高中數學選擇性必修第一冊課后練習6空間向量與平行關系

空間向量與平行關系

［A組基礎鞏固練］

一、選擇題

1.若直線/的方向向量為a,平面a的法向量為〃，則能使/〃a的是()

A.。=(1,0,0),〃=(—2,0,0)

B.a=(l,3,5),〃=(1,0,1)

C.a=(0,2,l)?〃=(—1,0,—1)

D.a=(l,—1,3),(0,3,1)

D［若/〃a,則Q?〃=0.而A中=—2,

B中?！?1+5=6,C中-I,只有D選項中?！?-3+3=0.故選D.］

2.已知平面a和平面￡的法向量分別為,"=(3,1,-5),〃=(一6,-2,10),則()

A.aA-pB.a〃§

C.。與夕相交但不垂直D.以上都不對

B［因為機=(31，—5),〃=(—6,-2,10),所以有〃=—2加，即帆與鹿共線(平行)，

可知平面a和平面P相互平行.答案選B.］

3.平面a的法向量“=(x,l,-2),平面夕的法向量。=(一1，＞'，已知a〃夕，則x

+)'=()

卜=T,

［由題意知，-：a//p,：.u=\v,即＜1=如'解得入=—4,y=~\,x=4,：.x

、-2=%

,,115,

+產4一十彳.]

4.已知平面a內有一個點42,-1,2),a的一個法向量為w=(3,l,2),則下列點P中,

在平面a內的是()

A.(1,-1,1)B.(1,3,

C.(1,-3,D.(-1,3,一弓)

B［對于B,6=(—1,4,一,，

則〃.力=(3』,2)(—1,4,一￡)=0,

：.nlAP,則點中，3,，在平面a內.］

5.如圖，在正方體ABCQ-A/iGA中，以。為原點建立空間直角坐標系，E為的

中點，尸為AQ的中點，則下列向量中，能作為平面AEF的法向量的是()

B

A.(1,-2,4)

B.(-4,1,-2)

C.(2,一2,1)

D.(1,2,-2)

B［設正方體棱長為2,則A(2Q,0),E(2,2,l),F(l,0,2),

?,二=(0,2,1),AF=(-1,0,2)

設向量〃=(x,y,z)是平面的一個法向量

—?

n-AE=2y+z=0

則＜,

―?

“?AF=—x+2z=0

取產1,

得x=-4,z=-2

???〃=(一4,1,一2)是平面AEF的一個法向量

因此，只有B選項的向量是平面AE尸的法向量，故選B.］

二、填空題

6.若直線/的方向向量為a=(l,-2,3).平面a的法向量為"=(2,x,0),若/〃a,則

x的值等于.

1［由/〃a可知a〃=0,即2-2x=0,所以x=L］

7.已知薪=(2,2,1),n=(4,5,3),則平面ABC的單位法向量是.

S—3,D或(T3,—t)［設平面ABC的單位法向量是"=(x,y,z),

2克+2y+z=0

則<4x+5y+3z=0

^+>,24-22=1

r1C1

x3x3

22

解得0y=_§，或0y=y

22

<~3lz~-3

所以平面ABC的單位法向量是(；，—1,飆(Ti-I)

8.若A(0,2,罕)，B(l,-1,D，《一-2,1,3是平面a內的三點，設平面a的法

向量a=(x,y,z),貝ljx：y：z=________.

2：3：(-4)[因為6=(1,-3,一3,

AC=(-2,—1,—J,又因為04B=0,=

U,AC01

p-3y-^z=0,

所以j7

[-2x—),一左=。，

解得J4

2(一勃=2:3:(-4).

所以x：y：z=^y:y:]

三、解答題

9.如圖，已知在正方體中，M,N,P分別是4人，BD,81c的中點,

利用向量法證明：

(1)MN〃平面CCIDIZ)；

(2)平面MNP〃平面CC\D\D.

［證明］(1)以。為坐標原點，DA,DC,的方向分別為x,y,z軸的正方向，建立

空間直角坐標系，并設正方體的棱長為2,則42Q0),C(0,2,0),

￡>(0,0,0),M(l,0,D,ML1,0),尸(1,2,1).

由正方體的性質，知AO_L平面CG。。,

所以D4=(2Q0)為平面CGDQ的一個法向量.

由于加=(0,1,-1),則加?法=0X2+lX0+(—1)X0=。，所以加JL法.

又MVC平面CCiDiD,

所以MN〃平面CC\D\D.

―?—?-?

(2)由于MP=(0,2,0),所以MP〃OC,

所以MP//DC.

由于平面CCiDiD,

所以MP〃平面CCiDiD.

又由(1)知，MN〃平面CC。。，

MNDMP=M,

所以由兩個平面平行的判定定理，知平面MNP〃平面CGAD

10.如圖，在正方體ABCQ-AIBCQI中，。為底面A8C。的中心，P是。9的中點.設

。是CG上的點，當點。在什么位置時，平面。出0〃平面小。？

|解|建立如圖所示的空間直角坐標系Cxyz,設正方體的棱長為2,

則0(1,1,0),A(2,0,0),P(0,0,l),仇2,2,0),￡),(0,0,2).

設Q(0,2,c),：,OA=[1,-1,0),。2=(一1,-1,1),BQ=(-2,0,c),BDi=(-2,-

2,2).

設平面RAO的法向量為〃i=(x,y,z),

ni-OA=0,fx—y=0,

則.

[—x—>'+z=0,

niOP=0,

令x=1,0'Jy=1,z=2,

平面PAO6勺一個法向量為"i=（l,1,2）.

若平面OiBQ〃平面PAO,則m也是平面DiBQ的一個法向量.

：.nrBQ=0,即-2+2c=0,；.c=l,

這時〃「防1=-2—2+4=0,符合題意.

,故當。為CG的中點時，平面。山?！ㄆ矫嬉設.

［6組素養(yǎng)提升練］

11.（多選題）如圖，在平行六面體ABCC-AWGA中，點M,P,Q分別為棱AB,CD,

BC中點，若平行六面體的各棱長均相等，則下列說法中正確的是（）

A.AiM〃D\P

B.A\M//ByQ

C.AM〃平面DCC\D\

D.AM〃平面OiPQBi

ACD［連接PM（圖略），因為M、P分別為A8、CO的中點，故PM平行且等于AD由

題意知AD平行且等于.故PM平行且等于.所以PMA\D\為平行四邊形，故A正

確.顯然4M與5Q為異面直線.故B錯誤.

由A知由于DP既在平面DCC\D\內，又在平面DiPQBi內.

且4M既不在平面。CCi￡>i內，又不在平面。iPQBi內.故CD正確.］

12.如圖所示，在正方體ABCC-AiBiCi。中，棱長為mM,N分別為AB和AC上的

點，AiA/=4V=與，則MN與平面B8iGC的位置關系是（）

A.相交B.平行C.垂直D.不能確定

B［分別以CIBI,CD,GC所在直線為x,y,z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示.

A]M=AN=-^'a,CN=,

又Ci(O,O,O),Di(O,a,0),：.CID!=(O,a,O),

：.MNQDi=O,：.MNLQDi.

是平面BBiGC的法向量，

且MMl平面881GC,；.MV〃平面BBCiCJ

13.(一題兩空)如圖，在長方體ABCD-AiBiGA中，分別以長方體的兩個頂點為始點和

終點的向量中:

(1)直線A8的方向向量有個；

(2)平面AA\B\B的法向量有個.

(1)8(2)8[⑴直線A8的方向向量有：嬴，2)，元，8高，A山，331,63,

共8個.

(2)平面A4山1B的法向量有：DA,AD,CB,BC,ZMi,A3i,QB\,B^C\,共8個.]

14.如圖，在長方體ABCDAjBiGA中，AAi=AD=l,E為C。的中點，點P在棱44|

上，且。尸〃平面BNE,則AP的長為.

5[建立以A8,AD,AAi所在直線分別為x,y,z軸的空間直角坐標系(圖略),

設|AB|=a,點尸坐標為(0,0,b)

則Bi(a,0,l),0(0,1,0),￡(f,1,0)

ABi=(a,0,l),AE=g,1,0)

DP=(0,-1,b),?。尸〃平面

.?.存在實數A.,〃，設法=M而i+〃/，

即(0,-1,初=如,0,1)+戲，1,0

=,+%〃，A

［〃+%=0,

：?b=X=3,即A尸=g.］

〃=-1,

4=b,

［C組思維提升練］

15.如圖，四棱錐P-ABCO中，以_1_平面ABC。，PB與底面所成的角為45。，底面ABCD

為直角梯形，ZABC^ZBAD=90°,勿=BC=；A￡>=1.問：在棱尸。上是否存在一點E,使

得CE〃平面以B?若存在，求出E點的位置；若不存在，請說明理由.

［解］分別以AB,4￡>,AP為x,y,z軸建立空間直角坐標系，如圖，則尸(0,0,1),C(1,1,0),

0(0,2,0),設頊0,y,z),則

PE=(0,y,z-1),PO=(0,2,-1),

VPE//PD,.■?y(~l)-2(z-l)=0,①

,.?薪)=(0,2,0)是平面PAB的法向量，

CE=(-l,y—l,z),

由CE〃平面PAB,可得

.,.(一1,y—1,z)-(0,2,0)=2(j>—1)=0,

，y=l,代入①式得是P。的中點，

即存在點E為PD中點時，CE〃平面PAB.

課1檢測二固雙基

1.若41,0,—1)、仇2,1,2)在直線/上，則直線/的一個方向向量是(A)

A.(2,2,6)B.(-1,1,3)

C.(3,1,1)D.(-3,0,1)

［解析］前=(2,1,2)—(1,0,-1)=(1,1,3).二選A.

2.直線八、，2的方向向量分別為4=(1,2,-2)、6=(—2,3,2),則(C)

A.lx//hB./|與/2相交，但不垂直

C./!±/2D.不能確定

［解析］'：ah=0,：.a±b,."山2.

3.若平面a、夕的法向量分別為a=R，-1，3)、6=(—1,2,—6),則(D)

A.a/邛B.a與夕相交但不垂直

C.a_L￡D.a〃夕或a與/?重合

［解析］"b=-2a,：.b//a,；.a〃夕或a與夕重合.

4.已知/〃a,且/的方向向量為(2,m,1),平面a的法向量為(1,2),則加=_二

8.

I解析］設。=(2,m,1),b=(l,2).因為/〃a,所以a_Lb.于是2+W"?+2=0,則

機=-8.

5.在長方體ABC。一A］5cl￡>i中，\DA\=2t\DC\=3f|。。4=4,M、N、E、尸分別為

棱4。1、A15、D\C\,81G的中點.

求證：平面AMN〃平面EF8D

I證明I證法一：建立如圖所示的空間直角坐標系，則A(2,0,0),B(2,3,0),M(l,0,4),

33

加(2,y4),E(0,y4),尸(1,3,4).

3

-—*3-*,—>

牙EF=(1,會0),AM=(—l,0,4),8/=(一1,0,4).

:?MN=EF,AM=BF.：.MN//EF,AM//BF.

：?MN〃平面EFBD,AM〃平面EFBD.又AM,MNU平面AMN,AMCMN=N,

???平面AMN〃平面EFBD.

33

證法二：由證法一可知，4(20,0),M(l,0,4),NQ,.4),0(0,0,0),E(0,.4),/(1,3,4),

則俞=(—1,0,4),俞=(0,|,4),DE=(0,1,4),DF=(1,3,4).

設平面AMN,平面EFB。的法向量分別為〃]=。1,yi,Z1)、〃2=。2,丁2,Z2),則

"1?病=0,—xi+4z)=0,

V即《3

y+4zi=0,

n\-AN=0,

人?/312

令沏=1,付Z1=],y\=-y

mDE=0,以2+4z2=0,

又J一即產

、/12,。/=0,1^2+3^2+4Z2=0,

33

令”=—1,得Z2=g、X2=2-

2133

二小=(1,-Q,R、"2=(1,—1.g).

2

二"1=弓"2,即"i〃”2,二平面AMN〃平面EFBZ).

第一章1.41.4.1第1課時

素養(yǎng)作業(yè)?提技能

A組?素養(yǎng)自測

一、選擇題

1.若直線/的方向向量為。=(1,0,2),平面a的法向量為“=(—2,0,-4),則(B)

A.l//aB./±a

C.lUaD./與a斜交

I解析］u=-2a,.,.u//a,/±ct.

2.下列命題中，正確的個數有(C)

(1)直線/的方向向量是唯一的；

(2)若點4、8是平面a上的任意兩點，”是平面a的法向量，則西?"=()；

(3)若向量〃八〃2為平面a的法向量，則以這兩個向量為方向向量的兩條不重合直線一

定平行；

(4)若兩條直線平行，則它們的方向向量的方向相同或相反.

A.1個B.2個

C.3個D.4個

［解析］只有①錯誤，其余都正確.

3.(多選題)若M(l,0,-1),N(2,1,2)在直線/上，則直線/的一個方向向量是(AB)

A.(2,2,6)B.(1,1,3)

C.(3,1,1)D.(-3,0,1)

［解析］"：M,N在直線/上，二疝=(1,1,3),

故向量(1,1,3),(2,2,6)都是直線/的一個方向向量.

4.已知向量。=(2,4,5)、5=(5,x,y)分別是直線小b的方向向量，若/“小則(D)

15

A.x=6,y=15B.x=3,y=~

C.x=10,y=15D.x=10,y=^

［解析］：.a//b,

5.設平面a的法向量為(1,2,—2),平面4的法向量為(一2,—4,k)9若a〃夕，則％=

(C)

A.2B.-4

C.4D.-2

12—2

［解析］*?u.//p,?二_2=_4=k，?,左=4,故選C.

二、填空題

6.已知A、B、C三點的坐標分別為41,2,3)、8(2,—1,1)、C(3,九A),若/,

則A等于一號―.

［解析］48=(1,—3,—2)、AC—(2,2—2,2—3),

VA^±AC,：.ABAC=09

14

???2—3(2—2)—2(2—3)=0,解得4=亍.

7.已知直線/的方向向量為〃=(2,0,-1),平面a的一個法向量為容=(一2,1,-4),

則/與a的位置關系為/〃a或/U,.

［解析］w-o=2X(-2)+0Xl+(-l)X(—4)=0,

?A//a或/UQ.

8.在如圖所示的坐標系中，ABCD-ABiGOi為正方體，棱長為1,則直線的一個

方向向量為(不唯一)(001)，直線8G的一個方向向量為(0,1,1).

［解析］,：DDi//AAi,筋產(0,0,1),直線的一個方向向量為(0,0,1);BC\//AD\,

ADi=(0,1,1),故直線BC\的一個方向向量為(0,1,1).

三、解答題

9.設0、b分別是不重合的直線人/2的方向向量，根據下列條件判斷/”/2的位置關

系：

(1)°=(4,6,一2)、b=(—2,—3,1)；

(2)0=(502)、)=(0,1,0)；

(3)。=(—2,—1,—1)、)=(4,—2,—8).

［解析］(1)*/a=(4,6,—2)、b=(—2,—3,1),

：.a=-2bt：.a//b,:

⑵?.?。=(5,0,2)、力=(0,1,0),

?二〃?力=0,al.b,/./i±/2.

(3)Va=(—2,—1,—1),6=(4,—2,-8),

-9?a與b不共線也不垂直.與b相交或異面.

10.如圖，在四棱錐P-4BCD中，底面ABC。是邊長為1的菱形，ZABC=^,PA1.

底面ABC。，B4=2,點M為雨的中點，點N為BC的中點.AFLCD于F,如圖建立空間

直角坐標系.求出平面PCD的一個法向量并證明MN〃平面PCD.

I解析】由題設知：在Rt^AFQ中，

AF=FD=^,

A(0,0,0),B(1,0,0),電，半，0),。(一乎，乎，0),

P(0,0,2),M(0,0,D.《1-當,乎,()).

疝=(1一坐坐,-1),即=(0,乎,一2),

訪=(一坐,察一2)

設平面PCO的一個法向量為〃=(x,y,z),

nPF=0,±y-2z=0，

則j~W廠廠

ji-PD=01—半在當廠2z=0,

令2=也，得“=(0,4,柩.

因為—乎，乎，一1)(0,4,也)=0,

又MW平面PCD,所以MN//平面PCD.

B組?素養(yǎng)提升

一、選擇題

1.從點A(2,—1,7)沿向量。=(8,9,—12)的方向取線段長|筋|=34,則B點的坐標為

(A)

A.(18,17,-17)B.(-14,-1917)

C.(6,1)D.f—2,—y,13)

［解析］設8點坐標為(x,y,z),則矗=%(%>0),

即(x—2,y+1,z—7)="8,9,一12),因為|AB|=34,

即［64#+8"2+144產=34,得4=2,

所以x=18,y=17,z=-17.

2.已知點A(4,l,3)、8(2,-5,1),C為線段AB上一點且但則點C的坐標為(C)

麗|,

A.&TDB.-3,2

_7$

C.律fID.I~TI

>

y,z),則由"尹=：得，(x—4,>>—

［解析I：C在線段AB上，...啟〃油,二設C(x,

|A8|'

1,z-3)=|(2-4,-5-1,

1-3),

，.210

工-4=一1x~~

即，,解得，尸一1

7

z=3

故選C.

3.(多選題)下面各組向量為直線/i與/2方向向量，則八與七平行的是(ABC)

A.a=(l,2,—2)、b=(—2,—4,4)

B.。=(1,0,0)、8=(-3,0,0)

C.a=(2,3,0)>>=(4,6,0)

D.〃=(-2,3,5)、b=(-4,6,8)

［解析］/］與/2不平行則其方向向量一定不共線.

A中：b=-2a,B中：。=一3"，C中：b=2a.故選ABC.

4.(多選題)對于任意空間向量a=(m，Z，G)、b=(bi，b,,h3),則下列說法正確的是

(CD)

.〃*“1。2一43

A.a//b^-r-r-

B.若。1=政=。3=1,則a為單位向量

C.a_L6㈡+〃2左+。3歷=0

D.若a為平面a的法向量，則向量(上履2,如3)/為非零實數)，也為平面a的法向

旦

里

［解析］由胃=￡=膏=〃〃從反之不一定成立，故A不正確；B顯然錯誤；CD是正確

的，故選CD.

二、填空題

5.平面a經過三點4(—1,0,1),3(1,1,2),C(2,一1,0),則平面a的法向量u可以是

(0,1,-~1).

|解析IAfi=(2,l,l),AC=(3,-1,-1),設平面a的法向量“=(x,y,z),則

uAB=2x+y+z=0f

令Z=-1,y=l,x=0,—1).

u-AC=3x—y—z=09

6.已知平面a經過點O(OQO),且e=(l,2,-3)是1的一個法向量，M(x,y,z)是平面

a內任意一點，則x,y,z滿足的關系式是x+2y—3z=0.

［解析］由題意得e,痂，則而十=。，y,z)-(l,2,-3)=0,

故x~\~2y—3z=0.

7.在空間直角坐標系O—xyz中，已知A(l,—2,3)、5(2/，一1),向量贏的坐標為

-4),若直線AB交平面xOz于點C,則點C的坐標為(！，。，9,

［解析］設點C的坐標為(x,0,z),則啟=(x—1,2,z-3),贏=(1,3,-4),因為病與

施共線，所以彳=|=言，解得,所以點C的坐標為g,0,￡).

三、解答題

8.如圖，已知P是正方形A8CZ)所在平面外一點，M、N分別是B4、8。上的點，且

PM:MA=BN：ND=5：8.

求證：直線MN〃平面P8C.

［證明］加=而+而+麗=一麗+筋+麗

=一7詼+PB+^jBD

5—?—?—?5——>■——*-

=一行(BA-BP)+PB+-^(BA+BC)

=^BP-BP+-^BC=^BC-^BP,

；.疝與的、麗共面，:.疝〃平面BCP,

'：MNQ平面BCP,：.MN//平面BCP.

9.如圖，在正方體ABCD-4'B'CD'中，求證：平面AB'D'〃平面8OC'.

I分析I證明面面平行常用的方法有兩種，一是證明它們的法向量共線；二是轉化為線

面平行、線線平行即可.

［證明］方法I:設正方體的棱長為1,建立如圖所示的空間直角坐標系，則41,0,0),

B'(1,1,1),D'(0,0,1)，3(1,1,0),￡>(0,0,0),C(0,1,1),

于是Am=(0,1,1),D'~B'=(1,1,0),法=(1,1,0),DC'=(0,1,1).

設平面AB'D'的法向量為yi,zi),則“」A#,,

n\AB'=yi+zi=0,

即J

,n\D'B'=xi+yi=0.

令yi=l,則X1=-1,Z|=-1,可得平面AB'D'的一個法向量為=-1).

設平面BOC'的法向量為"2=(尤2,刃，Z2).

―—n2DB—X2+y2—O,

則nLDB,mlDC,即'

2-?

nrDC=”+z2=0.

令丁2=1，則％2=—1,Z2=-1,可得平面BDC'的一個法向量為〃2=(—1,1,-1).

所以〃]=〃2,所以〃1〃物，

故平面A"D'〃平面跳)C'.

方法方由方法1知A萬=(-1,0,1).BC'=(-1,0,1).AB'=(0,1,1),DC'=(0,1,1),

所以4少=BC',AB'=DC',

即AO'//BC,AB'//DC',

所以AD'〃平面B￡>C',AB'〃平面BQC'.

又A。'QAB'=A,所以平面D'〃平面BOC'.

方法3：同方法1得平面AB'D'的一個法向量為"i=(一1,1,一1).易知法=(1,1,0),

DC'=(0,1,1).

因為為?5h=(-i,i,-1,o)=o,

nvDC'=(-1,1,-1)-(0,1,1)=0,

所以“I也是平面BOC'的一個法向量，

所以平面AB'D'〃平面BOC'.

第一章1.41.4.1第2課時