重慶市縉云教育聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)下學(xué)期2月月度質(zhì)量檢測

重慶市2024-2025學(xué)年（下）2月月度質(zhì)量檢測高三數(shù)學(xué)留意事項：1.答題前，考生務(wù)必用黑色簽字筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、座位號在答題卡上填寫清晰；2.每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，在試卷上作答無效；3.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回；4.全卷共4頁，滿分150分，考試時間120分鐘。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．①植物依據(jù)植株的高度及分枝部位等可以分為喬木、灌木和草木三大類，某植物園須要對其園中的不同植物的干重（烘干后測定的質(zhì)量）進(jìn)行測量；②檢測員擬對一批新生產(chǎn)的1000箱牛奶抽取10箱進(jìn)行質(zhì)量檢測；上述兩項調(diào)查應(yīng)接受的抽樣方法是（

）A．①用簡潔隨機(jī)抽樣，②用分層隨機(jī)抽樣 B．①用簡潔隨機(jī)抽樣，②用簡潔隨機(jī)抽樣C．①用分層隨機(jī)抽樣，②用簡潔隨機(jī)抽樣 D．①用分層隨機(jī)抽樣，②用分層隨機(jī)抽樣2．下列函數(shù)既是奇函數(shù)，又在上單調(diào)遞增的函數(shù)是（

）A． B．C． D．3．已知是公比為2的等比數(shù)列，若，則（

）A．100 B．80 C．50 D．404．若，則（

）A． B． C． D．5．已知圓，直線與圓交于，兩點.若△ABC為直角三角形，則（

）A． B．C． D．6．已知數(shù)列滿意，，若，則正整數(shù)k的值是（

）A．8 B．12 C．16 D．207．已知橢圓的左焦點，為坐標(biāo)原點，點在橢圓上，點在直線上，若，，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．8．對于一個古典概型的樣本空間和事務(wù)A，B，C，D，其中，，，，，，，，則（

）A．A與B不互斥 B．A與D互斥但不對立C．C與D互斥 D．A與C相互獨立二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求的。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。9．已知，若，且是的必要條件，則可能為（

）A．的最小正周期為B．是圖象的一條對稱軸C．在上單調(diào)遞增D．在上沒有零點10．設(shè)奇函數(shù)與偶函數(shù)的定義域均為，且在區(qū)間上都是單調(diào)增函數(shù)，則（

）A．不具有奇偶性，且在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù)B．不具有奇偶性，且在區(qū)間上的單調(diào)性不能確定C．是奇函數(shù)，且在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù)D．是偶函數(shù)，且在區(qū)間上的單調(diào)性不能確定11．對于隨意兩個正數(shù)，，記曲線與直線，，軸圍成的曲邊梯形的面積為，并約定和，德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨（Leibniz）最早發(fā)覺.關(guān)于，下列說法正確的是（

）A． B．C． D．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．若命題為真命題，則m的取值范圍為.13．在多面體PABCQ中，，且QA，QB，QC兩兩垂直，則該多面體的外接球半徑為，內(nèi)切球半徑為．14．已知為方程的兩個實數(shù)根，且，，則的最大值為.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（13分）已知在一個不透亮的盒中裝有一個白球和兩個紅球（小球除顏色不同，其余完全相同），某抽球試驗的規(guī)則如下：試驗者在每一輪需有放回地抽取兩次，每次抽取一個小球，從第一輪起先，若試驗者在某輪中的兩次均抽到白球，則該試驗勝利，并停止試驗.否則再將一個黃球（與盒中小球除顏色不同，其余完全相同）放入盒中，然后接著進(jìn)行下一輪試驗.(1)若規(guī)定試驗者甲至多可進(jìn)行三輪試驗（若第三輪不勝利，也停止試驗），記甲進(jìn)行的試驗輪數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)若規(guī)定試驗者乙至多可進(jìn)行輪試驗（若第輪不勝利，也停止試驗），記乙在第輪使得試驗勝利的概率為，則乙能試驗勝利的概率為，證明：.16．（15分）如圖，是半球的直徑，是底面半圓弧AB上的兩個三等分點，是半球面上一點，且．

(1)證明：平面：(2)若點在底面圓內(nèi)的射影恰在上，求直線與平面所成角的正弦值．17．（15分）設(shè)，函數(shù)，.(1)探討函數(shù)的零點個數(shù)；(2)若函數(shù)有兩個零點，，試證明：.18．（17分）已知拋物線：，直線，且點在拋物線上．(1)若點在直線上，且四點構(gòu)成菱形，求直線的方程；(2)若點為拋物線和直線的交點（位于軸下方），點在直線上，且四點構(gòu)成矩形，求直線的斜率．19．（17分）固定項鏈的兩端，在重力的作用下項鏈所形成的曲線是懸鏈線.1691年，萊布尼茨等得出“懸鏈線”方程，其中為參數(shù).當(dāng)時，就是雙曲余弦函數(shù)，類似地我們可以定義雙曲正弦函數(shù).它們與正、余弦函數(shù)有很多類似的性質(zhì).(1)類比正弦函數(shù)的二倍角公式，請寫出雙曲正弦函數(shù)的一個正確的結(jié)論:_____________.（只寫出即可，不要求證明）；(2)，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍；(3)若，試比較與的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論.重慶市2024-2025學(xué)年（下）2月月度質(zhì)量檢測高三數(shù)學(xué)答案及評分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．C 2．D 3．B 4．A5．A 6．B 7．D 8．D二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求的。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。9．AC 10．ABD 11．ABC三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．13．14．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（1）由題意得，的可能取值為，在第一輪中，試驗者每次抽到白球的概率為，，依題意，在其次輪中，盒中有一個白球，兩個紅球和一個黃球，每次摸到白球的概率為，，易知，的分布列為：123的數(shù)學(xué)期望.（2）證明：當(dāng)時，不難知道，，，由（1）可知，又，，.即.16．（1）連接，因為是底面半圓弧AB上的兩個三等分點，所以有，又因為，所以△MON,△NOB都為正三角形，所以，四邊形記與的交點為，為和的中點，因為，所以三角形為正三角形，所以，所以，因為是半球面上一點，是半球的直徑，所以，因為，平面，所以平面．（2）因為點在底面圓內(nèi)的射影恰在上，由（1）知為的中點，△OPN為正三角形，所以，所以底面，因為四邊形是菱形，所以，即兩兩相互垂直，以點為坐標(biāo)原點，，，分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，所以，，，設(shè)平面的一個法向量為，則，所以，取，則，設(shè)直線與平面的所成角為，所以，故直線與平面所成角的正弦值為．17．（1），令，即，當(dāng)時，令，所以，則即，所以當(dāng)或時，即或時，無解；當(dāng)時，即時，僅有一解；當(dāng)即時，有兩解，綜上，或時，無零點；時，有一個零點；時，有兩個零點.（2）若有兩個零點，，令，，則，為兩解，則，則，則，由可得，，則，所以，所以，由可得，所以，則，由在遞減，可得，所以，所以令，則要證成立，即證：；即證：，因為明顯成立，故原式成立.18．（1）由題意知，設(shè)直線．聯(lián)立得，則，，則的中點在直線上，代入可解得，，滿意直線與拋物線有兩個交點，所以直線的方程為，即．

（2）當(dāng)直線的斜率為或不存在時，均不滿意題意．由得或（舍去），故．方法一：當(dāng)直線的斜率存在且不為時，設(shè)直線．聯(lián)立得，所以．所以．同理得．由的中點在直線上，得，即．令，則，解得或．當(dāng)時，直線的斜率；當(dāng)時，直線的斜率不存在．所以直線的斜率為．方法二：設(shè)，線段的中點，則．由，得，即．所以．又，故可轉(zhuǎn)化為，即．解得或．所以直線的斜率．當(dāng)