角三角函數(shù)可求出的值作為所求的答案．【詳解】如下圖所示：連接、，取的中點，連接，在正方體中，，則四邊形為平行四邊形，所以，則異面直線和所成的角為或其補角，易知，由勾股定理可得，，為的中點，則，在中，，因此，異面直線和所成角的余弦值為，故答案為．【點睛】本題考查異面直線所成角的余弦值的計算，求解異面直線所成的角一般利用平移直線法求解，遵循“一作、二證、三計算”，在計算時，一般利用銳角三角函數(shù)的定義或余弦定理求解，考查計算能力，屬于中等題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）（Ⅱ）（）．【解析】試題分析：（Ⅰ）運用兩角和的正弦公式對f（x）化簡整理，由周期公式求ω的值；（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)y=sinx的單調遞增區(qū)間對應求解即可.試題解析：（Ⅰ）因為，所以的最小正周期．依題意，，解得．（Ⅱ）由（Ⅰ）知．函數(shù)的單調遞增區(qū)間為（）．由，得．所以的單調遞增區(qū)間為（）．【考點】兩角和的正弦公式、周期公式、三角函數(shù)的單調性.【名師點睛】三角函數(shù)的單調性：1.三角函數(shù)單調區(qū)間的確定，一般先將函數(shù)式化為基本三角函數(shù)標準式，然后通過同解變形或利用數(shù)形結合方法求解．關于復合函數(shù)的單調性的求法；2.利用三角函數(shù)的單調性比較兩個同名三角函數(shù)值的大小，必須先看兩角是否同屬于這一函數(shù)的同一單調區(qū)間內，不屬于的，可先化至同一單調區(qū)間內．若不是同名三角函數(shù)，則應考慮化為同名三角函數(shù)或用差值法（例如與0比較，與1比較等）求解．18、（x﹣4）2+（y+3）2=21，圓的半徑為【解析】

設出圓的一般方程，把代入所設,得到關于的方程組，求解,即可求得圓的一般方程，化為標準方程，進一步求得圓心坐標與半徑.【詳解】設圓的方程為：x2+y2+Dx+Ey+F=0，則，解得D=﹣4，E=3，F(xiàn)=0，∴圓的方程為x2+y2﹣8x+6y=0，化為（x﹣4）2+（y+3）2=21，可得：圓心是（4，﹣3）、半徑r=1．【點睛】本題主要考查圓的方程和性質，屬于簡單題.求圓的方程常見思路與方法有:①直接設出動點坐標，根據(jù)題意列出關于的方程即可；②根據(jù)幾何意義直接找到圓心坐標和半徑，寫出方程；③待定系數(shù)法，可以根據(jù)題意設出圓的標準方程或一般式方程，再根據(jù)所給條件求出參數(shù)即可.19、(1)2(2)【解析】

（1）在題干等式中利用邊化角思想，結合兩角和的正弦公式、內角和定理以及誘導公式計算出，再利用角化邊的思想可得出的比值；（2）由（1）中的結果，結合余弦定理求出和的值，再利用同角三角函數(shù)的平方關系求出，最后利用三角形的面積公式求出的面積．【詳解】（1）由正弦定理得，則，所以，即，化簡可得．又，所以．所以，即.（2）由（1）知．由余弦定理及，，得，．解得，因此因為，且所以因此．【點睛】在解三角形的問題時，要根據(jù)已知元素的類型合理選擇正弦定理與余弦定理解三角形，除此之外，在有邊和角的等式中，優(yōu)先邊化角，利用三角恒等變換思想化簡求解，能起到簡化計算的作用．20、（1）（2）3【解析】

（1）由，，根據(jù)三角形面積公式可知，，再根據(jù)角平分線的定義可知，到，的距離相等，所以，即可求出；（2）先根據(jù)（1）可得，，由平方關系得，再根據(jù)三角形的面積公式，可化簡得，然后根據(jù)基本不等式即可求出面積的最大值．【詳解】（1）如圖所示：因為，所以．又因為為的角平分線，所以到，的距離相等，所以所以．（2）由（1）及余弦定理得：所以，又因為所以，所以又因為且，故所以，當且僅當即時取等號．所以面積的最大值為．【點睛】本題主要考查正余弦定理在解三角形中的應用，三角形面積公式的應用，以及利用基本不等式