2024屆上海虹口區(qū)高三一模數(shù)學(xué)試卷和答案

高中PAGE1高中上海虹口區(qū)2023-2024學(xué)年學(xué)生學(xué)習(xí)能力診斷測(cè)試高三數(shù)學(xué)試卷2023.12考生注意：1.本試卷共4頁，21道試題，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.本考試分設(shè)試卷和答題紙.作答必須涂（選擇題）或?qū)懀ǚ沁x擇題）在答題紙上的相應(yīng)位置，在試卷上作答一律不得分.一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置直接填寫結(jié)果.1.已知集合2.函數(shù)的定義域?yàn)開________.3．設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則=_________.4.已知一個(gè)圓錐的底面半徑為3，其側(cè)面積為15π，則該圓錐的體積為_________.5.在的二項(xiàng)展開式中項(xiàng)的系數(shù)為_________.6.已知為第三象限的角，則tan2x=_________.7．雙曲線的兩條漸近線夾角的余弦值為_________.8．已知函數(shù)(,)的部分圖像如（第8題圖）右圖所示，則=_________.（第8題圖）9.已知是定義在上的函數(shù)，若，且則實(shí)數(shù)的取值范圍為_________.10.將甲、乙等8人安排在4天值班，若每天安排兩人，則甲、乙兩人安排在同一天的概率為________.（結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示）11.設(shè)若關(guān)于的方程有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_________.12.設(shè)是平面上兩兩不相等的向量，若且對(duì)任意的均有則________.二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分）每題有且只有一個(gè)正確答案，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置上，將所選答案的代號(hào)涂黑.13.設(shè)為虛數(shù)單位，若，則（）（A）（B）（C）（D）14．空氣質(zhì)量指數(shù)是反映空氣質(zhì)量狀況的指數(shù)，其對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表:指數(shù)值空氣質(zhì)量優(yōu)良輕度污染中度污染重度污染嚴(yán)重污染為監(jiān)測(cè)某化工廠排放廢氣對(duì)周邊空氣質(zhì)量指數(shù)的影響，某科學(xué)興趣小組在工廠附近某處測(cè)得10月1日—20日的數(shù)據(jù)并繪成折線圖如下:下列敘述正確的是（）（A）這天中的中位數(shù)略大于（B）10月4日到10月11日，空氣質(zhì)量越來越好（C）這天中的空氣質(zhì)量為優(yōu)的天數(shù)占%（第15題圖）（D）10月上旬的極差大于中旬的極差（第15題圖）15.“阿基米德多面體”也稱為半正多面體，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美.如右上圖所示，將正方體沿同一頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱的中點(diǎn)截去一個(gè)三棱錐，共可截去8個(gè)三棱錐，得到8個(gè)面為正三角形、6個(gè)面為正方形的一種半正多面體.若，則此半正多面體外接球的表面積為（）（A）π（B）12π（C）π（D）8π16.已知曲線的對(duì)稱中心為，若對(duì)于上的任意一點(diǎn)，都存在上兩點(diǎn)，使得為的重心，則稱曲線為“自穩(wěn)定曲線”.現(xiàn)有如下兩個(gè)命題：①任意橢圓都是“自穩(wěn)定曲線”；②存在雙曲線是“自穩(wěn)定曲線”.則（）（A）①是假命題，②是真命題（B）①是真命題，②是假命題（C）①②都是假命題（D）①②都是真命題三、解答題（本大題共5題，滿分78分）解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)位置寫出必要步驟.17．(本題滿分14分，第1小題7分，第2小題7分)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，，且//．（1）求角的大?。唬?）若△ABC為銳角三角形，求的取值范圍．18．(本題滿分14分，第1小題6分，第2小題8分)如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)面AA1C1C為正方形，；設(shè)M是CC1的中點(diǎn)，滿足，N是BC的中點(diǎn)，P是線段A1B1上的一點(diǎn).(1)證明：AM⊥平面A1PN；(2)若，求直線AB1與平面PMN所成角的大?。?9．(本題滿分14分，第1小題6分，第2小題8分)2022年12月底，某廠的廢水池已儲(chǔ)存廢水800噸，以后每月新產(chǎn)生的2噸廢水也存入廢水池．該廠2023年開始對(duì)廢水處理后進(jìn)行排放，1月底排放10噸處理后的廢水,計(jì)劃以后每月月底排放一次,每月排放處理后的廢水比上月增加2噸.（1）若按計(jì)劃排放,該廠在哪一年的幾月份排放后，第一次將廢水池中的廢水排放完畢？（2）該廠加強(qiáng)科研攻關(guān)，提升廢水處理技術(shù)，經(jīng)過深度凈化的廢水可以再次利用.該廠從2023年7月開始對(duì)該月計(jì)劃排放的廢水進(jìn)行深度凈化，首次凈化廢水5噸，以后每月比上月提高20%的凈化能力.試問：哪一年的幾月份開始，當(dāng)月排放的廢水能被全部凈化？20.（本題滿分18分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題8分）已知點(diǎn)在拋物線：上，點(diǎn)F為的焦點(diǎn)，且.過點(diǎn)F的直線l與及圓依次相交于點(diǎn)如圖.（1）求拋物線的方程及點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求證：為定值；（3）過A,B兩點(diǎn)分別作的切線且與相交于點(diǎn)P，求ACP與BDP的面積之和的最小值．21.(本題滿分18分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題8分)已知與都是定義在上的函數(shù)，若對(duì)任意，當(dāng)時(shí)，都有，則稱是的一個(gè)“控制函數(shù)”.（1）判斷是否為函數(shù)的一個(gè)控制函數(shù)，并說明理由；（2）設(shè)的導(dǎo)數(shù)為，，求證：關(guān)于的方程在區(qū)間上有實(shí)數(shù)解；（3）設(shè)，函數(shù)是否存在控制函數(shù)？若存在，請(qǐng)求出的所有控制函數(shù)；若不存在，請(qǐng)說明理由.虹口區(qū)2023-2024學(xué)年學(xué)生學(xué)習(xí)能力診斷測(cè)試高三數(shù)學(xué)參考答案和評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)2023年12月一、填空題（本大題共12題，滿分54分；第1-6題每題4分;第7-12題每題5分）1．2．3.4．5．5606.78．9.10．11．12.3二、選擇題（本大題共4題，滿分18分；第13-14題每題4分，第15-16題每題5分）13.A14.C15.D16.B三、解答題（本大題共5題，滿分78分）17．(本題滿分14分，第1小題7分，第2小題7分)解：(1)因?yàn)?/，所以，……2分由正弦定理，可得，即.……4分于是，由余弦定理得，又，所以．……7分（2）由（1）可知所以……11分由△ABC為銳角△,得所以從而所以的取值范圍為……14分18．(本題滿分14分，第1小題6分，第2小題8分)證：(1)取AC中點(diǎn)D，連接DN，A1D.因AA1＝AC，AD＝CM，∠A1AD＝∠ACM，故△A1AD≌△ACM.……2分從而∠AA1D＝∠CAM，又因∠AA1D＋∠A1DA，故∠CAM＋∠A1DA.所以AM⊥A1D.由于AM⊥A1B1及A1B1因此AM⊥平面A1B1D.……4分因D,N分別為AC,BC的中點(diǎn)，故DN//AB，從而DN//A1B1，于是A1，P，B1，N，D在同一平面內(nèi)，故AM⊥面A1PN.……6分解：(2)因?yàn)锳B＝AC＝4，BC＝4，所以AB2＋AC2＝BC2,故AB⊥AC.因AM⊥A1B1，A1B1∥AB，故AM⊥AB；又因AM∩AC＝A，所以AB⊥面ACC1A1，從而AB⊥AA1；因此AB，AC，AA1兩兩垂直.以A為原點(diǎn)，以AB，AC，AA1分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖.……8分則由條件，相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)為M(0，4，2)，N(2，2，0)，P(1，0，4)，B1(4，0，4).設(shè)平面MNP的一個(gè)法向量為則取……11分因(4，0，4)，設(shè)直線與平面PMN所成的角為θ，則故直線與平面PMN所成角的大小為……14分19．(本題滿分14分，第1小題6分，第2小題8分)解：（1）設(shè)從2023年1月起第個(gè)月處理后的廢水排放量為噸，則由已知條件知：數(shù)列是首項(xiàng)為10，公差為的等差數(shù)列，故.……2分當(dāng)時(shí)，即，……4分化簡得，解得由是正整數(shù)，則.故該廠在2025年1月底第一次將廢水池中的廢水排放完畢.……6分（2）設(shè)從2023年1月起第個(gè)月深度凈化的廢水量為噸.由已知條件，，當(dāng)時(shí)，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，故（n為正整數(shù)）.……8分顯然，當(dāng)時(shí)，.當(dāng)?shù)?（*）……10分設(shè)，則，所以當(dāng)時(shí)，數(shù)列是嚴(yán)格增數(shù)列，且當(dāng)時(shí)，數(shù)列是嚴(yán)格減數(shù)列.……12分由于，.所以不等式（*）的解為（n為正整數(shù)）.故該廠在2024年8月開始計(jì)劃排放的廢水能被全部凈化.……14分20．（本題滿分18分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題8分）解：（1）易知拋物線的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為準(zhǔn)線為，由拋物線的定義，得，故.所以，拋物線的方程為………2分將代入的方程，得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為：或………4分（2）由（1）知F又由條件知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為，并設(shè)AB則由得故且………7分由拋物線的定義，可知又因圓的圓心為F（0,1），半徑為1，于是所以.………10分（3）由得，而.故過點(diǎn)A的拋物線的切線的方程為即=1\*GB3①………12分同理，過點(diǎn)B的拋物線的切線的方程為=2\*GB3②由=1\*GB3①，=2\*GB3②可得：即……15分所以點(diǎn)P到直線l:的距離為于是故當(dāng)k=0，即直線l為y=1時(shí)，有最小值2.……18分21.(本題滿分18分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題8分)解：（1）由于對(duì)任意，當(dāng)時(shí)，都有；……2分即有故由控制函數(shù)的定義，的控制函數(shù).……4分證：（2）關(guān)于的方程在區(qū)間上有實(shí)數(shù)解.……7分記，則，當(dāng)時(shí)，在上嚴(yán)格增；當(dāng)時(shí)，在上嚴(yán)格減.而，故，于是所要證的結(jié)論成立.……10分另證：關(guān)于x的方程在區(qū)間上有實(shí)數(shù)解.……7分記，則，當(dāng)時(shí)，故在上嚴(yán)格減，.記，則，當(dāng)時(shí)，故在上嚴(yán)格增，.于是所要證的結(jié)論成立.……10分解：（3）①先證引理：對(duì)任意，關(guān)于的方程在區(qū)間上恒有實(shí)數(shù)解.這等價(jià)于，由（2）知結(jié)論