事件的關(guān)系和運(yùn)算課件-2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊(cè)

10.1.2事件的關(guān)系和運(yùn)算

隨機(jī)事件我們將樣本空間Ω的______稱為E的隨機(jī)事件，簡稱事件，并把只包含______樣本點(diǎn)的事件稱為基本事件，隨機(jī)事件一般用大寫字母A，B，C等表示.在每次試驗(yàn)中，當(dāng)且僅當(dāng)A中某個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)時(shí)，稱為事件A發(fā)生必然事件Ω作為自身的子集，包含了所有的樣本點(diǎn)，在每次試驗(yàn)中總有一個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生，所以Ω總會(huì)發(fā)生，我們稱Ω為______事件不可能事件空集?不包含任何樣本點(diǎn)，在每次試驗(yàn)中都不會(huì)發(fā)生，我們稱?為________事件子集一個(gè)必然不可能復(fù)習(xí)（1）集合之間的包含關(guān)系：（3）集合之間的運(yùn)算：BAAB①交集：A∩BBAA∩B③補(bǔ)集：A（2）集合之間的相等關(guān)系A(chǔ)=B②并集：A∪BABA∪B兩個(gè)集合之間存在著包含與相等的關(guān)系，集合可以進(jìn)行交、并、補(bǔ)運(yùn)算，你還記得子集、相等集合、交集、并集和補(bǔ)集的含義及其符號(hào)表示嗎？

AUA探究：在擲骰子試驗(yàn)中，觀察骰子朝上面的點(diǎn)數(shù)，可以定義許多隨機(jī)事件，例如:Ci=“點(diǎn)數(shù)為i”，i=1，2，3，4，5，6；D1=“點(diǎn)數(shù)不大于3”；D2=“點(diǎn)數(shù)大于3”；E1=“點(diǎn)數(shù)為1或2”；E2=“點(diǎn)數(shù)為2或3”；F=“點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”；G=“點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”;……你還能寫出這個(gè)試驗(yàn)中其他一些事件嗎？請(qǐng)用集合的形式表示這些事件.探究一：事件的關(guān)系和運(yùn)算如：Ｈ1={出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于7}；Ｈ2={出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于4}；借助集合與集合的關(guān)系和運(yùn)算，你能發(fā)現(xiàn)這些事件之間的聯(lián)系嗎?思考1：

觀察事件C1=“點(diǎn)數(shù)為1”和事件G=“點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，借助集合與集合的關(guān)系和運(yùn)算，你能發(fā)現(xiàn)這些事件之間的聯(lián)系嗎？C1={1}，G={1，3，5}.顯然，如果事件C1發(fā)生，那么事件G一定發(fā)生.

用集合表示就是也就是說，事件G包含事件C1.一般地，若事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生，我們就稱事件B包含事件A（或事件A包含于事件B），記作特別地，如果事件B包含事件A，事件A也包含B，即則稱事件A與事件B相等，記作A=B.歸納:包含和相等關(guān)系D1={1,2,3}，E1={1,2}和E2={2,3}.可以發(fā)現(xiàn)，事件E1和事件E2至少有一個(gè)發(fā)生，相當(dāng)于事件D1發(fā)生.用集合表示就是這時(shí)我們稱事件D1為事件E1和事件E2的并事件.思考2：

觀察事件D1=“點(diǎn)數(shù)不大于3”、事件E1=“點(diǎn)數(shù)為1或2”和事件E2=“點(diǎn)數(shù)為2或3”，借助集合與集合的關(guān)系和運(yùn)算，你能發(fā)現(xiàn)這些事件之間的聯(lián)系嗎？一般地，若事件A和事件B至少有一個(gè)發(fā)生，這樣的一個(gè)事件中的樣本點(diǎn)或者在事件A中，或者在事件B中，我們就稱這個(gè)事件為事件A與事件B的并事件（或和事件），記作如圖：綠色區(qū)域和黃色區(qū)域表示這個(gè)并事件.歸納:并事件（和事件）C2={2}，E1={1,2}和E2={2,3}可以發(fā)現(xiàn)，事件E1和事件

E2同時(shí)發(fā)生，相當(dāng)于事件C2發(fā)生．用集合表示就是這時(shí)我們稱事件C2為事件E1和事件E2的交事件.思考3：用集合的形式表示事件C2=“點(diǎn)數(shù)為2”，事件E1=“點(diǎn)數(shù)為1或2”和事件E2=“點(diǎn)數(shù)為2或3”借助集合與集合的關(guān)系和運(yùn)算，你能發(fā)現(xiàn)這些事件C2與之間的聯(lián)系嗎？一般地，若事件A與事件B同時(shí)發(fā)生，這樣的一個(gè)事件中的樣本點(diǎn)既在事件A中，也在事件B中，我們就稱這樣的一個(gè)事件為事件A與事件B的交事件（或積事件），記作如圖所示，藍(lán)色區(qū)域表示這個(gè)交事件.歸納:交事件（積事件）C3={3}，C4={4}.可以發(fā)現(xiàn)，事件C3與事件C4不可能同時(shí)發(fā)生.用集合表示：這時(shí)我們稱事件C3與事件C4互斥.思考4：用集合的形式表示事件C3=“點(diǎn)數(shù)為3”和事件C4=“點(diǎn)數(shù)為4”，借助集合與集合的關(guān)系和運(yùn)算，你能發(fā)現(xiàn)這些事件之間的聯(lián)系嗎？一般地，若事件A與事件B不能同時(shí)發(fā)生，也就是說A∩B是一個(gè)不可能事件，即A∩B=Φ，我們就稱事件A與事件B互斥（或互不相容）.如圖所示.歸納:互斥事件F={2，4，6}，G={1，3，5}在任何一次試驗(yàn)中，事件F與事件G兩者只能發(fā)生其中之一，而且也必然發(fā)生其中之一.用集合表示為{2，4，6}∪{1，3，5}={1，2，3，4，5，6}，即F∪G=Ω，且{2，4，6}∩{1，3，5}=Φ，即F∩G=Φ這時(shí)我們稱事件F與事件G互為對(duì)立事件.

D1=“點(diǎn)數(shù)不大于3”；D2=“點(diǎn)數(shù)大于3”.事件D1與D2也有這種關(guān)系.思考5：用集合的形式表示事件F=“點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”和事件G=“點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，借助集合與集合的關(guān)系和運(yùn)算，你能發(fā)現(xiàn)這些事件之間的聯(lián)系嗎？一般地，若事件A和事件B在任何一次試驗(yàn)中有且僅有一個(gè)發(fā)生，即A∪B=Ω，且A∩B=Φ，我們就稱事件A與事件B互為對(duì)立.事件A的對(duì)立事件記作.如圖所示.歸納:對(duì)立事件事件的關(guān)系或運(yùn)算含義符號(hào)表示包含A發(fā)生導(dǎo)致B發(fā)生A?B并事件(和事件)A與B至少一個(gè)發(fā)生AUB或A+B交事件(積事件)A與B同時(shí)發(fā)生A∩B或AB互斥(互不相容)A與B不能同時(shí)發(fā)生A∩B=Φ互為對(duì)立A與B有且僅有一個(gè)發(fā)生A∩B=Φ,AUB=Ω事件的關(guān)系或運(yùn)算的含義,以及相應(yīng)的符號(hào)表示類似地，我們可以定義多個(gè)事件的和事件以及積事件.

例如，對(duì)于三個(gè)事件A，B，C，①互斥事件可以是兩個(gè)或兩個(gè)以上事件的關(guān)系，而對(duì)立事件只針對(duì)兩個(gè)事件而言.②從定義上看，兩個(gè)互斥事件有可能都不發(fā)生，也可能有一個(gè)發(fā)生，也就是不可能同時(shí)發(fā)生；而對(duì)立事件除了要求這兩個(gè)事件不同時(shí)發(fā)生外，還要求這二者之間必須要有一個(gè)發(fā)生.說明：互斥事件與對(duì)立事件的區(qū)別：因此，對(duì)立事件是互斥事件，是互斥事件的特殊情況，但互斥事件不一定是對(duì)立事件.1.某人打靶時(shí)連續(xù)射擊兩次,下列事件中與事件“至少一次中靶”互為對(duì)立的是()A．至多一次中靶 B．兩次都中靶C．只有一次中靶 D．兩次都沒有中靶解析：事件“至少有一次中靶”包括“中靶一次”和“中靶兩次”兩種情況，由對(duì)立事件的定義，可知“兩次都沒有中靶”與之互為對(duì)立．答案：D課本233頁練習(xí)2.拋挪一顆質(zhì)地均勻的骰子，有如下隨機(jī)事件：Ci=“點(diǎn)數(shù)為i”，其中i=1,2,3,4,5,6;D1=“點(diǎn)數(shù)不大于2”，D2=“點(diǎn)數(shù)大于2”，D3=“點(diǎn)數(shù)大于4”；E=“點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，F(xiàn)=“點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”.判斷下列結(jié)論是否正確.(1)C1與C2互斥；(2)C2,C3為對(duì)立事件;(3)C3?D2;(4)D3?D2;(5)D1∪D2=Ω,D1D2=Φ;

(6)D3=C5∪C6;(7)E=C1∪C3∪C5;(8)E,F為對(duì)立事件；(9)D2∪D3=D2;(10)D2∩D3=D3.解：(1)因?yàn)镃1∩C2={1}∩{2}=Φ，所以C1與C2互斥，故（1）正確.

(2))因?yàn)镃2∩C3={2}∩{3}=Φ,但C2∪C3={2}∪{3}={2，3}≠Ω，所以互斥但不對(duì)立，故（2）錯(cuò)誤.(3)因?yàn)镃3={3}，D2={3，4，5，6}，所以C3?D2，故(3)正確.

(4)因?yàn)镈2={3，4，5，6}，D3={5，6}

，所以D3?D2，故(4)正確.

(5)因?yàn)镈1∪D2={1，2}∪{3，4，5，6}={1，2，3，4，5，6}=Ω,D1D2={1，2}∩{3，4，5，6}=Φ，故(5)正確.

(6)因?yàn)镈3={5，6}，C5∪C6={5}∪{6},所以D3=C5∪C6,故(6)正確.

(7))因?yàn)镋={1，3，5}，C1∪C3∪C5={1}∪{3}∪{5}={1，3，5}，所以E=C1∪C3∪C5，故(7)正確.

(8)因?yàn)镋={1，3，5}，F(xiàn)={2，4，6}，E∩F=Φ，E∪F=Ω，所以E,F為對(duì)立事件，故(8)正確.(9)因?yàn)镈2={3，4，5，6}，D3={5，6}，所以D2∪D3={3，4，5，6}∪{5，6}={3，4，5，6}，所以D2∪D3=D2，故（9）正確.(10))因?yàn)镈2∩D3={3，4，5，6}∩{5，6}={5，6}，所以D2∩D3=D3，故（10）正確.解：用x1，x2分別表示元件甲，乙兩個(gè)元件的狀態(tài)，則可以用(x1，x2)表示這個(gè)并聯(lián)電路的狀態(tài)．以1表示元件正常，0表示元件失效，則樣本空間為Ω={(0，0)，(1，0)，(0，1)，(1，1)}．例5：如圖，由甲、乙兩個(gè)元件組成一個(gè)并聯(lián)電路，每個(gè)元件可能正?；蚴?設(shè)事件A=“甲元件正常”，B=“乙元件正常”．(1)寫出表示兩個(gè)元件工作狀態(tài)的樣本空間；乙甲(2)用集合的形式表示事件A，B以及它們的對(duì)立事件；解：A={(1，0)，(1，1)}，

B={(0，1)，(1，1)}，A={(0，0)，(0，1)}，B={(0，0)，(1，0)}．乙甲例5：如圖，由甲、乙兩個(gè)元件組成一個(gè)并聯(lián)電路，每個(gè)元件可能正?；蚴?設(shè)事件A=“甲元件正?！?，B=“乙元件正常”．(3)用集合的形式表示事件A∪B和事件A∩B，并說明它們的含義及關(guān)系．A∪B表示電路工作正常，A∩B表示電路工作不正常．解：A∪B

={(1，0)，(0，1)，(1，1)}，A∩B={(0，0)}.A∪B和A∩B互為對(duì)立事件．乙甲例5：如圖，由甲、乙兩個(gè)元件組成一個(gè)并聯(lián)電路，每個(gè)元件可能正?；蚴?設(shè)事件A=“甲元件正?！?，B=“乙元件正常”．例6：一個(gè)袋子中有大小和質(zhì)地相同的4個(gè)球，其中有2個(gè)紅色球（標(biāo)號(hào)為1和2），2個(gè)綠色球（標(biāo)號(hào)為3和4），從袋中不放回地依次隨機(jī)摸出2個(gè)球．設(shè)事件R1=“第一次摸到紅球”，R2=“第二次摸到紅球”，R=“兩次都摸到紅球”，G=“兩次都摸到綠球”，M=“兩個(gè)球顏色相同”，N=“兩個(gè)球顏色不同”．（1）用集合的形式分別寫出試驗(yàn)的樣本空間以及上述各事件；（2）事件R與R1，R與G，M與N之間各有什么關(guān)系？（3）事件R與G的并事件與事件M有什么關(guān)系？事件R1與R2的交事件與事件R有什么關(guān)系？（1）用集合的形式分別寫出試驗(yàn)的樣本空間以及上述各事件；解：所有的試驗(yàn)結(jié)果如圖所示.用數(shù)組(x1，x2)表示可能的結(jié)果，x1是第一次摸到的球的標(biāo)號(hào)，x2是第二次摸到的球的標(biāo)號(hào)，則試驗(yàn)的樣本空間

Ω={(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)}．解：R1={(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)}；

R2={(2，1)，(3，1)，(4，1)，(1，2)，(3，2)，(4，2)}；R

={(1，2)，(2，1)};G={(3，4)，(4，3)}；M={(1，2)，(2，1)，(3，4)，(4，3)}；N={(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)}．解：(2)因?yàn)镽?R1，所以事件R1包含事件

R；因?yàn)镽∩G=?，所以事件R與事件G互斥；因?yàn)镸∩N=?,M∪N=Ω,所以事件R與事件G互為對(duì)立事件．（2）事件R與R1，R與G，M與N之間各有什么關(guān)系？R1={(1，2),(1，3),(1，4),(2，1),(2，3),(2，4)}；R2={(2，1),(3，1),(4，1),(1，2),(3，2),(4，2)}；R

={(1，2),(2，1)};G={(3，4),(4，3)}；M={(1，2),(2，1)，(3，4)，(4，3)}；N={(1，3),(1，4),(2，3),(2，4),(3，1),(3，2),(4，1),(4，2)}．解：（３）因?yàn)镽∪G=M，所以事件M是事件R與事件G的并事件；因?yàn)镽1∩R2=R，所以事件R是事件R1與事件R2的交事件．（3）事件R與G的并事件與事件M有什么關(guān)系？事件R1與R2的交事件與事件R有什么關(guān)系？R1={(1，2),(1，3),(1，4),(2，1),(2，3),(2，4)}；R2={(2，1),(3，1),(4，1),(1，2),(3，2),(4，2)