浙江省2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期11月期中聯(lián)考試題含解析

Page34考生須知：1.本卷共6頁滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級(jí)?姓名?考場號(hào)?座位號(hào)及準(zhǔn)考證號(hào)并填涂相應(yīng)數(shù)字.3.全部答案必需寫在答題紙上，寫在試卷上無效.4.考試結(jié)束后，只需上交答題紙.選擇題部分一?選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.直線的傾斜角為A. B. C. D.2.如圖，在正方體中，不能相互垂直的兩條直線是（）A.和 B.和C.和 D.和3.如圖三棱柱中，是棱的中點(diǎn)，若，，，則（）A. B.C. D.4.在空間直角坐標(biāo)系中，已知，則點(diǎn)到平面距離是（）A. B. C. D.5.已知直線：，則下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（）A.當(dāng)直線與直線平行時(shí)，B.當(dāng)直線與直線垂直時(shí)，C.當(dāng)實(shí)數(shù)變更時(shí)，直線恒過點(diǎn)D.原點(diǎn)到直線的距離最大值為6.已知拋物線，過點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，若，則（）A. B. C. D.7.已知圓，對(duì)于直線上的隨意一點(diǎn)，圓上都不存在兩點(diǎn)、使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.8.已知分別是雙曲線的左?右焦點(diǎn)，雙曲線左?右兩支上各有一點(diǎn)，滿意，且，則該雙曲線的離心率是（）A. B. C. D.二?多選題：本題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合要求.全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，錯(cuò)選得0分.9.已知函數(shù)，則下列選項(xiàng)正確的是（）A.B.函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱C.將圖象上全部點(diǎn)向右平移個(gè)單位長度，可得圖象D.若，則10.已知三棱錐，則下列選項(xiàng)正確是（）A.若，則在上投影向量為B.若是三棱錐的底面的重心，則C.若，則四點(diǎn)共面D.設(shè)，則構(gòu)成空間的一個(gè)基底11.已知橢圓，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別是橢圓的左右焦點(diǎn)，則下列選項(xiàng)正確的是（）A.橢圓上存在點(diǎn)，使得B.為橢圓上一點(diǎn)，點(diǎn)，則的最小值為1C.直線與橢圓確定相切D.已知圓，點(diǎn)分別是橢圓?圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為12.如圖，在棱長為2的正方體中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是底面正方形內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)（包括邊界），則下列選項(xiàng)正確的是（）A.存在點(diǎn)滿意B.滿意點(diǎn)的軌跡長度是C.滿意平面的點(diǎn)的軌跡長度是1D.滿意的點(diǎn)的軌跡長度是非選擇題部分三?填空題：本題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分.13.已知空間中點(diǎn)，則點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是__________.14.已知雙曲線的兩條漸近線方程為，并且經(jīng)過點(diǎn)，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是__________.15.已知拋物線光學(xué)性質(zhì)：從焦點(diǎn)動(dòng)身的光線，經(jīng)過拋物線上的一點(diǎn)反射后，反射光線平行于拋物線的軸.已知拋物線，一條光線從點(diǎn)沿平行于軸的方向射出，與拋物線相交于點(diǎn)，經(jīng)點(diǎn)反射后與交于另一點(diǎn).若，則兩點(diǎn)到軸的距離之比為__________.16.已知四棱錐平面，底面是矩形，，點(diǎn)分別在上，當(dāng)空間四邊形的周長最小時(shí)，則三棱錐外接球的體積為__________.四?解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.在中，角所對(duì)的邊分別為且.（1）求的值；（2）若的面積為，求邊上的高.18.已知圓，兩點(diǎn)、.（1）若，直線過點(diǎn)且被圓所截的弦長為，求直線的方程；（2）若圓上存在點(diǎn)，使得，求圓半徑的取值范圍.19.已知正三棱臺(tái)中，，，、分別為、的中點(diǎn).（1）求該正三棱臺(tái)的表面積；（2）求證：平面20已知函數(shù)，（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域；（2）探討函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).21.已知多面體的底面為矩形，四邊形為平行四邊形，平面平面，，，是棱上一點(diǎn).（1）證明：平面；（2）當(dāng)平面時(shí)，求與平面所成角的正弦值.22.已知橢圓的離心率為，且過點(diǎn)，點(diǎn)分別是橢圓的左?右頂點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)（在之間），直線交于點(diǎn)，記的面積分別為，求的取值范圍.

2024學(xué)年第一學(xué)期臺(tái)金七校聯(lián)盟期中聯(lián)考高二年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科試題命題：周海燕陳耀（三門中學(xué)）審題：李超英（臺(tái)州中學(xué)東校區(qū)）考生須知：1.本卷共6頁滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級(jí)?姓名?考場號(hào)?座位號(hào)及準(zhǔn)考證號(hào)并填涂相應(yīng)數(shù)字.3.全部答案必需寫在答題紙上，寫在試卷上無效.4.考試結(jié)束后，只需上交答題紙.選擇題部分一?選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.直線的傾斜角為A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先將直線化為斜截式求出直線的斜率，然后再利用傾斜角與斜率的關(guān)系即可求解.詳解】由直線，則，設(shè)直線的傾斜角為，所以，所以.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了直線的斜截式方程、直線的傾斜角與斜率的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.2.如圖，在正方體中，不能相互垂直的兩條直線是（）A.和 B.和C.和 D.和【答案】C【解析】【分析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量數(shù)量積逐項(xiàng)推斷即可.【詳解】在正方體中，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)該正方體的棱長為，則、、、、、、、.對(duì)于A選項(xiàng)，，，則，故；對(duì)于B選項(xiàng)，，，故，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，，，故和不垂直，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，，，故，D對(duì),故選：C.3.如圖三棱柱中，是棱的中點(diǎn)，若，，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用空間向量的基本定理可得出關(guān)于、、的關(guān)系式.【詳解】由已知可得，因?yàn)闉槔獾闹悬c(diǎn)，則.故選：B.4.在空間直角坐標(biāo)系中，已知，則點(diǎn)到平面的距離是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用空間向量求出平面的一個(gè)法向量，代入點(diǎn)到平面距離公式即可得出結(jié)果.詳解】依題意可得，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則可得，即，所以點(diǎn)到平面的距離是.故選：B5.已知直線：，則下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（）A.當(dāng)直線與直線平行時(shí)，B.當(dāng)直線與直線垂直時(shí)，C.當(dāng)實(shí)數(shù)變更時(shí)，直線恒過點(diǎn)D.原點(diǎn)到直線的距離最大值為【答案】C【解析】【分析】A項(xiàng)：依據(jù)與直線平行可求出值，即可求解；B項(xiàng)：依據(jù)與直線垂直可求出值，即可求解；C項(xiàng)：將直線整理得：，從而求出定點(diǎn)，即可求解；D項(xiàng)：當(dāng)原點(diǎn)與直線過的定點(diǎn)連線垂直直線時(shí)有最大距離，從而求解.【詳解】對(duì)于A項(xiàng)：當(dāng)直線與直線平行，得斜率為：，解得：，故A項(xiàng)正確；對(duì)于B項(xiàng)：當(dāng)直線與直線垂直，得斜率：，解得：，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)：直線化簡為：，由，解得：，即l恒過定點(diǎn)，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)：當(dāng)原點(diǎn)與直線的定點(diǎn)的連線垂直于直線時(shí)距離最大，由兩點(diǎn)間距離得：，故D項(xiàng)正確.故選：C6.已知拋物線，過點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)，，，，依據(jù)拋物線的定義即可依據(jù)求得，求解直線方程，將直線方程與拋物線的方程聯(lián)立，求出，，由拋物線的定義可求得的值．【詳解】易知點(diǎn)，設(shè)點(diǎn),，,，其中由于，所以，將代入得，故直線的斜率為，故其方程為，聯(lián)立，可得，解得，所以由拋物線的定義可得．故選：C7.已知圓，對(duì)于直線上的隨意一點(diǎn)，圓上都不存在兩點(diǎn)、使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】作出圖形，考慮、都與圓相切，設(shè)，則，分析可知，當(dāng)時(shí)，最大，此時(shí)，最大，計(jì)算出圓心到直線的距離，分析可得，即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】如下圖所示：圓心為，半徑為，圓心到直線的距離為，考慮、都與圓相切，此時(shí)，由切線長定理可知，，又因?yàn)?，，則，設(shè)，則，因?yàn)?，則，故當(dāng)時(shí)，最大，此時(shí)，最大，因?yàn)閷?duì)于直線上的隨意一點(diǎn)，圓上都不存在兩點(diǎn)、使得，則，可得，則，可得，解得或.故選：B.8.已知分別是雙曲線的左?右焦點(diǎn)，雙曲線左?右兩支上各有一點(diǎn)，滿意，且，則該雙曲線的離心率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】延長交交雙曲線于點(diǎn)，連接，結(jié)合雙曲線的定義與余弦定理可得關(guān)系，從而求得雙曲線的離心率.【詳解】如圖，延長交交雙曲線于點(diǎn)，連接因?yàn)椋?，依?jù)雙曲線的對(duì)稱性可得關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱所以，則四邊形為平行四邊形，所以設(shè)，則，由雙曲線定義可得：，所以，在中，由余弦定理得，則，整理得所以，在中，由余弦定理得，則，整理得，所以則該雙曲線的離心率是.故選：D.二?多選題：本題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合要求.全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，錯(cuò)選得0分.9.已知函數(shù)，則下列選項(xiàng)正確的是（）A.B.函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱C.將圖象上全部點(diǎn)向右平移個(gè)單位長度，可得圖象D.若，則【答案】BCD【解析】【分析】依據(jù)誘導(dǎo)公式可推斷；依據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)可推斷；依據(jù)函數(shù)左右平移原則“左加右減”即可推斷；依據(jù)兩角差的正弦可推斷.【詳解】因?yàn)椋叔e(cuò)誤；函數(shù)的對(duì)稱軸為，，得，，所以函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，故正確；由題意知，所將圖像上全部點(diǎn)向右平移個(gè)單位，得，故正確；因?yàn)?，且，所以，所以，因?yàn)椋?，故正確.故選：.10.已知三棱錐，則下列選項(xiàng)正確的是（）A.若，則在上的投影向量為B.若是三棱錐的底面的重心，則C.若，則四點(diǎn)共面D.設(shè)，則構(gòu)成空間的一個(gè)基底【答案】AB【解析】【分析】利用投影向量的定義依據(jù)空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算可得A正確，畫出幾何體由空間向量加減運(yùn)算法則可求得B正確，明顯不滿意共面定理，可知C錯(cuò)誤；不共面的非零空間向量才可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底，可知D錯(cuò)誤.【詳解】對(duì)于A，易知在上的投影向量為,所以可知A正確；對(duì)于B，取的中點(diǎn)為，連接，如下圖所示：由是三棱錐的底面的重心可得，易知所以，即可知B正確；對(duì)于C，若，明顯，則四點(diǎn)不共面，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由可知，共面，所以不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，即D錯(cuò)誤.故選：AB11.已知橢圓，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別是橢圓的左右焦點(diǎn)，則下列選項(xiàng)正確的是（）A.橢圓上存在點(diǎn)，使得B.為橢圓上一點(diǎn)，點(diǎn)，則的最小值為1C.直線與橢圓確定相切D.已知圓，點(diǎn)分別是橢圓?圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為【答案】BC【解析】【分析】易知圓與橢圓無交點(diǎn)，可得A錯(cuò)誤，由橢圓定義將轉(zhuǎn)化為，即可知B正確，聯(lián)立直線與橢圓方程可得，明顯方程只有一解，即可知C正確，由以及距離公式，構(gòu)造函數(shù)并利用單調(diào)性可求出的最小值為，即D錯(cuò)誤.【詳解】對(duì)于A，若存在點(diǎn)，使得，則點(diǎn)在以為直徑的圓上，而點(diǎn)在橢圓上，易知橢圓與圓無交點(diǎn)，如下圖所示：所以不存在點(diǎn)滿意題意，即A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由橢圓定義可得，則可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)滿意題意，又，可得，即，所以B正確；對(duì)于C，將變形可得，結(jié)合直線可得，聯(lián)立直線消去可得，明顯該方程僅有一解，所以當(dāng)時(shí)，直線和橢圓僅有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)直線與橢圓確定相切，即C正確；對(duì)于D，易知圓圓心為，所以可得，不妨設(shè)，則由可得，則，易知，令，則在上滿意恒成立，所以在上單調(diào)遞增，即，因此可得，即的最小值為，即D錯(cuò)誤.故選：BC12.如圖，在棱長為2的正方體中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是底面正方形內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)（包括邊界），則下列選項(xiàng)正確的是（）A.存在點(diǎn)滿意B.滿意的點(diǎn)的軌跡長度是C.滿意平面的點(diǎn)的軌跡長度是1D.滿意的點(diǎn)的軌跡長度是【答案】ABD【解析】【分析】利用正方體中的垂直關(guān)系建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，翻譯條件求出軌跡方程，留意變量的取值范圍，求解軌跡長度即可.【詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則有，,，，，，對(duì)于A選項(xiàng)，若，則，且，，故軌跡方程為，當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)既在軌跡上，也在底面內(nèi)，故存在這樣的點(diǎn)存在，A正確對(duì)于B選項(xiàng)，，的軌跡方程為，，在底面內(nèi)軌跡的長度是周長的故長度為，B正確對(duì)于C選項(xiàng)，，，設(shè)面的法向量故有，解得，故平面，，的軌跡方程為，在底面內(nèi)軌跡的長度為，C錯(cuò)誤對(duì)于D選項(xiàng)，，，，的軌跡方程為，在底面內(nèi)軌跡的長度為，D正確故選：ABD非選擇題部分三?填空題：本題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分.13.已知空間中點(diǎn)，則點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是__________.【答案】【解析】【分析】依據(jù)空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的對(duì)稱求解即可.【詳解】空間中點(diǎn)，則點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是.故答案為：.14.已知雙曲線的兩條漸近線方程為，并且經(jīng)過點(diǎn)，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是__________.【答案】【解析】【分析】依據(jù)題意設(shè)雙曲線方程為，利用漸近線和過點(diǎn)解方程組即可求得其標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】依題意可設(shè)雙曲線方程為，；由漸近線方程為可得，將點(diǎn)代入可得，解得，所以雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：15.已知拋物線光學(xué)性質(zhì)：從焦點(diǎn)動(dòng)身的光線，經(jīng)過拋物線上的一點(diǎn)反射后，反射光線平行于拋物線的軸.已知拋物線，一條光線從點(diǎn)沿平行于軸的方向射出，與拋物線相交于點(diǎn)，經(jīng)點(diǎn)反射后與交于另一點(diǎn).若，則兩點(diǎn)到軸的距離之比為__________.【答案】##【解析】【分析】設(shè)出直線的方程，聯(lián)立拋物線方程，用韋達(dá)定理和得出的值和、的坐標(biāo)，然后可得兩點(diǎn)到軸的距離之比．【詳解】依題意，由拋物線性質(zhì)知直線過焦點(diǎn)，設(shè),，,，直線的方程為，由，得：，所以，，則，又，所以，故拋物線方程為而，故，所以所以兩點(diǎn)到軸的距離之比為．故答案為：．16.已知四棱錐平面，底面是矩形，，點(diǎn)分別在上，當(dāng)空間四邊形的周長最小時(shí)，則三棱錐外接球的體積為__________.【答案】【解析】【分析】把平面綻開到與底面共面的的位置，依據(jù)圖形可知當(dāng)四點(diǎn)共線時(shí)，空間四邊形的周長最小，進(jìn)而求得各邊長，由正弦定理可求得外接圓的半徑，在三棱錐中確定球心位置依據(jù)勾股定理即可求得外接球半徑，可得其體積.【詳解】把平面綻開到與底面共面的的位置，延長到，使得，則（如下圖所示），因?yàn)榈拈L度為定值，故只需最小，即四點(diǎn)共線，易知，，可得，所以，，由正弦定理可得外接圓的半徑，設(shè)外接圓圓心為，則三棱錐外接球的球心確定在過且與平面垂直的直線上，如下圖所示：因?yàn)榈近c(diǎn)的距離相等，所以，即三棱錐外接球的半徑為，所以外接球的體積為.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于將綻開到與底面共面的的位置，確定出空間四邊形的周長最小時(shí)點(diǎn)的詳細(xì)位置，求得三棱錐的各邊進(jìn)步而求出外接球半徑即可求出體積.四?解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.在中，角所對(duì)的邊分別為且.（1）求的值；（2）若的面積為，求邊上的高.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理和兩角和的正弦公式即可得，可求出；（2）利用余弦定理以及邊的比例關(guān)系可求出，再由面積計(jì)算可得，即可求得邊上的高為.【小問1詳解】利用正弦定理由可得，又在中，易知，可得，所以；即，可得，明顯，所以，所以，又，可得；【小問2詳解】由余弦定理可得，代入整理可得，解得或（舍）；所以的面積為，解得，所以；設(shè)邊上的高為，則，可得，即邊上的高為.18.已知圓，兩點(diǎn)、.（1）若，直線過點(diǎn)且被圓所截的弦長為，求直線的方程；（2）若圓上存在點(diǎn)，使得，求圓半徑的取值范圍.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）計(jì)算出圓心到直線的距離為，對(duì)直線的斜率是否存在進(jìn)行分類探討，設(shè)出直線的方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式可求出直線的方程；（2）設(shè)點(diǎn)，利用平面內(nèi)兩點(diǎn)間距離公式結(jié)合可得知點(diǎn)在圓，可知圓與圓有公共點(diǎn)，依據(jù)圓與圓的位置關(guān)系可得出關(guān)于的不等式，即可解得的取值范圍.【小問1詳解】解：當(dāng)時(shí)，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，因?yàn)橹本€過點(diǎn)且被圓所截的弦長為，則圓心到直線的距離為，若直線的斜率不存在，則直線的方程為，此時(shí)，圓心到直線的距離為，不合乎題意；所以，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，即，則，解得，所以，直線的方程為或.【小問2詳解】解：設(shè)點(diǎn)，則，整理可得，因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，則圓與圓有公共點(diǎn)，且圓的圓心為，半徑為，則，且，故，因?yàn)?，解得，故的取值范圍?19.已知正三棱臺(tái)中，，，、分別為、的中點(diǎn).（1）求該正三棱臺(tái)的表面積；（2）求證：平面【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）將正三棱臺(tái)補(bǔ)成正三棱錐，分析可知正三棱錐是棱長為的正四面體，結(jié)合三角形的面積公式可求得正三棱臺(tái)的表面積；（2）設(shè)點(diǎn)在底面的射影為點(diǎn)，則為正的中心，取的中點(diǎn)，連接，則，以點(diǎn)、、的方向分別為、、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，證明出，，再利用線面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立.【小問1詳解】解：將正三棱臺(tái)補(bǔ)成正三棱錐，如圖所示：因?yàn)?，且，則、分別為、的中點(diǎn)，則，，故是邊長為的等邊三角形，由此可知，、都是邊長為的等邊三角形，易知是邊長為的等邊三角形，是邊長為的等邊三角形，故正三棱臺(tái)的表面積為.【小問2詳解】解：設(shè)點(diǎn)在底面的射影為點(diǎn)，則為正的中心，取的中點(diǎn)，連接，則，，則，因?yàn)槠矫?，平面，則，所以，，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為、、軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、，則，，，所以，，，所以，，，因?yàn)?，、平面，故平?20.已知函數(shù)，（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域；（2）探討函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【答案】（1）（2）答案見解析【解析】【分析】（1）代入分別利用基本不等式和函數(shù)單調(diào)性求出兩段函數(shù)值域即可得出結(jié)論；（2）對(duì)參數(shù)的取值進(jìn)行分類探討，利用基本不等式以及指數(shù)函數(shù)單調(diào)性分別對(duì)兩函數(shù)的最值的符號(hào)作出推斷，結(jié)合圖象特征即可得函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【小問1詳解】當(dāng)時(shí)可得；明顯當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，當(dāng)時(shí)，易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以可得，即時(shí)，；綜上可知，函數(shù)的值域?yàn)?；【小?詳解】①當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，且當(dāng)趨近于0時(shí)，，當(dāng)趨近于時(shí)，，即函數(shù)在上存在一個(gè)零點(diǎn)；而函數(shù)在上單調(diào)遞減，且當(dāng)時(shí)，恒成立，即函數(shù)在上無零點(diǎn)；所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)僅有1個(gè)零點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，易知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時(shí)最小值為，即函數(shù)在上存在兩個(gè)零點(diǎn)；而函數(shù)在上單調(diào)遞增，且當(dāng)趨近于時(shí)，，其最大值為，即函數(shù)在上有一個(gè)零點(diǎn)；所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)僅有3個(gè)零點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，易知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時(shí)最小值為，即函數(shù)在上存在一個(gè)零點(diǎn)；而函數(shù)在上單調(diào)遞增，且當(dāng)趨近于時(shí)，，其最大值為，即函數(shù)在上有一個(gè)零點(diǎn)；即當(dāng)時(shí),函數(shù)僅有2個(gè)零點(diǎn)；④當(dāng)時(shí)，易知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時(shí)最小值為，即函數(shù)在上無零點(diǎn)；而函數(shù)在上單調(diào)遞增，且當(dāng)趨近于時(shí)，，其最大值為，即函數(shù)在上無零點(diǎn)；所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒有零點(diǎn)；綜上可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)僅有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)僅有3個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí),函數(shù)僅有2個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒有零點(diǎn)；21.已知多面體的底面為矩形，四邊形為平行四邊形，平面平面，，，是棱上一點(diǎn).（1）證明：平面；（2）當(dāng)平面時(shí)，求與平面所成角的正弦值.【