【新步步高】2018版高考數(shù)學(理)一輪復習第八章8.7立體幾何中的向量方法(一)-證明平行與垂直

§8.7立體幾何中的向量方法(一)——證明平行與垂直根底知識自主學習課時作業(yè)題型分類深度剖析內(nèi)容索引根底知識自主學習(1)直線的方向向量：在直線上任取一向量作為它的方向向量.(2)平面的法向量可利用方程組求出：設a，b是平面α內(nèi)兩不共線向量，n為平面α的法向量，那么求法向量的方程組為1.直線的方向向量與平面的法向量確實定知識梳理非零2.用向量證明空間中的平行關系(1)設直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2，那么l1∥l2(或l1與l2重合)?.(2)設直線l的方向向量為v，與平面α共面的兩個不共線向量v1和v2，那么l∥α或l?α? .(3)設直線l的方向向量為v，平面α的法向量為u，那么l∥α或l?α? .(4)設平面α和β的法向量分別為u1，u2，那么α∥β? .v1∥v2存在兩個實數(shù)x，y，使v＝xv1＋yv2v⊥uu1

∥u23.用向量證明空間中的垂直關系(1)設直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2，那么l1⊥l2? ? .(2)設直線l的方向向量為v，平面α的法向量為u，那么l⊥α? .(3)設平面α和β的法向量分別為u1和u2，那么α⊥β? ? .v1⊥v2v1·v2＝0v∥uu1⊥u2u1·u2＝0判斷以下結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)直線的方向向量是唯一確定的.()(2)平面的單位法向量是唯一確定的.()(3)假設兩平面的法向量平行，那么兩平面平行.()(4)假設兩直線的方向向量不平行，那么兩直線不平行.()(5)假設a∥b，那么a所在直線與b所在直線平行.()(6)假設空間向量a平行于平面α，那么a所在直線與平面α平行.()思考辨析××√√××

1.A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，那么以下向量是平面ABC法向量的是考點自測答案解析設n＝(x，y，z)為平面ABC的法向量，∴x＝y(tǒng)＝z.應選C.

2.直線l的方向向量a＝(1，－3,5)，平面α的法向量n＝(－1,3，－5)，那么有A.l∥α B.l⊥αC.l與α斜交 D.l?α或l∥α答案解析由a＝－n知，n∥a，則有l(wèi)⊥α，故選B.

3.平面α的法向量為(1,2，－2)，平面β的法向量為(－2，－4，k)，假設α∥β，那么k等于A.2B.－4C.4D.－2∵α∥β，∴兩平面法向量平行，答案解析4.(教材改編)設u，v分別是平面α，β的法向量，u＝(－2,2,5)，當v＝(3，－2,2)時，α與β的位置關系為________；當v＝(4，－4，－10)時，α與β的位置關系為________.答案解析α⊥βα∥β當v＝(3，－2,2)時，u·v＝(－2,2,5)·(3，－2,2)＝0?α⊥β.當v＝(4，－4，－10)時，v＝－2u?α∥β.5.(教材改編)如下圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中點，N是A1B1的中點，那么直線ON，AM的位置關系是________.答案解析垂直題型分類深度剖析題型一利用空間向量證明平行問題例1(2016·重慶模擬)如下圖，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD為正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F(xiàn)，G分別是線段PA，PD，CD的中點.求證：PB∥平面EFG.證明∵平面PAD⊥平面ABCD，ABCD為正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD，∴AB，AP，AD兩兩垂直，以A為坐標原點，建立如下圖的空間直角坐標系Axyz，那么A(0,0,0)，B(2，0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0，0,2)，E(0,0,1)，F(xiàn)(0,1,1)，G(1，2,0).即(2,0，－2)＝s(0，－1,0)＋t(1,1，－1)，∵PB?平面EFG，∴PB∥平面EFG.引申探究本例中條件不變，證明平面EFG∥平面PBC.證明又∵EF?平面PBC，BC?平面PBC，∴EF∥平面PBC，同理可證GF∥PC，從而得出GF∥平面PBC.又EF∩GF＝F，EF?平面EFG，GF?平面EFG，∴平面EFG∥平面PBC.思維升華(1)恰當建立空間直角坐標系，準確表示各點與相關向量的坐標，是運用向量法證明平行和垂直的關鍵.(2)證明直線與平面平行，只需證明直線的方向向量與平面的法向量的數(shù)量積為零，或證直線的方向向量與平面內(nèi)的不共線的兩個向量共面，或證直線的方向向量與平面內(nèi)某直線的方向向量平行，然后說明直線在平面外即可.這樣就把幾何的證明問題轉(zhuǎn)化為向量運算.跟蹤訓練1

(2016·北京海淀區(qū)模擬)正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是C1C，B1C1的中點.求證：MN∥平面A1BD.證明如下圖，以D為坐標原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系.設正方體的棱長為1，那么M(0,1，)，N(，1,1)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，設平面A1BD的法向量為n＝(x，y，z)，取x＝1，得y＝－1，z＝－1.所以n＝(1，－1，－1).又MN?平面A1BD，所以MN∥平面A1BD.例2如下圖，正三棱柱(底面為正三角形的直三棱柱)ABC—A1B1C1的所有棱長都為2，D為CC1的中點.求證：AB1⊥平面A1BD.題型二利用空間向量證明垂直問題命題點1證線面垂直證明方法一設平面A1BD內(nèi)的任意一條直線m的方向向量為m.由共面向量定理，那么存在實數(shù)λ，μ，使m＝λ＋μ.令

＝a，

＝b，

＝c，顯然它們不共面，并且|a|＝|b|＝|c|＝2，a·b＝a·c＝0，b·c＝2，以它們?yōu)榭臻g的一個基底，方法二取BC的中點O，連接AO.因為△ABC為正三角形，所以AO⊥BC.因為在正三棱柱ABC—A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，所以AO⊥平面BCC1B1.取B1C1的中點O1，以O為原點，分別以，，所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，如下圖，那么B(1,0,0)，D(－1,1,0)，A1(0,2，)，A(0,0，)，B1(1,2,0).設平面A1BD的法向量為n＝(x，y，z)，

＝(－1,2，

)，＝(－2,1,0).令x＝1，那么y＝2，z＝－，故n＝(1,2，－)為平面A1BD的一個法向量，故AB1⊥平面A1BD.例3

(2017·武漢月考)如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是邊長為a的正方形，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝

AD，設E，F(xiàn)分別為PC，BD的中點.(1)求證：EF∥平面PAD；命題點2證面面垂直證明如圖，取AD的中點O，連接OP，OF.因為PA＝PD，所以PO⊥AD.因為側(cè)面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PO⊥平面ABCD.又O，F(xiàn)分別為AD，BD的中點，所以OF∥AB.又ABCD是正方形，所以OF⊥AD.以O為原點，OA，OF，OP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，所以EF∥平面PAD.(2)求證：平面PAB⊥平面PDC.證明又PA⊥PD，PD∩CD＝D，所以PA⊥平面PDC.又PA?平面PAB，所以平面PAB⊥平面PDC.思維升華證明垂直問題的方法(1)利用的線面垂直關系構(gòu)建空間直角坐標系，準確寫出相關點的坐標，從而將幾何證明轉(zhuǎn)化為向量運算.其中靈活建系是解題的關鍵.(2)其一證明直線與直線垂直，只需要證明兩條直線的方向向量垂直；其二證明線面垂直，只需證明直線的方向向量與平面內(nèi)不共線的兩個向量垂直即可，當然，也可證直線的方向向量與平面的法向量平行；其三證明面面垂直：①證明兩平面的法向量互相垂直；②利用面面垂直的判定定理，只要能證明一個平面內(nèi)的一條直線的方向向量為另一個平面的法向量即可.跟蹤訓練2

(2016·青島模擬)如圖，在多面體ABC－A1B1C1中，四邊形A1ABB1是正方形，AB＝AC，BC＝

AB，B1C1綊

BC，二面角A1－AB－C是直二面角.求證：(1)A1B1⊥平面AA1C；證明∵二面角A1－AB－C是直二面角，四邊形A1ABB1為正方形，∴AA1⊥平面BAC.又∵AB＝AC，BC＝AB，∴∠CAB＝90°，即CA⊥AB，∴AB，AC，AA1兩兩互相垂直.建立如下圖的空間直角坐標系，點A為坐標原點，設AB＝2，那么A(0,0,0)，B1(0,2,2)，A1(0,0,2)，C(2,0,0)，C1(1,1,2).設平面AA1C的一個法向量n＝(x，y，z)，∴A1B1⊥平面AA1C.(2)AB1∥平面A1C1C.證明設平面A1C1C的一個法向量m＝(x1，y1，z1)，令x1＝1，則y1＝－1，z1＝1，即m＝(1，－1,1).∴·m＝0×1＋2×(－1)＋2×1＝0，又AB1?平面A1C1C，∴AB1∥平面A1C1C.題型三利用空間向量解決探索性問題例4

(2016·北京)如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，AB⊥AD，AB＝1，AD＝2，AC＝CD＝

.(1)求證：PD⊥平面PAB；∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB⊥AD，AB?平面ABCD，∴AB⊥平面PAD.∵PD?平面PAD，∴AB⊥PD.又PA⊥PD，PA∩AB＝A，且PA，PB?平面PAB，∴PD⊥平面PAB.證明(2)求直線PB與平面PCD所成角的正弦值；解答取AD中點O，連接CO，PO，∵PA＝PD，∴PO⊥AD.又∵PO?平面PAD，平面PAD⊥平面ABCD，∴PO⊥平面ABCD，∵CO?平面ABCD，∴PO⊥CO，∵AC＝CD，∴CO⊥AD.以O為原點建立如下圖空間直角坐標系.易知P(0,0,1)，B(1,1,0)，D(0，－1,0)，C(2,0,0).設n＝(x0，y0

，1)為平面PCD的一個法向量.設PB與平面PCD的夾角為θ.(3)在棱PA上是否存在點M，使得BM∥平面PCD？假設存在，求的值；假設不存在，說明理由.解答∵BM?平面PCD，∴BM∥平面PCD，思維升華對于“是否存在”型問題的探索方式有兩種：一種是根據(jù)條件作出判斷，再進一步論證；另一種是利用空間向量，先設出假設存在點的坐標，再根據(jù)條件求該點的坐標，即找到“存在點”，假設該點坐標不能求出，或有矛盾，那么判定“不存在”.跟蹤訓練3(2016·深圳模擬)如下圖，四邊形ABCD是邊長為1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD＝NB＝1，E為BC的中點.(1)求異面直線NE與AM所成角的余弦值；解答如圖，以D為坐標原點，建立空間直角坐標系Dxyz，依題意得D(0,0,0)，A(1,0,0)，M(0,0,1)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，N(1,1,1)，E(，1,0)，(2)在線段AN上是否存在點S，使得ES⊥平面AMN？假設存在，求線段AS的長；假設不存在，請說明理由.解答假設在線段AN上存在點S，使得ES⊥平面AMN.連接AE，如下圖.由ES⊥平面AMN，典例

(12分)(2016·吉林實驗中學月考)如圖1所示，正△ABC的邊長為4，CD是AB邊上的高，E，F(xiàn)分別是AC和BC邊的中點，現(xiàn)將△ABC沿CD翻折成直二面角A－DC－B，如圖2所示.(1)試判斷直線AB與平面DEF的位置關系，并說明理由；(2)求二面角E－DF－C的余弦值；(3)在線段BC上是否存在一點P，使AP⊥DE？證明你的結(jié)論.

利用向量法解決立體幾何問題思想與方法系列19標準解答思想方法指導幾何畫板展示對于較復雜的立體幾何問題可采用向量法(1)用向量法解決立體幾何問題，是空間向量的一個具體應用，表達了向量的工具性，這種方法可把復雜的推理證明、輔助線的作法轉(zhuǎn)化為空間向量的運算，降低了空間想象演繹推理的難度，表達了由“形”轉(zhuǎn)“數(shù)”的轉(zhuǎn)化思想.(2)兩種思路：①選好基底，用向量表示出幾何量，利用空間向量有關定理與向量的線性運算進行判斷.②建立空間直角坐標系，進行向量的坐標運算，根據(jù)運算結(jié)果的幾何意義解釋相關問題.返回解(1)AB∥平面DEF，理由如下：在△ABC中，由E，F(xiàn)分別是AC，BC中點，得EF∥AB.又AB?平面DEF，EF?平面DEF，∴AB∥平面DEF. [1分](2)以D為原點，建立如下圖的空間直角坐標系，那么A(0,0,2)，B(2,0,0)，C(0,2，0)，E(0，，1)，F(xiàn)(1，，0)，[3分]設平面EDF的法向量為n＝(x，y，z)，返回課時作業(yè)1.(2016·茂名調(diào)研)a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ).假設a，b，c三向量共面，那么實數(shù)λ等于√123456789101112答案解析由題意得c＝ta＋μb＝(2t－μ，－t＋4μ，3t－2μ)，1234567891011122.(2017·西安質(zhì)檢)假設平面α，β的法向量分別是n1＝(2，－3,5)，n2＝(－3,1，－4)，那么A.α∥β B.α⊥βC.α，β相交但不垂直 D.以上答案均不正確√答案解析∵n1·n2＝2×(－3)＋(－3)×1＋5×(－4)≠0，∴n1與n2不垂直，且不共線.∴α與β相交但不垂直.1234567891011123.平面α內(nèi)有一點M(1，－1,2)，平面α的一個法向量為n＝(6，－3,6)，那么以下點P中，在平面α內(nèi)的是A.P(2,3,3) B.P(－2,0,1)C.P(－4,4,0) D.P(3，－3,4)√答案解析∴點P在平面α內(nèi)，同理可驗證其他三個點不在平面α內(nèi).123456789101112A.相交

B.平行C.在平面內(nèi)

D.平行或在平面內(nèi)√答案解析∴AB與平面CDE平行或在平面CDE內(nèi).1234567891011125.設u＝(－2,2，t)，v＝(6，－4,4)分別是平面α，β的法向量.假設α⊥β，那么t等于A.3 B.4 C.5 D.6√答案解析∵α⊥β，則u·v＝－2×6＋2×(－4)＋4t＝0，∴t＝5.1234567891011126.(2016·泰安模擬)如下圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，棱長為a，M，N分別為A1B和AC上的點，A1M＝AN＝ ，那么MN與平面BB1C1C的位置關系是A.斜交 B.平行C.垂直 D.MN在平面BB1C1C內(nèi)√答案解析建立如下圖的空間直角坐標系，又C1D1⊥平面BB1C1C，所以

＝(0，a,0)為平面BB1C1C的一個法向量.所以MN∥平面BB1C1C.1234567891011121234567891011127.(2017·廣州質(zhì)檢)平面α內(nèi)的三點A(0,0,1)，B(0,1,0)，C(1,0,0)，平面β的一個法向量n＝(－1，－1，－1)，那么不重合的兩個平面α與β的位置關系是______.答案解析α∥β設平面α的法向量為m＝(x，y，z)，∴m＝(1,1,1)，m＝－n，∴m∥n，∴α∥β.123456789101112答案解析①②③∴是平面ABCD的法向量，那么③正確.∴AB⊥AP，AD⊥AP，那么①②正確.123456789101112123456789101112*9.如圖，圓錐的軸截面SAB是邊長為2的等邊三角形，O為底面中心，M為SO中點，動點P在圓錐底面內(nèi)(包括圓周).假設AM⊥MP，那么點P形成的軌跡長度為________.答案解析由題意可知，建立空間直角坐標系，如下圖.那么A(0，－1,0)，B(0,1,0)，S(0,0，)，M(0,0，)，設P(x，y,0)，12345678910111210.如圖，在三棱錐P-ABC中，AB＝AC，D為BC的中點，PO⊥平面ABC，垂足O落在線段AD上.BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.(1)證明：AP⊥BC；證明123456789101112如下圖，以O為坐標原點，OD，OP所在直線為y軸，z軸，建立空間直角坐標系Oxyz.那么O(0,0,0)，A(0，－3,0)，B(4,2,0)，C(－4,2,0)，P(0,0,4).123456789101112(2)假設點M是線段AP上一點，且AM＝3.試證明平面AMC⊥平面BMC.證明123456789101112由(1)知AP＝5，又AM＝3，且點M在線段AP上，123456789101112123456789101112又根據(jù)(1)的結(jié)論知AP⊥BC，且BM∩BC＝B，∴AP⊥平面BMC