2024安徽中考數(shù)學(xué)二輪專題訓(xùn)練 題型三 從“幾何最值問(wèn)題”的本質(zhì)探究“滿足特定條件問(wèn)題”(含答案)

2024安徽中考數(shù)學(xué)二輪專題訓(xùn)練題型三從“幾何最值問(wèn)題”的本質(zhì)，探究“滿足特定條件問(wèn)題”類型一“垂線段最短”類問(wèn)題典例精講例1如圖①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，AB＝6，點(diǎn)P為邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于AC，BC的對(duì)稱點(diǎn)分別為點(diǎn)M，N，PM，PN分別與AC，BC交于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接MN，則線段MN的最小值為________．例1題圖①變式探究變式角度→點(diǎn)P在特定條件下，直角三角形變?yōu)榈冗吶切稳鐖D②，在等邊△ABC中，AB＝6，點(diǎn)P是AB上一動(dòng)點(diǎn)，作點(diǎn)P關(guān)于直線AC、BC的對(duì)稱點(diǎn)分別為點(diǎn)M、N，連接MN.若CP＝2eq\r(7)，則MN的長(zhǎng)為________．例1題圖②【本質(zhì)】例1的本質(zhì)是垂線段最短，即點(diǎn)C到AB的最短距離為CP⊥AB時(shí)CP的長(zhǎng)．【思考】①在圖②中，若MN＝10時(shí)，你能判斷出在AB邊上有幾個(gè)P點(diǎn)嗎？②當(dāng)點(diǎn)P在等邊△ABC的三邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，你能直接判斷出在三角形的邊上有幾個(gè)P點(diǎn)嗎？滿分技法“垂線段最短”在最值問(wèn)題中的應(yīng)用：具體講解內(nèi)容詳見(jiàn)微專題類型二“兩點(diǎn)之間，線段最短”類問(wèn)題典例精講例2如圖①，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2eq\r(3)，∠ABC＝60°，點(diǎn)P是AB上一點(diǎn)，E、F為BD的三等分點(diǎn)，連接PE、PF，則△PEF周長(zhǎng)的最小值是()A.4B.4＋eq\r(3)C.2＋2eq\r(3)D.6例2題圖①變式探究變式角度→設(shè)問(wèn)變?yōu)榍簏c(diǎn)的個(gè)數(shù)如圖②，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2eq\r(3)，∠ABC＝60°，點(diǎn)E、F將對(duì)角線BD三等分，若P是菱形邊上的點(diǎn)，連接PE、PF，則滿足△PEF的周長(zhǎng)為eq\f(11,2)的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)是()0B.4C.8D.12、例2題圖②【本質(zhì)】例2的本質(zhì)是利用“兩點(diǎn)之間、線段最短”求△PEF周長(zhǎng)的最值問(wèn)題，即點(diǎn)P的位置具有唯一性．【思考】當(dāng)△PEF的周長(zhǎng)為某一定值，點(diǎn)P的位置及個(gè)數(shù)會(huì)怎樣呢？滿分技法利用“兩點(diǎn)之間，線段最短”求最值：具體講解內(nèi)容詳見(jiàn)微專題安徽近年真題精選如圖，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3.動(dòng)點(diǎn)P滿足S△PAB＝eq\f(1,3)S矩形ABCD.則點(diǎn)P到A，B兩點(diǎn)距離之和PA＋PB的最小值為()A.eq\r(29)B.eq\r(34)C．5eq\r(2)D.eq\r(41)第1題圖2.如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)將對(duì)角線AC三等分，且AC＝12.點(diǎn)P在正方形的邊上，則滿足PE＋PF＝9的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)是()A.0B.4C.6D.8第2題圖變式探究3.如圖，在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，點(diǎn)E，F(xiàn)將對(duì)角線AC三等分，且AC＝6，點(diǎn)P是菱形ABCD邊上的點(diǎn)，則滿足PE＋PF＝eq\r(13)的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)是()A.2B.4C.6D.8第3題圖類型三“點(diǎn)圓最值，線圓最值”類問(wèn)題典例精講例3如圖①，在正方形ABCD中，AB＝1，點(diǎn)E、F分別是DC、AD邊上的動(dòng)點(diǎn)，且AE⊥BF，垂足為P，連接CP，則線段CP的最小值為()A.eq\f(\r(5),5)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(5)－1,2)D.eq\f(\r(5),4)例3題圖①【本質(zhì)】例3的本質(zhì)是利用輔助圓求線段CP的最小值問(wèn)題．【思考】當(dāng)我們畫出點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡時(shí)，他與過(guò)點(diǎn)C的直線會(huì)存在哪種位置關(guān)系呢？滿分技法輔助圓在最值問(wèn)題中的應(yīng)用：具體講解內(nèi)容詳見(jiàn)P99微專題變式探究如圖②，在正方形ABCD中，AB＝4，點(diǎn)E、F分別是DC、AD邊上的動(dòng)點(diǎn)，且AE⊥BF，垂足為P，M為AD邊上一點(diǎn)，連接CM，當(dāng)AM＝1時(shí)，CM與P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是()0B.1C.2D.3例3題圖②安徽近年真題精選4.如圖，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠PAB＝∠PBC.則線段CP長(zhǎng)的最小值為()A.eq\f(3,2)B.2C.eq\f(8\r(13),13)D.eq\f(12\r(13),13)第4題圖參考答案類型一“垂線段最短”類問(wèn)題典例精講例13eq\r(3)【解析】如解圖①，連接CP，∵點(diǎn)P關(guān)于AC，BC的對(duì)稱點(diǎn)分別為點(diǎn)M，N，∴MC＝CP，CP＝CN，AC⊥MP，NP⊥BC，∴∠MCA＝∠ACP，∠NCB＝∠BCP，∵∠ACP＋∠BCP＝∠ACB＝90°，∴∠MCA＋∠ACP＋∠NCB＋∠BCP＝180°，∴點(diǎn)M，C，N在一條直線上，在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝6，∴BC＝3，AC＝3eq\r(3)，∵CM＝CP＝CN，∴MN＝2CP，當(dāng)CP⊥AB時(shí)，CP有最小值，即MN有最小值．∵∠CAB＝30°，∴CP＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(3\r(3),2)，∴MN的最小值為3eq\r(3).例1題解圖①變式探究2eq\r(21)【解析】如解圖②，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，分別過(guò)點(diǎn)M、N作AB的垂線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G、H，∵△ABC是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，∴CD＝3eq\r(3).假設(shè)點(diǎn)P在點(diǎn)D左側(cè)，∵CP＝2eq\r(7)，∴PD＝1，AP＝2，∴PE＝eq\r(3)，PM＝2eq\r(3)，∴MG＝eq\r(3)，PG＝3，BP＝4，∴PF＝2eq\r(3)，PN＝4eq\r(3)，∴NH＝2eq\r(3)，PH＝6，GH＝GP＋PH＝9，NH－MG＝eq\r(3)，∴MN＝eq\r(92＋（\r(3)）2)＝2eq\r(21).由等邊三角形的對(duì)稱性可得，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)D右側(cè)時(shí)，MN＝2eq\r(21)，∴MN的長(zhǎng)為2eq\r(21).例1題解圖②【思考】①當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時(shí)，MN取得最小值，此時(shí)，易得MN＝9，∵等邊三角形邊長(zhǎng)為6，∴高為3eq\r(3)，當(dāng)點(diǎn)P與A、B重合時(shí)，MN取得最大值，此時(shí)MN＝6eq\r(3)，∴9<MN<6eq\r(3)，∴當(dāng)MN＝10時(shí)，在AB上有兩個(gè)P點(diǎn)，且關(guān)于點(diǎn)D對(duì)稱．②由①得，當(dāng)點(diǎn)P與A1B重合時(shí)，MN取得最大值6eq\r(3)，∴在邊AC和AB上各有一點(diǎn)P可使MN＝10，∴當(dāng)點(diǎn)P在三邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，有4個(gè)滿足條件的點(diǎn)P.類型二“兩點(diǎn)之間，線段最短”類問(wèn)題典例精講例2C【解析】如解圖①，作點(diǎn)E關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)E′，連接PE′，則PE＝PE′，∴△PEF的周長(zhǎng)為PE＋EF＋PF＝PE′＋EF＋PF，∵EF為定值，∴只需求PE′＋PF的最小值，連接E′F交AB于點(diǎn)P′，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)P′重合，即當(dāng)P、E′、F三點(diǎn)共線時(shí)，PE′＋PF的值最?。吡庑蜛BCD的邊長(zhǎng)為2eq\r(3)，∠ABC＝60°，∴EF＝BE＝DF＝2，EE′＝2,過(guò)點(diǎn)E′作E′G⊥BD于點(diǎn)G，E′G＝eq\r(3)，EG＝1，∴FG＝3，F(xiàn)E′＝2eq\r(3)，∴△PEF周長(zhǎng)＝FE′＋EF＝2＋2eq\r(3).例2題解圖①【思考】當(dāng)△PEF的周長(zhǎng)大于最小值且小于當(dāng)P點(diǎn)與A、B點(diǎn)重合時(shí)的值時(shí)在AB上有關(guān)于點(diǎn)P′對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)．變式探究C【解析】要滿足△PEF的周長(zhǎng)為eq\f(11,2)，即滿足PE＋PF＝eq\f(7,2)，如解圖②，假設(shè)點(diǎn)P在線段AB上，作點(diǎn)E關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)E′，連接EE′交AB于點(diǎn)P，此時(shí)PE＋PF的值最小．易知PE＋PF的最小值為2eq\r(3)，當(dāng)點(diǎn)P由A運(yùn)動(dòng)到B時(shí)，PE＋PF的值由最大值4減小到2eq\r(3)再增加到6，∵PE＋PF＝eq\f(11,2)－2＝eq\f(7,2)，2eq\r(3)＜eq\f(7,2)＜4，∴線段AB上存在兩個(gè)點(diǎn)P，滿足△PEF的周長(zhǎng)為eq\f(11,2)，∴根據(jù)菱形的對(duì)稱性可知：菱形ABCD的邊上的存在8個(gè)點(diǎn)P滿足條件．例2題解圖②安徽近年真題精選1.D【解析】如解圖，設(shè)△PAB底邊AB上的高為h，∵S△PAB＝eq\f(1,3)S矩形ABCD，∴eq\f(1,2)AB·h＝eq\f(1,3)AB·AD，∴h＝2，即h為定值，在AD上截取AE＝2，作EF∥AB，交CB于點(diǎn)F，故P點(diǎn)在直線EF上運(yùn)動(dòng)，作點(diǎn)A關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B，交直線EF于點(diǎn)P，此時(shí)PA＋PB最小，即為A′B的長(zhǎng)，由對(duì)稱得AA′＝2AE＝4，∴A′B＝eq\r(AA′2＋AB2)＝eq\r(42＋52)＝eq\r(41)，即PA＋PB的最小值為eq\r(41).第1題解圖2.D【解析】如解圖，∵點(diǎn)E，F(xiàn)將對(duì)角線AC三等分，且AC＝12，∴AE＝EF＝FC＝4，當(dāng)P點(diǎn)在AD上時(shí)，作E點(diǎn)關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)E′，連接E′F、AE′，EE′，則AE′＝AE＝4，當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至E′F和AD交點(diǎn)時(shí)，PE＋PF具有最小值，∵∠EAD＝∠E′AD＝45°，∴∠E′AF＝90°，此時(shí)E′F＝eq\r(（AE′）2＋AF2)＝eq\r(42＋82)＝4eq\r(5)<9，當(dāng)P點(diǎn)和A點(diǎn)重合時(shí)，PE＋PF＝AE＋AF＝12，當(dāng)P點(diǎn)和D點(diǎn)重合時(shí)，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥AD，垂足為G，∵AD＝CD，∠DAE＝∠DCF，AE＝CF，∴△AED≌△CFD(SAS)，∴DE＝DF，∴PE＋PF＝2PE＝2eq\r(EG2＋DG2)＝2×eq\r(（2\r(2)）2＋（4\r(2)）2)＝4eq\r(10).∵4eq\r(5)<9<12，4eq\r(5)<9<4eq\r(10)，故在AD上有兩個(gè)位置存在PE＋PF＝9，同理在其余三邊上各有兩種情況，故正方形四條邊上共存在8個(gè)位置使得PE＋PF＝9，∴滿足條件的P點(diǎn)有8個(gè)．第2題解圖3.D【解析】不妨假設(shè)點(diǎn)P在線段AD上，作點(diǎn)E關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)E′，連接FE′交AD于點(diǎn)P，此時(shí)PE＋PF的值最小．易知PE＋PF的最小值＝2eq\r(3)，當(dāng)點(diǎn)P由A運(yùn)動(dòng)到D時(shí)，PE＋PF的值由最大值6減小到2eq\r(3)再增加到4，∵PE＋PF＝eq\r(13)，2eq\r(3)＜eq\r(13)＜4，∴線段AD上存在兩個(gè)點(diǎn)P，滿足PE＋PF＝eq\r(13)，同理根據(jù)對(duì)稱性可知，菱形ABCD的其余三邊上各存在兩個(gè)點(diǎn)P，故菱形中滿足條件的P點(diǎn)有8個(gè)．第3題解圖類型三“點(diǎn)圓最值，線圓最值”類問(wèn)題典例精講例3C【解析】∵AE⊥BF交于點(diǎn)P，且∠APB＝90°，則點(diǎn)P的軌跡為以AB為直徑的⊙O，如解圖①，連接CO交半圓于點(diǎn)P′，此時(shí)CP的值最小，∵BC＝AB＝1，∴AO＝BO＝eq\f(1,2)，CO＝eq\r(OB2＋BC2)＝eq\f(\r(5),2)，∴CP的最小值＝CO－OP′＝eq\f(\r(5),2)－eq\f(1,2)＝eq\f(\r(5)－1,2)，故選C.例3題解圖①【思考】過(guò)點(diǎn)C的直線與P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡圓存在相交、相離和相切三種位置關(guān)系．變式探究B【解析】如解圖②，點(diǎn)P的軌跡為以AB為直徑的⊙O，過(guò)點(diǎn)O作OG⊥CM交CM于點(diǎn)G，連接OM，OC，∵AM＝1，OA＝2，∴OM＝eq\r(5)，DM＝3，OC＝2eq\r(5)，∴CM＝5，OC2＋OM2＝CM2，∴OM⊥OC，∴OM·OC＝CM·OG，∴OG＝2，OG等于圓的半徑，即CM與⊙O相切，∴CM與P點(diǎn)軌跡只有一個(gè)交點(diǎn)．例3題解圖②安徽近年真題精選4.B