2024屆江蘇省部分重點(diǎn)中學(xué)高三上學(xué)期第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省部分重點(diǎn)中學(xué)2024屆高三上學(xué)期第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗解不等式，得，即，而，所以.故選：A.2.已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗B〖解析〗當(dāng)時，可得，整理得到，即，當(dāng)時，，，此時，所以“”是“”的必要不充分條件，故選：B.3.設(shè)體積相等的正方體、正四面體和球的表面積分別為，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗令正方體、正四面體和球的體積為1，設(shè)正方體的棱長為，則，解得，表面積，設(shè)正四面體的棱長為，則正四面體底面正三角形半徑，正四面體的高，體積，解得，表面積，設(shè)球半徑為，則，解得，表面積，所以.故選：C4.若且，則下列不等式恒成立的是（）A.B.C.D.〖答案〗D〖解析〗由且，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.由，故，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，選項A，C均不成立；由則，選項B不成立(當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立)，選項D成立.故選：D5.若為奇函數(shù)，則的解集為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由為奇函數(shù)，得，解得，于是，而是減函數(shù)，是增函數(shù)，函數(shù)是R上減函數(shù)，不等式，因此，所以不等式的解集為.故選：D.6.如圖所示是函數(shù)的圖像，則函數(shù)可能是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由圖可知：是非奇非偶函數(shù)，且在y軸右側(cè)，先正后負(fù)．若，則，所以函數(shù)為偶函數(shù)，與條件矛盾，A錯，若，則，所以函數(shù)為奇函數(shù)，與條件矛盾，B錯，若，則，當(dāng)時，，與所給函數(shù)圖象不一致，D錯，若，則，當(dāng)時，，又，，所以函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，與所給函數(shù)圖象基本一致，故選：C．7.已知，，，則，，的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為，，，所以.故選：A.8.已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)定義域均為R，滿足，記，其導(dǎo)函數(shù)為且的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，則（）A.0 B.3 C.4 D.1〖答案〗D〖解析〗由關(guān)于原點(diǎn)對稱，則關(guān)于軸對稱，且，所以關(guān)于對稱，關(guān)于對稱，且，又，即，則關(guān)于對稱，綜上，，，則，所以，而，故，又，則關(guān)于對稱，即，所以，則，所以.故選：D.二、多選題9.設(shè)，是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，給出下列命題，其中正確的命題為（）A.若，，則 B.若，，，則C.若，，則 D.若，，則〖答案〗ABD〖解析〗對于A，由，得存在過直線的平面與平面相交，令交線為，則，由，內(nèi)，得，因此，A正確；對于B，由，，，得，B正確；對于C，由于，令，當(dāng)時，有，此時或，C錯誤；對于D，由，，得，D正確.故選：ABD10.已知實(shí)數(shù)a，b>0，2a+b=4，則下列說法中正確的有（）A.有最小值 B.a2+b2有最小值C.4a+2b有最小值8 D.lna+lnb有最小值ln2〖答案〗BC〖解析〗因為實(shí)數(shù)a，b>0，2a+b=4，所以有，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即當(dāng)時取等號，故選項A不正確；因為2a+b=4，所以，當(dāng)時，a2+b2有最小值，故選項B正確；，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即時取等號，故選項C正確；因為實(shí)數(shù)a，b>0，2a+b=4，所以，當(dāng)，時，lna+lnb有最大值ln2，因此選項D不正確，故選：BC11.已知實(shí)數(shù)，，下列說法一定正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，，且，則〖答案〗BD〖解析〗對于A，取，則，A錯誤；對于B，，，則，于是，B正確；對于C，函數(shù)在上單調(diào)遞增，由，得，于是，即，C錯誤；對于D，由，，且，得，，，D正確.故選：BD.12.已知函數(shù)，則（）A.有兩個零點(diǎn) B.過坐標(biāo)原點(diǎn)可作曲線的切線C.有唯一極值點(diǎn) D.曲線上存在三條互相平行的切線〖答案〗ACD〖解析〗A：，對于函數(shù)，令，令或，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增，則函數(shù)在，處分別取極大值和極小值，由，知只有一個零點(diǎn)，所以有兩個零點(diǎn)，故A正確；B：假設(shè)B成立，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線方程為，即，∴，但顯然，故B錯誤；C：，令，令或，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增，∴函數(shù)在處分別取到極大值和極小值，由知只有一個零點(diǎn)，有一個極值點(diǎn)，故C正確；D：若D正確，則存在實(shí)數(shù)m使得有三個不同的根，即函數(shù)與圖象有3個交點(diǎn)，由選項C可知，，故D正確.故選：ACD.三、填空題13.已知函數(shù)的圖象在處的切線方程為，則__________.〖答案〗-1〖解析〗因為，所以.又的圖象在處的切線方程為，所以，解得，則，所以，代入切線方程得，解得，所以,故〖答案〗為：-1.14.已知，，，則的最小值是______.〖答案〗〖解析〗，.又，，，當(dāng)且僅當(dāng)，時等號成立，所以的最小值是.故〖答案〗為：.15.半徑為的球的球面上有四點(diǎn)，已知為等邊三角形且其面積為，則三棱錐體積的最大值為________.〖答案〗〖解析〗設(shè)的中心為，三棱錐外接球的球心為，則當(dāng)體積最大時，點(diǎn)，，在同一直線上，且垂直于底面，如圖，因為為等邊三角形且其面積為，所以的邊長滿足，故，所以，，故，故三棱錐的高，所以故〖答案〗：16.已知為自然對數(shù)的底數(shù)，若對任意的，總存在唯一的，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.〖答案〗〖解析〗由，得，令，求導(dǎo)得，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)值從減小到0，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)值從0增大到，令，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)的值域為，由對任意的，總存在唯一的，使得成立，得，因此，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.四、解答題17.已知函數(shù)．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）求的極值．解：（1）的定義域為，，令，解得或，令，解得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）由（1）可知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．又，，所以的極大值為，極小值為0．18.設(shè)函數(shù).（1）若對一切實(shí)數(shù)x,f(x)＜0恒成立,求m的取值范圍;（2）若對于m∈[－2,2],不等式f(x)＜－m＋5恒成立,求x的取值范圍.解：（1）當(dāng)時，，顯然成立；當(dāng)時，應(yīng)有且，解得.綜上可知，.（2）由可知，，即，設(shè)，則命題等價于當(dāng)時，恒成立，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，即，.19.已知函數(shù)，．（1）當(dāng)時，有，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）若不等式的解集為[1，3]，正數(shù)a，b滿足，求的最小值．解：（1）由題意得：∵在上恒成立，∴在上恒成立，∴．又∵，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立．∴，即實(shí)數(shù)m的取值范圍為．（2）令，∴，若時，解集為，不合題意．若時，有，∴，又∵，∴，∴綜上所述：．∴，∴，∵，∴解得，∴．∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即a＝3時等號成立，此時．∴當(dāng)a＝3，b＝4時，的最小值為7．20.在三棱柱中，平面平面，側(cè)面為菱形，，，，是的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）點(diǎn)在線段上（異于點(diǎn)，），與平面所成角為，求的值.（1）證明：因為側(cè)面為菱形，，，所以為邊長為的等邊三角形，作交于點(diǎn)，則點(diǎn)為的中點(diǎn)，因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，平面，可得，又，，平面，可得平面，因為平面，所以，因為側(cè)面為菱形，所以，，平面，所以平面；（2）解：由（1）知，平面，，取做的中點(diǎn)，連接，則，所以平面，以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)，可得，所以，設(shè)平面的一個法向量為，則，即，令，可得，可得，解得舍去，或，所以.21.已知.（1）設(shè)，，若函數(shù)存在零點(diǎn)，求的取值范圍；（2）若是偶函數(shù)，設(shè)，若函數(shù)與的圖象只有一個公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）由題意函數(shù)存在零點(diǎn)，即有解.又，易知在上是減函數(shù)，又，，即，所以的取值范圍是.（2），定義域為，為偶函數(shù)檢驗：，則為偶函數(shù)，因為函數(shù)與的圖象只有一個公共點(diǎn)，所以方程只有一解，即只有一解，令，則有一正根，當(dāng)時，，不符合題意，當(dāng)時，若方程有兩相等的正根，則且，解得，若方程有兩不相等實(shí)根且只有一正根時，因為圖象恒過點(diǎn)，只需圖象開口向上，所以即可，解得，綜上，或，即的取值范圍是.『點(diǎn)石成金』：本題在處理兩個函數(shù)圖象只有一個交點(diǎn)時，轉(zhuǎn)化為對應(yīng)方程只有一解，利用換元法轉(zhuǎn)化為含有參數(shù)的一元二次方程只有一正根，當(dāng)時，結(jié)合二次函數(shù)圖象，分類討論即可，在分類討論時注意分類標(biāo)準(zhǔn)的選擇，做到不重不漏.22.已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求函數(shù)的極小值；（2）若有兩個零點(diǎn)，求的取值范圍.解：（1）當(dāng)時，，令，解得，列表如下：0極小值所以的極小值為.（2）函數(shù)有兩個零點(diǎn)即有兩個零點(diǎn).因為，①當(dāng)時，在上是增函數(shù)，最多只有一個零點(diǎn)，不符合題意；②當(dāng)時，由得，當(dāng)時，在上是增函數(shù)；當(dāng)時，在上是減函數(shù).（i）若，則，最多只有一個零點(diǎn)；（ii）若，因為，且，所以在區(qū)間內(nèi)有一個零點(diǎn).令，則，當(dāng)時，在上是增函數(shù)；當(dāng)時，在上是減函數(shù).所以，故.所以，又，所以在區(qū)間內(nèi)有一個零點(diǎn).綜上可知：當(dāng)時，有兩個零點(diǎn)，故的取值范圍為.江蘇省部分重點(diǎn)中學(xué)2024屆高三上學(xué)期第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗解不等式，得，即，而，所以.故選：A.2.已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗B〖解析〗當(dāng)時，可得，整理得到，即，當(dāng)時，，，此時，所以“”是“”的必要不充分條件，故選：B.3.設(shè)體積相等的正方體、正四面體和球的表面積分別為，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗令正方體、正四面體和球的體積為1，設(shè)正方體的棱長為，則，解得，表面積，設(shè)正四面體的棱長為，則正四面體底面正三角形半徑，正四面體的高，體積，解得，表面積，設(shè)球半徑為，則，解得，表面積，所以.故選：C4.若且，則下列不等式恒成立的是（）A.B.C.D.〖答案〗D〖解析〗由且，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.由，故，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，選項A，C均不成立；由則，選項B不成立(當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立)，選項D成立.故選：D5.若為奇函數(shù)，則的解集為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由為奇函數(shù)，得，解得，于是，而是減函數(shù)，是增函數(shù)，函數(shù)是R上減函數(shù)，不等式，因此，所以不等式的解集為.故選：D.6.如圖所示是函數(shù)的圖像，則函數(shù)可能是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由圖可知：是非奇非偶函數(shù)，且在y軸右側(cè)，先正后負(fù)．若，則，所以函數(shù)為偶函數(shù)，與條件矛盾，A錯，若，則，所以函數(shù)為奇函數(shù)，與條件矛盾，B錯，若，則，當(dāng)時，，與所給函數(shù)圖象不一致，D錯，若，則，當(dāng)時，，又，，所以函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，與所給函數(shù)圖象基本一致，故選：C．7.已知，，，則，，的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為，，，所以.故選：A.8.已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)定義域均為R，滿足，記，其導(dǎo)函數(shù)為且的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，則（）A.0 B.3 C.4 D.1〖答案〗D〖解析〗由關(guān)于原點(diǎn)對稱，則關(guān)于軸對稱，且，所以關(guān)于對稱，關(guān)于對稱，且，又，即，則關(guān)于對稱，綜上，，，則，所以，而，故，又，則關(guān)于對稱，即，所以，則，所以.故選：D.二、多選題9.設(shè)，是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，給出下列命題，其中正確的命題為（）A.若，，則 B.若，，，則C.若，，則 D.若，，則〖答案〗ABD〖解析〗對于A，由，得存在過直線的平面與平面相交，令交線為，則，由，內(nèi)，得，因此，A正確；對于B，由，，，得，B正確；對于C，由于，令，當(dāng)時，有，此時或，C錯誤；對于D，由，，得，D正確.故選：ABD10.已知實(shí)數(shù)a，b>0，2a+b=4，則下列說法中正確的有（）A.有最小值 B.a2+b2有最小值C.4a+2b有最小值8 D.lna+lnb有最小值ln2〖答案〗BC〖解析〗因為實(shí)數(shù)a，b>0，2a+b=4，所以有，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即當(dāng)時取等號，故選項A不正確；因為2a+b=4，所以，當(dāng)時，a2+b2有最小值，故選項B正確；，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即時取等號，故選項C正確；因為實(shí)數(shù)a，b>0，2a+b=4，所以，當(dāng)，時，lna+lnb有最大值ln2，因此選項D不正確，故選：BC11.已知實(shí)數(shù)，，下列說法一定正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，，且，則〖答案〗BD〖解析〗對于A，取，則，A錯誤；對于B，，，則，于是，B正確；對于C，函數(shù)在上單調(diào)遞增，由，得，于是，即，C錯誤；對于D，由，，且，得，，，D正確.故選：BD.12.已知函數(shù)，則（）A.有兩個零點(diǎn) B.過坐標(biāo)原點(diǎn)可作曲線的切線C.有唯一極值點(diǎn) D.曲線上存在三條互相平行的切線〖答案〗ACD〖解析〗A：，對于函數(shù)，令，令或，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增，則函數(shù)在，處分別取極大值和極小值，由，知只有一個零點(diǎn)，所以有兩個零點(diǎn)，故A正確；B：假設(shè)B成立，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線方程為，即，∴，但顯然，故B錯誤；C：，令，令或，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增，∴函數(shù)在處分別取到極大值和極小值，由知只有一個零點(diǎn)，有一個極值點(diǎn)，故C正確；D：若D正確，則存在實(shí)數(shù)m使得有三個不同的根，即函數(shù)與圖象有3個交點(diǎn)，由選項C可知，，故D正確.故選：ACD.三、填空題13.已知函數(shù)的圖象在處的切線方程為，則__________.〖答案〗-1〖解析〗因為，所以.又的圖象在處的切線方程為，所以，解得，則，所以，代入切線方程得，解得，所以,故〖答案〗為：-1.14.已知，，，則的最小值是______.〖答案〗〖解析〗，.又，，，當(dāng)且僅當(dāng)，時等號成立，所以的最小值是.故〖答案〗為：.15.半徑為的球的球面上有四點(diǎn)，已知為等邊三角形且其面積為，則三棱錐體積的最大值為________.〖答案〗〖解析〗設(shè)的中心為，三棱錐外接球的球心為，則當(dāng)體積最大時，點(diǎn)，，在同一直線上，且垂直于底面，如圖，因為為等邊三角形且其面積為，所以的邊長滿足，故，所以，，故，故三棱錐的高，所以故〖答案〗：16.已知為自然對數(shù)的底數(shù)，若對任意的，總存在唯一的，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.〖答案〗〖解析〗由，得，令，求導(dǎo)得，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)值從減小到0，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)值從0增大到，令，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)的值域為，由對任意的，總存在唯一的，使得成立，得，因此，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.四、解答題17.已知函數(shù)．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）求的極值．解：（1）的定義域為，，令，解得或，令，解得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）由（1）可知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．又，，所以的極大值為，極小值為0．18.設(shè)函數(shù).（1）若對一切實(shí)數(shù)x,f(x)＜0恒成立,求m的取值范圍;（2）若對于m∈[－2,2],不等式f(x)＜－m＋5恒成立,求x的取值范圍.解：（1）當(dāng)時，，顯然成立；當(dāng)時，應(yīng)有且，解得.綜上可知，.（2）由可知，，即，設(shè)，則命題等價于當(dāng)時，恒成立，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，即，.19.已知函數(shù)，．（1）當(dāng)時，有，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）若不等式的解集為[1，3]，正數(shù)a，b滿足，求的最小值．解：（1）由題意得：∵在上恒成立，∴在上恒成立，∴．又∵，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立．∴，即實(shí)數(shù)m的取值范圍為．（2）令，∴，若時，解集為，不合題意．若時，有，∴，又∵，∴，∴綜上所述：．∴，∴，∵，∴解得，∴．∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即a＝3時等號成立，此時．∴當(dāng)a＝3，b＝4時，的最小值為7．20.在三棱柱中，平面平面，側(cè)面為菱形，，，，是的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）點(diǎn)在線段上（異于點(diǎn)，），與平面所成角為，求的值.（1）證明：因為側(cè)面為菱形，，，所以為邊長為的等邊三角形，作交于點(diǎn)，則點(diǎn)為的中點(diǎn)，因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，平面，可得，又，，平面，