2024年高中數(shù)學(xué)專題1-1重難點(diǎn)題型培優(yōu)精講空間向量及其線性運(yùn)算教師版新人教A版選擇性必修第一冊(cè)

專題1.1空間向量及其線性運(yùn)算1．空間向量的概念(1)定義：在空間，具有大小和方向的量叫做空間向量．(2)長(zhǎng)度或模：向量的大?。?3)表示方法：①幾何表示法：空間向量用有向線段表示；②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起點(diǎn)是A，終點(diǎn)是B，也可記作eq\o(AB,\s\up6(→))，其模記為|a|或|eq\o(AB,\s\up6(→))|.(4)幾類特殊的空間向量名稱定義及表示零向量長(zhǎng)度為0的向量叫做零向量，記為0單位向量模為1的向量稱為單位向量相反向量與向量a長(zhǎng)度相等而方向相反的向量，稱為a的相反向量，記為－a共線向量(平行向量)假如表示若干空間向量的有向線段所在的直線相互平行或重合，那么這些向量叫做共線向量或平行向量．規(guī)定：對(duì)于隨意向量a，都有0∥a相等向量方向相同且模相等的向量稱為相等向量2．空間向量的線性運(yùn)算空間向量的線性運(yùn)算加法a＋b＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))減法a－b＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))數(shù)乘當(dāng)λ>0時(shí)，λa＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))；當(dāng)λ<0時(shí)，λa＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(MN,\s\up6(→))；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0運(yùn)算律交換律：a＋b＝b＋a；結(jié)合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a；支配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.3．共線向量(1)空間兩個(gè)向量共線的充要條件對(duì)于空間隨意兩個(gè)向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使a＝λb.(2)直線的方向向量在直線l上取非零向量a，我們把與向量a平行的非零向量稱為直線l的方向向量．4．共面對(duì)量(1)共面對(duì)量如圖，假如表示向量a的有向線段eq\o(OA,\s\up6(→))所在的直線OA與直線l平行或重合，那么稱向量a平行于直線l.假如直線OA平行于平面α或在平面α內(nèi)，那么稱向量a平行于平面α.平行于同一個(gè)平面的向量，叫做共面對(duì)量．(2)向量共面的充要條件假如兩個(gè)向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使p＝xa＋yb.【題型1空間向量概念的理解】【方法點(diǎn)撥】在空間中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相關(guān)概念完全一樣，兩向量相等的充要條件是兩個(gè)向量的方向相同、模相等．兩向量互為相反向量的充要條件是大小相等，方向相反．【例1】下列命題中正確的是（）A．若a→∥b→，b→∥B．向量a→、b→、cC．空間隨意兩個(gè)向量共面 D．若a→∥b→【解題思路】A．若a→∥b→，b→B．向量a→、b→、C．依據(jù)共面對(duì)量基本定理即可推斷出；D．利用向量共線定理可知：若a→∥b→，則存在唯一的實(shí)數(shù)λ，使使【解答過程】解：A．若a→∥b→，b→B．向量a→、b→、C．依據(jù)共面對(duì)量基本定理可知：空間隨意兩個(gè)向量共面，正確；D．若a→∥b→，則存在唯一的實(shí)數(shù)λ，使使綜上可知：只有C正確．故選：C．【變式1-1】下列命題正確的是（）A．若a→與b→共線，b→與c→共線，則aB．向量a→，C．零向量沒有確定的方向 D．若a→∥b→【解題思路】從向量共線反例推斷A，共面對(duì)量定理推斷B，零向量的定義推斷C，共線向量定理推斷D．推出正確命題選項(xiàng)．【解答過程】解：若a→與b→共線，b→與c→共線，則a→與c→共線，假如b→向量a→零向量沒有確定的方向，滿足零向量的定義．若a→∥b→，則存在唯一的實(shí)數(shù)λ使得故選：C．【變式1-2】下列關(guān)于空間向量的說法中正確的是（）A．若向量a→，b→B．若|a→|=|bC．若向量AB→，CD→滿足D．相等向量其方向必相同【解題思路】依據(jù)空間中隨意兩個(gè)向量必定共面，可推斷A；依據(jù)相等向量和相反向量的定義，可推斷B；依據(jù)向量不能比較大小，可推斷C；依據(jù)相等向量的概念，可推斷D．【解答過程】解：對(duì)于A，若向量a→，b→平行，則若|a→|=|b→|，則向量不能比較大小，故C錯(cuò)誤；相等向量其方向必相同，故D正確．故選：D．【變式1-3】給出下列命題：①若空間向量a②空間隨意兩個(gè)單位向量必相等③若空間向量a④在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，必有BD⑤向量a→=（1，1，0）的模為其中假命題的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解題思路】在①中，向量a→與b→方向不愿定相同；在②中，空間隨意兩個(gè)單位向量的方向不愿定相同；在③中，若空間向量a→，b→，c→滿足a→?c→=b→?c→【解答過程】解：在①中，若空間向量a→，b→滿足|a在②中，空間隨意兩個(gè)單位向量的模必相等，但方向不愿定相同，故②是假命題；在③中，若空間向量a→，b→，c→在④中，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，由向量相等的定義得必有BD→=B在⑤中，由模式的定義得向量a→=（1，1，0）的模為2，故故選：C．【題型2空間向量的加減運(yùn)算】【方法點(diǎn)撥】①巧用相反向量：向量的三角形法則是解決空間向量加法、減法的關(guān)鍵，靈敏運(yùn)用相反向量可使向量首尾相接．②巧用平移：利用三角形法則和平行四邊形法則進(jìn)行向量加、減法運(yùn)算時(shí)，務(wù)必留意和向量、差向量的方向，必要時(shí)可接受空間向量的自由平移獲得運(yùn)算結(jié)果．【例2】如圖，在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB→A．AC1→ B．A1C→【解題思路】依據(jù)已知條件，結(jié)合向量的加減法法則，即可求解．【解答過程】解：∵ABCD﹣A1B1C1D1為平行四面體，∴AB→故選：B．【變式2-1】在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，BC→A．BD→ B．DB→ C．AD→【解題思路】利用空間向量的線性運(yùn)算法則求解．【解答過程】解：∵DC→∴BC→故選：C．【變式2-2】如圖，在空間四邊形P﹣ABC中，PA→A．PC→ B．PA→ C．AB→【解題思路】干脆利用向量的線性運(yùn)算求出結(jié)果．【解答過程】解：PA→故選：A．【變式2-3】如圖，在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB→A．AC→ B．A1C→ C．【解題思路】依據(jù)已知條件，結(jié)合向量的加減法法則，即可求解．【解答過程】解：由題意可得，AB→故選：C．【題型3空間向量的線性運(yùn)算】【方法點(diǎn)撥】①數(shù)形結(jié)合：利用數(shù)乘運(yùn)算解題時(shí)，要結(jié)合具體圖形，利用三角形法則、平行四邊形法則，將目標(biāo)向量轉(zhuǎn)化為已知向量．②明確目標(biāo)：在化簡(jiǎn)過程中要有目標(biāo)意識(shí)，奇異利用線段的中點(diǎn)進(jìn)行解題．【例3】在四棱錐A﹣BCD中，M，N分別為AB，CD的中點(diǎn)，則（）A．MN→=12C．MN→=-【解題思路】干脆利用向量的線性運(yùn)算的應(yīng)用求出結(jié)果．【解答過程】解：在四棱錐A﹣BCD中，M，N分別為AB，CD的中點(diǎn)；所以AN→=1故MN→故選：A．【變式3-1】如圖，在平行六面體（底面為平行四邊形的四棱柱）ABCD﹣A1B1C1D1中，E為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，BC→=3CEA．AB→+13C．AB→+1【解題思路】利用空間向量的線性運(yùn)算，空間向量基本定理求解即可．【解答過程】解：∵BC→∴D==AB故選：A．【變式3-2】如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E，F(xiàn)分別是BC，CC1的中點(diǎn)，AG→=2GEA．13AB→-C．-23AB【解題思路】利用向量加法法則能求出結(jié)果．【解答過程】解：在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E，F(xiàn)分別是BC，CC1的中點(diǎn)，AG→則GF===-故選：D．【變式3-3】在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，CM→=MDA．AM→=12C．AQ→=1【解題思路】依據(jù)題意利用空間向量基本定理求解即可．【解答過程】解：∵，CM→=MD→1，∴CM∴AM→=AB→∵CQ→=4QA→1，∴CQ所以AQ→故選：D．【題型4空間向量的線性運(yùn)算（求參數(shù)）】【例4】已知矩形ABCD，P為平面ABCD外一點(diǎn)，且PA⊥平面ABCD，M，N分別為PC，PD上的點(diǎn)，且NM→=xAB→+yAD→+zAP→，PM→=2MCA．-23 B．23 C．【解題思路】由空間向量的線性運(yùn)算干脆計(jì)算即可．【解答過程】解：由題可知PC→=AB所以NM→所以x=23故選：B．【變式4-1】如圖，在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別在棱BB1和DD1上，且BE=13BB1，DF=12DDA．﹣1 B．0 C．13 D．【解題思路】依據(jù)已知條件，結(jié)合空間向量及其線性運(yùn)算法則，即可求解．【解答過程】解：EF====-=x即x＝﹣1，y＝1，z=1∴x+故選：D．【變式4-2】如圖的平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，點(diǎn)M在BB1上，點(diǎn)N在DD1上，且BM=12BB1，D1N=13D1D，若MN→=xA．17 B．16 C．23【解題思路】利用向量的三角形法則、向量的運(yùn)算性質(zhì)即可得出．【解答過程】解：∵M(jìn)N→=AN→-∴MN=-∴x＝﹣1，y＝1，z=1∴x+y+z=1故選：B．【變式4-3】在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，M是面BB1C1C的中心，若AM→=aAB→+b①a+b+c＝2；②13＜b③a＝1；④a＝2c；⑤a＝b．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【解題思路】依據(jù)空間向量的線性運(yùn)算表示向量AM→【解答過程】解：如圖所示：AM==AB即a＝1，b=12，c所以a+b+c＝2，①正確，13＜b＜2a＝1，③正確，a＝2c，④正確，a＝2b，⑤錯(cuò)誤，故選：D．【題型5向量共線的判定及應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】①推斷或證明兩向量，(≠)共線，就是找尋實(shí)數(shù)λ，使＝λ成立，為此常結(jié)合題目圖形，運(yùn)用空間向量的線性運(yùn)算法則將目標(biāo)向量化簡(jiǎn)或用同一組向量表達(dá)．②推斷或證明空間中的三點(diǎn)(如P，A，B)共線的方法：是否存在實(shí)數(shù)λ，使eq\o(PA,\s\up6(→))＝λeq\o(PB,\s\up6(→))；【例5】已知非零向量a→=3m→-2n→-4p→，b→A．﹣13 B．﹣5 C．8 D．13【解題思路】依據(jù)向量共線可得b→=λa→，從而可解方程組求出x，y【解答過程】解：∵m→，n→，p→不共面，故m→，∵a→∥b→，故存在λ≠即（x+1）m→+8n→+2yp→=3λ∴x+1=3λ8=-2λ則x+y＝﹣5．故選：B．【變式5-1】在四面體O﹣ABC中，點(diǎn)M在OA上，且OM＝2MA，N為BC的中點(diǎn)，若OG→=13OA→+x4A．1 B．2 C．23 D．【解題思路】由已知可得ON→=12(OB→+OC→)，OM→=【解答過程】解：ON→=1假設(shè)G與M，N共線，則存在實(shí)數(shù)λ使得OG→與OG→=13OA解得x＝1．故選：A．【變式5-2】已知空間的一組基底{a→，b→，c→}A．2 B．﹣2 C．1 D．0【解題思路】依據(jù)m→與n→共線可得出n→=km→【解答過程】解：因?yàn)閙→與n→共線，空間的一組基底所以xa所以x+y＝0．故選：D．【變式5-3】如圖所示，在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，A1E→=23A1D【解題思路】法一：分別求出EF→，F(xiàn)B法二：求出EF→=23FB→，結(jié)合EF∩FB＝F，從而證明【解答過程】證明：【方法一】在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，連接EF，F(xiàn)B，A1B．因?yàn)锳1E→所以EF==2FB==3明顯，EF→=2又EF∩FB＝F，所以E，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線．【方法二】證明：在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，連接EF，F(xiàn)B．由題意，A1E→易得EF→所以EF→∥FB→．又EF∩FB＝F，故E，【題型6向量共面的判定及應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】①若已知點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)，則有eq\o(AP,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))或eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))(x＋y＋z＝1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系數(shù)法求出參數(shù)．②證明三個(gè)向量共面(或四點(diǎn)共面)，需利用共面對(duì)量定理，證明過程中要靈敏進(jìn)行向量的分解與合成，將其中一個(gè)向量用另外兩個(gè)向量來表示．【例6】已知M，A，B，C為空間中四點(diǎn)，隨意三點(diǎn)不共線，且OM→=-2OA→+xOB→+yOC→，若M，A，A．0 B．1 C．2 D．3【解題思路】由共面對(duì)量定理能求出x+y．【解答過程】解：M，A，B，C為空間中四點(diǎn)，隨意三點(diǎn)不共線，且OM→=-2OA→+xOB→+yOC→，則由共面對(duì)量定理得：﹣2+x+y＝1．解得x+y＝3．故選：D．【變式6-1】下列條件中，確定使空間四點(diǎn)P、A、B、C共面的是（）A．OA→+OB→C．OA→+OB【解題思路】要使空間中的P、A、B、C四點(diǎn)共面，只需滿足OP→=xOA→+yOB→【解答過程】解：對(duì)于A選項(xiàng)，OP→=-OA→-OB→-OC→，（﹣1）+（﹣1）+（﹣1）＝﹣3對(duì)于B選項(xiàng)，OP→=OA→+OB→+OC→，1+1+1＝3≠對(duì)于C選項(xiàng)，OP→=12OA→+12OB→對(duì)于D選項(xiàng)，OP→=13OA→+13OB→故選：D．【變式6-2】對(duì)于空間隨意一點(diǎn)O，若OP→=12OA→+13A．確定不共面 B．確定共面 C．不愿定共面