【新步步高】2018版高考數(shù)學(xué)(理)一輪復(fù)習(xí)第八章8.7立體幾何中的向量方法(一)-證明平行與垂直

§8.7立體幾何中的向量方法(一)——證明平行與垂直根底知識(shí)自主學(xué)習(xí)課時(shí)作業(yè)題型分類深度剖析內(nèi)容索引根底知識(shí)自主學(xué)習(xí)(1)直線的方向向量：在直線上任取一向量作為它的方向向量.(2)平面的法向量可利用方程組求出：設(shè)a，b是平面α內(nèi)兩不共線向量，n為平面α的法向量，那么求法向量的方程組為1.直線的方向向量與平面的法向量確實(shí)定知識(shí)梳理非零2.用向量證明空間中的平行關(guān)系(1)設(shè)直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2，那么l1∥l2(或l1與l2重合)?.(2)設(shè)直線l的方向向量為v，與平面α共面的兩個(gè)不共線向量v1和v2，那么l∥α或l?α? .(3)設(shè)直線l的方向向量為v，平面α的法向量為u，那么l∥α或l?α? .(4)設(shè)平面α和β的法向量分別為u1，u2，那么α∥β? .v1∥v2存在兩個(gè)實(shí)數(shù)x，y，使v＝xv1＋yv2v⊥uu1

∥u23.用向量證明空間中的垂直關(guān)系(1)設(shè)直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2，那么l1⊥l2? ? .(2)設(shè)直線l的方向向量為v，平面α的法向量為u，那么l⊥α? .(3)設(shè)平面α和β的法向量分別為u1和u2，那么α⊥β? ? .v1⊥v2v1·v2＝0v∥uu1⊥u2u1·u2＝0判斷以下結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)直線的方向向量是唯一確定的.()(2)平面的單位法向量是唯一確定的.()(3)假設(shè)兩平面的法向量平行，那么兩平面平行.()(4)假設(shè)兩直線的方向向量不平行，那么兩直線不平行.()(5)假設(shè)a∥b，那么a所在直線與b所在直線平行.()(6)假設(shè)空間向量a平行于平面α，那么a所在直線與平面α平行.()思考辨析××√√××

1.A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，那么以下向量是平面ABC法向量的是考點(diǎn)自測(cè)答案解析設(shè)n＝(x，y，z)為平面ABC的法向量，∴x＝y(tǒng)＝z.應(yīng)選C.

2.直線l的方向向量a＝(1，－3,5)，平面α的法向量n＝(－1,3，－5)，那么有A.l∥α B.l⊥αC.l與α斜交 D.l?α或l∥α答案解析由a＝－n知，n∥a，則有l(wèi)⊥α，故選B.

3.平面α的法向量為(1,2，－2)，平面β的法向量為(－2，－4，k)，假設(shè)α∥β，那么k等于A.2B.－4C.4D.－2∵α∥β，∴兩平面法向量平行，答案解析4.(教材改編)設(shè)u，v分別是平面α，β的法向量，u＝(－2,2,5)，當(dāng)v＝(3，－2,2)時(shí)，α與β的位置關(guān)系為_(kāi)_______；當(dāng)v＝(4，－4，－10)時(shí)，α與β的位置關(guān)系為_(kāi)_______.答案解析α⊥βα∥β當(dāng)v＝(3，－2,2)時(shí)，u·v＝(－2,2,5)·(3，－2,2)＝0?α⊥β.當(dāng)v＝(4，－4，－10)時(shí)，v＝－2u?α∥β.5.(教材改編)如下圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中點(diǎn)，N是A1B1的中點(diǎn)，那么直線ON，AM的位置關(guān)系是________.答案解析垂直題型分類深度剖析題型一利用空間向量證明平行問(wèn)題例1(2016·重慶模擬)如下圖，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD為正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F(xiàn)，G分別是線段PA，PD，CD的中點(diǎn).求證：PB∥平面EFG.證明∵平面PAD⊥平面ABCD，ABCD為正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD，∴AB，AP，AD兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如下圖的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，那么A(0,0,0)，B(2，0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0，0,2)，E(0,0,1)，F(xiàn)(0,1,1)，G(1，2,0).即(2,0，－2)＝s(0，－1,0)＋t(1,1，－1)，∵PB?平面EFG，∴PB∥平面EFG.引申探究本例中條件不變，證明平面EFG∥平面PBC.證明又∵EF?平面PBC，BC?平面PBC，∴EF∥平面PBC，同理可證GF∥PC，從而得出GF∥平面PBC.又EF∩GF＝F，EF?平面EFG，GF?平面EFG，∴平面EFG∥平面PBC.思維升華(1)恰當(dāng)建立空間直角坐標(biāo)系，準(zhǔn)確表示各點(diǎn)與相關(guān)向量的坐標(biāo)，是運(yùn)用向量法證明平行和垂直的關(guān)鍵.(2)證明直線與平面平行，只需證明直線的方向向量與平面的法向量的數(shù)量積為零，或證直線的方向向量與平面內(nèi)的不共線的兩個(gè)向量共面，或證直線的方向向量與平面內(nèi)某直線的方向向量平行，然后說(shuō)明直線在平面外即可.這樣就把幾何的證明問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算.跟蹤訓(xùn)練1

(2016·北京海淀區(qū)模擬)正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是C1C，B1C1的中點(diǎn).求證：MN∥平面A1BD.證明如下圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，那么M(0,1，)，N(，1,1)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，設(shè)平面A1BD的法向量為n＝(x，y，z)，取x＝1，得y＝－1，z＝－1.所以n＝(1，－1，－1).又MN?平面A1BD，所以MN∥平面A1BD.例2如下圖，正三棱柱(底面為正三角形的直三棱柱)ABC—A1B1C1的所有棱長(zhǎng)都為2，D為CC1的中點(diǎn).求證：AB1⊥平面A1BD.題型二利用空間向量證明垂直問(wèn)題命題點(diǎn)1證線面垂直證明方法一設(shè)平面A1BD內(nèi)的任意一條直線m的方向向量為m.由共面向量定理，那么存在實(shí)數(shù)λ，μ，使m＝λ＋μ.令

＝a，

＝b，

＝c，顯然它們不共面，并且|a|＝|b|＝|c|＝2，a·b＝a·c＝0，b·c＝2，以它們?yōu)榭臻g的一個(gè)基底，方法二取BC的中點(diǎn)O，連接AO.因?yàn)椤鰽BC為正三角形，所以AO⊥BC.因?yàn)樵谡庵鵄BC—A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，所以AO⊥平面BCC1B1.取B1C1的中點(diǎn)O1，以O(shè)為原點(diǎn)，分別以，，所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖，那么B(1,0,0)，D(－1,1,0)，A1(0,2，)，A(0,0，)，B1(1,2,0).設(shè)平面A1BD的法向量為n＝(x，y，z)，

＝(－1,2，

)，＝(－2,1,0).令x＝1，那么y＝2，z＝－，故n＝(1,2，－)為平面A1BD的一個(gè)法向量，故AB1⊥平面A1BD.例3

(2017·武漢月考)如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為a的正方形，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝

AD，設(shè)E，F(xiàn)分別為PC，BD的中點(diǎn).(1)求證：EF∥平面PAD；命題點(diǎn)2證面面垂直證明如圖，取AD的中點(diǎn)O，連接OP，OF.因?yàn)镻A＝PD，所以PO⊥AD.因?yàn)閭?cè)面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PO⊥平面ABCD.又O，F(xiàn)分別為AD，BD的中點(diǎn)，所以O(shè)F∥AB.又ABCD是正方形，所以O(shè)F⊥AD.以O(shè)為原點(diǎn)，OA，OF，OP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，所以EF∥平面PAD.(2)求證：平面PAB⊥平面PDC.證明又PA⊥PD，PD∩CD＝D，所以PA⊥平面PDC.又PA?平面PAB，所以平面PAB⊥平面PDC.思維升華證明垂直問(wèn)題的方法(1)利用的線面垂直關(guān)系構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，準(zhǔn)確寫(xiě)出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，從而將幾何證明轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算.其中靈活建系是解題的關(guān)鍵.(2)其一證明直線與直線垂直，只需要證明兩條直線的方向向量垂直；其二證明線面垂直，只需證明直線的方向向量與平面內(nèi)不共線的兩個(gè)向量垂直即可，當(dāng)然，也可證直線的方向向量與平面的法向量平行；其三證明面面垂直：①證明兩平面的法向量互相垂直；②利用面面垂直的判定定理，只要能證明一個(gè)平面內(nèi)的一條直線的方向向量為另一個(gè)平面的法向量即可.跟蹤訓(xùn)練2

(2016·青島模擬)如圖，在多面體ABC－A1B1C1中，四邊形A1ABB1是正方形，AB＝AC，BC＝

AB，B1C1綊

BC，二面角A1－AB－C是直二面角.求證：(1)A1B1⊥平面AA1C；證明∵二面角A1－AB－C是直二面角，四邊形A1ABB1為正方形，∴AA1⊥平面BAC.又∵AB＝AC，BC＝AB，∴∠CAB＝90°，即CA⊥AB，∴AB，AC，AA1兩兩互相垂直.建立如下圖的空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)AB＝2，那么A(0,0,0)，B1(0,2,2)，A1(0,0,2)，C(2,0,0)，C1(1,1,2).設(shè)平面AA1C的一個(gè)法向量n＝(x，y，z)，∴A1B1⊥平面AA1C.(2)AB1∥平面A1C1C.證明設(shè)平面A1C1C的一個(gè)法向量m＝(x1，y1，z1)，令x1＝1，則y1＝－1，z1＝1，即m＝(1，－1,1).∴·m＝0×1＋2×(－1)＋2×1＝0，又AB1?平面A1C1C，∴AB1∥平面A1C1C.題型三利用空間向量解決探索性問(wèn)題例4

(2016·北京)如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，AB⊥AD，AB＝1，AD＝2，AC＝CD＝

.(1)求證：PD⊥平面PAB；∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB⊥AD，AB?平面ABCD，∴AB⊥平面PAD.∵PD?平面PAD，∴AB⊥PD.又PA⊥PD，PA∩AB＝A，且PA，PB?平面PAB，∴PD⊥平面PAB.證明(2)求直線PB與平面PCD所成角的正弦值；解答取AD中點(diǎn)O，連接CO，PO，∵PA＝PD，∴PO⊥AD.又∵PO?平面PAD，平面PAD⊥平面ABCD，∴PO⊥平面ABCD，∵CO?平面ABCD，∴PO⊥CO，∵AC＝CD，∴CO⊥AD.以O(shè)為原點(diǎn)建立如下圖空間直角坐標(biāo)系.易知P(0,0,1)，B(1,1,0)，D(0，－1,0)，C(2,0,0).設(shè)n＝(x0，y0

，1)為平面PCD的一個(gè)法向量.設(shè)PB與平面PCD的夾角為θ.(3)在棱PA上是否存在點(diǎn)M，使得BM∥平面PCD？假設(shè)存在，求的值；假設(shè)不存在，說(shuō)明理由.解答∵BM?平面PCD，∴BM∥平面PCD，思維升華對(duì)于“是否存在”型問(wèn)題的探索方式有兩種：一種是根據(jù)條件作出判斷，再進(jìn)一步論證；另一種是利用空間向量，先設(shè)出假設(shè)存在點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)條件求該點(diǎn)的坐標(biāo)，即找到“存在點(diǎn)”，假設(shè)該點(diǎn)坐標(biāo)不能求出，或有矛盾，那么判定“不存在”.跟蹤訓(xùn)練3(2016·深圳模擬)如下圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD＝NB＝1，E為BC的中點(diǎn).(1)求異面直線NE與AM所成角的余弦值；解答如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，依題意得D(0,0,0)，A(1,0,0)，M(0,0,1)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，N(1,1,1)，E(，1,0)，(2)在線段AN上是否存在點(diǎn)S，使得ES⊥平面AMN？假設(shè)存在，求線段AS的長(zhǎng)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解答假設(shè)在線段AN上存在點(diǎn)S，使得ES⊥平面AMN.連接AE，如下圖.由ES⊥平面AMN，典例

(12分)(2016·吉林實(shí)驗(yàn)中學(xué)月考)如圖1所示，正△ABC的邊長(zhǎng)為4，CD是AB邊上的高，E，F(xiàn)分別是AC和BC邊的中點(diǎn)，現(xiàn)將△ABC沿CD翻折成直二面角A－DC－B，如圖2所示.(1)試判斷直線AB與平面DEF的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)求二面角E－DF－C的余弦值；(3)在線段BC上是否存在一點(diǎn)P，使AP⊥DE？證明你的結(jié)論.

利用向量法解決立體幾何問(wèn)題思想與方法系列19標(biāo)準(zhǔn)解答思想方法指導(dǎo)幾何畫(huà)板展示對(duì)于較復(fù)雜的立體幾何問(wèn)題可采用向量法(1)用向量法解決立體幾何問(wèn)題，是空間向量的一個(gè)具體應(yīng)用，表達(dá)了向量的工具性，這種方法可把復(fù)雜的推理證明、輔助線的作法轉(zhuǎn)化為空間向量的運(yùn)算，降低了空間想象演繹推理的難度，表達(dá)了由“形”轉(zhuǎn)“數(shù)”的轉(zhuǎn)化思想.(2)兩種思路：①選好基底，用向量表示出幾何量，利用空間向量有關(guān)定理與向量的線性運(yùn)算進(jìn)行判斷.②建立空間直角坐標(biāo)系，進(jìn)行向量的坐標(biāo)運(yùn)算，根據(jù)運(yùn)算結(jié)果的幾何意義解釋相關(guān)問(wèn)題.返回解(1)AB∥平面DEF，理由如下：在△ABC中，由E，F(xiàn)分別是AC，BC中點(diǎn)，得EF∥AB.又AB?平面DEF，EF?平面DEF，∴AB∥平面DEF. [1分](2)以D為原點(diǎn)，建立如下圖的空間直角坐標(biāo)系，那么A(0,0,2)，B(2,0,0)，C(0,2，0)，E(0，，1)，F(xiàn)(1，，0)，[3分]設(shè)平面EDF的法向量為n＝(x，y，z)，返回課時(shí)作業(yè)1.(2016·茂名調(diào)研)a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ).假設(shè)a，b，c三向量共面，那么實(shí)數(shù)λ等于√123456789101112答案解析由題意得c＝ta＋μb＝(2t－μ，－t＋4μ，3t－2μ)，1234567891011122.(2017·西安質(zhì)檢)假設(shè)平面α，β的法向量分別是n1＝(2，－3,5)，n2＝(－3,1，－4)，那么A.α∥β B.α⊥βC.α，β相交但不垂直 D.以上答案均不正確√答案解析∵n1·n2＝2×(－3)＋(－3)×1＋5×(－4)≠0，∴n1與n2不垂直，且不共線.∴α與β相交但不垂直.1234567891011123.平面α內(nèi)有一點(diǎn)M(1，－1,2)，平面α的一個(gè)法向量為n＝(6，－3,6)，那么以下點(diǎn)P中，在平面α內(nèi)的是A.P(2,3,3) B.P(－2,0,1)C.P(－4,4,0) D.P(3，－3,4)√答案解析∴點(diǎn)P在平面α內(nèi)，同理可驗(yàn)證其他三個(gè)點(diǎn)不在平面α內(nèi).123456789101112A.相交

B.平行C.在平面內(nèi)

D.平行或在平面內(nèi)√答案解析∴AB與平面CDE平行或在平面CDE內(nèi).1234567891011125.設(shè)u＝(－2,2，t)，v＝(6，－4,4)分別是平面α，β的法向量.假設(shè)α⊥β，那么t等于A.3 B.4 C.5 D.6√答案解析∵α⊥β，則u·v＝－2×6＋2×(－4)＋4t＝0，∴t＝5.1234567891011126.(2016·泰安模擬)如下圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，棱長(zhǎng)為a，M，N分別為A1B和AC上的點(diǎn)，A1M＝AN＝ ，那么MN與平面BB1C1C的位置關(guān)系是A.斜交 B.平行C.垂直 D.MN在平面BB1C1C內(nèi)√答案解析建立如下圖的空間直角坐標(biāo)系，又C1D1⊥平面BB1C1C，所以

＝(0，a,0)為平面BB1C1C的一個(gè)法向量.所以MN∥平面BB1C1C.1234567891011121234567891011127.(2017·廣州質(zhì)檢)平面α內(nèi)的三點(diǎn)A(0,0,1)，B(0,1,0)，C(1,0,0)，平面β的一個(gè)法向量n＝(－1，－1，－1)，那么不重合的兩個(gè)平面α與β的位置關(guān)系是______.答案解析α∥β設(shè)平面α的法向量為m＝(x，y，z)，∴m＝(1,1,1)，m＝－n，∴m∥n，∴α∥β.123456789101112答案解析①②③∴是平面ABCD的法向量，那么③正確.∴AB⊥AP，AD⊥AP，那么①②正確.123456789101112123456789101112*9.如圖，圓錐的軸截面SAB是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，O為底面中心，M為SO中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在圓錐底面內(nèi)(包括圓周).假設(shè)AM⊥MP，那么點(diǎn)P形成的軌跡長(zhǎng)度為_(kāi)_______.答案解析由題意可知，建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖.那么A(0，－1,0)，B(0,1,0)，S(0,0，)，M(0,0，)，設(shè)P(x，y,0)，12345678910111210.如圖，在三棱錐P-ABC中，AB＝AC，D為BC的中點(diǎn)，PO⊥平面ABC，垂足O落在線段AD上.BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.(1)證明：AP⊥BC；證明123456789101112如下圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OD，OP所在直線為y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.那么O(0,0,0)，A(0，－3,0)，B(4,2,0)，C(－4,2,0)，P(0,0,4).123456789101112(2)假設(shè)點(diǎn)M是線段AP上一點(diǎn)，且AM＝3.試證明平面AMC⊥平面BMC.證明123456789101112由(1)知AP＝5，又AM＝3，且點(diǎn)M在線段AP上，123456789101112123456789101112又根據(jù)(1)的結(jié)論知AP⊥BC，且BM∩BC＝B，∴AP⊥平面BMC