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分式章節(jié)復(fù)習(xí)第十五章
人教版
八年級上冊1.理解分式定義,掌握分式有意義的條件;掌握分式的加減乘除運(yùn)算及混合運(yùn)算;掌握分式方程的解法,會列分式方程解決實(shí)際間題.2.經(jīng)歷“實(shí)際問題→分式方程→整式方程”的過程,發(fā)展學(xué)生分析問題、解決問題的能力,滲透數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識.3.經(jīng)歷建立分式方程模型解決實(shí)際問題的過程,體會數(shù)學(xué)模型的,應(yīng)用價(jià)值,從而提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.
一般地,如果A、B都表示兩個(gè)整式,并且B中含有字母,那么式子叫做分式.其中A叫做分式的分子,B為分式的分母.1.當(dāng)B≠0時(shí),分式才有意義.2.當(dāng)A=0且B≠0時(shí),分式的值為零.3.分式的值為正時(shí),A,B同號.4.分式的值為負(fù)時(shí),A,B異號.一、分式二、分式的基本性質(zhì):分式的分子與分母乘(或除以)同一個(gè)不等于0的整式,分式的值不變.
,(c≠0)其中A,B,C是整式.根據(jù)分式的基本性質(zhì),把一個(gè)分式的分子與分母的公因式約去,叫做分式的約分.經(jīng)過約分后的分式,其分子與分母沒有公因式.像這樣分子與分母沒有公因式的分式,叫做最簡分式.分式的約分,一般要約去分子和分母所有的公因式,使得結(jié)果成為最簡分式或者整式.約分的基本步驟(1)若分子、分母都是單項(xiàng)式,則約去系數(shù)的最大公約數(shù),并約去公共字母的最低次冪;(2)若分子、分母含有多項(xiàng)式,則先將多項(xiàng)式分解因式,然后約去分子、分母所有的公因式.注意事項(xiàng):(1)約分前后分式的值要相等.(2)約分的關(guān)鍵是確定分式的分子和分母的公因式.(3)約分是對分子、分母的整體進(jìn)行的,也就是分子的整體和分母的整體都除以同一個(gè)因式.根據(jù)分式的基本性質(zhì),把幾個(gè)異分母的分式分別化成與原來的分式相等的同分母的分式,叫做分式的通分.為通分,要先確定各分式的公分母,一般取各分母的所有因式的最高次冪的積作公分母,它叫做最簡公分母.確定幾個(gè)分式的最簡公分母的一般步驟:(1)分母為多項(xiàng)式的先因式分解;(2)系數(shù):各分式分母系數(shù)的最小公倍數(shù);(3)字母:各分母的所有字母的最高次冪;(4)多項(xiàng)式:各分母所有多項(xiàng)式因式的最高次冪;(5)寫成積的形式.【分式的乘除法法則】
乘法法則:分式乘分式,用分子的積作為積的分子,分母的積作為積的分母.
除法法則:分式除以分式,把除式的分子、分母顛倒位置后,與被除式相乘.三、分式的乘除1.分式的分子、分母都是幾個(gè)因式的積的形式,可先約去分子、分母的公因式,再按照法則進(jìn)行計(jì)算.2.分子或分母是多項(xiàng)式的按以下方法進(jìn)行:①將原分式中含同一字母的各多項(xiàng)式按降冪(或升冪)排列;在乘除過程中遇到整式則視其為分母為1,分子為這個(gè)整式的分式;②把各分式中分子或分母里的多項(xiàng)式分解因式;③應(yīng)用分式乘除法法則進(jìn)行運(yùn)算;(注意:結(jié)果為最簡分式或整式.)分式乘除法的解題步驟四、分式的乘方一般地,當(dāng)n是正整數(shù)時(shí),這就是說,分式乘方要把分子、分母分別乘方.n個(gè)n個(gè)n個(gè)【同分母分式加減法的法則】
同分母分式相加減,分母不變,把分子相加減.【異分母分式加減法的法則】
異分母分式相加減,先通分,變?yōu)橥帜傅姆质剑偌訙p.異分母分式通分時(shí),通常取最簡公分母作為它們的共同分母.五、分式的加減分式的混合運(yùn)算(1)進(jìn)行混合運(yùn)算時(shí),要注意運(yùn)算順序,在沒有括號的情況下,按從左往右的方向,先算乘方,再算乘除,后算加減;(2)分式的混合運(yùn)算,一般按常規(guī)運(yùn)算順序,但有時(shí)應(yīng)先根據(jù)題目的特點(diǎn),運(yùn)用運(yùn)算律進(jìn)行靈活運(yùn)算.
混合運(yùn)算的特點(diǎn):是整式運(yùn)算、因式分解、分式運(yùn)算的綜合運(yùn)用,綜合性強(qiáng).分式的混合運(yùn)算順序:先算乘方,再算乘除,最后算加減,有括號的先算括號里面的.計(jì)算結(jié)果要化為最簡分式或整式.六、分式的混合運(yùn)算一般地,我們規(guī)定:當(dāng)n是正整數(shù)時(shí),這就是說,a-n
(a≠0)是an的倒數(shù).七、整數(shù)指數(shù)冪整數(shù)指數(shù)冪有以下運(yùn)算性質(zhì):(1)am·an=am+n(m,n是整數(shù));(2)(am)n=amn(m,n是整數(shù));(3)(ab)n=anbn(n是整數(shù));(4)am÷an=am-n(a≠0,m,n是整數(shù));(5)(n是整數(shù));(6)當(dāng)a≠0時(shí),a0=1(0指數(shù)冪的運(yùn)算).類似地,我們可以利用10的負(fù)整數(shù)次冪,用科學(xué)記數(shù)法表示一些絕對值較小的數(shù),即將它們表示成a×10-n的形式,其中n是正整數(shù),1≤∣a∣<10.用科學(xué)記數(shù)法表示絕對值小于1的數(shù)的兩種方法:方法1:n
等于原數(shù)中左起第一個(gè)非0數(shù)前0的個(gè)數(shù)(包括小數(shù)點(diǎn)前的那個(gè)0);方法2:小數(shù)點(diǎn)向右移到第一個(gè)非0的數(shù)后,小數(shù)點(diǎn)移動了幾位,n就等于幾.八、用科學(xué)記數(shù)法表示絕對值小于1的數(shù)分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程.注:(1)分式方程的主要特征:含分母且分母里含有未知數(shù).(2)分式方程和整式方程的區(qū)別就在于分母中是否含有未知數(shù).1.在方程的兩邊都乘以最簡公分母,約去分母,化成整式方程.2.解這個(gè)整式方程.3.把整式方程的解代入最簡公分母,如果最簡公分母的值不為0,則整式方程的解是原分式方程的解,否則原分式方程無解;4.寫出原方程的根.簡記為:“一化二解三檢驗(yàn)”.“去分母法”解分式方程的步驟:九、分式方程及其解法解分式方程的一般步驟如下:分式方程整式方程去分母x=a解整式方程檢驗(yàn)最簡公分母為0x=a不是分式方程的解最簡公分母不為0x=a是分式方程的解十、分式方程的應(yīng)用列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟1.審:清題意,并設(shè)未知數(shù);
2.找:相等關(guān)系;3.列:出方程;4.解:這個(gè)分式方程;5.驗(yàn):根(包括兩方面:(1)是否是分式方程的根;(2)是否符合題意);6.寫:答案.例1.下列各式哪些是整式?哪些是分式?整式整式分式整式分式整式分式整式是分式嗎?是分式嗎?整式分式【點(diǎn)睛】1.判斷時(shí),注意含有π的式子,π是常數(shù).2.式子中含有多項(xiàng)時(shí),若其中有一項(xiàng)分母含有字母,則該式也為分式,如:分式的有關(guān)概念1例2.已知分式有意義,則x應(yīng)滿足的條件是(
)≠1B.x≠2≠1且x≠2
D.以上結(jié)果都不對C【點(diǎn)睛】分式有意義的條件是分母不為零.如果分母是幾個(gè)因式乘積的形式,則每個(gè)因式都不為零.解:當(dāng)分子等于零而分母不等于零時(shí),分式的值為零.則x2-1=0,∴x=±1,而x+1≠0,∴x≠-1.∴當(dāng)x=1時(shí)分式的值為零.例3.當(dāng)x為何值時(shí),分式的值為零?
D
CD【1-3】若的值為零,則x=
.【分析】分式的值等于零,應(yīng)滿足分子等于零,同時(shí)分母不為零,即解得x=-3.
-3分式的性質(zhì)及有關(guān)計(jì)算2
例5.填空:(1)(2)(3)(4)
例7.如果把分式中的x和y的值都擴(kuò)大為原來的3倍,則分式的值()A.擴(kuò)大為原來的3倍
B.不變C.縮小為原來的D.縮小為原來的B
例8.約分:(1)(2)(3)分析:為約分,要先找出分子和分母的公因式.解:(1)找公因式方法:(1)分子、分母系數(shù)的最大公約數(shù);(2)分子、分母公共字母的最低次冪.(公因式是5abc)例8.約分:(1)(2)(3)解:(2)分析:約分時(shí),分子或分母若是多項(xiàng)式,能分解則先進(jìn)行因式分解,再找出分子和分母的公因式進(jìn)行約分.(3)
【2-1】不改變分式的值,把下列各式的分子與分母的各項(xiàng)系數(shù)都化為整數(shù).
分式的乘除運(yùn)算3
CD
②分式的乘方運(yùn)算4例11.計(jì)算:(1)(2)解:(1)(2)【點(diǎn)睛】進(jìn)行分式的乘除、乘方混合運(yùn)算時(shí),要嚴(yán)格按照運(yùn)算順序進(jìn)行運(yùn)算.先算乘方,再算乘除.注意結(jié)果一定要化成一個(gè)整式或最簡分式的形式.例12.計(jì)算:(1)(2)
AB【4-3】在下列各式中:①;②;③;④.相等的兩個(gè)式子是()A.①②B.①③C.②③D.③④【4-4】如果,那么a8b4等于()A.6B.9C.12D.81CB分式的加減運(yùn)算5例13.計(jì)算:
例13.計(jì)算:
例15.甲工程隊(duì)完成一項(xiàng)工程需n天,乙工程隊(duì)要比甲隊(duì)多用3天才能完成這項(xiàng)工程,兩隊(duì)共同工作一天完成這項(xiàng)工程的幾分之幾?解:甲工程隊(duì)一天完成這項(xiàng)工程的,乙工程隊(duì)一天完成這項(xiàng)工程的,兩隊(duì)共同工作一天完成這項(xiàng)工程的
1
【5-3】計(jì)算:
分式的混合運(yùn)算6例16.計(jì)算:(1)(2)解:原式
C①x+1;②3﹣x?2;③11;④;⑤()?.【6-2】下面是涂涂同學(xué)完成的一組分式化簡的練習(xí)題,每小題20分,他能得的分?jǐn)?shù)是(
)A.40分
B.60分
C.80分
D.100分A
分式化簡求值問題7
①②
根據(jù)分式有意義的條件得:x≠1,x≠2,∴取x=0,原式=2.【點(diǎn)睛】把分式化成最簡分式是解題的關(guān)鍵,通分、因式分解和約分是基本環(huán)節(jié),注意選數(shù)時(shí),要求分母不能為0.
D
整數(shù)指數(shù)冪8
例18.計(jì)算:
(1)a-2b2·(a2b-2)-3解:(1)原式=a-2b2·a-6b6=a-8b8=(2)(2ab2c-3)-2÷(a-2b)3
【點(diǎn)睛】對于這類運(yùn)算先進(jìn)行冪的乘方,再進(jìn)行冪的乘除,最后將整數(shù)指數(shù)冪化成正整數(shù)指數(shù)冪.例19.計(jì)算:
分析:分別根據(jù)有理數(shù)的乘方、0指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪及絕對值的性質(zhì)計(jì)算出各數(shù),再根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算.解:
CDB
【8-5】計(jì)算:
解:用科學(xué)記數(shù)法表示絕對值小于1的數(shù)9例20.把下列各數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示出來:(1)650000;(2)-36900000;(3);(4)-0.00000657.
例21.用小數(shù)表示下列各數(shù):(1)2×10-7;(2)3.14×10-5;(3)7.08×10-3;(4)2.17×10-1.解析:小數(shù)點(diǎn)向左移動相應(yīng)的位數(shù)即可.解:(1)2×10-7=;(2)3.14×10-5=;(3)7.08×10-3=;(4)2.17×10-1=0.217.
(2)原式=4×10-6×3×10-3=(4×3)×(10-6×10-3)=12×10-9=1.2×10-8;(3)原式=-0.5×10-3=-5×10-4.【9-1】下列用科學(xué)記數(shù)法表示的算式:①236400000=2.364×105;②-1020000000=-1.02×109;③0.0000001001=1.001×10-7;④-0.000083=-8.3×10-6.其中不正確的有(
)A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)C【9-2】比較大小:(橫線上填“>”“<”或“=”)(1)7.253×10-8_____×10-7(2)5.3×10-5_____(3×10-6_____2.25×10-6(4)-2.6×10-9_____×10-10(5)8.53×109_____1.01×1010<>><<
分式方程及其解法10例23.下列方程中,哪些是分式方程?哪些是整式方程?【點(diǎn)睛】判斷一個(gè)方程是否為分式方程,主要是看分母中是否含有未知數(shù)(注意:π不是未知數(shù)).分式方程整式方程分式方程分式方程分式方程分式方程整式方程整式方程例24.解方程:解:方程兩邊乘(x-1)(x+2),得
x(x+2)-(x-1)(x+2)=3
解得
x=1檢驗(yàn):當(dāng)x=1時(shí),(x-1)(x+2)=0,因此x=1不是原分式方程的解.所以,原分式方程無解.
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C解:(1)方程兩邊乘(x+1)(x-1),得
2(x+1)=4
解得
x=1檢驗(yàn):當(dāng)x=1時(shí),(x+1)(x
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