2024八年級數(shù)學(xué)下冊專題08正方形的性質(zhì)與判定壓軸題五種模型全攻略含解析新版浙教版

Page1專題08正方形的性質(zhì)與判定壓軸題三種模型全攻略【類型一正方形的性質(zhì)與判定綜合考模型】例題：（四川達(dá)州·九年級期末）如圖，在中，是的中點(diǎn)、是中點(diǎn)，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，連接．(1)求證：；(2)若，試推斷四邊形的形態(tài)，并證明你的結(jié)論；(3)干脆回答：當(dāng)滿足________時，四邊形是正方形．【答案】(1)見解析；(2)四邊形是菱形，見解析；(3)AC=BC【解析】【分析】（1）利用推出∠DBE=∠AFE，由此證明△BED≌△FEA（AAS），得到BD=AF，即可得到結(jié)論；（2）依據(jù)直角三角形斜邊中線得到AD=CD，即可證得四邊形是菱形；（3）當(dāng)△ABC滿足AC=BC時，理由等腰三角形的三線合一的性質(zhì)得到AD⊥BC，即可證得四邊形是正方形．(1)證明：∵，∴∠DBE=∠AFE，∵是中點(diǎn)，∴AE=DE，∵∠BED=∠AEF，∴△BED≌△FEA（AAS），∴BD=AF，∵是的中點(diǎn)，∴BD=CD，∴CD=AF；(2)四邊形是菱形，理由如下：∵AF∥CD，AF=CD，∴四邊形ADCF是平行四邊形，∵AC⊥BC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，∴AD=BD=CD，∴四邊形是菱形；(3)當(dāng)△ABC滿足AC=BC時，四邊形是正方形，理由如下：∵∠BAC=90°，AC=BC，AD為中線，∴AD⊥BC，∴菱形是正方形，故答案為：AC=BC．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，證明四邊形是菱形，證明四邊形是正方形，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，熟記各定理并嫻熟應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練1】（江蘇·南京外國語學(xué)校八年級階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB邊上的中線，E是CD的中點(diǎn)，過點(diǎn)C作CFAB，交AE的延長線于點(diǎn)F，連接BF．(1)求證：四邊形BDCF是菱形；(2)當(dāng)△ABC滿足什么條件時，四邊形BDCF是正方形？請說明理由．【答案】(1)見解析；(2)AC＝BC，理由見解析【解析】【分析】（1）由“AAS”可證△CEF≌△DEA，可得CF＝AD，由直角三角形的性質(zhì)可得CD＝AD＝BD＝CF，由菱形的判定可證四邊形BDCF是菱形；（2）由等腰三角形的性質(zhì)可得CD⊥AB，即可證四邊形BDCF是正方形．(1)證明：∵CFAB∴∠CFA＝∠BAF，∠ADC＝∠FCD，∵E是CD的中點(diǎn)，∴CE＝DE∴△CEF≌△DEA（AAS）∴CF＝AD，∵CD是Rt△ABC的中線∴CD＝AD＝BD∴CF＝BD，∵CFAB∴四邊形BDCF是平行四邊形，∵CD＝BD∴四邊形BDCF是菱形(2)當(dāng)AC＝BC時，四邊形BDCF是正方形，理由如下：∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴△ABC是等腰直角三角形∵CD是AB邊上的中線∴CD⊥AB，∴∠BDC＝90°∵四邊形BDCF是菱形∴四邊形BDCF是正方形．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，菱形的判定，直角三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，靈敏運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練2】（浙江杭州·一模）已知：如圖，邊長為的菱形的對角線與相交于點(diǎn)，若．(1)求證：四邊形是正方形．(2)是上一點(diǎn)，，且，垂足為，與相交于點(diǎn)，求線段的長．【答案】(1)見解析(2)【解析】【分析】（1）由菱形的性質(zhì)得出，，，得出，證出，求出，即可得出結(jié)論；（2）由正方形的性質(zhì)得出，，，，得出，，證出，證明≌，即可得出結(jié)論．(1)證明：四邊形是菱形，，，，，，，，，四邊形是正方形；(2)解：四邊形是正方形，，，，，，，，，垂足為，，，，，在和中，，≌，．，．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的判定與性質(zhì)、菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等學(xué)問；嫻熟駕馭正方形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練3】（廣東深圳·二模）如圖1，正方形ABCD中，AC為對角線，點(diǎn)P在線段AC上運(yùn)動，以DP為邊向右作正方形DPFE，連接CE；(1)【初步探究】則AP與CE的數(shù)量關(guān)系是，AP與CE的夾角度數(shù)為；(2)【探究發(fā)覺】點(diǎn)P在線段AC及其延長線上運(yùn)動時，如圖1，圖2，探究線段DC，PC和CE三者之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)【拓展延長】點(diǎn)P在對角線AC的延長線上時，如圖3，連接AE，若AB=，AE=，求四邊形DCPE的面積．【答案】(1)AP=CE，90°(2)，理由見解析(3)12【解析】【分析】（1）依據(jù)正方形的性質(zhì)，可得，，再依據(jù)同角的余角相等，可得，再依據(jù)“邊角邊”證得，即可求解；（2）跟（1）小題思路一樣，先證得，可得，再依據(jù)是等腰直角三角形，可得，即可求解；（3）由四邊形ABCD是正方形，可得，再依據(jù)勾股定理，可求得，，進(jìn)而可以求出，，即可求解．(1)解：四邊形ABCD和四邊形DPFE是正方形，，，，，在和中，，，，，AP與CE的夾角的度數(shù)是90°；(2)解：四邊形ABCD和四邊形DPFE是正方形，，，，，在和中，，，，是等腰直角三角形，，；(3)解：連接BD，CE，四邊形ABCD是正方形，，是等腰直角三角形，，，由（1）可知，，由（2）可知，，，，在中，，是等腰直角三角形，，，∴+=12．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)和三角形的全等、勾股定理、直角三角形的性質(zhì)以及割補(bǔ)法求圖形的面積．【類型二正方形的折疊問題模型】例題：（廣西南寧·八年級期中）如圖，AC是正方形ABCD的對角線，E是BC上的點(diǎn)，，將沿AE折疊，使點(diǎn)B落在AC上點(diǎn)F處，則AB的長為（

）A．2 B．3 C． D．【答案】C【解析】【分析】由正方形的性質(zhì)得AB＝BC，∠BCD＝∠B＝90°，∠ECF＝∠BCD＝45°，由折疊的性質(zhì)得∠AFE＝∠B＝90°，F(xiàn)E＝BE＝1，證出△CEF是等腰直角三角形，則CE＝FE＝，進(jìn)而得出答案．【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠BCD＝∠B＝90°，∠ECF＝∠BCD＝45°，由折疊的性質(zhì)得：∠AFE＝∠B＝90°，F(xiàn)E＝BE＝1，∴∠CFE＝90°，∴△CEF是等腰直角三角形，∴CE＝FE＝，∴BC＝BE＋CE＝1＋，∴AB＝BC＝1＋；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等學(xué)問；嫻熟駕馭翻折變換和正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練1】（江蘇師范高校附屬試驗(yàn)學(xué)校一模）如圖，將邊長為4的正方形紙片ABCD折疊，使得點(diǎn)A落在邊CD的中點(diǎn)E處，折痕為FG，點(diǎn)F、G分別在邊AD、BC上，則折痕FG的長度為______．【答案】【解析】【分析】過點(diǎn)G作GH⊥AD于H，依據(jù)翻折變換的性質(zhì)可得GF⊥AE，然后求出∠GFH=∠D，再利用“角角邊”證明△ADE和△GHF全等，依據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得GF=AE，再利用勾股定理列式求出AE，從而得解．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)G作GH⊥AD于H，則四邊形ABGH中，HG=AB，由翻折變換的性質(zhì)得GF⊥AE，∵∠AFG+∠DAE=90°，∠AED+∠DAE=90°，∴∠AFG=∠AED，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=AB，∴HG=AD，在△ADE和△GHF中，，∴△ADE≌△GHF（AAS），∴GF=AE，∵點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，∴DE=CD=2，在Rt△ADE中，由勾股定理得，AE，∴GF的長為2．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換的問題，折疊問題其實(shí)質(zhì)是軸對稱，對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等，找到相應(yīng)的直角三角形利用勾股定理求解是解決本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練2】（廣東·普寧市紅領(lǐng)巾試驗(yàn)學(xué)校九年級階段練習(xí)）如圖，在正方形紙片ABCD中，E是CD的中點(diǎn)，將正方形紙片折疊，點(diǎn)B落在線段AE上的點(diǎn)G處，折痕為AF．若AD＝4cm，求CF的長【答案】6﹣【解析】【分析】設(shè)BF＝x，則FG＝x，CF＝4﹣x，在Rt△GEF中，利用勾股定理可得EF2＝，在Rt△FCE中，利用勾股定理可得EF2＝（4﹣x）2+22，從而得到關(guān)于x的方程，求解x即可．【詳解】解：設(shè)BF＝x，則則FG＝x，CF＝4﹣x．∵E是CD的中點(diǎn)，∴DE=CE=在Rt△ADE中，利用勾股定理可得AE＝．依據(jù)折疊的性質(zhì)可知AG＝AB＝4，BF=FG=x∴GE＝AE-AG=﹣4．在Rt△GEF中，利用勾股定理可得EF2＝（﹣4）2+x2，在Rt△FCE中，利用勾股定理可得EF2＝（4﹣x）2+22，∴（﹣4）2+x2＝（4﹣x）2+22，解得x＝﹣2，∴BF＝2﹣2∴FC=BC-BF=4-（2﹣2）=6-2．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)及翻轉(zhuǎn)折疊的性質(zhì)，精確運(yùn)用題目中的條件用兩種方法表示出EF，列出方程式解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練3】（廣東深圳·八年級階段練習(xí)）把正方形紙片放在直角坐標(biāo)系中，如圖所示，正方形紙片ABCD的邊長為3，點(diǎn)E、F分別在BC、CD上，將AB、AD分別沿AE、AF折疊，點(diǎn)B、D恰好都落在點(diǎn)G處，已知3BE＝BC．（1）請干脆寫出D、E兩點(diǎn)的坐標(biāo)，并求出直線EF的解析式；（2）在直線EF上是否存在點(diǎn)M，使得△AFM的面積是△AEF的面積的一半，若存在，請求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．（3）若點(diǎn)P、Q分別是線段AG、AF上的動點(diǎn)，則EP＋PQ的最小值是多少？并求出此時點(diǎn)Q的坐標(biāo)．【答案】（1）D點(diǎn)坐標(biāo)為（3，3），E點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），直線EF的解析式為；（2）當(dāng)M的坐標(biāo)為（2，）或（4，）時，使得△AFM的面積是△AEF的面積的一半；（3）（2，2）【解析】【分析】（1）依據(jù)正方形的性質(zhì)即可得到BC=CD=3，∠BCD=90°，則D點(diǎn)坐標(biāo)為（3，3），再由3BE=BC，得到BE=1，則E點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），CE=BC-BE=2，由折疊的性質(zhì)可知，EF=BE=1，F(xiàn)G=DF，設(shè)CF=x，則GF=DF=3-x，EF=EG+FG=4-x，由，得到，即可求出F的坐標(biāo)為（3，），設(shè)直線EF的解析式為，把E、F的坐標(biāo)代入求解即可；（2）由△AEF和△AFM等高，則，從而得到，然后分當(dāng)M在線段EF上時，即M為EF的中點(diǎn)時，此時記作M1，當(dāng)M在EF延長線上時，此時記作M2，則，即此時F為的中點(diǎn)，依據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解即可；（3）由，得到當(dāng)Q、P、E三點(diǎn)共線的時候有最小值EQ，再由點(diǎn)到直線的距離垂線段最短可知，當(dāng)EQ⊥AF時，EQ有最小值，即有最小值，先用面積法求出，然后求出直線AF的解析式為；設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（t，），則，由此求解即可．【詳解】解：（1）∵四邊形ABCD是邊長為3的正方形，∴BC=CD=3，∠BCD=90°，∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（3，3），∵3BE=BC，∴BE=1，∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），CE=BC-BE=2，由折疊的性質(zhì)可知，EG=BE=1，F(xiàn)G=DF，設(shè)CF=x，則GF=DF=3-x，EF=EG+FG=4-x，∵，∴，解得，∴F的坐標(biāo)為（3，），設(shè)直線EF的解析式為，∴，∴，∴直線EF的解析式為；（2）假設(shè)在直線EF上是否存在點(diǎn)M，使得△AFM的面積是△AEF的面積的一半，∵△AEF和△AFM等高，∴，∴，當(dāng)M在線段EF上時，即M為EF的中點(diǎn)時，此時記作M1，∵E點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），F(xiàn)的坐標(biāo)為（3，），∴，∴M1的坐標(biāo)為（2，）；當(dāng)M在EF延長線上時，此時記作M2，則，即此時F為的中點(diǎn)，∴，∴，∴M2的坐標(biāo)為（4，）；∴綜上所述，當(dāng)M的坐標(biāo)為（2，）或（4，）時，使得△AFM的面積是△AEF的面積的一半；（3）如圖所示，連接EQ，∵，∴當(dāng)Q、P、E三點(diǎn)共線的時候有最小值EQ，再由點(diǎn)到直線的距離垂線段最短可知，當(dāng)EQ⊥AF時，EQ有最小值，即有最小值，由（1）得，有折疊的性質(zhì)可得AG=AB=3，∠AGE=∠AGF=∠ABC=90°，∴，∵，∴，設(shè)直線AF的解析式為∴，∴，∴直線AF的解析式為；設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（t，），∴，解得，∴Q點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2）【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)與幾何綜合，正方形的性質(zhì)，兩點(diǎn)距離公式，解題的關(guān)鍵在于能夠嫻熟駕馭一次函數(shù)的相關(guān)學(xué)問．【類型三正方形的動點(diǎn)問題模型】例題：（廣東·深圳市龍華區(qū)潛龍學(xué)校九年級階段練習(xí)）如圖，已知四邊形為正方形，，點(diǎn)為對角線上一動點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，以、為鄰邊作矩形，連接．(1)求證：矩形是正方形；(2)探究：①與有怎樣的位置關(guān)系？請說明理由．②的值為______．【答案】(1)見解析(2)①，理由見解析；②2【解析】【分析】（1）作于，于，得到，然后證得，得到≌，則有，依據(jù)正方形的判定即可證得矩形是正方形；（2）①依據(jù)正方形的性質(zhì)得到，，依據(jù)余角的性質(zhì)得到，依據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，依據(jù)垂直的定義即可得到結(jié)論；②依據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，依據(jù)線段的和差即可得的結(jié)論．(1)如圖，作于，于，，點(diǎn)是正方形對角線上的點(diǎn)，，，，，在和中，，≌，，四邊形是矩形，矩形是正方形；(2)①，理由如下：正方形和正方形，，，，，在和中，，≌，，，，，；②由知，≌，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題主要考查了正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，正方形的判定，三角形的全等的性質(zhì)和判定，勾股定理，解本題的關(guān)鍵是正確作出幫助線，證得≌．【變式訓(xùn)練1】（山西陽泉·九年級期末）綜合與實(shí)踐：如圖（1），已知點(diǎn)E為正方形對角線上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)C重合），連接．(1)實(shí)踐與操作：在圖中，畫出以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心，將線段逆時針旋轉(zhuǎn)的線段，并且連接．(2)視察與猜想：視察圖（1），猜想并推理可以得到以下結(jié)論：結(jié)論1，和之間的位置關(guān)系是______；結(jié)論2，和之間的數(shù)量關(guān)系是______．(3)探究與發(fā)覺：①如圖（2），若點(diǎn)E在延長線上時，（2）中的兩個結(jié)論是否照舊成立，說明理由．②如圖（2），若，，請干脆寫出的長．【答案】(1)見解析(2)，(3)①成立，理由見解析；②【解析】【分析】（1）按題意干脆作圖即可；（2）先證△ABF和△CBE，可得AF=CE，再證得∠CAF=90°，即得；（3）①先證得，可得，，進(jìn)一步得到．最終證得；②由可得CE=AF，再由，可得AC的長，進(jìn)而求得AB的長．(1)畫圖正確；(2)，，理由如下：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABC=90°，∵以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心，將線段逆時針旋轉(zhuǎn)的線段，∴BE=BF，∠EBF=90°，∴∠ABC=∠EBF=90°，∴∠ABF=∠CBE，在△ABF和△CBE中，∴△ABF和△CBE（SAS），∴AF=CE，∠BAF=∠BCE，∵∠BAC+∠BCE=90°，∴∠BAC+∠BAF=90°，∴∠CAF=90°，即；故答案為

；；(3)①當(dāng)點(diǎn)E在的延長線上時（2）中的兩個結(jié)論照舊成立理由：由正方形得，，．∵，∴．即．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知．在和中，∴∴，．∴．即．②的長為．理由：∵，∴CE=AF，∵，，∴AC=5，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=．【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定，關(guān)鍵是要作幫助線構(gòu)造全等的三角形，在正方形和三角形中幫助線一般是垂線段，要牢記正方形的兩特性質(zhì)，即四邊相等，四個內(nèi)角都是90°．【變式訓(xùn)練2】（湖南岳陽·八年級期末）在中，為銳角，點(diǎn)D為射線BC上一動點(diǎn)，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF．解答下列問題：(1)假如，①如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時（與點(diǎn)B不重合），線段CF、BD之間的位置關(guān)系為；數(shù)量關(guān)系為；②如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長線上時，①中的結(jié)論是否照舊成立，并說明理由；(2)如圖3，假如，點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動（與點(diǎn)B不重合）．摸索究：當(dāng)時，（1）中的CF，BD之間的位置關(guān)系是否照舊成立，并說明理由．【答案】(1)①，；②成立，理由見解析(2)成立，理由見解析【解析】【分析】（1）①依據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠BAC＝∠DAF＝90°，推出△DAB≌△FAC，依據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；②由正方形ADEF的性質(zhì)可推出△DAB≌△FAC，依據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CF＝BD，∠ACF＝∠ABD，依據(jù)余角的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）過點(diǎn)A作AG⊥AC交CB或CB的延長線于點(diǎn)G，于是得到∠GAC＝90°，可推出∠ACB＝∠AGC，證得AC＝AG，依據(jù)（1）的結(jié)論于是得到結(jié)果．(1)解：（1）①，；理由：正方形ADEF中，AD＝AF，∵∠BAC＝∠DAF＝90°，∴∠BAD＝∠CAF，在△DAB與△FAC中，∴△DAB≌△FAC（SAS），∴CF＝BD，∠B＝∠ACF，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACB＝45°，∴∠ACF＝∠B＝45°，∴∠ACB＋∠ACF＝90°，即CF⊥BD；故答案為：，；②成立．理由：在等腰直角中，，在正方形ADEF中，，，，在與中，，，又在等腰直角中，，，，；(2)解：成立．理由：過點(diǎn)A作，交CB的延長線于點(diǎn)G，如圖所示：，是等腰直角三角形，，，在正方形ADEF中，，，，在與中，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了四邊形的綜合題，全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，余角的性質(zhì)，過點(diǎn)A作AG⊥AC交CB的延長線于點(diǎn)G構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．【類型四正方形中的動點(diǎn)最值問題模型】例題：（北京市其次中學(xué)分校八年級期中）在正方形ABCD中，，點(diǎn)E、F分別為AD、AB上一點(diǎn)，且，連接BE、CF，則的最小值是______．【答案】【解析】【分析】如圖所示，作D關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)，連接，先證明△ABE≌△ADF得到BE=DF，則，從而推出當(dāng)C、F、三點(diǎn)共線時，有最小值，即BE+CF有最小值，最小值為，由此求解即可．【詳解】解：如圖所示，作D關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)，連接，∴，，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=AD=CD，∠ADC=90°，又∵∠FAD=∠EAB，AF=AE，∴△ABE≌△ADF（SAS），∴BE=DF，∴，∴，∴當(dāng)C、F、三點(diǎn)共線時，有最小值，即BE+CF有最小值，最小值為，在Rt△中，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，軸對稱最短路徑問題，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，正確作出幫助線是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練1】（廣東汕頭·一模）如圖，正方形ABCD的邊長為cm，動點(diǎn)E、F分別從點(diǎn)A、C同時動身，都以0.5cm/s的速度分別沿AB、CD向終點(diǎn)B、D移動，當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)B時，運(yùn)動停止，過點(diǎn)B作直線EF的垂線BG，垂足為點(diǎn)G，連接AG，則AG長的最小值為______cm．【答案】【解析】【分析】連接BD，交EF于點(diǎn)O．取OB中點(diǎn)M，連接MA，MG，則MA，MG為定長，利用兩點(diǎn)之間線段最短解決問題即可．【詳解】解：連接BD，交EF于點(diǎn)O．取OB中點(diǎn)M，連接MA，MG，在正方形ABCD中，AB=CD，，，，，，在中，在中，，連接AC，則于點(diǎn)O，在中，，，AG≥AM-MG=，當(dāng)A，M，G三點(diǎn)共線時，AG最小=cm，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，連接OB，取OB中點(diǎn)M，連接MA，MG，則MA，MG為定長，利用兩點(diǎn)之間線段最短解決問題是解決本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練2】（山東德州·一模）已知：點(diǎn)E是正方形ABCD邊上的一點(diǎn)，將線段AE繞點(diǎn)E順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段EA′，若AB＝2，則線段DA′的最小值為________【答案】【解析】【分析】證明，點(diǎn)在上運(yùn)動，當(dāng)時，最小，進(jìn)而勾股定理求解即可．【詳解】如圖，在上取一點(diǎn)，使得，連接，，過作于點(diǎn)，四邊形是正方形，，，，，∴∠BGE＝∠BEG＝45°，∴∠AGE＝135°．∵∠AE＝90°，∴∠AEB＋∠CE＝90°．∴∠GAE＝∠CE．在△AGE和△EC中，，∴△AGE≌△EC（SAS），∴∠AGE＝∠EC，∴∠AGE＝135°，∴∠DC＝135°?90°＝45°．，．當(dāng)與點(diǎn)重合時，最小，最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，求得∠DC＝45°是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練3】（陜西師大附中三模）如圖，在正方形ABCD中，AB＝4，P為對角線上一點(diǎn)，在邊AD上方作∠QDA＝45°，且QD＝BP，連接PQ，則△PQD周長的最小值為_____．【答案】【解析】【分析】依據(jù)正方形性質(zhì)得出BD=，依據(jù)QD＝BP，得出C△PDQ=PQ+QD+PD=PQ+8，△PQD周長的最小，只要PQ最短，依據(jù)，得出，依據(jù)BD為正方形ABCD的對角線，得出∠ADB=45°，可證∠PDQ=∠ADB+∠QDA=45°+45°=90°，依據(jù)勾股定理PQ=即可．【詳解】解：∵四邊形ABCD為正方形，∴AB=AD=4，∠A=90°，∴BD=，∵QD＝BP，∴PD+DQ=DP+BP=BD=8，∵C△PDQ=PQ+QD+PD=PQ+8，∴△PQD周長的最小，只要PQ最短，∵|PQ-QD|≥0，∴，∴，∴，∵BD為正方形ABCD的對角線，∴∠ADB=45°，∵∠QDA＝45°，∴∠PDQ=∠ADB+∠QDA=45°+45°=90°，∴PQ=，∴PQ最小=，此時PD=QD，∵PD+QD=8，∴PD=QD=4，∴PQ最小=，∴△PQD周長的最小值為．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查正方形性質(zhì)，直角三角形判定與性質(zhì)，勾股定理，駕馭正方形性質(zhì)，直角三角形判定與性質(zhì)，勾股定理是解題關(guān)鍵【類型五正方形的無刻度作圖問題模型】例題：（江蘇南京·八年級期末）已知正方形，是的中點(diǎn)，請僅用無刻度的直尺按下列要求畫圖．（保留畫圖痕跡，不寫畫法）(1)在圖①中，畫，垂足為；(2)在圖②中，畫，垂足為．【答案】(1)見解析(2)見解析【解析】【分析】（1）連接點(diǎn)P與正方形的對角線的交點(diǎn)，并延長交AB于一點(diǎn)，即為點(diǎn)Q；（2）連接BD，交AP于點(diǎn)F，連接CF并延長交AD于點(diǎn)E，連接BE交AP于一點(diǎn)即為點(diǎn)H．(1)解：如圖，即為所求．．(2)解：連接BD，交AP于點(diǎn)F，連接CF并延長交AD于點(diǎn)E，連接BE交AP于一點(diǎn)即為點(diǎn)H，∵四邊形ABCD是正方形，BD為對角線，∴∠ADB=∠CDB，AD=CD，∵DF=DF，∴△ADF≌△CDF，∴∠DAF=∠DCF，∵∠ADP=∠CDE=90°，∴△ADP≌△CDE，∴DE=DP，∴AE=DP，∵AB=AD，∠BAE=∠ADP=90°，∴△ABE≌△DAP，∴∠ABE=∠DAP，∵∠BAH+∠DAP=90°，∴∠ABE+∠BAH=90°，∴∠AHB=90°，即如圖，即為所求．．【點(diǎn)睛】此題考查了利用正方形的性質(zhì)作垂線，全等三角形的判定及性質(zhì)，熟記正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練1】（江西·九年級期中）如圖所示的是正方形ABCD和，點(diǎn)E，B，C在同始終線上，且．請僅用無刻度的直尺按要求作圖（保留作圖痕跡）．（1）如圖1，P是CD的中點(diǎn)，作于點(diǎn)M．（2）如圖2，作．【答案】（1）見解析；（2）見解析【解析】【分析】（1）依據(jù)正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)解答；（2）利用全等三角形的判定與性質(zhì)及平行四邊形的判定解答即可．【詳解】解：（1）如圖1，CM即為所求．連接AC，BD交于點(diǎn)O，則O為AC中點(diǎn)，∵P為CD中點(diǎn)，∴OP∥AD，連接PO并延長交AB于點(diǎn)Q，AQPD為矩形，，連接CQ并延長交AE于M，則△ABE≌△CBQ，∴∠E=∠1=∠2，∵∠E+∠3=90°，∴∠2+∠3=90°，∴∠AMC=90°，∴CM⊥AE；（2）如圖2，CN即為所求，連接AC，BD交于O，連接EO并延長交AD延長線于點(diǎn)N，連接CN，易證△EOB≌△NOD，∴EB=ND，∴AN平行且相等，∴四邊形AECN為平行四邊形，∴CN∥AE．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)及平行四邊形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈敏運(yùn)用這些性質(zhì)．【變式訓(xùn)練2】（江西吉安·九年級期中）如圖所示，四邊形ABCD是正方形，是等邊三角形，請僅用無刻度的直尺分別按下列要求做圖（保留作圖痕跡）．（1）在圖1中，作CD的中點(diǎn)M．（2）在圖2中，在CD邊上作一點(diǎn)N，使．【答案】（1）作圖見解析；（2）作圖見解析【解析】【分析】（1）依據(jù)正方形的性質(zhì)作圖即可；（2）依據(jù)正方形的性質(zhì)的性質(zhì)作圖即可；【詳解】（1）連接AC，BD交于點(diǎn)F，連接EF并延長交DC于M，即點(diǎn)M時所求點(diǎn)；（2）在（1）的基礎(chǔ)上延長ME交AB于點(diǎn)H，連接HC，BM交于點(diǎn)P，連接FP，并延長交BC于點(diǎn)G，連接CF，MG交于點(diǎn)Q，連接PQ并延長交DC于點(diǎn)N，即可得到；【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用正方形和等邊三角形的性質(zhì)作圖，精確作圖是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練3】（江西贛州·八年級期末）如圖，已知正方形ABCD，請僅用無刻度的直尺，分別依據(jù)下列要求作圖．（保留作圖痕跡，不寫作法）．（1）如圖（1），若點(diǎn)E在AD邊上，連接BE，請作出BEDF；（2）如圖（2），若點(diǎn)E在正方形ABCD的對角線AC上，請以BE，DE為邊作一個菱形．【答案】（1）見解析；（2）見解析【解析】【分析】（1）連接AC和BD交于點(diǎn)O，連接點(diǎn)E與點(diǎn)O，并延長交BC于F，連接DF，利用對角線相互平分的四邊形是平行四邊形求解；（2）連接BD交AC于點(diǎn)O，延長BE與AD相交于點(diǎn)M，連接MO并延長，交BC于N，連接DN交AC于點(diǎn)F，連接BF、DF，利用一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形求解．【詳解】解：（1）如圖1，連接AC和BD交于點(diǎn)O，連接點(diǎn)E與點(diǎn)O，并延長交BC于F，連接DF，BEDF即為所求；（2）如圖2．連接BD交AC于點(diǎn)O，延長BE與AD相交于點(diǎn)M，連接MO并延長，交BC于N，連接DN交AC于點(diǎn)F，連接BF、DF，菱形BEDF即為所求．【點(diǎn)睛】本題屬于作圖題．主要考查正方形的性質(zhì)、平行四邊形的判定、菱形的判定等學(xué)問點(diǎn)．【課后訓(xùn)練】1．（河南·西峽縣基礎(chǔ)教化教學(xué)探討室一模）如圖，點(diǎn)D、E分別是△ABC的BC、AC邊的中點(diǎn)，延長DE到F，使EF=DE，連結(jié)AF、AD、CF，下列說法不正確的是（

）A．當(dāng)AB=AC時，四邊形ADCF是矩形；B．當(dāng)∠BAC=90°時，四邊形ADCF是菱形；C．當(dāng)AB=AC，∠BAC=90°時，四邊形ABDF是正方形；D．當(dāng)AB=AC，∠BAC=90°時，四邊形ADCF是正方形．【答案】C【解析】【分析】利用三角形中位線定理，平行四邊形、矩形、菱形、正方形的判定定理去推斷即可．【詳解】∵點(diǎn)D、E分別是△ABC的BC、AC邊的中點(diǎn)，EF=DE，∴四邊形ADCF是平行四邊形，DE=，DE∥AB，∵AB=AC，∴DE==AE=EC，∴∠ADC=90°，∴四邊形ADCF是矩形，故A正確，不符合題意；∵∠BAC=90°時，∴∠DEC=90°，∴EF垂直平分AC，∴四邊形ADCF是菱形，故B正確，不符合題意；當(dāng)AB=AC，∠BAC=90°時，∴ADCF是矩形也是菱形，∴四邊形ADCF是正方形．故D正確，不符合題意；當(dāng)AB=AC，∠BAC=90°時，無法推斷四邊形ABDF是正方形，故C錯誤，符合題意；故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中位線定理，平行四邊形、矩形、菱形、正方形的判定定理，嫻熟駕馭從對角線條件下判定四邊形形態(tài)是解題的關(guān)鍵．2．（山東臨沂·八年級期中）如圖，正方形的邊長為4，點(diǎn)M在邊上，，點(diǎn)N是對角線上一動點(diǎn)，則線段的最小值為（

）A．5 B． C． D．4【答案】A【解析】【分析】連接MB交AC于N，此時DN+MN最小，先證明這個最小值就是線段BM的長，利用勾股定理即可解決問題．【詳解】連接MB交AC于N，此時的值最小四邊形ABCD是正方形關(guān)于AC對稱在中，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查最短距離問題、正方形性質(zhì)、勾股定理、兩點(diǎn)之間線段最短等學(xué)問，解題的關(guān)鍵是利用對稱找到點(diǎn)N的位置．3．（重慶八中一模）如圖，正方形ABCD的邊長為6，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在DC，BC上，BF＝CE＝4，連接AE、DF，AE與DF相交于點(diǎn)G，連接AF，取AF的中點(diǎn)H，連接HG，則HG的長為（）A． B． C．5 D．2【答案】B【解析】【分析】依據(jù)AD=DC，BF=CE，有ED=FC，則可知，則有∠EAD=∠CDF，則有∠CDF+∠DEA=90°=∠DGE，即有△AGF是直角三角形，依據(jù)直角三角形中斜邊的中線等于斜邊的一半可知HG=AF，在Rt△ABF中，利用勾股定理可得AF，則問題得解．【詳解】∵AD=DC，BF=CE，∴ED=FC，∴，∴∠EAD=∠CDF，∴∠CDF+∠DEA=90°=∠DGE，∴AE⊥DF，∴△AGF是直角三角形，∴，在Rt△ABF中，由勾股定理得∶，∴故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半等學(xué)問．靈敏運(yùn)用直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半這一學(xué)問是解答本題的關(guān)鍵．4．（廣東·廣州市番禺區(qū)恒潤試驗(yàn)學(xué)校九年級期末）如圖，點(diǎn)P是正方形ABCD的對角線BD上一個動點(diǎn)，PE⊥BC于點(diǎn)E，PF⊥CD于點(diǎn)F，連接EF，有下列5個結(jié)論：①AP＝EF；②AP⊥EF；③△APD確定是等腰三角形；④∠PFE＝∠BAP；⑤EF的最小值等于．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】C【解析】【分析】延長FP交AB于點(diǎn)N，延長AP交EF于點(diǎn)M，只須要證明△ANP≌△FPE得到AP=EF，∠PFE=∠BAP即可推斷①④；依據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可推斷②；依據(jù)P的隨意性可以推斷③；依據(jù)AP=EF，當(dāng)AP最小時，EF有最小值，即可推斷⑤；【詳解】解：延長FP交AB于點(diǎn)N，延長AP交EF于點(diǎn)M．∵四邊形ABCD是正方形．∴∠ABP=∠CBD，∠ABC=90°，AB=BC，又∵NP⊥AB，PE⊥BC，∴∠PNB=∠NBE=∠PEB=90°，PN=PE，∴四邊形BNPE是正方形，∠ANP=∠EPF=90°，四邊形BCFN是矩形，∴NP=EP=BE，BC=NF，∴AN=PF，在△ANP與△FPE中，，∴△ANP≌△FPE（SAS），∴AP=EF，∠PFE=∠BAP（故①④正確）；在△APN與△FPM中，∠APN=∠FPM，∠NAP=∠PFM，∴∠PMF=∠ANP=90°，∴AP⊥EF，（故②正確）；∵P是BD上隨意一點(diǎn)，因而△APD是等腰三角形不愿定成立，（故③錯誤）；∵AP=EF，∴當(dāng)AP⊥BD時，AP有最小值即EF有最小值，∵AB=AD，AP⊥BD，∴此時P為BD的中點(diǎn)，又∵∠BAD=90°，∴，即EF的最小值為（故⑤正確）故正確的是：①②④⑤．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，正確證明△ANP≌△FPE，以及理解P的隨意性是解決本題的關(guān)鍵．5．（北京市其次中學(xué)分校八年級期中）如圖，點(diǎn)E、F、G、H分別是四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)．則下列說法：①若，則四邊形EFGH為矩形；②若，則四邊形EFGH為菱形；③若AC與BD相互垂直且相等，則四邊形EFGH是正方形；④若四邊形EFGH是平行四邊形，則AC與BD相互平分．其中正確的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】【分析】先依據(jù)三角形中位線定理證明四邊形EFGH是平行四邊形，然后依據(jù)菱形，矩形，正方形的判定進(jìn)行逐一推斷即可．【詳解】解：∵點(diǎn)E、F、G、H分別是四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，∴EH是△ABD的中位線，∴，，同理，∴EH=GF，GH=EF，∴四邊形EFGH是平行四邊形，①若AC=BD，則EH=GF=GH=EF，則四邊形EFGH是菱形，故①錯誤；②若AC⊥BD，則EF⊥EH，∴平行四邊形EFGH是矩形，故②錯誤；③若AC與BD相互垂直且相等，結(jié)合①②的推斷可知四邊形EFGH是正方形，故③正確；④若四邊形EFGH是平行四邊形，并不能推出AC與BD相互平分，故④錯誤，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了中點(diǎn)四邊形，三角形中位線定理，熟知中點(diǎn)四邊形的學(xué)問是解題的關(guān)鍵．二、填空題6．（北京市第十三中學(xué)分校八年級期中）小明用四根長度相同的木條制作了能夠活動的菱形學(xué)具，他先活動學(xué)具成為圖1所示菱形，并測得，對角線，接著活動學(xué)具成為圖2所示正方形，則圖2中對角線AC的長為______cm．【答案】【解析】【詳解】解：如圖1，如圖2，連接AC，圖1中，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=BC，∵∠B=60°，∴△ABC是等邊三角形，∴AB=BC=AC=20cm，在圖2中，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠B=90°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、勾股定理等學(xué)問，解題的關(guān)鍵是嫻熟駕馭菱形和正方形的性質(zhì)，屬于中考常考題型．7．（重慶市試驗(yàn)中學(xué)八年級階段練習(xí)）如圖，已知正方形ABCD的面積為5，正方形FHIJ的面積為3，點(diǎn)D、C、G、J、I在同一水平線上，則正方形BEFG的面積為_____．【答案】8【解析】【分析】依據(jù)正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)，可以得到BC和CG的長，然后利用勾股定理可以得到BG的平方，從而可以得到正方形BEFG的面積．【詳解】解：∵四邊形BGFE是正方形，∴BG＝GF，∠BGC+∠FGJ＝90°，∵四邊形ABCD是正方形，四邊形FHTJ是正方形，∴∠BCG＝∠GJF＝90°，∴∠BGC+∠CBG＝90°，∴∠CBG＝∠JGF，在△BCG和△GJF中，，∴△BCG≌△GJF（AAS），∴BC＝GJ，CG＝JF，∵正方形ABCD的面積為5，正方形FHIJ的面積為3，∴BC＝，F(xiàn)J＝，∴CG＝，∴BG2＝BC2+CG2＝（）2+（）2＝5+3＝8，∴S正方形BEFG＝BG2＝8，故答案為：8．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)的學(xué)問解答．8．（山西·一模）如圖，正方形的邊長為6，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊和的中點(diǎn)，連接，在上取點(diǎn)G，連接，若，則的長為__________．【答案】【解析】【分析】連接交于，依據(jù)正方形的性質(zhì)得到，，依據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，，推出是等腰直角三角形，依據(jù)勾股定理和三角形的面積公式即可得到結(jié)論．【詳解】解：連接交于，四邊形是正方形，，，點(diǎn)、分別是邊，的中點(diǎn)，，在與中，，，，，，，，，，是等腰直角三角形，∵，∴∴∵∴，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，正確的作出幫助線是解題的關(guān)鍵．9．（湖北襄陽·八年級期中）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)M，N分別是AD，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在CD上，將沿BP翻折后點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)Q落在MN上，若，則PD的長為______．【答案】【解析】【分析】如圖所示，連接CQ，只須要證明△QBC是等邊三角形，得到∠QBC=60°，推出∠PBC=30°，即可利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性質(zhì)求解．【詳解】解：如圖所示，連接CQ，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=BC=AB，，∠D=90°，∵M(jìn)、N分別是AD、BC的中點(diǎn)，∴，∴四邊形CNMD是矩形，∴∠QNB=∠QNC=90°，在△QNB和△QNC中，，∴△QNB≌△QNC（SAS），∴QB=QC，由折疊的性質(zhì)可知BC=BQ，∠QBP=∠CBP，∴BC=BQ=CQ，∴△QBC是等邊三角形，∴∠QBC=60°，∴∠PBC=30°，∴PB=2PC，∵，∴，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等等，正確作出幫助線是解題的關(guān)鍵．10．（江蘇無錫·七年級期中）如圖，在正方形ABCD中，AB=6cm，E是AD邊上的中點(diǎn)，動點(diǎn)P從A動身，以1cm/s的速度沿著A-B-C-D-E運(yùn)動，終點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)E，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動________s時，ΔBPE的面積為12cm2【答案】10或16【解析】【分析】先依據(jù)正方形的性質(zhì)可得，依據(jù)線段中點(diǎn)的定義可得，設(shè)當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動時，的面積為，分①點(diǎn)在邊上、②點(diǎn)在邊上、③點(diǎn)在邊上和④點(diǎn)在上四種狀況，分別依據(jù)三角形的面積公式建立方程，解方程即可得．【詳解】解：在正方形中，，，是邊上的中點(diǎn)，，動點(diǎn)從動身，以的速度沿著運(yùn)動，終點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)，點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn)、從點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn)、從點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn)所需時間均為，從點(diǎn)運(yùn)動點(diǎn)所需時間為，設(shè)當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動時，的面積為，①如圖，當(dāng)點(diǎn)在邊上，即時，，的面積為，解得，不符題意，舍去；②如圖，當(dāng)點(diǎn)在邊上，即時，，的面積為，解得，符合題設(shè)；③如圖，當(dāng)點(diǎn)在邊上，即時，，，的面積=，解得，符合題設(shè)；④如圖，當(dāng)點(diǎn)在上，即時，，的面積為，解得，不符題設(shè)，舍去；綜上，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動或時，的面積為，故答案為：10或16．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)等學(xué)問點(diǎn)，正確分四種狀況探討，并建立方程是解題關(guān)鍵．三、解答題11．（山東棗莊·一模）問題解決：如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，BC邊上，，于點(diǎn)G．(1)求證：四邊形ABCD是正方形；(2)延長CB到點(diǎn)H，使得，推斷的形態(tài)，并說明理由．【答案】(1)見解析(2)△AHF是等腰三角形，利用略【解析】【分析】（1）通過證明△ADE≌△BAF得到AD=AB，結(jié)合矩形ABCD得到結(jié)論；（2）利用垂直平分線的性質(zhì)得到AH=AF，得出結(jié)論．(1)證明：在矩形ABCD中，∠DAE=∠ABF=90°，∵DE⊥AF，∴∠ADG+∠GAD=90°，又∵∠BAF+∠DAG=90°，∴∠BAF=∠ADE，在△ADE和△BAF中∴△ADE≌△BAF（AAS），∴AD=AB，∴矩形ABCD是正方形；(2)△AHF是等腰三角形；理由：∵△ADE≌△BAF，∴AE=BF，又∵BH=AE，∴BH=BF，又∠ABF=90°，∴AB垂直平分FH，∴AF=AH，即△AFH是等腰三角形．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的判定、全等三角形的判定和性質(zhì)以及等腰三角形的判定，利用全等三角形得到等邊是解決問題的關(guān)鍵．12．（江西贛州·八年級期末）如圖，點(diǎn)E是正方形ABCD外一點(diǎn)，且EB＝EC．請僅用無刻度的直尺按要求作圖．（1）在圖1中，作出BC邊的中點(diǎn)M．（2）在圖2中，作出CD邊的中點(diǎn)N．【答案】（1）見解析；（2）見解析；【解析】【分析】(1)連接AC、BD兩者交于點(diǎn)O，連接OE與BC交于點(diǎn)M，由正方形的性質(zhì)可得OB=OC，再由EB=EC可證△OBE≌△OCE，即可得到∠BOM=∠COM，故OM為等腰三角形OBC的角平分線，由三線合確定理可知，OM即為中線，即M為BC中點(diǎn)；(2)同(1)中原理找到點(diǎn)M的位置，連接DM交AC于點(diǎn)P，因?yàn)镺、M分別為直角三角形BCD的中點(diǎn)，所以CO與DM均為三角形BCD的中線，由直角三角形三條邊上的中線交于一點(diǎn)的原理，連接BP交CD于N即為所求.【詳解】解(1)如圖1所示，連接AC、BD兩者交于點(diǎn)O，連接OE與BC交于點(diǎn)MAC、BD兩者交于點(diǎn)O，連接OE與BC交于點(diǎn)M∵EB=EC∴△OBE≌△OCE∴∠BOM=∠COM∴OM為等腰三角形OBC的角平分線由三線合確定理可知，OM即為中線，即M為BC中點(diǎn)；(2)如圖所示，連接AC、BD兩者交于點(diǎn)O，連接OE與BC交于點(diǎn)M，連接連接DM交AC于點(diǎn)P，連接BP交CD于N由(1)可知M為BC的中點(diǎn)，O為BD的中點(diǎn)所以DM與CO分別是直角三角形BCD兩條邊上的中線由直角三角形三條邊上的中線交于一點(diǎn)可知，CD上的中線也經(jīng)過P點(diǎn)即連接BP交CD于N即為所求.【點(diǎn)睛】本題主要考查了尺規(guī)作圖，解題的關(guān)鍵在于駕馭相關(guān)學(xué)問進(jìn)行正確的畫圖.13．（江蘇江蘇·一模）如圖，正方形ABCD，點(diǎn)E是BC邊上的動點(diǎn)，點(diǎn)F在DE延長線上，連接AF、BF．(1)若．①求證：FA平分∠DFB；②連接FC，用等式表示線段BF、FC與AF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(2)若BF＝1，DF＝2，求AF的最大值．【答案】(1)①證明見詳解;②．理由見詳解(2)【解析】【分析】（1）①延長FD至點(diǎn)G，使DG＝BF，在四邊形ABCD為正方形，有AB＝AD，∠BAD＝90°．則有∠DFB＝90°，∠ABF＋∠ADF＝180°．再依據(jù)∠ADG＋∠ADF＝180°，即有∠ABF＝∠ADG．可得，即可得△FAG為等腰直角三角形．則∠AFG＝∠AFB＝45°，結(jié)論即得證．另一種方法：過點(diǎn)A作AG⊥BF于G，AH⊥DF于H，依據(jù)∠BFD＝90°，∠GAH＝90°．結(jié)合正方形的性質(zhì)，有∠GAB＋∠BAH＝90°，∠DAH＋∠BAH＝90°．即有∠GAB＝∠DAH．可證得，得到GA＝HA．結(jié)論即得證．②過點(diǎn)B作BM⊥BF交AF于M，由①得∠BFA＝45°，△BMF為等腰直角三角形．則有，BM＝BF，再利用正方形的性質(zhì)可得∠ABM＋∠MBC＝90°，∠FBC＋∠MBC＝90°．即有∠ABM＝∠CBF，可證得．繼而得到AM＝FC，則有AF＝AM＋MF＝FC＋BF．（2）將△ABF繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得△ADN，依據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)有∠BAF＝∠DAN，BF＝DN＝1，AF＝AN．依據(jù)∠BAD＝∠BAF＋∠FAD＝90°，得到∠NAF＝∠DAN＋∠FAD＝90°．當(dāng)F、D、N三點(diǎn)共線時，△AFN為等腰直角三角形，即可由求得AF的最大值．(1)①延長FD至點(diǎn)G，使DG＝BF，∵四邊形ABCD為正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°．∵∠DFB＝90°，∴∠ABF＋∠ADF＝180°．∵∠ADG＋∠ADF＝180°，∴∠ABF＝∠ADG．∴．∴AF＝AG，∠BAF＝∠DAG．即∠FAG＝90°，△FAG為等腰直角三角形．∴∠AFG＝∠AFB＝45°．∴FA平分∠DFB．另解：過點(diǎn)A作AG⊥BF于G，AH⊥DF于H，∵∠BFD＝90°，∴∠GAH＝90°．在正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°．∴∠GAB＋∠BAH＝90°，∠DAH＋∠BAH＝90°．∴∠GAB＝∠DAH．∵∠AGB＝∠AHD＝90°，∴，∴GA＝HA．∴FA平分∠DFB．②．理由如下：過點(diǎn)B作BM⊥BF交AF于M，由①得∠BFA＝45°．∴△BMF為等腰直角三角形．∴，BM＝BF．