2024安徽中考數(shù)學二輪專題訓練 題型三 從“幾何最值問題”的本質(zhì)探究“滿足特定條件問題”(含答案)

2024安徽中考數(shù)學二輪專題訓練題型三從“幾何最值問題”的本質(zhì)，探究“滿足特定條件問題”類型一“垂線段最短”類問題典例精講例1如圖①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，AB＝6，點P為邊AB上一動點，點P關于AC，BC的對稱點分別為點M，N，PM，PN分別與AC，BC交于點E，F(xiàn)，連接MN，則線段MN的最小值為________．例1題圖①變式探究變式角度→點P在特定條件下，直角三角形變?yōu)榈冗吶切稳鐖D②，在等邊△ABC中，AB＝6，點P是AB上一動點，作點P關于直線AC、BC的對稱點分別為點M、N，連接MN.若CP＝2eq\r(7)，則MN的長為________．例1題圖②【本質(zhì)】例1的本質(zhì)是垂線段最短，即點C到AB的最短距離為CP⊥AB時CP的長．【思考】①在圖②中，若MN＝10時，你能判斷出在AB邊上有幾個P點嗎？②當點P在等邊△ABC的三邊上運動時，你能直接判斷出在三角形的邊上有幾個P點嗎？滿分技法“垂線段最短”在最值問題中的應用：具體講解內(nèi)容詳見微專題類型二“兩點之間，線段最短”類問題典例精講例2如圖①，菱形ABCD的邊長為2eq\r(3)，∠ABC＝60°，點P是AB上一點，E、F為BD的三等分點，連接PE、PF，則△PEF周長的最小值是()A.4B.4＋eq\r(3)C.2＋2eq\r(3)D.6例2題圖①變式探究變式角度→設問變?yōu)榍簏c的個數(shù)如圖②，菱形ABCD的邊長為2eq\r(3)，∠ABC＝60°，點E、F將對角線BD三等分，若P是菱形邊上的點，連接PE、PF，則滿足△PEF的周長為eq\f(11,2)的點P的個數(shù)是()0B.4C.8D.12、例2題圖②【本質(zhì)】例2的本質(zhì)是利用“兩點之間、線段最短”求△PEF周長的最值問題，即點P的位置具有唯一性．【思考】當△PEF的周長為某一定值，點P的位置及個數(shù)會怎樣呢？滿分技法利用“兩點之間，線段最短”求最值：具體講解內(nèi)容詳見微專題安徽近年真題精選如圖，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3.動點P滿足S△PAB＝eq\f(1,3)S矩形ABCD.則點P到A，B兩點距離之和PA＋PB的最小值為()A.eq\r(29)B.eq\r(34)C．5eq\r(2)D.eq\r(41)第1題圖2.如圖，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)將對角線AC三等分，且AC＝12.點P在正方形的邊上，則滿足PE＋PF＝9的點P的個數(shù)是()A.0B.4C.6D.8第2題圖變式探究3.如圖，在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，點E，F(xiàn)將對角線AC三等分，且AC＝6，點P是菱形ABCD邊上的點，則滿足PE＋PF＝eq\r(13)的點P的個數(shù)是()A.2B.4C.6D.8第3題圖類型三“點圓最值，線圓最值”類問題典例精講例3如圖①，在正方形ABCD中，AB＝1，點E、F分別是DC、AD邊上的動點，且AE⊥BF，垂足為P，連接CP，則線段CP的最小值為()A.eq\f(\r(5),5)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(5)－1,2)D.eq\f(\r(5),4)例3題圖①【本質(zhì)】例3的本質(zhì)是利用輔助圓求線段CP的最小值問題．【思考】當我們畫出點P的運動軌跡時，他與過點C的直線會存在哪種位置關系呢？滿分技法輔助圓在最值問題中的應用：具體講解內(nèi)容詳見P99微專題變式探究如圖②，在正方形ABCD中，AB＝4，點E、F分別是DC、AD邊上的動點，且AE⊥BF，垂足為P，M為AD邊上一點，連接CM，當AM＝1時，CM與P點運動軌跡的交點個數(shù)是()0B.1C.2D.3例3題圖②安徽近年真題精選4.如圖，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC內(nèi)部的一個動點，且滿足∠PAB＝∠PBC.則線段CP長的最小值為()A.eq\f(3,2)B.2C.eq\f(8\r(13),13)D.eq\f(12\r(13),13)第4題圖參考答案類型一“垂線段最短”類問題典例精講例13eq\r(3)【解析】如解圖①，連接CP，∵點P關于AC，BC的對稱點分別為點M，N，∴MC＝CP，CP＝CN，AC⊥MP，NP⊥BC，∴∠MCA＝∠ACP，∠NCB＝∠BCP，∵∠ACP＋∠BCP＝∠ACB＝90°，∴∠MCA＋∠ACP＋∠NCB＋∠BCP＝180°，∴點M，C，N在一條直線上，在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝6，∴BC＝3，AC＝3eq\r(3)，∵CM＝CP＝CN，∴MN＝2CP，當CP⊥AB時，CP有最小值，即MN有最小值．∵∠CAB＝30°，∴CP＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(3\r(3),2)，∴MN的最小值為3eq\r(3).例1題解圖①變式探究2eq\r(21)【解析】如解圖②，過點C作CD⊥AB于點D，分別過點M、N作AB的垂線交AB的延長線于點G、H，∵△ABC是邊長為6的等邊三角形，∴CD＝3eq\r(3).假設點P在點D左側，∵CP＝2eq\r(7)，∴PD＝1，AP＝2，∴PE＝eq\r(3)，PM＝2eq\r(3)，∴MG＝eq\r(3)，PG＝3，BP＝4，∴PF＝2eq\r(3)，PN＝4eq\r(3)，∴NH＝2eq\r(3)，PH＝6，GH＝GP＋PH＝9，NH－MG＝eq\r(3)，∴MN＝eq\r(92＋（\r(3)）2)＝2eq\r(21).由等邊三角形的對稱性可得，當點P在點D右側時，MN＝2eq\r(21)，∴MN的長為2eq\r(21).例1題解圖②【思考】①當點P與點D重合時，MN取得最小值，此時，易得MN＝9，∵等邊三角形邊長為6，∴高為3eq\r(3)，當點P與A、B重合時，MN取得最大值，此時MN＝6eq\r(3)，∴9<MN<6eq\r(3)，∴當MN＝10時，在AB上有兩個P點，且關于點D對稱．②由①得，當點P與A1B重合時，MN取得最大值6eq\r(3)，∴在邊AC和AB上各有一點P可使MN＝10，∴當點P在三邊上運動時，有4個滿足條件的點P.類型二“兩點之間，線段最短”類問題典例精講例2C【解析】如解圖①，作點E關于AB的對稱點E′，連接PE′，則PE＝PE′，∴△PEF的周長為PE＋EF＋PF＝PE′＋EF＋PF，∵EF為定值，∴只需求PE′＋PF的最小值，連接E′F交AB于點P′，當點P與點P′重合，即當P、E′、F三點共線時，PE′＋PF的值最?。吡庑蜛BCD的邊長為2eq\r(3)，∠ABC＝60°，∴EF＝BE＝DF＝2，EE′＝2,過點E′作E′G⊥BD于點G，E′G＝eq\r(3)，EG＝1，∴FG＝3，F(xiàn)E′＝2eq\r(3)，∴△PEF周長＝FE′＋EF＝2＋2eq\r(3).例2題解圖①【思考】當△PEF的周長大于最小值且小于當P點與A、B點重合時的值時在AB上有關于點P′對稱的兩個點．變式探究C【解析】要滿足△PEF的周長為eq\f(11,2)，即滿足PE＋PF＝eq\f(7,2)，如解圖②，假設點P在線段AB上，作點E關于AB的對稱點E′，連接EE′交AB于點P，此時PE＋PF的值最小．易知PE＋PF的最小值為2eq\r(3)，當點P由A運動到B時，PE＋PF的值由最大值4減小到2eq\r(3)再增加到6，∵PE＋PF＝eq\f(11,2)－2＝eq\f(7,2)，2eq\r(3)＜eq\f(7,2)＜4，∴線段AB上存在兩個點P，滿足△PEF的周長為eq\f(11,2)，∴根據(jù)菱形的對稱性可知：菱形ABCD的邊上的存在8個點P滿足條件．例2題解圖②安徽近年真題精選1.D【解析】如解圖，設△PAB底邊AB上的高為h，∵S△PAB＝eq\f(1,3)S矩形ABCD，∴eq\f(1,2)AB·h＝eq\f(1,3)AB·AD，∴h＝2，即h為定值，在AD上截取AE＝2，作EF∥AB，交CB于點F，故P點在直線EF上運動，作點A關于直線EF的對稱點A′，連接A′B，交直線EF于點P，此時PA＋PB最小，即為A′B的長，由對稱得AA′＝2AE＝4，∴A′B＝eq\r(AA′2＋AB2)＝eq\r(42＋52)＝eq\r(41)，即PA＋PB的最小值為eq\r(41).第1題解圖2.D【解析】如解圖，∵點E，F(xiàn)將對角線AC三等分，且AC＝12，∴AE＝EF＝FC＝4，當P點在AD上時，作E點關于AD的對稱點E′，連接E′F、AE′，EE′，則AE′＝AE＝4，當P點運動至E′F和AD交點時，PE＋PF具有最小值，∵∠EAD＝∠E′AD＝45°，∴∠E′AF＝90°，此時E′F＝eq\r(（AE′）2＋AF2)＝eq\r(42＋82)＝4eq\r(5)<9，當P點和A點重合時，PE＋PF＝AE＋AF＝12，當P點和D點重合時，過點E作EG⊥AD，垂足為G，∵AD＝CD，∠DAE＝∠DCF，AE＝CF，∴△AED≌△CFD(SAS)，∴DE＝DF，∴PE＋PF＝2PE＝2eq\r(EG2＋DG2)＝2×eq\r(（2\r(2)）2＋（4\r(2)）2)＝4eq\r(10).∵4eq\r(5)<9<12，4eq\r(5)<9<4eq\r(10)，故在AD上有兩個位置存在PE＋PF＝9，同理在其余三邊上各有兩種情況，故正方形四條邊上共存在8個位置使得PE＋PF＝9，∴滿足條件的P點有8個．第2題解圖3.D【解析】不妨假設點P在線段AD上，作點E關于AD的對稱點E′，連接FE′交AD于點P，此時PE＋PF的值最?。字狿E＋PF的最小值＝2eq\r(3)，當點P由A運動到D時，PE＋PF的值由最大值6減小到2eq\r(3)再增加到4，∵PE＋PF＝eq\r(13)，2eq\r(3)＜eq\r(13)＜4，∴線段AD上存在兩個點P，滿足PE＋PF＝eq\r(13)，同理根據(jù)對稱性可知，菱形ABCD的其余三邊上各存在兩個點P，故菱形中滿足條件的P點有8個．第3題解圖類型三“點圓最值，線圓最值”類問題典例精講例3C【解析】∵AE⊥BF交于點P，且∠APB＝90°，則點P的軌跡為以AB為直徑的⊙O，如解圖①，連接CO交半圓于點P′，此時CP的值最小，∵BC＝AB＝1，∴AO＝BO＝eq\f(1,2)，CO＝eq\r(OB2＋BC2)＝eq\f(\r(5),2)，∴CP的最小值＝CO－OP′＝eq\f(\r(5),2)－eq\f(1,2)＝eq\f(\r(5)－1,2)，故選C.例3題解圖①【思考】過點C的直線與P點的運動軌跡圓存在相交、相離和相切三種位置關系．變式探究B【解析】如解圖②，點P的軌跡為以AB為直徑的⊙O，過點O作OG⊥CM交CM于點G，連接OM，OC，∵AM＝1，OA＝2，∴OM＝eq\r(5)，DM＝3，OC＝2eq\r(5)，∴CM＝5，OC2＋OM2＝CM2，∴OM⊥OC，∴OM·OC＝CM·OG，∴OG＝2，OG等于圓的半徑，即CM與⊙O相切，∴CM與P點軌跡只有一個交點．例3題解圖②安徽近年真題精選4.B