小學奧數(shù)歸納

01-

和差倍問題

和差問題、和倍問題、差倍問題。

已知條件：幾個數(shù)的和與差，幾個數(shù)的和與倍數(shù)，幾個數(shù)的差與倍數(shù)。

公式適用范圍：已知兩個數(shù)的和，差，倍數(shù)關(guān)系。

公式：

①（和一差）+2=較小數(shù)

較小數(shù)十差=較大數(shù)

和一較小數(shù)=較大數(shù)

②（和+差）+2=較大數(shù)

較大數(shù)一差=較小數(shù)

和一較大數(shù)=較小數(shù)

和+（倍數(shù)+1）=小數(shù)

小數(shù)X倍數(shù)=大數(shù)

和一小數(shù)=大數(shù)

差一（倍數(shù)-1）=小數(shù)

小數(shù)X倍數(shù)=大數(shù)

小數(shù)十差=大數(shù)

關(guān)鍵問題：求出同一條件下的和與差，和與倍數(shù)，差與倍數(shù)。

-02-

年齡問題

年齡問題的三個基本特征

①兩個人的年齡差是不變的

②兩個人的年齡是同時增加或者同時減少的

③兩個人的年齡的倍數(shù)是發(fā)生變化的

-03-

歸一問題

基本特點：問題中有一個不變的量，一般是那個“單一量”，題目一般用“照這樣的

速度”等詞語來表示。

關(guān)鍵問題：根據(jù)題目中的條件確定并求出單一量。

-04-

植樹問題

基本類型及基本公式：

在直線或者不封閉的曲線上植樹，兩端都植樹，棵數(shù)=總路長一間距+1

在直線或者不封閉的曲線上植樹，兩端都不植樹，棵數(shù)=總路長一間距一1

在直線或者不封閉的曲線上植樹，只有一端植樹，棵數(shù)=總路長+間距

封閉曲線上植樹，棵數(shù)=總路長一間距

關(guān)鍵問題：確定所屬類型，從而確定棵數(shù)與總路長、間距的關(guān)系。

-05-

雞兔同籠問題

基本概念：雞兔同籠問題又稱為置換問題、假設問題，就是把假設錯的那部分置

換出來；

基本思路：

①假設，即假設某種現(xiàn)象存在（甲和乙一樣或者乙和甲一樣）

②假設后，發(fā)生了和題目條件不同的差，找出這個差是多少

③每個事物造成的差是固定的，從而找出出現(xiàn)這個差的原因

④再根據(jù)這兩個差作適當?shù)恼{(diào)整，消去出現(xiàn)的差

基本公式：

①把所有雞假設成兔子：雞數(shù)=（兔腳數(shù)X總頭數(shù)一總腳數(shù)）一（兔腳數(shù)一雞腳

數(shù)）

②把所有兔子假設成雞：兔數(shù)=（總腳數(shù)一雞腳數(shù)X總頭數(shù)）一（兔腳數(shù)一雞腳

數(shù)）

關(guān)鍵問題：找出總量的差與單位量的差。

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盈虧問題

基本概念：一定量的對象，按照某種標準分組，產(chǎn)生一種結(jié)果：按照另一種標準

分組，又產(chǎn)生一種結(jié)果，由于分組的標準不同，造成結(jié)果的差異，由它們的關(guān)系

求對象分組的組數(shù)或?qū)ο蟮目偭俊?/p>

基本思路：先將兩種分配方案進行比較，分析由于標準的差異造成結(jié)果的變化，

根據(jù)這個關(guān)系求出參加分配的總份數(shù)，然后根據(jù)題意求出對象的總量。

基本題型：

①一次有余數(shù)，另一次不足；基本公式：總份數(shù)=（余數(shù)+不足數(shù)）+兩次每份

數(shù)的差

②當兩次都有余數(shù)；基本公式：總份數(shù)=（較大余數(shù)一較小余數(shù)）一兩次每份數(shù)

的差

③當兩次都不足；基本公式：總份數(shù)=（較大不足數(shù)一較小不足數(shù)）一兩次每份

數(shù)的差基本特點：對象總量和總的組數(shù)是不變的

關(guān)鍵問題：確定對象總量和總的組數(shù)。

-07-

牛吃草問題

基本思路：假設每頭牛吃草的速度為“1”份，根據(jù)兩次不同的吃法，求出其中的

總草量的差；再找出造成這種差異的原因，即可確定草的生長速度和總草量。

基本特點：原草量和新草生長速度是不變的。

關(guān)鍵問題：確定兩個不變的量。

基本公式：生長量=（較長時間X長時間牛頭數(shù)-較短時間X短時間牛頭數(shù)）一（長

時間-短時間）；總草量=較長時間X長時間牛頭數(shù)-較長時間X生長量；

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周期循環(huán)與數(shù)表規(guī)律

周期現(xiàn)象：事物在運動變化的過程中，某些特征有規(guī)律循環(huán)出現(xiàn)。

周期：我們把連續(xù)兩次出現(xiàn)所經(jīng)過的時間叫周期。

關(guān)鍵問題：確定循環(huán)周期。

閏年：一年有366天

①年份能被4整除；②如果年份能被100整除，則年份必須能被400整除

平年：一年有365天

①年份不能被4整除；②如果年份能被100整除，但不能被400整除

-09-

平均數(shù)

基本公式：

①平均數(shù)=總數(shù)量+總份數(shù)總數(shù)量=平均數(shù)X總份數(shù)總份數(shù)=總數(shù)量-平均數(shù)

②平均數(shù)=基準數(shù)+每一個數(shù)與基準數(shù)差的和一總份數(shù)

基本算法：

①求出總數(shù)量以及總份數(shù)，利用基本公式進行計算。

②基準數(shù)法：根據(jù)給出的數(shù)之間的關(guān)系，確定一個基準數(shù)；一般選與所有數(shù)比較

接近的數(shù)或者中間數(shù)為基準數(shù)；以基準數(shù)為標準，求所有給出數(shù)與基準數(shù)的差；

再求出所有差的和；再求出這些差的平均數(shù)；最后求這個差的平均數(shù)和基準數(shù)的

和，就是所求的平均數(shù)，具體關(guān)系見基本公式。

-10-

抽屜原理

抽屜原則一：如果把(n+1)個物體放在n個抽屜里，那么必有一個抽屜中至少

放有2個物體。

例：把4個物體放在3個抽屜里，也就是把4分解成三個整數(shù)的和，那么就有以

下四種情況：

①4=4+0+0②4=3+1+0③4=2+2+0④4=2+1+1

觀察上面四種放物體的方式，我們會發(fā)現(xiàn)一個共同特點：總有那么一個抽屜里有

2個或多于2個物體，也就是說必有一個抽屜中至少放有2個物體。

抽屜原則二：如果把n個物體放在m個抽屜里，其中n>m,那么必有一個抽屜

至少有：

①k=[rl/m]+1個物體：當n不能被m整除時

②k=n/m個物體：當n能被m整除時

理解知識點：[X]表示不超過X的最大整數(shù)。例[4.351]=4；[0.321]=0；[2.9999]=2

關(guān)鍵問題：構(gòu)造物體和抽屜。也就是找到代表物體和抽屜的量，而后依據(jù)抽屜原

則進行運算。

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定義新運算

基本概念：定義一種新的運算符號，這個新的運算符號包含有多種基本（混合）

運算。

基本思路：嚴格按照新定義的運算規(guī)則，把已知的數(shù)代入，轉(zhuǎn)化為加減乘除的運

算，然后按照基本運算過程、規(guī)律進行運算。

關(guān)鍵問題：正確理解定義的運算符號的意義。

注意事項：

①新的運算不一定符合運算規(guī)律，特別注意運算順序。

②每個新定義的運算符號只能在本題中使用。

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數(shù)列求和

等差數(shù)列：在一列數(shù)中，任意相鄰兩個數(shù)的差是一定的，這樣的一列數(shù)，就叫做

等差數(shù)列。

基本概念：首項：等差數(shù)列的第一個數(shù)，一般用a1表示

項數(shù)：等差數(shù)列的所有數(shù)的個數(shù)，一般用n表示

公差：數(shù)列中任意相鄰兩個數(shù)的差，一般用d表示

通項：表示數(shù)列中每一個數(shù)的公式，一般用an表示

數(shù)列的和：這一數(shù)列全部數(shù)字的和，一般用Sn表示

基本思路：等差數(shù)列中涉及五個量：a1,an,d,n,sn,,通項公式中涉及四個量，如

果己知其中三個，就可求出第四個；求和公式中涉及四個量，如果己知其中三個,

就可以求這第四個。

基本公式：

通項公式：an=a1+(n—1)d

通項=首項+(項數(shù)一1)公差

數(shù)列和公式：sn,=(a1+an)n2

數(shù)列和=(首項+末項)項數(shù)2

項數(shù)公式：n=(an+a1)d+1

項數(shù)=(末項-首項)公差+1

公差公式：d=(an—a1))(n—1)

公差=(末項一首項)(項數(shù)一1)

關(guān)鍵問題：確定已知量和未知量，確定使用的公式

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二進制及其應用

十進制：用。?9十個數(shù)字表示，逢10進1；

不同數(shù)位上的數(shù)字表示不同的含義，十位上的2表示20,百位上的2表示200。

所以234=200+30+4=2102+310+4。

=An10n-1+An-110n-2+An-210n-3+An-310n-4+An-410n-5+An-610n-7+......+A

3102+A2101+A1100

注意：NO=1；N1=N(其中N是任意自然數(shù))

二進制：用0?1兩個數(shù)字表示，逢2進1；不同數(shù)位上的數(shù)字表示不同的含義。

(2)=

An2n-1+An-12n-2+An-22n-3+An-32n-4+An-42n-5+An-62n-7+......+A322+A22

1+A120

注意：An不是0就是1。

十進制化成二進制：

①根據(jù)二進制滿2進1的特點，用2連續(xù)去除這個數(shù)，直到商為0,然后把每次

所得的余數(shù)按自下而上依次寫出即可。

②先找出不大于該數(shù)的2的n次方，再求它們的差，再找不大于這個差的2的n

次方，依此方法一直找到差為0,按照二進制展開式特點即可寫出。

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加法乘法原理和幾何計數(shù)

加法原理：如果完成一件任務有n類方法，在第一類方法中有ml種不同方法，

在第二類方法中有m2種不同方法……，在第n類方法中有mn種不同方法，那

么完成這件任務共有：m1+m2……+mn種不同的方法。、關(guān)鍵問題：確定工作

的分類方法。

基本特征：每一種方法都可完成任務。

乘法原理：如果完成一件任務需要分成n個步驟進行，做第1步有ml種方法，

不管第1步用哪一種方法，第2步總有m2種方法……不管前面n-1步用哪種方

法，第n步總有mn種方法，那么完成這件任務共有：m1xm2……xmn種不同

的方法。

關(guān)鍵問題：確定工作的完成步驟。

基本特征：每一步只能完成任務的一部分。直線：一點在直線或空間沿一定方向

或相反方向運動，形成的軌跡。直線特點：沒有端點，沒有長度。

線段：直線上任意兩點間的距離。這兩點叫端點。

線段特點：有兩個端點，有長度。

射線：把直線的一端無限延長。

射線特點：只有一個端點；沒有長度。

①數(shù)線段規(guī)律：總數(shù)=1+2+3+…+(點數(shù)—1)

②數(shù)角規(guī)律=1+2+3+...+(射線數(shù)一1)

③數(shù)長方形規(guī)律：個數(shù)=長的線段數(shù)x寬的線段數(shù)

④數(shù)長方形規(guī)律：個數(shù)=1xi+2x2+3x3+...+行數(shù)x列數(shù)

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拓展知識

被3、9、11除后的余數(shù)特征：

①一個自然數(shù)M,n表示M的各個數(shù)位上數(shù)字的和，則M三n(mod9)或(mod3)

②一個自然數(shù)M,X表示M的各個奇數(shù)位上數(shù)字的和，丫表示M的各個偶數(shù)數(shù)

位上數(shù)字的和，則M三Y-X或M三11-(X-Y)(mod11)

費爾馬小定理：

如果p是質(zhì)數(shù)(素數(shù))，a是自然數(shù)，且a不能被p整除，則ap-1三1(modp)。

關(guān)于乘方的預備知識：

①若A=axb,則MA=Maxb=(Ma)b

②若B=c+d則MB=Mc+d=McxMd

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分數(shù)及百分數(shù)的應用

基本概念與性質(zhì)：

分數(shù)：把單位“1”平均分成幾份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)。

分數(shù)的性質(zhì)：分數(shù)的分子和分母同時乘以或除以相同的數(shù)（0除外），分數(shù)的大

小不變。

分數(shù)單位：把單位“1”平均分成幾份，表示這樣一份的數(shù)。

百分數(shù)：表示一個數(shù)是另一個數(shù)百分之幾的數(shù)。

常用方法：

①逆向思維方法：從題目提供條件的反方向（或結(jié)果）進行思考。

②對應思維方法：找出題目中具體的量與它所占的率的直接對應關(guān)系。③轉(zhuǎn)化思

維方法：把一類應用題轉(zhuǎn)化成另一類應用題進行解答。最常見的是轉(zhuǎn)換成比例和

轉(zhuǎn)換成倍數(shù)關(guān)系；把不同的標準（在分數(shù)中一般指的是一倍量）下的分率轉(zhuǎn)化成

同一條件下的分率。常見的處理方法是確定不同的標準為一倍量。

④假設思維方法：為了解題的方便，可以把題目中不相等的量假設成相等或者假

設某種情況成立，計算出相應的結(jié)果，然后再進行調(diào)整，求出最后結(jié)果。

⑤量不變思維方法：在變化的各個量當中，總有一個量是不變的，不論其他量如

何變化，而這個量是始終固定不變的。

有以下三種情況：

A、分量發(fā)生變化，總量不變

B、總量發(fā)生變化，但其中有的分量不變

C、總量和分量都發(fā)生變化，但分量之間的差量不變化

⑥替換思維方法：用一種量代替另一種量，從而使數(shù)量關(guān)系單一化、量率關(guān)系明

朗化。

⑦同倍率法：總量和分量之間按照同分率變化的規(guī)律進行處理。

⑧濃度配比法：一般應用于總量和分量都發(fā)生變化的狀況。

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分數(shù)大小的比較

基本方法：

①通分分子法:使所有分數(shù)的分子相同，根據(jù)同分子分數(shù)大小和分母的關(guān)系比較。

②通分分母法:使所有分數(shù)的分母相同，根據(jù)同分母分數(shù)大小和分子的關(guān)系比較。

③基準數(shù)法：確定一個標準，使所有的分數(shù)都和它進行比較。

④分子和分母大小比較法：當分子和分母的差一定時，分子或分母越大的分數(shù)值

越大。

⑤倍率比較法：當比較兩個分子或分母同時變化時分數(shù)的大小，除了運用以上方

法外，可以用同倍率的變化關(guān)系比較分數(shù)的大小。（具體運用見同倍率變化規(guī)律）

⑥轉(zhuǎn)化比較方法：把所有分數(shù)轉(zhuǎn)化成小數(shù)（求出分數(shù)的值）后進行比較。

⑦倍數(shù)比較法：用一個數(shù)除以另一個數(shù)，結(jié)果得數(shù)和1進行比較。

⑧大小比較法：用一個分數(shù)減去另一個分數(shù)，得出的數(shù)和0比較。

⑨倒數(shù)比較法：利用倒數(shù)比較大小，然后確定原數(shù)的大小。

⑩基準數(shù)比較法：確定一個基準數(shù)，每一個數(shù)與基準數(shù)比較。

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完全平方數(shù)

完全平方數(shù)特征：

.末位數(shù)字只能是：0、1、4、5、6、9；反之不成立

.除以3余0或余1；反之不成立

.除以4余0或余1；反之不成立

.約數(shù)個數(shù)為奇數(shù)；反之成立

.奇數(shù)的平方的十位數(shù)字為偶數(shù)；反之不成立

.奇數(shù)平方個位數(shù)字是奇數(shù)；偶數(shù)平方個位數(shù)字是偶數(shù)

.兩個相臨整數(shù)的平方之間不可能再有平方數(shù)

平方差公式：X2-Y2=（X-Y）（X+Y）

完全平方和公式：（X+Y）2=X2+2XY+Y2

完全平方差公式：（X-Y）2=X2-2XY+Y2

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比和比例

比：兩個數(shù)相除又叫兩個數(shù)的比。比號前面的數(shù)叫比的前項，比號后面的數(shù)叫比

的后項。

比值：比的前項除以后項的商，叫做比值。

比的性質(zhì)：比的前項和后項同時乘以或除以相同的數(shù)（零除外），比值不變。

比例：表示兩個比相等的式子叫做比例。a:b=c:d或比例的性質(zhì)：兩個外項積等

于兩個內(nèi)項積（交叉相乘），ad=bCo

正比例：若A擴大或縮小幾倍，B也擴大或縮小幾倍（AB的商不變時），則A

與B成正比。

反比例：若A擴大或縮小幾倍，B也縮小或擴大幾倍（AB的積不變時），則A

與B成反比。

比例尺：圖上距離與實際距離的比叫做比例尺。

按比例分配：把幾個數(shù)按一定比例分成幾份，叫按比例分配。

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綜合行程問題

綜合行程基本概念：

行程問題是研究物體運動的，它研究的是物體速度、時間、路程三者之間的關(guān)系.

基本公式：

路程=速度X時間；路程一時間=速度；路程+速度=時間

關(guān)鍵問題：確定運動過程中的位置和方向。

相遇問題：速度和X相遇時間=相遇路程（請寫出其他公式）

追及問題：追及時間=路程差一速度差（寫出其他公式）

流水問題：順水行程=（船速+水速）X順水時間逆水行程=（船速-水速）X逆水

時間順水速度=船速+水速逆水速度=船速-水速靜水速度=（順水速度+逆水速度）

+2水速=（順水速度-逆水速度）+2流水問題：關(guān)鍵是確定物體所運動的速度，

參照以上公式。

過橋問題：關(guān)鍵是確定物體所運動的路程，參照以上公式。

主要方法：畫線段圖法基本題型：已知路程（相遇路程、追及路程）、時間（相

遇時間、追及時間）、速度（速度和、速度差）中任意兩個量，求第三個量。

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工程問題

工程問題基本公式：

①工作總量=工作效率X工作時間

②工作效率=工作總量+工作時間

③工作時間=工作總量+工作效率

基本思路：

①假設工作總量為“1”（和總工作量無關(guān)）

②假設一個方便的數(shù)為工作總量（一般是它們完成工作總量所用時間的最小公倍

數(shù)），利用上述三個基本關(guān)系，可以簡單地表示出工作效率及工作時間

關(guān)鍵問題：確定工作量、工作時間、工作效率間的兩兩對應關(guān)系。經(jīng)驗簡評：合

久必分，分久必合。

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邏輯推理

基本方法:

①條件分析一假設法:

假設可能情況中的一種成立，然后按照這個假設去判斷，如果有與題設條件矛盾

的情況，說明該假設情況是不成立的，那么與他的相反情況是成立的。例如，假

設a是偶數(shù)成立，在判斷過程中出現(xiàn)了矛盾，那么a一定是奇數(shù)。

②條件分析一列表法：當題設條件比較多，需要多次假設才能完成時，就需要進

行列表來輔助分析。列表法就是把題設的條件全部表示在一個長方形表格中，表

格的行、列分別表示不同的對象與情況，觀察表格內(nèi)的題設情況，運用邏輯規(guī)律

進行判斷。

③條件分析——圖表法：當兩個對象之間只有兩種關(guān)系時，就可用連線表示兩個

對象之間的關(guān)系，有連線則表示“是，有”等肯定的狀態(tài)，沒有連線則表示否定的

狀態(tài)。例如A和B兩人之間有認識或不認識兩種狀態(tài)，有連線表示認識，沒有

表示不認識。

④邏輯計算：在推理的過程中除了要進行條件